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学案2 任意角的三角函数与诱导公式


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学案2 任意角的三角函数 与诱导公式

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考纲解读 考向预测 考点1

填填知学情
课内考点突破 规律探究

? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点2
考点3 考点4 考点5 考点6

师伴你行

考 纲 解 读
(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导

任意角的三 出 ? ±α,π±α的正弦、余弦、正切 2 角函数与诱 的诱导公式. 导公式
(3)理解同角三角函数的基本关系 式:sin2x+cos2x=1,
sin ? =tanx. cos ?

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考 向 预 测
主要作为工具对三角函数进行恒等变换,考查恒
等变形能力.题型主要是三角函数的求值,以及三角函 数式的化简,为研究函数作基础,是本编的重点内容.

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1.三角函数的定义 设α是一个任意角,α的终边上任意一点P(不和原点重合)的 坐标是(x,y),它到原点的距离是r(r= x 2 + y 2 >0),那么

(1)
(2) (3)

y r x r y x

叫做角α的正弦,记作sinα,即sinα=
叫做角α的余弦,记作cosα,即cosα= 叫做角α的正切,记作tanα,即tanα=

y ; r x ; r y x;

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(4) (5) (6)

x y

r x r y

叫做角α的余切,记作cotα,即cotα= 叫做角α的正割,记作secα,即secα= 叫做角α的余割,记作cscα,即cscα=

x 名师伴你行 y ;

r x; r y.

角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以 角 为

自变量,以比值为 函数值 的函数,它们统称为三角函数.
2.三角函数的定义域

三角函数
sinα cosα

定义域 R
R {α|α≠kπ+ ,k∈Z} 返回目录
π 2

tanα

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3.三角函数在各象限的符号
根据三角函数的定义,三角函数在各象限的符号如表 所示: Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

sinθ,cscθ cosθ,secθ tanθ,cotθ

+ + +

+ -

+

+ -

可以采用“一全正,二正弦,三两切,四余弦,余正割随 着正余弦”的记忆方法.

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4.同角三角函数的基本关系式 2 2 基本关系式: sin α+cos α =1,tanα= 补充:tan2α+1= cotα= 5.诱导公式
cosα sinα

sinα cosα

.

sec2α ,cot2α+1= ,tanα·cotα= 1 ,cosα·secα= 1 1 .

csc2α , ,

sinα·cscα=

(1)角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系

cos(α+k·2π)=
sin(α+k·2π)= tan(α+k·2π)=

cosα sinα tanα

;
; . 返回目录

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(2)角α与-α的三角函数间的关系 -sinα sin(-α)= ;
cos(-α)= tan(-α)= cosα -tanα ; . -sinα -cosα tanα

(3)角α与α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数间的关系

sin[α+(2k+1)π]=
cos[α+(2k+1)π]= tan[α+(2k+1)π]=

;
; .

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π (4)角α与α+ 的三角函数间的关系 2 π π -sinα ;sin(α+ ) cos(α+ )= = 2 2 π π cotα tan(α+ )= ;cot(α+ )= 2 2

cosα -tanα

; .

(5)角α与-α+π2的三角函数间的关系
π cos(-α+ ) = 2 π tan(-α+ )= 2

sinα ;sin(-α+ cotα ;cot(-α+

π )= 2 π )= 2

cosα tanα

; .

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考点1

三角函数的定义

设α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,cosα=
2 x,求sinα和tanα. 4

5 ),且

【分析】若能求出问题中的未知数x,则由定义 sinα和tanα可求,解题技巧即是设法建立关于x的一个

方程.
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【解析】∵α是第四象限的角,∴x>0, 又P点到坐标原点O的距离r ? x 2 ? (-5) 2 , ∴由cosα ? x ? x ,得 r x2 ? 5 ∴x= 3 ,r=2 2 .

2x . ? 4 x2 ? 5

x

y - 5 10 y - 5 15 ∴sinα ? ? ,tanα ?? ? ? ?? . r 2 2 4 x 3 3

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容易出错的地方是得到x2=3后,不考虑P点 所在的象 限,x的取值分正负两种情况去讨论.一般地,在解此类问

题时,可以优先注意角α所在的象限,对最终结果作一个合
理的预测.

