nbhkdz.com冰点文库

广东省惠州市2015届高三4月模拟数学(理)试题 Word版含解析

时间:2016-05-09


广东省惠州市 2015 届高三模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | x ? 0 或 x ? 1, x ? R} , B ? x x ? 2, x ? R ,则 ( A. A ? B 【答案】A 【解析】 试题分析:∵集合 A

? {x | x ? 0 或 x ? 1, x ? R} , B ? x x ? 2, x ? R ,∴由集合的包含关 系可知 B ? A ,故选 A. 考点:集合的包含关系. 2.已知 b 为实数, i 为虚数单位,若 A. ?1 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ B. ?2 B. A ? B C. A ? B

?

?

)

D. A ? B ? ?

?

?

2 ? b ?i 为实数,则 b ? ( 1? i
C. 1 D. 2

)

2 ? bi (2 ? bi)(1 ? i) (2 ? b) ? (2 ? b)i ? ? ,∴ b ? ?2 ,故选 B. 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2

考点:复数的除法运算. 3.下列函数中,既是奇函数又存在极值的函数是 ( A. y ? x
3

)
?x

B. y ? x ?

1 x

C. y ? x ? e

D. y ? ln(? x)

【答案】B 【解析】 试题分析:由选项可知,A 选项: y ? x 单调递增(无极值) ,C、D 选项不是奇函数,只有 B
3

选项既为奇函数又存在极值.故选 B. 考点:函数的奇偶性、函数的极值.

-1-

?x ? 2 y ? 8 ? 4.若变量 x , y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值等于 ( ?0 ? y ? 3 ?
A.7 【答案】C B.8 C.10 D.11

)

考点:线性规划. 5.在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? AC ? 3 ,则 BC ? ( A. 3 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ AB ? AC ? 3 ? cos A ? B. 7 C. 19

??? ? ??? ?

)

D. 23

??? ? ????

1 ,又由余弦定理 2

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A 知 BC ? 7 .
考点:向量的数量积、余弦定理. 6.下列命题的说法 错误 .. 的是 ( )

A.若复合命题 p ? q 为假命题,则 p, q 都是假命题. B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.对于命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 . D.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” . 【答案】A 【解析】 试题分析:A 答案:若 p ? q 为假命题,则 p, q 至少有一个为假命题;

-2-

2 2 B 答案: x ? 3x ? 2 ? 0 的根为 x ? 1 或 x ? 2 ,所以“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分

不必要条件; C 答案:由命题的否定知 C 答案正确; D 答案:由逆否命题知 D 正确. 综上知:选 A. 考点:命题的否定、逆否命题、命题真假的判断. 7.多面体 MN ? ABCD 的底面 ABCD 矩形, 其正 (主) 视图和侧 (左) 视图如图, 其中正 (主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则该多面体的体积为 ( A. )

16 3

B. 6

C.

20 3

D. 6

【答案】C 【解析】 试题分析:用割补法可把几何体分割成三部分,可得 V ? 故选 C. 考点:三视图. 8.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的 导数, f ' '( x) 是 f '( x) 的导数,若方程 f ' '( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数

2? 2 20 ?1 ? , ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ?3 ?

y ? f ( x) 的“拐点” .某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ,任何一个三
次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。设函数 g ( x ) ? 则g? A.1 【答案】D 【解析】

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? , 3 2 12

? 1 ? ? 2 ? ? 2014 ? ?? g? ? ? ?? ? g ? ?? ( ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?
B. 2016 C. 2015

) D. 2014

? x) ? 0,即2 x ?1 ? 0 ,可 试题分析:依题意得: g ( ? x) ? x2 ? x ? 3, ? g( ? x) ? 2x ?1,由 g(
-3-

得x?

1 ?1? ?1 ? ,而 g ? ? ? 1 ,即函数 g ? x ? 的拐点为 ? ,1? ,即 g ?1 ? x ? ? g ? x ? ? 2 , 2 ?2? ?2 ?

