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2015-2016学年安徽省黄山市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年安徽省黄山市高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( ) A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0 2. b 是两条不重合的直线, α, β 是两个不同的平面, 已知 a, 则下列命

题中正确的是 ( A.若 a⊥b,a⊥α,则 b∥α B.若 a⊥α,b∥α,则 a⊥b C.若 a∥b,b? α,则 a∥α D.若 a,b? α,a∥β,b∥β,则 α∥β 3. 1, 0) 0, 2) 已知向量 = (1, , = (﹣1, 且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直, 则 k 的值是 ( A.1 B. C. D. )





4.下列命题中为真命题的是( A.若 x≠0,则 x+ ≥2

B.若直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直,则 a=1 C.命题“若 x2=1,则 x=1 或 x=﹣1”的逆否命题为“若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x2≠1” D.一个命题的否命题为真,则它的逆否命题一定为真 5.过点 A(0,2)与抛物线 C:y2=4x 恰有一个交点的直线有( )条. A.0 B.1 C.2 D.3 6.双曲线 A.2 B. ﹣ =1 的渐近线与圆(x﹣3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( C.3 D.6 )

7.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 BC,CC1 的中点,则异面直线 AC 和 MN 所成角的大小为( )

A.

B.

C.

D.

8.“a<﹣3”是“f(x)=ax+3 在区间(﹣1,2)上存在零点 x0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.正四面体的棱长为 a,它的顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( A.3πa2 B.2πa2 C. D.



10.设 x1,x2∈R,现定义运算“?”:x1?x2=(x1+x2)2﹣(x1﹣x2)2,若 x≥0,则动点 P(x, )的轨迹是( )
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A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.命题“? x0∈R,x02﹣6x0+10<0”的否定是______. 12.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直径为 1 的圆,那么这个几何体的侧面积为 ______.

13.已知双曲线 C 的离心率为 ,焦点为 F1,F2,点 A 在曲线 C 上,若|F1A|=3|F2A|, 则 cos∠AF2F1=______. 14.两圆 x2+y2+2ax+a2﹣4=0 和 x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0 恰有三条公切线,则 a+2b 的最大值为 ______. 15.给出下列四个命题: ①三点确定一个平面; ②三条两两相交的直线确定一个平面; ③在空间上,与不共面四点 A,B,C,D 距离相等的平面恰有 7 个; ④两个相交平面把空间分成四个区域. 其中真命题的序号是______(写出所有真命题的序号) . 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.给定两个命题,命题 p:对于任意实数 x,都有 ax2>﹣2ax﹣4 恒成立;命题 q:方程 x2+y2﹣2x+a=0 表示一个圆.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 17.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,∠ACB=60°,AC=CC1=2,BC=1,E, F 分别是 A1C1,BC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)求三棱锥 E﹣ABC1 的体积.

18.已知斜率为 1 的直线 l 与圆心为 O1(1,0)的圆相切于点 P,且点 P 在 y 轴上. (Ⅰ)求圆 O1 的方程; (Ⅱ)若直线 l′与直线 l 平行,且圆 O1 上恰有四个不同的点到直线 l′的距离等于 线 l′纵截距的取值范围.
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,求直

19.已知抛物线方程为 y2=﹣2px,其准线方程为 x= ,直线 l:y=k(x+1)与抛物线相交于 A,B 两个不同的点,O 为坐标原点. (Ⅰ)求证:OA⊥OB; (Ⅱ)当△OAB 的面积等于 时,求 k 的值. 20.如图,在多面体 ABCDEF 中,CDEF 为矩形,ABCD 为直角梯形,平行 CDEF⊥平面 ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD= CD=1,ED= (Ⅰ)若 M 为 EA 中点,求证:AC∥平面 MDF; (Ⅱ)线段 EA 上是否存在点 M,使平面 MDF 与平面 ABCD 所成的锐二面角大小为 若存在,求出 AM 的长度,若不存在,请说明理由. ? ,M 为线段 EA 上动点.

21.已知点 A、B 的坐标分别为(2,0) 、 (﹣2,0) ,直线 AT、BT 交于点 T,且它们的斜 0 1 T A λ λ λ 率之积为常数﹣ ( > , ≠ ) ,点 的轨迹以及 、B 两点构成曲线 C. (1)求曲线 C 的方程,并求其焦点坐标; (2)若 0<λ<1,且曲线 C 上的点到其焦点的最近距离为 1.设直线 l:y=k(x﹣1)交曲 线 C 于 E、F 两点,交 x 轴于 Q 点.直线 AE、AF 分别交直线 x=3 于点 N、M.记线段 MN 的中点为 P,直线 PQ 的斜率为 k′.求证:k?k′为定值.

