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1991年全国高中数学联赛试题及详细解析


一.选择题: 1.由一个正方体的三个顶点所能构成的正 三角形的个数为( A.4 B.8 C.12 D.24 a b c a+b-c 2.设 a、b、c 均为非零复数,且 = = ,则 的值为( b c a a-b+c
2

)

)
2

A.1 B.±ω C.1,ω ,ω D.1,-ω ,-ω 3

3.设 a 是正整数,a<100,并且 a +23 能被 24 整除,那么,这样的 a 的个数为( ) A.4 B.5 C.9 D.10 4.设函数 y=f(x)对于一切实数 x 满足 f(3+x)=f(3-x).且方程 f(x)=0 恰有 6 个不同 的实数根,则这 6 个实根的和为( ) A.18 B.12 C.9 D.0 2 2 2 2 2 5. S={(x, )|x -y =奇数, , ∈R}, {(x, )|sin(2π x )-sin(2π y )=cos(2π x ) 设 y x y T= y 2 -cos(2π y ),x,y∈R},则( ) A.S?T ?
2

B.T?S ?

C.S=T )

D.S∩T=?

6.方程|x-y |=1-|x|的图象为(
y
1 1
1 1

y
1

y
1 ( 2 ,1)

y
1
(1,1)

O

x

1 2

O
-1

1 2

1

x

1 2

O1
2 1 ( 2 ,-1)

x

1 2

O
-1

1 2

1

x
(1,-1)

-1 2

-1

A.

B.

C.

D.

二.填空题: 2 2 1.cos 10°+cos 50°-sin40°sin80°= . 2.在△ABC 中,已知三个角 A、B、C 成等差数列,假设它们所对的边分别为 a,b,c, C-A 并且 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 sin = . 2 3.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组: {1}, {3,5,7}, {9,11,13,15,17},…… (第一组) (第二组) (第三组) 则 1991 位于第 组. 2000 6 4.1991 除以 10 ,余数是 . 5.设复数 z1,z2 满足|z1|=|z1+z2|=3,|z1-z2|=3 3,则 log3|(z1-) +(- z2 2000 z1

z2)2000|=

. 6.设集合 M={1,2,…,1000},现对 M 中的任一非空子集 X,令 α X 表示 X 中最大数 与最小数的和.那么,所有这样的 α X 的算术平均值为 . 三.设正三棱锥 P—ABC 的高为 PO,M 为 PO 的中点,过 AM 作与棱 BC 平行的平面,将 三棱锥截为上、下两部分,试求此两部分的体积比.
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四.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦.已知|OF|=a,|PQ|=B.求△ OPQ 的面积. 2 五.已知 0<a<1,x +y=0,求证: 1 x y loga(a +a )≤loga2+ . 8

1991 年全国高中数学联赛二试题 一.设 S={1,2,…,n},A 为至少含有两项的公差为正的等差数列,其项都在 S 中, 且添加 S 的其他元素于 A 后不能构成与 A 有相同公差的等差数列.求这种 A 的个数(这里只 有两项的数列也看作等差数列).

二.设凸四边形 ABCD 的面积为 1,求证:在它的边上(包括顶点) 或内部可以找出四个 1 点,使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 . 4

三. an 是下述自然数 N 的个数: 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1、 或 4. 设 N 3 求 证:a2n 是完全平方数.这里,n=1,2,….

1991 年全国高中数学联赛解答
第一试 一.选择题: 1.由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( A.4 B.8 C.12 D.24 【答案】B 【解析】每个正方形的顶点对应着一个正三角形.故选 B )

3.设 a 是正整数,a<100,并且 a +23 能被 24 整除,那么,这样的 a 的个数为( ) A.4 B.5 C.9 D.10 【答案】B 3 3 【解析】即 24|a -1,而 a≡0,±1,±2,±3,4,则 a ≡0,±1,0,±3,0.故 a -1≡0(mod 8). 3 若 a≡0 ,1,2(mod 3),则 a ≡0,1,-1(mod 3),∴ a-1≡0(mod 3).即 a-1≡0(mod 24).选 B.

3

5. S={(x, )|x -y =奇数, , ∈R}, {(x, )|sin(2π x )-sin(2π y )=cos(2π x ) 设 y x y T= y 2 -cos(2π y ),x,y∈R},则( ) A.S?T ? B.T?S ? C.S=T D.S∩T=?