所以 g ?

? 1 ? ? 2014 ? ? 2 ? ? 2013 ? ? 3 ? ? 2012 ? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? ? 2, ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?
2014 ? 2 ? 2014 ,故选 D. 2

所以所求为

考点:新定义题. 第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 题,每小题 5 分,满分 30 分,其中 13 题第一问 2 分,第二问 3 分。 ) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.设 a ? 0, b ? 0 ,若 a ? b ? 1 ,则 【答案】4 【解析】 试题分析:

1 1 ? 的最小值为__________. a b

1 1 1 1 b a b a ? ? ( ? )(a ? b) ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 a ? b 时取等 a b a b a b a b

1 1 ? 号,所以 a b 的最小值为 4.
考点:均值定理. 10.计算积分 【答案】1 【解析】 试题分析:

?

e

1

1 dx ? __________. x

?

e

1

1 e dx ? ln x 1 ? ln e ? ln1 ? 1 . x
y (度)与当天平均气温 x (°C)之间的关系,随机统计了某 4
y

考点:积分运算. 11.某单位为了了解用电量

天的当天平均气温与用电量 (如右表) 。 由数据运用最小二乘法得线性回归方程 ^ ? ?2 ? x ? a , 则 a ? __________. 平均气温 x 18 13 10 -1

-4-

(°C) 用电量 y (度) 25 35 37 63

【答案】60 【解析】 试题分析: x ?

18 ? 13 ? 10 ? 1 25 ? 35 ? 37 ? 63 ? 10 , y ? ? 40 ,样本中心为 (10, 40) , 4 4

回归直线经过样本中心,所以 40 ? ?2 ?10 ? a ? a ? 60 . 考点:线性回归方程. 12.如图所示的程序框图,若输入 n ? 2015 ,则输出的 s 值为__________. 开始

s?0

输入 n

n ? n ?1

s ? s ? sin


n? 3


结束

n ?1

输出 s

【答案】 【解析】

3 2
2014? 2013? 2? ? ? sin ? ?? ? sin ? sin , 3 3 3 3

试题分析:由程序框图知 s ? sin 又 sin

?
3

? sin

2? 6? ? ?? ? sin ? 0 以及周期的性质,化简后得 3 3

s ? sin

?
3

? sin

2? 3? 4? 3 . ? sin ? sin ? 3 3 3 2

考点:程序框图. 13.将自然数按如图排列,其中处于从左到右第 m 列从下到上第 n 行的数记为 A(m, n) , 如 A(3,1) ? 4 , A(4,2) ? 12 ,则 A(1, n) ? __________; A(10,10) ? __________.

-5-

? ? ? ? ? ? ? ? ? 28 ? ? ? ? ? ? ? ? 21 27 ? ? ? ? ? ? ? 15 20 26 ? ? ? ? ? ? 10 14 19 25 ? ? ? ? ? 6 3 1 9 5 2 13 18 24 ? ? ? ? 8 12 17 23 ? ? ? 4 7 11 16 22 ? ?

【答案】55,181. 【解析】 试题分析:由题意, A(1, n) ? 1 ? 2 ? ?? ? n ? ∴ A(1,10) ?

10 ? 11 ? 55 ,∴ A(10,10) ? 55 ? 10 ? 11 ? ?? ? 18 ? 181 . 2

n(n ? 1) , 2

考点:等差数列的前 n 项和. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题. 14.(极坐标与参数方程选做题)若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? 上,则 | PF | 等于______. 【答案】4 【解析】
2 试题分析:抛物线为 y ? 4 x , | PF | 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即距离为 4.

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

( t 为参数)

考点:抛物线的几何性质. 15.(几何证明选讲选做题)如图,PA 与圆 O 相切于 A,PCB 为圆 O 的割线,并且不过圆心 O , 已知 ?BPA ? 30? , PA ? 2 3 , PC ? 1 ,则圆 O 的半径等于__________.