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已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα, tanα的值. 【解析】 ∵角α的终边在直线3x+4y=0上, ∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0), 则x=4t,y=-3t,

r ? x 2 ? y 2 ? (4t) 2 ? (-3t) 2 ? 5 | t |,
当t>0时,r=5t,

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y - 3t 3 x 4t 4 sina ? ? ?? , cosa ? ? ? , r 5t 5 r 5t 5 y - 3t 3 tan? ? ? ?? , x 4t 4 y - 3t 3 当t<0时,r=-5t, sina ? ? ? , r - 5t 5 x 4t 4 cosa ? ? ?? , r - 5t 5 y - 3t 3 tan? ? ? ?? , x 4t 4 4 3 综上可知,当t>0时,sinα= ? ,cosα= ,tanα= 5 5 3 3 4 t<0时,sinα= ,cosα=,tanα=. 5 4 5

3 ? ;当 4

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考点2

单位圆与三角函数线

[2010年高考四川卷](1)①证明两角和的余弦 公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

②由C(α+β)推导两角和的正弦公式
S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 求cosC.
1 3 (2)已知△ABC的面积S= ,AB· AC=3,且cosB= , 2 5

【分析】利用单位圆证明①.

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【解析】(1)①如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O, 并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边 交⊙O于点P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于点P3,角-β 的始边为OP1,终边交⊙O于点P4.则 P1(1,0),P2(cosα,sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β)), P4(cos(-β),sin(-β)). 由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,则 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)= [cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ). ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
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? ? -α)=sinα,sin( -α)=cosα, 2 2 ? sin(α+β)=cos[ -(α+β)] 2 ? =cos[ ( -α)+(-β)] 2 ? ? =cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β) 2 2

②由①易得cos(

=sinαcosβ+cosαsinβ, ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

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(2)由题意,设△ABC的角B,C的对边分别为b,c,则S=
1 1 bcsinA= ,AB· AC=bccosA=3>0, 2 2 ∴A∈(0, 1 ),cosA=3sinA. 2

又sin2A+cos2A=1,
∴sinA= 10 ,cosA= 3 10
10 10 由cosB= 3 ,得sinB= 4 . 5 5

.

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= 10 .
10

故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-

10 . 10

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本题利用单位圆证明了两角和的余弦公式,同

时考查了诱导公式,同角三角函数的关系等基础知
识及运算能力.

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? ,求证: 2 (1)sinα+cosα>1; (2)sinα<α<tanα.

已知0<α<

证明:如图,设α的终边与单位

圆交于P点,作PM⊥x轴,垂足
为M,过点A(1,0)作AT⊥x轴, 交α的终边于T,则 sinα=MP,cosα=OM,tanα=A T. 返回目录

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(1)在△OMP中,∵OM+MP>OP,
∴cosα+sinα>1.

(2)连结PA,则S△OPA <S扇形OPA <S△OTA,

1 1 1 即 OA·MP< OA·α< OA·AT, 2 2 2
即sinα<α<tanα.

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考点3 同角三角函数间的关系
1 已知 ? <x<0,sinx+cosx= 2 5

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?

.

(1)求sinx-cosx的值; 1 (2)求 的值. 2 2 cos x - sin x 1 【分析】 (1)由sinx+cosx= 及sin2x+cos2x=1可 5 求出sinx,cosx的值,从而求出 sinx-cosx 的值;另外 ,由 ? ? <x<0,可求出sinx<0,cosx>0,从而判定sinx-cosx的 2 符号,只需求(sinx-cosx)2即可. 返回目录

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2 2 1 cos x ? sin x (2)由(1)可求出tanx,而 ? 2 2 cos x - sin x cos 2 x - sin 2 x 想法使分子、分母都出现tanx即可.

【解析】 (1)解法一:联立方程: 1 sinx+cosx= , ① 5 sin2x+cos2x=1, ② 1 由①得sinx= -cosx,将其代入②,整理得 5 25cos2x-5cosx-12=0. 3 sinx=? 5 7 . ? ∵ <x<0,∴ ∴ sinx-cosx=2 cosx= 4 , 5 5

?

?

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1 解法二:∵sinx+cosx= , 5 1 2 2 ( ∴(sinx+cosx) = ) , 5 1 24 即1+2sinxcosx= ,∴2sinxcosx=. 25 25

∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x 24 29 =1-2sinxcosx=1+ = . 25 25 ? 又∵ ? <x<0,∴sinx<0,cosx>0, 2 ∴sinx-cosx<0.
由①②可知,sinx-cosx=- 7 . 5





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(2)由已知条件及(1)可知 1 sinx+cosx= 5 解得 sinx-cosx=- 7 , 5 3 ∴tanx=- . 4 2 2 1 sin x ? cos x 又∵ ? 2 2 cos x - sin x cos 2 x - sin 2 x

?

?