2

2

2

2

2

【答案】A 2 2 2 2 2 2 【解析】若 x -y 为奇数,则 sin(2π x )-sin(2π y )=cos(2π x )-cos(2π y )成立, 即 S?T. 又若 x=y 时,sin(2π x )-sin(2π y )=cos(2π x )-cos(2π y )也成立,即得 S?T,选 ?
2 2 2 2

A.

6.方程|x-y |=1-|x|的图象为(
y
1 1
1 1

2

)
y
1
1 ( 2 ,1)

y

y
1
(1,1)

O

x

1 2

O
-1

1 2

1

x

1 2

O1
2 1 ( 2 ,-1)

x

1 2

O
-1

1 2

1

x
(1,-1)

-1 2

-1

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【 解 析 】 ∵
2 2

|x - y |=
2

2

?x-y (x≥y ), ? 2 2 ?y -x (x<y ).

2

2

故 此 方 程 等 价 于

?x-y =1-x,即y =2x-1 (x≥y ), ? 2 2 2 ? y -x=1-x,即y =1 (0≤x<y ), 2 2 ? y -x=1+x,即y =2x+1(x<0). ?
故选 D.

2.在△ABC 中,已知三个角 A、B、C 成等差数列,假设它们所对的边分别为 a,b,c, C-A 并且 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 sin = . 2

3.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大 按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组: {1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},…… (第一组) (第二组) (第三组) 则 1991 位于第 组. 【答案】32 2 2 2 【解析】 由于 1+3+…+(2n-1)=n , 故第 n 组最后一数为 2n -1, 于是解 2(n-1) -1+2

≤1991≤2n -1,得 n=32.即在第 32 组.

2

5.设复数 z1,z2 满足|z1|=|z1+z2|=3,|z1-z2|=3 3,则 log3|(z1-) +(- z2 2000 z1

z2)2000|=



【答案】4000 2 2 2 2 【解析】由|z1+z2| +|z1-z2| =2(|z1| +|z2| ),得|z2|=3.由于|z1|=|z2|=|z1+z2|=3,故 argz1-argz2=±120°. ∴ |(z1 - ) z2
2000

+( - z2) z1

2000

|=2 ? 3

4000

|c os(120° ? 2000)|=3

4000

. 故 log3|(z1 - ) z2

2000

+( - z1

z2)2000|=4000.

三.设正三棱锥 P—ABC 的高为 PO,M 为 PO 的中点,过 AM 作与棱 BC 平行的平面,将 三棱锥截为上、下两部分,试求此两部分的体积比. 【解析】 P M 是 PO 中点,延长 AO 与 BC 交于点 D,则 D 为 BC 中点,连 PD,由于 AM 在平面 PAD 内,故延长 AM 与 PD 相交,设交点为 F.题中截面与面 PBC 交于过 F G F 的直线 GH,G、H 分别在 PB、PC 上.由于 BC∥截面 AGH,∴GH∥BC. M PM OA DF PM OA 2 DF E 在面 PAD 中,△POD 被直线 AF 截,故 ? ? =1,但 =1, = ,∴ MO AD FP MO AD 3 FP A

H

C D

= .

3 2

O

B



PF 2 S?PGH 4 S?PGH 4 = ,∴ = ? = .而截面分此三棱锥所成两部分可看成是有顶点 A 的两 PD 5 S?PBC 25 SHGBC 21

个棱锥 A—PGH 及 A—HGBC.故二者体积比=4∶21.

第二试 一.设 S={1,2,…,n},A 为至少含有两项的公差为正的等差数列,其项都在 S 中, 且添加 S 的其他元素于 A 后不能构成与 A 有相同公差的等差数列.求这种 A 的个数(这里只 有两项的数列也看作等差数列).

解法二: 对于 k=[ ], 这样的数列 A 必有连续两项, 一项在{1, …, }中, 2, k 一在{k+1.k+2, …, 2

n

n}中,反之,在此两集合中各取一数,可以其差为公差构成一个 A,于是共有这样的数列
1 2 1 2 当 n=2k 时,这样的 A 的个数为 k = n 个;当 n=2k+1 时,这样的 A 的个数为 k(k+1)= 4 4 (n -1)个. 1 2 ∴ 这样的数列有[ n ]个. 4
2

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二.设凸四边形 ABCD 的面积为 1,求证:在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个 1 点,使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 . 4 【解析】证明:考虑四边形的四个顶点 A、B、C、D,若 △ABC、△BCD、△CDA、△DAB 的面积,设其中面积最小的三角形为△ABD. 1 ⑴ 若 S△ABC> ,则 A、B、C、D 即为所求. 4 1 3 ⑵ 若 S△ABD< ,则 S△BCD> ,取△BCD 的重心 G,则以 B、C、D、G 这 4 点中 4 4 1 的任意 3 点为顶点的三角形面积> . 4
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D A E

