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人大附中高三尖子生训练随机变量及其分布(人教版)


北京市人大附中高三数学尖子生专题训练:随机变量及其分布 I 卷 一、选择题 1.设随机变量ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ <2a-3)=P(ξ >a+2),则 a 的值为( ) 7 5 A. B. 3 3 C.5 D.3 【答案】A 2.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,求这粒种子能成 长为幼苗的概率为

( ) A.0.72 8 B. 9 C.0.36 4 D. 9 【答案】A 3.若事件 A,B,C 相互独立,且 P(A)=0.25,P(B)=0.50,P(C)=0.40,则 P(A+B+C)=( ) A.0.80 B.0.15 C.0.55 D.0.775 【答案】D 4.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两 队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 5 3 4 【答案】D ???? ??? ? ??? ? 5.已知 k∈Z, AB =(k,1), AC =(2,4),若| AB |≤ 10,则△ABC 是直角三角形的概率是( ) 1 2 A. B. 7 7 3 4 C. D. 7 7 【答案】C 6.两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为 a,b,则产生故障的电脑台数的均值为( ) A.ab B.a+b C.1-ab D.1-a-b 【答案】B 2 7.已知随机变量ξ 服从正态分布 N(2,σ ),且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 【答案】C 8 7 8.根据历年气象资料统计,某地四月份刮东风的概率是 ,刮东风又下雨的概率是 ,则该地四月份在刮东风 30 30 条件下下雨的概率是( ) 8 7 A. B. 30 30 7 8 C. D. 8 7 【答案】C 9.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲 队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两
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队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( 1 3 A. B. 2 5 2 3 C. D. 3 4 【答案】D

)

2 3 10.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一等品相互独立, 3 4 则这两个零件中恰有一个是一等品的概率为( ) 1 5 A. B. 2 12 1 1 C. D. 4 6 【答案】B 11.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种 的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 【答案】B 12.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列如下表所示,

则 q=( A.1 C.1+

) B.1± 2 2 D.1- 2 2 2 2

【答案】D 13.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件 B=“取到的 2 个数均为 偶数” ,则 P(B|A)=( ) 1 1 2 1 A. B. C. D. 8 4 5 2 【答案】B 14.某单位在一次春游踏青中,开展有奖答题活动.从 2 道文史题和 3 道理科题中不放回地依次抽取 2 道题, 在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( ) 9 6 A. B. 25 25 3 1 C. D. 10 2 【答案】D

II 卷 二、填空题 1 1 1 15 .甲射击命中目标的概率是 ,乙命中目标的概率是 ,丙命中目标的概率是 .现在三人同时射击目标,则目 2 3 4 标被击中的概率为_____ ___. 3 【答案】 4 16.甲、乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜 2 的概率均为 ,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为________. 3 8 【答案】 27 5 17.设随机变量 X~B(2,p),Y~B(4,p),若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥1)=________. 9 65 【答案】 81 18.甲、乙两人玩套圈游戏,套中的概率分别为 0.7 和 0.8,如果每人都扔两个圈,甲套中两次而乙套中一次 的概率是________. 【答案】0.1568 19.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ 的概率分布律如下表:

请小牛同学计算ξ 的数学期望.尽管“! ”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?” 处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ =________. 【答案】2 1 1 1 20.甲射击命中目标的概率是 ,乙命中目标的概率是 ,丙命中目标的概率是 .现在三人同时射击目标,则目 2 3 4 标被击中的概率为________. 3 【答案】 4

三、解答题 21.今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们可以由此计算出自己每天 的碳排放量.例如:家居用电的碳排放量(千克)=耗电度数×0.785,汽车的碳排放量(千克)=油耗公升数 ×0.785 等.某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查.若生活习 惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” .这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如 下:

(1)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (2)A 小 区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列.如果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 人,记ξ 表示 25 人中低碳族的人数,求 E(ξ ). 【答案】(1)记这4 人中恰有 2 人是低碳族为事件 A. 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 P(A)= × × × +4× × × × + × × × = . 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100 1 1 a× ×(1- )2 2 5 8 (2)设 A 小区有 a 人,2 周后非低碳族的概率 P= = , a 25 8 17 2 周后低碳族的概率 P=1- = , 25 25 依题意ξ ~B(25, 17 17 ),所以 E(ξ )=25× =17. 25 25
2 2

22.已知关于 x 的一元二次方程 x -2(a-2)x-b +16=0. (1)若 a、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概 率; (2)若 a∈[2,6],b∈[0,4],求方程没有实根的概率. 【答案】(1)基本事件(a,b)共有 36 个, 2 方程有正根等价于 a-2>0,16-b >0,Δ ≥0, 2 2 即 a>2,-4<b<4,(a-2) +b ≥16. 设“方程有两个正根”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共 4 个, 4 1 故所求的概率为 P(A)= = ; 36 9 (2)试验的全部结果构成区域Ω ={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},其面积为 S(Ω )=16. 设“方程无实根”为事件 B,则构成事件 B 的区域为 B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16}, 1 2 其面积为 S(B)= ×π ×4 =4π , 4 4π π 故所求的概率为 P(B)= = . 16 4 23.一次数学模拟考试,共 12 道选择题,每题 5 分,共计 60 分.小张所在班级共有 40 人,此次考试选择题得 分情况统计表: 得分(分) 40 45 50 55 60 百分率 15% 10% 25% 40% 10%
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现采用分层抽样的方法从此班抽取 20 人的试卷进行选择题质量分析. (1)应抽取多少张选择题得 60 分的试卷? (2)若小张选择题得 60 分,求他的试卷被抽到的概率. 【答案】(1)得 60 分的人数 40×10%=4. 40 4 设抽取 x 张选择题得 60 分的试卷,则 = , 20 x ∴x=2,故应抽取 2 张选择题得 60 分的试卷.

(2)设小张的试卷为 a1,另三名得 60 分的同学的试卷为 a2,a3,a4,所有抽取 60 分试卷的方法为:(a1,a2),(a1, a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4)共 6 种,其中小张的试卷被抽到的抽法共有 3 种,∴小张的试 3 1 卷被抽到的概率为 P= = . 6 2 1 2 24.在 2011 年 5 月某电视台进行的一场抢答比赛中,某人答对每道题的概率都是 ,答错每道题的概率都是 , 3 3 答对一道题积 1 分,答错一道题积-1 分,答完 n 道题后的总积分记为 Sn. (1)求答完 5 道题后,S1=S5=1 的概率; (2)答完 5 道题后,设ξ =|S5|,求ξ 的概率分布及数学期望. 【答案】(1)根据分析,随机事件“答完 5 道题后,S1= S5=1”的概率是 1 2 1 8 P= ×C2? ?2×? ?2= . 4 3? ?3? 81 3 ? (2)若答对 0 或者 5 道题,则ξ =5; 若答对 1 道题或者 4 道题,则ξ =3; 若答对 2 道题或者 3 道题,则ξ =1. 2 3 2 2 40 2 1 2 3 1 3 所以 P(ξ =1)=C5? ? ×? ? +C5? ? ×? ? = ; ?3? ?3? ?3? ?3? 81 1 1 2 2 10 P(ξ =3)=C1× ×? ?4+C4×? ?4× = ; 5 5 3 ?3? ?3? 3 27 1 2 11 P(ξ =5)=? ?5+? ?5= . ?3? ?3? 81 所以ξ 的概率分布为
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40 10 11 185 +3× +5× = . 81 27 81 81 25.甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜 的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立.已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 X 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 X 的分布列及数学期望. 【答案】设 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜,i=3,4,5, Bj 表示事件:第 j 局乙获胜:j=3,4. (1)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利. 因前 2 局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲胜 2 局,从而 B=A3·A4 +B3·A4·A5+A3·B4·A5, 由于各局比赛结果相互独立,故 P(B)=P(A3·A4)+P(B3·A4·A5)+P(A3·B4·A5) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A4) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0 .4×0.6=0.648. (2)X 的可能取值为 2,3. 由于各局比赛结果相互独立,所以 P(X=2)=P(A3·A4+B3·B4) =P(A3·A4)+P(B3·B4) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.6×0.6+0.4×0.4=0.52. P(X=3)=1-P(X=2)=1-0.52=0.48. X 的分布列为 ξ 的数学期望 E(ξ )=1×
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EX=2×P(X=2)+3×P(X=3)