【答案】 【解析】

-6-

试题分析:由圆的性质 PA 2 =PC·PB,得 PB=12,连接 OA 并反向延长交圆于点 E,在直角三角 形 APD 中可以求得 PD=4,DA=2,故 CD=3,DB=8,记圆的半径为 R,由于 ED·DA=CD·DB,因此

(2R ? 2) ? 2 ? 3 ? 8 ,解得 R=7.

考点:圆的性质. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? (1)求 f ( x ) 的表达式;

?
6

) ( A ? 0 , ? ? 0) 的最小正周期为 T ? 6? ,且 f (2? ) ? 2 .

16 5? 20 ) ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. , f (3? ? 2 5 2 13 x ? 63 【答案】 (1) f ( x ) ? 4sin( ? ) ; (2) cos(? ? ? ) ? . 3 6 65
(2)设 ? , ? ? [0,

?

] , f (3? ? ? ) ?

【解析】 试题分析:本题主要考查三角函数的周期、诱导公式、平方关系、两角差的余弦公式等基础 知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,利用 T ? 再利用 f (2? ) ? 2 解三角

1 2? ,求出 ? ? , 3 |? |

-7-

考点:三角函数的周期、诱导公式、平方关系、两角差的余弦公式. 17.(本小题满分 12 分) 一个盒子内装有 8 张卡片,每张卡片上面写着 1 个数字,这 8 个数字各不相同,且奇数有 3 个,偶数有 5 个.每张卡片被取出的概率相等. (1)如果从盒子中一次随机取出 2 张卡片,并且将取出的 2 张卡片上的数字相加得到一个 新数,求所得新数是奇数的概率; (2)现从盒子中一次随机取出 1 张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上 写着的数是偶数则停止取出卡片,否则继续取出卡片.设取出了 ? 次才停止取出卡片,求 ? 的分布列和数学期望. 【答案】 (1) ; (2). 【解析】 试题分析:本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识,考查学生运 用所学知识解决实际应用问题的能力、计算能力.第一问,因为一个奇数加一个偶数得奇数,
2 则需取一个奇数、一个偶数,即 C3C5 ,总事件数为 C8 ,最后计算概率;第二问,先求出 ? 满 1 1

-8-

足的所有取值, 再分别计算出每种情况的概率, 列出分布列, 利用 E? ? ?1P 1 ? ?2 P 2 ? ? ? ?n P n 计算数学期望. 试题解析:(1)记事件 A 为“任取 2 张卡片,将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ?? 1分
1 1 C3 ? C5 15 ? 因为奇数加偶数可得奇数,所以 P( A) ? 2 C8 28

所以所得新数是奇数的概率等于

15 . 28

?????4 分 ?????5 分

(2) ? 所有可能的取值为 1,2,3,4, 根据题意得 P(? ? 1) ?
1 C5 5 ? , 1 C8 8

P(? ? 2) ?

1 1 C3 C5 15 ? ? , 1 1 C8 C7 56

1 1 1 1 1 1 1 C3 C5 C3 C5 C2 C2 C1 5 1 P(? ? 3) ? 1 ? 1 ? 1 ? , P(? ? 4) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? . ???????9 分 C8 C7 C6 56 C8 C7 C6 C5 56

故 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

5 8

15 56

5 56

1 56
?????10 分

5 15 5 1 3 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 56 56 56 2
考点:排列组合、古典概型、随机变量的分布列. 18.(本小题满分 14 分)

?????????12 分

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 90? ,平面

PAD ⊥底面 ABCD ,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA ? PD ? AD ? 2 ,BC ? 1 ,

CD ? 3 .
(1)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (2)若二面角 M ? BQ ? C 为 30? ,设 PM ? t ? MC ,试确定 t 的值.