1 1 ⑶ 若 S△ABD= ,其余三个三角形面积均> S△ABD= . 4 4 1 3 由于 S△ABC+S△ACD=1,而 S△ACD> ,故 S△ABC< =S△BCD. 4 4 ∴ 过 A 作 AE∥BC 必与 CD 相交,设交点为 E. 1 1 1 则∵ S△ABC>S△ABD,从而 S△ABE>S△ABD= .S△ACE=S△ABE> ,S△BCE=S△ABC> .即 A、B、 4 4 4

B

C

A E
h

a

D F

O

C、E 四点即为所求.
1 1 ⑷ 若 S△ABD= ,其余三个三角形中还有一个的面积= ,这个三角形不可能 4 4 1 1 是△ BCD,(否则 ABCD 的面积= ),不妨设 S△ADC= S△ABD= .则 AD∥BC,四边形 2 4
B

3a

C

ABCD 为梯 形.
1 3 由于 S△ABD= ,S△ABC= ,故若 AD=a,则 BC=3a,设梯形的高=h, 4 4 则 2ah=1.设对角线交于 O,过 O 作 EF∥BC 分别交 AB、CD 于 E、F.

三. an 是下述自然数 N 的个数: 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1、 或 4. 设 N 3 求 证:a2n 是完全平方数.这里,n=1,2,…. _______ 【解析】证明:设 N= x1x2…xk ,其中 x1,x2,…,xk∈{1,3, 4 }.且 x1+x2+…+xk=n.假 定 n>4. 删去 xk 时, 则当 xk 依次取 1, 4 时, 1+x2+…+xk-1 分别等于 n-1, -3, -4. 3, x n n 故 当 n>4 时, an=an-1+an-3+an-4. ① a1=a2=1,a3=2,a4=4, 利用①及初始值可以得到下表: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ……
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an 规 律

1 1

1 2 1

2 1?2

4 2 2

6 2?3

9 2 3

15 3?5

25 2 5

40 5?8

64 2 8

104 8?13

169 2 13

273 13?21

441 2 21

…… ……

可找到规律:

2 a2(k+1)=a2k+1+a2k-1+a2k-2=fkfk+1+fk-1fk+fk-1= fkfk+1+fk-1(fk+fk-1) = fkfk+1+fk-1fk+1=fk+1(fk-1+fk)=fk+1fk+1=fk2 +1

a2(k+1)+1=a2(k+1)+a2k+a2k
+fkfk+1=fk+1(fk+1+fk)=fk+2fk+1.

- 1

=f k2 +f 2 +fk +1 k

- 1 k

f = f k2 +fk(fk+fk +1

- 1

)=

f k2 +1

证明 2:(用特征方程)由上证得①式,且有 a1=a2=1,a3=2,a4=4, 4 3 2 2 由此得差分方程: -λ -λ -1=0. ?(λ +1)(λ -λ -1)=0. λ 此方程有根 λ =±i, λ = 1± 5 . 2 ∴ 令 an=α i +β (-i ) +γ (
n n

1+ 5 2 1- 5 2 ) +?( ) 2 2

2-i n 2+i n 1 1+ 5 n+2 1 1- 5 n+2 利用初值可以求出 an= ?i + ?(-i) + ( ) + ( ) . 10 10 5 2 5 2

∴ a2n={

1

1+ 5 n+1 1- 5 n+1 2 [( ) -( ) ]} . 2 2 5

得 a2n=bn=

1 3+ 5 n n [2( - 1) +( ) 5 2

+1

+(

3- 5 n+1 1 1+ 5 2(n+1) 1- 5 2(n+1) ) ]= [( ) +( ) - 2 5 2 2

1+ 5 n+1 1- 5 n+1 2( ) ( ) ] 2 2

={

1 5

[(

1+ 5 n+1 1- 5 n+1 2 ) -( ) ]} . 2 2

记 fn=

1 5

[(

1+ 5 n+1 1- 5 n+1 1± 5 2 ) -( ) ],其特征根为 ?1,2= .故其特征方程为? -?- 2 2 2

1=0.于是其递推关系为 fn=fn-1+fn-2. 而 f0=1,f1=1,均为正整数,从而对于一切正整数 n,fn 为正整数.从而 a2n 为完全平方 数.


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