3 sinx=5 4 cosx= , 5

sin 2 x ? cos 2 x 3 2 (? ) ? 1 2 2 tan ? ? 1 25 cos x 4 ? ? ? ? 2 2 2 cos x - sin x 1 ? tan ? 1 ? ( ? 3 ) 2 8 4 cos 2 x

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(1)方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要
的作用,一定要注意其应用.

(2)注意sinx+cosx,sinx· cosx,sinx-cosx三者间的相
t2 - 1 t? 2 互转化,若令sinx+cosx=t,则sinx· cosx= 2

?

?

.

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已知sinθ+cosθ=
(1)tanθ;

1 ,θ∈(0,π).求值: 5
(3)sin3θ+cos3θ.

(2)sinθ-cosθ;

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1 解法一:∵sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π), 5 1 ∴(sinθ+cosθ)2= =1+2sinθcosθ, 25 ∴sinθcosθ= ? 12 <0. 25 由根与系数的关系知, 1 12 2 sinθ,cosθ是方程x - x=0的两根, 5 25 4 3 解方程得x1= ,x2=- . 5 5 4 3 ∵sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ= ,cosθ=- . 5 5 4 7 ∴(1)tanθ=- .(2)sinθ-cosθ= . 3 5 37 (3)sin3θ+cos3θ= . 125

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解法二: (1)同解法一. (2) (sinθ-cosθ)2=1-2sinθ·cosθ 12 49 =1-2〓()= . 25 25 ∵sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ-cosθ>0, 7 ∴sinθ-cosθ= . 5 (3)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)= 1 12 37 〓1+ = . 5 25 125

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考点4

求值问题

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tan? ? -1 ,求下列各式的值: tan? - 1 (1) sin? - 3cos? ; sin? ? cos?

已知

(2)sin2α+sinαcosα+2.
【分析】由已知可以求出tanα,再由同角三角函 数关系式可以求得sinα和cosα,进而求出(1)、(2)的 值.但实际操作中,往往借助题目条件的特殊性来整

体考虑使用条件.
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【解析】由已知得tanα=

1 ?3 sin? - 3cos? tan ? ? 3 2 5 (1) ? ? ?? 1 sin? ? cos? tan ? ? 1 3 ?1 2 (2)sin2α+sinαcosα+2

1 . 2

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=sin2α+sinαcosα+2(cos2α+sin2α)

3sin 2a ? sinacosa ? 2cos 2a ? sin 2a ? cos 2a 1 2 1 3( ) ? ? 2 3tan 2a ? tana ? 2 13 2 2 ? ? ? 2 1 2 tan a ? 1 5 ( ) ?1 2

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形如asinα+bcosα和sinαcosα+ccos2α

的式子分别称为关于sinα,cosα的一次齐次式和二次
齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整 体代入方法可供使用.

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a 已知tan =2,求: 2

? (1)tan(α+ )的值; 4 6sina ? cosa (2) 的值. 3sina - 2cosa

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a (1)? tan ? 2, 2

a 2tan 2? 2 4 2 ? tana ? ? ?- . a 1?4 3 1 - tan 2 2 ? ? tana ? tan 4 tana ? 1 tana ? ? ? ? 4 1 - tana
1 - tanatan 4 4 ?1 1 3 ? ?? 4 7 1? 3 ?
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(2)由(1)得tanα= -

4 , 3 4 6(- ) ? 1 6sina ? cosa 6tana ? 1 7 3 ? ? ? . 3sina - 2cosa 3tana - 2 3(- 4 ) - 2 6 3

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考点5

诱导公式

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化简:
cos(? ? ?) cos(? ? 2? ) (1) ? cos ?[cos(? ? ?) ? 1] sin( ? ? 3? ) cos(? ? ? ) ? sin( 3? ? ?) 2 2 sin( k? ? ? ) cos[(k ? 1)? ? ?] ( 2) ,k ? Z sin[( k ? 1)? ? ?] cos(k? ? ? )

【分析】(1)直接利用诱导公式. (2)对k是偶数还是奇数分类讨论. 返回目录

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【解析】 (1)原式 =

? cos ? cos ? ? cos ?( ? cos ? ? 1) cos ?( ? cos ?) ? cos ? ? 1 1 2 ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin 2 ?

(2)当k为偶数时,记k=2n(n∈Z), 原式=
sin( 2n? ? ? ) cos[(2n ? 1)? ? ?] sin[( 2n ? 1)? ? ?] cos(2n? ? ? ) ? sin( ?? ) cos(?? ? ? ) ? sin ?( ? cos ? ) ? ? ?1 sin( ? ? ? ) cos ? ? sin ? cos ?