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2015-2016 学年安徽省黄山市高二 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( ) A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0 【考点】直线的一般式方程;两条直线平行的判定. 【分析】由题意可先设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 再由直线过点(﹣1,3) ,代入可求 c 的值,进而可求直线的方程 【解答】解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选 A. 2. b 是两条不重合的直线, α, β 是两个不同的平面, 已知 a, 则下列命题中正确的是 ( A.若 a⊥b,a⊥α,则 b∥α B.若 a⊥α,b∥α,则 a⊥b C.若 a∥b,b? α,则 a∥α D.若 a,b? α,a∥β,b∥β,则 α∥β )

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】利用线面平行、垂直的性质,面面平行的判定定理,即可得出结论. 【解答】解:对于 A,若 a⊥b,a⊥α,则 b∥α 或 b? α,不正确; 对于 B,b∥α,经过 b 的平面与 α 的交线为 c,则 b∥c,∵a⊥α,∴a⊥c,∵b∥c,∴a⊥b, 正确; 对于 C,若 a∥b 时,a 与 α 的关系可能是 a∥α,也可能是 a? α,即 a∥α 不一定成立,不 正确; 对于 D,根据面面平行的判定定理可知,对应平面内的直线如果两条直线是相交的,则两个 平面是平行的,不正确. 故选:B. 3. 1, 0) 0, 2) 已知向量 = (1, , = (﹣1, 且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直, 则 k 的值是 ( A.1 B. C. D. )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由向量 =(1,1,0) , =(﹣1,0,2) ,求得 k + 与 2 ﹣ 的坐标,代入数量 积的坐标表示求得 k 值. 【解答】解:∵ =(1,1,0) , =(﹣1,0,2) , ∴k + =k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2) , 2 ﹣ =2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2) , 又 k + 与 2 ﹣ 互相垂直,

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∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,解得:k= . 故选:D. 4.下列命题中为真命题的是( A.若 x≠0,则 x+ ≥2 B.若直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直,则 a=1 C.命题“若 x2=1,则 x=1 或 x=﹣1”的逆否命题为“若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x2≠1” D.一个命题的否命题为真,则它的逆否命题一定为真 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】逐一分析四个答案中所给结论的真假,选出其中的真命题即可. 【解答】解:若 x>0,则 x+ ≥2,若 x<0,则 x+ ≤﹣2,故 A 错误; 若直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直,则 a=±1,故 B 错误; 命题“若 x2=1,则 x=1 或 x=﹣1”的逆否命题为“若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x2≠1”,故 C 正确; 一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真,但它的逆否命题不一定为真,故 D 错误; 故选:C 5.过点 A(0,2)与抛物线 C:y2=4x 恰有一个交点的直线有( A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】过点 A(0,2)与抛物线 C:y2=4x 恰有一个交点,则方程组 只有一解, )条. )

分两种情况讨论即可: (1)当该直线存在斜率时; (2)该直线不存在斜率时. 【解答】解: (1)当过点 A(0,2)的直线存在斜率时,设其方程为:y=kx+2, 由 ,消 y 得 k2x2+(4k﹣4)x+4=0,

①若 k=0,方程为﹣x+1=0,解得 x=1,此时直线与抛物线只有一个交点(1,2) ; ②若 k≠0,令△=(4k﹣4)2﹣16k2=0,解得 k= ,此时直线与抛物线相切,只有一个交 点; (2)当过点 A(0,2)的直线不存在斜率时,该直线方程为 x=0,与抛物线相切只有一个 交点; 综上,过点 A(0,2)与抛物线 y2=4x 恰有一个交点的直线有 3 条. 故选 D.

6.双曲线 A.2 B.



=1 的渐近线与圆(x﹣3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( C.3 D.6



【考点】双曲线的简单性质.
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【分析】求得圆的圆心和半径 r,双曲线的渐近线方程,运用直线和圆相切的条件:d=r,计 算即可得到所求值. 【解答】解:圆(x﹣3)2+y2=r2 的圆心为(3,0) ,半径为 r, 双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y=± x,

由直线和圆相切的条件:d=r,

可得 r=

=2.

故选:A. 7.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 BC,CC1 的中点,则异面直线 AC 和 MN 所成角的大小为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 同量法能求出异面直线 AC 和 MN 所成角. 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 2, 则 A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,M(1,2,0) ,N(0,2,1) , =(﹣2,2,0) , =(﹣1,0,1) , 设异面直线 AC 和 MN 所成角为 θ, cosθ= = = ,

∴θ=

. .

∴异面直线 AC 和 MN 所成角为 故选:B.

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8.“a<﹣3”是“f(x)=ax+3 在区间(﹣1,2)上存在零点 x0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数零点的性质进行判断即可. 【解答】解:∵f(x)=ax+3 在区间(﹣1,2)上存在零点 x0, ∴f(﹣1)f(2)<0,即(﹣a+3) (2a+3)<0, 则(a﹣3) (2a+3)>0,得 a>3 或 a< ,

则“a<﹣3”是“f(x)=ax+3 在区间(﹣1,2)上存在零点 x0”的充分不必要条件, 故选:A. 9.正四面体的棱长为 a,它的顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( A.3πa2 B.2πa2 C. D. )

【考点】球的体积和表面积. 【分析】 由已知中正四面体的棱长为 a, 我们计算出其外接球的半径, 代入球的表面积公式, 即可得到答案. 【解答】解:正四面体扩充为正方体,若正四面体的棱长为 a,则正方体的棱长为 所以正方体的对角线长为 则正四面体的外接球半径为 a, a . a,

所以其外接球的表面积 S=4πR2= 故选:C.