-9-

【答案】 (1)证明详见解析; (2) t ? 3 . 【解析】 试题分析:本题考查平面与平面垂直的证明,求实数的取值.综合性强,难度大,是高考的 重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,合理地运用向量法进行解 题.第一问,先由 ABCD 为梯形,Q 为 AD 中点,得到 BCDQ 为平行四边形,通过 CD ? AD 进 行转换,得 BQ ? AD ,由面面垂直的性质得 BQ ? 平面 PAD,再由面面垂直的判定,得平面 PQB ? 平面 PAD;第二问,利用第一问的证明,得 BQ、AD、PQ 两两垂直,建立空间直角坐标系, 计算出平面 BQC 和平面 MBQ 的法向量,利用夹角公式,列方程解出 t 的值. 试题解析: (Ⅰ)证法一:∵AD∥BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
???????1 分 ???????2 分

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,???????4 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 证法二:AD∥BC,BC= ∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. ∵PA=PD,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ ? 平面PBQ, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)法一:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵面 PAD⊥面 ABCD,且面 PAD∩面 ABCD=AD,∴PQ⊥面 ABCD.?????7 分
- 10 -

???????5 分 ???????6 分

1 AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形, 2
???????1 分 ???????2 分 ???????3 分 ???????4 分 ???????5 分 ???????6 分

如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;??8 分

?

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) ,则

???? ? ???? ? PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ??9 分
t ? x ? ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ???? ? ???? ? ? 3t ? ,???10 分 ? PM ? t ? MC ,∴ ? y ? t ( 3 ? y ) ? ? y ? 1 ? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z ) ? 3 ? z? 1? t ?
在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? ? ? ? 1? t ,1? t ,1? t ? ?, ? ? ∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .??12 分

??? ?

???? ?

?

t

3t

3?

??

? ?? n?m t 3 ? ∵二面角 M ? BQ ? C 为 30°,∴ cos 30? ? ? ?? ? ,得 t ? 3 ??14 分 2 2 n?m 3? 0?t
法二:过点 M 作 MO // PQ 交 QC 于点 O ,过 O 作 OE ⊥ QB 交于点 E ,连接 ME , 因为 PQ ? 面 ABCD ,所以 MO ⊥面 ABCD ,由三垂线定理知 ME ⊥ QB , 则 ?MEO 为二面角 M ? BQ ? C 的平面角。????9 分(没有证明扣 2 分) 设 CM ? a ,则 PM ? a ? t , PC ? 7 ,

?

MO CM 1 ? ? ? MO ? 3a ?????10 分 , PQ CP 1 ? t 7

- 11 -

OE ⊥ QB , BC ⊥ QB ,且三线都共面,所以 BC // OE

?

EO QO PM t t ?a ? ? ? ? EO ? , ????11 分 BC QC PC 1 ? t 7
?

在 Rt ?MOE 中 tan ?MEO ? tan 30 ?

MO ,???13 分 EO
?????14 分

? MO ? 3 ? 3 EO t 3

解得 t ? 3

考点:面面垂直、向量法. 19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2 ? ( ? 1) ? an , n ? N * . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
n (2)设数列 2 ? an 的前 n 项和为 Tn , An =

2 n

?

?

1 1 1 2 1 + + +??+ .试比较 An 与 的大 T1 T2 T3 n ? an Tn

小. 【答案】 (1) an ? 【解析】 试题分析:本题主要考查等比数列的定义、通项公式、等差数列的前 n 项和、裂项相消法等 基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由

n 2 ; (2) An ? . n 2 nan

2 2 S n ? 2 ? ( ? 1)an ,转化出 S n ?1 ? 2 ? ( ? 1)an ?1 ,两式相减,利用 an ? Sn ? Sn?1 ,得 n n ?1 an an ?1 a ? 为常数,即证明数列 { n } 为等比数列,并求出通过公式,即可整理出 an 的值;第 n n ?1 n
二问,利用第一问的结论,得 2n an 的值,利用等差数列的前 n 项和求和,再利用裂项相消法

- 12 -

求 An 的值,将问题转化为比较

2n 2n ?1 与 ,作差比较大小. 2 n ?1 n

试题解析: (1)由 a1 ? S1 ? 2 ? 3a1 ? a1 ? 由 Sn ? 2 ? ?