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当k为奇数时,记k=2n+1(n∈Z), 原式= sin[( 2n ? 1)? ? ? ) cos[(2n ? 1 ? 1)? ? ?]
sin[( 2n ? 1 ? 1)? ? ?] cos[(2n ? 1)? ? ?] sin( ? ? ? ) cos ? sin ? cos ? ? ? ? ?1 cos(? ? ? ) sin ? sin ?( ? cos ? )

综上,原式=-1.

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(1)应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负 号”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题,都可以

通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为
“负角化正角”→“正角化锐角”→求值. (2)使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的 符号,如果出现kπ〒α的形式时,需要对k的值进行分类讨 论,以确定三角函数值的符号.

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1 已知cos(π+α)=- ,且α是第四象限角,计算: 2 (1)sin(2π-α);

(2) sin[ ? ? ( 2n ? 1)?] ? sin[ ? ? ( 2n ? 1)?] (n ? Z)

sin( ? ? 2n? ) ? cos(? ? 2n? )
1 . 2 1 , 2

【解析】∵cos(π+α)=∴-cosα=- 1 ,cosα= 2 又∵α是第四象限角,

∴sinα= ? 1 ? cos 2 ? ? ?

3 2

.

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(1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α)=-sinα=
(2) sin[ ? ? (2n ? 1)?] ? sin[ ? - (2n ? 1)?] sin( ? ? 2n? ) ? cos(? - 2n? ) sin(2n ? ? ? ? ? ) ? sin(-2n? ? ? ? ? ) ? sin( ? ? 2n? ) ? cos(? - 2n? ) sin( ? ? ? ) ? sin( ?? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? sin( ? ? ? ) ? 2 sin ? 2 ? ? ?? ? ?4 sin ? ? cos ? sin ? cos ? cos ?

.

3 2

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考点6

诱导公式在三角形中的应用

在△ABC中,若sin(2π-A)=- 2sin(π-B),

cosA=3

2 cos(π-B),求△ABC的三内角.
【分析】本题首先利用诱导公式把所给两个等式 化简,然后利用sin2α+cos2α=1,求出cosA的值,再利用 A+B+C=π进行求解..

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【解析】由已知得

sinA=2sinB,



3cosA=2cosB.
①2+②2得2cos2A=1, 即cosA=〒 (1)当cosA=
2. 2



2 3 时,cosB= , 2 2

又A,B是三角形内角,
? ? ∴A= ,B= , 6 4 7? ∴C=π-(A+B)= . 12

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2 2 3 . 2

(2)当cosA=? 4

时,cosB=? 6 3 ? 4 7? ,C= 12

又A,B是三角形内角,∴A= 综上知,A= ,B=

,B= .

5 ? 6

,不合题意.

诱导公式在解三角形时应用广泛,注意其正确应 用,特别是诱导公式的口诀要记熟会用.

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在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c边最长,

并且sin2A+sin2B=1.
(1)求证:△ABC为直角三角形; (2)当c=1时,求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)证明:∵c边为最长边,

∴A,B均为锐角.
由sin2A+sin2B=1得sin2A=cos2B. ∵sinA,cosB均为正数,∴sinA=cosB.
? ∴sinA=sin( -B). 2

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? ? 又A, 2 -B∈(0, 2 ), ? ? ? ∴A= -B,∴A+B= ,即C= . 2 2 2 ∴△ABC为直角三角形. 1 1 1 2 2 (2)△ABC的面积S= ab= ·2ab≤ (a +b ). 2 4 4 1 由于a2+b2=c2=1,∴S≤ . 4 当且仅当a=b= 2 时,上式取等号. 2 1 ∴△ABC面积的最大值为 . 4

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同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变
名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符 号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行 开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化 简时,常用方法有:

余弦函数;

sinx (1)弦切互化法主要利用公式tanx= 化成正弦、 cosx
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(2)和积转换法:如利用

(sinθ〒cosθ)2=1〒2sinθcosθ的关系进行变形、转化;
(3)巧用“1”的变换: 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ(1+ )=tan

=…. ? 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整
式化.
4

1 tan 2?

3.证明三角恒等式的主要思路有:(1)左右互推法:由
较繁的一边向简单一边化简;(2)左右归一法,使两端化异 为同;把左右式都化为第三个式子;(3)转化化归法:先将要 证明的结论恒等变形,再证明. 返回目录

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4.解三角函数问题时常用方法有:代入法、消元法、 转化化归法、方程与分类讨论思想方法等. 5.已知一个角的某一函数值,求该角的其他三角函数 值时,可以利用构造直角三角形,结合该角的范围求值.

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