=2×0.52+3×0.48=2.48. 26.甲袋和乙袋中装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2m 个球,从甲袋中摸出 1 2 个球为红球的概率为 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2. 5 (1)若 m=10,求甲袋中红球的个数; 1 (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是 ,求 P2 的值; 3 1 (3)设 P2= , 若从甲、 乙两袋中各自有放回地摸球, 每次摸出 1 个球, 并且从甲袋中摸 1 次, 从乙袋中摸 2 次. 设 5 ξ 表示摸出红球的总次数,求ξ 的概率分布和数学期望. 【答案】(1)设甲袋中红球的个数为 x, 2 依题意得 x=10× =4. 5 2 m+2mP2 5 1 (2)由已知,得 = , 3m 3 3 解得 P2= . 10 3 4 4 48 (3)P(ξ =0)= × × = , 5 5 5 125 2 4 4 3 1 4 56 P(ξ =1)= × × + ×C1× × = , 2 5 5 5 5 5 5 125 2 1 4 3 1 19 P(ξ =2)= ×C1× × + ×? ?2= , 2 5 5 5 5 ?5? 125 2 1 2 P(ξ =3)= ×? ?2= . 5 ?5? 125 所以ξ 的概率分布为

48 56 19 2 4 +1× +2× +3× = . 125 125 125 125 5 27.某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加.为此,设计了一个挑选 方案:选手从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题.通过考察得知:6 道备选题中选手甲有 4 道题能够答对, 2 2 道题答错;选手乙答对每题的概率都是 ,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别 3 为ξ ,η . (1)写出ξ 的概率分布列(不要求计算过程),并求出 E(ξ ),E(η ); (2)求 D(ξ ),D(η ).请你根据得到的数据,建议该单位派哪个选手参加竞赛? 【答案】(1)ξ 的概率分布列为 所以 E(ξ )=0×

1 3 1 所以 E(ξ )=1× +2× +3× =2. 5 5 5 2 2 由题意,η ~B(3, ),E(η )=3× =2. 3 3 1 0 1 3 或者,P(η =0)=C3( ) = ; 3 27 2 1 2 P(η =1)=C1( )1( )2= ; 3 3 3 9

2 1 4 3 3 9 2 8 P(η =3)=C3( )3= . 3 3 27 1 2 4 8 所以,E(η )=0× +1× +2× +3× =2. 27 9 9 27 1 3 1 2 2 2 2 (2)D(ξ )=(1-2) × +(2-2) × +(3-2) × = , 5 5 5 5 2 2 1 2 由η ~B(3, ),D(η )=3× × = . 3 3 3 3 可见,E(ξ )=E(η ),D(ξ )<D(η ), 因此,建议该单位派甲参加竞赛. 2 28.设 S 是不等式 x -x-6≤0 的解集,整数 m,n∈S. (1)记使得“m+n=0 成立的有序数组(m,n)”为事件 A,试列举 A 包含的基本事件. 2 (2)记ξ =m ,求ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ ). 2 【答案】(1)由 x -x-6≤0 得-2≤x≤3, 即 S={x|-2≤x≤3}, 由于整数 m,n∈S 且 m+n=0,所以 A 包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于 m 的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3, 2 所以ξ =m 的所有不同取值为 0,1,4,9, 1 2 1 2 1 1 且有 P(ξ =0)= ,P(ξ =1)= = ,P(ξ =4)= = ,P(ξ =9)= , 6 6 3 6 3 6 故ξ 的分布列为

P(η =2)=C2( )2( )= ; 3

1 1 1 1 19 所以 E(ξ )=0× +1× +4× +9× = . 6 3 3 6 6


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