1 , 2

???????1 分

?2 ? ? 2 ? ? 1? an ? Sn?1 ? 2 ? ? ? 1? an?1 ,其中 n ? 2 ?n ? ? n ?1 ? ? 2 ? ?2 ? ? 1? an ?1 ? ? ? 1? an ? n ?1 ? ?n ?
???????3 分

于是 an ? Sn ? Sn ?1 ? ? 整理得

an 1 an ?1 ? ? ? n ? 2? , n 2 n ?1
1 ? an ? ? 是首项及公比均为 的等比数列. 2 ?n?
n ?1

???????4 分

所以数列 ?

???????5 分

an 1 ? 1 ? ? ?? ? n 2 ?2?

?

n 1 ? an? n ,n ? N * n 2 2
n ?1

???????6 分

(2)由(1)得

an 1 ? 1 ? ? ?? ? n 2 ?2?

?

1 2n n ? n ? 1? 1 2 1 ? ?1 , ? ? 2? ? ? ???8 分 2 Tn n ? n ? 1? ? n n ?1 ?
???????9 分

于是 2 an ? n, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ?n ?
n

?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 2n ?1 An ? 2 ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? n n ? 1 ?? n ? 1 ?? 2 ? ? 2 3 ?

2 2n ?1 2n n 2n ?1 2n ? 又 与 的大小,即 2 与 的大小 2 ,问题转化为比较 2 n ?1 n ?1 nan n n n
2n ? n ? n ? 2 ? ? 1? 2n n ? ,? f ? n ? 1? ? f ? n ? ? ? 设 f ? n? ? 2 , g ? n? ? ???????10 分 2 n n ?1 n n ? 1 ? ? ? ? ? ?
f n ?1 ) ?( f n)>0 ,∴当 n ? 3 时 f (n) 单调递增, 当 n ? 3 时, ( f n) ?( f 4) ? 1 ,而 ( g n)< 1, ∴当 n ? 4 时, ( f n)>( g n) ∴当 n ? 4 时, ( f n) ?g (n) 经检验 n =1,2,3 时,仍有 ( f n)>( g n), 因此,对任意正整数 n ,都有 ( 即 An<
???????12 分 ???????13 分

2 . nan

???????14 分

- 13 -

考点:等比数列的定义、通项公式、等差数列的前 n 项和、裂项相消法. 20.(本小题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 上的点均在圆 C2 : ( x ? 5) ? y ? 9 外, 且对 C1 上任意一点 M ,
2 2

M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
(1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于 点 A, B 和 C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B , C , D 的纵坐标之积为定值. 【答案】 (1) y 2 ? 20 x ; (2)证明详见解析. 【解析】 试题分析:本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、点到直线的距离、韦达定理、曲线与 方程、直线与曲线的位置关系等基础知识,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程 思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直 线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到 A、B、C、D 四点纵坐标之积为定值, 体现“设而不求”思想. 试题解析: (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得 x ? 2 ? 1分 易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 . 化简得曲线 C1 的方程为 y 2 ? 20 x . ???????4 分

( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,??

解法 2 :? 曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的距离, 所以曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点,直线 x ? ?5 为准线的抛物线,????? 2 分 故其方程为 y 2 ? 20 x . ???????4 分

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,
切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? 4) , kx ? y ? y0 ? 4k ? 0 即于是

5k ? y0 ? 4k k 2 ?1

? 3.

- 14 -

整理得 72k ? 18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.
2 2



???????6 分

设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根, 故 k1 ? k2 ? ? 由?

18 y0 y ?? 0. 72 4



???????7 分

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 2 得 k1 y ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x, ?

③???????8 分

设四点 A, B, C , D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则是方程③的两个实根, 所以 y1 ? y2 ?

20( y0 ? 4k1 ) . k1

④???????9 分

同理可得 y3 ? y4 ?

20( y0 ? 4k2 ) . k2

⑤???????10 分

于是由②,④,⑤三式得

y1 y2 y3 y4 ?

2 y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? ? ? ? k1k2 k1k2

?

400 y?2 ? y?2 ? 16k1k 2 ? 6400.???????13 分 k1k 2

?

?

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值 6400. ?14 分 考点:抛物线的标准方程及其几何性质、点到直线的距离、韦达定理、曲线与方程、直线与 曲线的位置关系. 21.(本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) =

x?a . x ? 2a

4? 上的最大值为 g (a) ,求 g (a) 的表达式; (1)记 f ( x) 在区间 ?0,
(2)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相 垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

? 4?a ,0 ? a ?1 ? ? 4 ? 2a 【答案】 (1) g ( a ) ? ? ; (2)存在 a 使函数 f ( x ) 在区间(0,4)内的图象上存 1 ? ,a ?1 ? ? 2
- 15 -

在两点, 在该两点处的切线互相垂直,且 a 的取值范围是 (0, ) . 【解析】

1 2

当 1 ? a ? 4 时, g (a ) = f (0) =

1 . 2

???????8 分

? 4?a , 0 ? a ? 1, ? ? 4 ? 2a g ( a ) 综上所述, =? ? 1 , a ? 1. ? ?2

???????9 分

(2)由(1)知,当 a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减,故不满足要求.????10 分

- 16 -

考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求切线的方程、利用导数求函数 的极值和最值.

- 17 -


广东省惠州市2015届高三4月模拟数学文试题 Word版

广东省惠州市2015届高三4月模拟数学试题 Word版_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2015 届高三模拟考试数 学试题 (文科) 2015.04 本试卷共 4 页,21 小题,...

2015年4月广东省惠州市高三模拟数学文试题 Word版含答案

2015年4月广东省惠州市高三模拟数学试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2015 届高三模拟考试数 学试题 (文科) 2015.04 本试卷共 4...

...市2016届高三4月高考模拟数学理试题 Word版含解析

广东省江门市2016届高三4月高考模拟数学理试题 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。广东省江门市2016届高三4月高考模拟数学理试题 Word版含解析 ...

...市2017届高三4月模拟考试数学文试题 Word版含解析

广东省惠州市2017届高三4月模拟考试数学文试题 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2017 届高三模拟考试 数学(文科)2017.04 第Ⅰ卷一.选择...

...惠州市2014届高三4月模拟考试数学理试题 Word版含答...

广东省惠州市2014届高三4月模拟考试数学理试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。广东省惠州市 2014 届高三 4 月模拟考试 数学试题 (理科)本试卷...

广东省惠州市2014届高三4月模拟考试数学理试题_Word版...

广东省惠州市 2014 届高三 4 月模拟考试 数学试题 (理科)参考公式:①如果事件 A、B 互斥,则 P(A ? B) ? P(A) ? P(B) ②如果事件 A、B 相互独立,...

...2015届高三4月模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

山东省枣庄市枣庄五中2015届高三4月模拟考试数学(理)试题 Word版含解析_高考_高中...观察规律可知,有 满足条件 n<2015S=1006,k=2012; 满足条件 n<2015S=﹣100...

广东省惠州市第一中学(惠州市)2015届高三第一次模拟考...

广东省惠州市第一中学(惠州市)2015届高三第一次模拟考试数学理试题 Word版_数学...63 x π f(x) = 4sin( + ) 3 6 (2) 65 【答案】 【解析】 (1)...

...市2017届高三4月模拟考试数学文试题 Word版含解析

广东省惠州市2017届高三4月模拟考试数学文试题 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。名校试卷 惠州市 2017 届高三模拟考试 数学(文科)2017.04 第Ⅰ卷一.选择...

...2016届高三4月模拟考试(三)数学(理)试题 Word版含答...

四川省南充高级中学2016届高三4月模拟考试(三)数学(理)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。四川省南充高级中学2016届高三4月模拟考试(三)数学(...