10.设 x1,x2∈R,现定义运算“?”:x1?x2=(x1+x2)2﹣(x1﹣x2)2,若 x≥0,则动点 P(x, )的轨迹是( )

A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分 【考点】轨迹方程.
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【分析】利用定义可得方程,即可求出动点 P(x, 【解答】解:由题意,y= ∴y2=8x(x≥0) , ∴动点 P(x, 故选:C. )的轨迹是抛物线的一部分. =

)的轨迹. (x≥0) ,

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.命题“? x0∈R,x02﹣6x0+10<0”的否定是 “? x∈R,x2﹣6x+10≥0” . 【考点】命题的否定. 【分析】根据特称命题否定的方法,结合已知中的原命题,可得答案. 【解答】解:命题“? x0∈R,x02﹣6x0+10<0”的否定是“? x∈R,x2﹣6x+10≥0”, 故答案为:“? x∈R,x2﹣6x+10≥0” 12.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直径为 1 的圆,那么这个几何体的侧面积为 π .

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可得,几何体是一个圆柱,由正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,可 知它是底面直径与高均为 1 的圆柱,代入圆柱侧面积公式,即可得到答案. 【解答】解:由三视图的知识, 它是底面直径与高均为 1 的圆柱, 所以侧面积 S=π. 故答案:π 13.已知双曲线 C 的离心率为 则 cos∠AF2F1= . ,焦点为 F1,F2,点 A 在曲线 C 上,若|F1A|=3|F2A|,

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设双曲线的方程为 ﹣ =1(a,b>0) ,设 A 为右支上一点,且|F2A|=m,由

题意可得|F1A|=3m,由双曲线的定义和离心率公式、以及余弦定理,计算即可得到所求值. 【解答】解:设双曲线的方程为 设 A 为右支上一点,且|F2A|=m,
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=1(a,b>0) ,

由题意可得|F1A|=3m, 由双曲线的定义可得|F1A|﹣|F2A|=2a, 解得 m=a,又 e= = ,可得 c= a, a,

在△AF1F2 中,|F1A|=3a,|F2A|=a,|F1F2|=2 可得 cos∠AF2F1= 故答案为: . = .

14.两圆 x2+y2+2ax+a2﹣4=0 和 x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0 恰有三条公切线,则 a+2b 的最大值为 3 . 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【分析】由题意可得两圆相外切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,可得 a2+4b2=9,再 利用三角换元,求 a+2b 的最大值. 【解答】解:由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为 (x+a)2+y2=4,x2+(y﹣2b) 2 =1, 圆心分别为(﹣a,0) , (0,2b) ,半径分别为 2 和 1,故有 设 a=3cosα,b= sinα, ∴a+2b=3cosα+3sinα=3 ∴sin(α+ 故答案为:3 sin(α+ ) , =3,∴a2+4b2=9,

)=1 时,a+2b 的最大值为 3 .

15.给出下列四个命题: ①三点确定一个平面; ②三条两两相交的直线确定一个平面; ③在空间上,与不共面四点 A,B,C,D 距离相等的平面恰有 7 个; ④两个相交平面把空间分成四个区域. 其中真命题的序号是 ③④ (写出所有真命题的序号) . 【考点】平面的基本性质及推论. 【分析】①根据平面的公理“三点定面”即可判断命题错误; ②根据三条两两相交的直线可能不共面,即可判断命题错误; ③根据空间四点不共面时,四点构成一个三棱锥,讨论平面一侧有一点,另一侧有三点时, 和平面一侧有两点,另一侧有两点时,满足条件的平面数是多少即可; ④根据实际情况即可得出结论正确. 【解答】解:对于①,不在同一直线上的三点确定一个平面,∴①错误; 对于②,不共点的三条两两相交的直线确定一个平面,∴②错误; 对于③,空间四点 A、B、C、D 不共面时,则四点构成一个三棱锥,如图:

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当平面一侧有一点,另一侧有三点时,令截面与四棱锥的四个面之一平行,第四个顶点到这 个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等,这样的平面有 4 个, 当平面一侧有两点,另一侧有两点时,即过相对棱的异面直线公垂线段的中点,且和两条相 对棱平行的平面,满足条件.因三棱锥的相对棱有三对,则此时满足条件的平面个数是 3 个, 所以满足条件的平面恰有 7 个,③正确; 对于④,两个相交平面把空间分成四个区域是真命题,∴④正确. 综上,正确的命题序号是③④. 故答案为:③④. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.给定两个命题,命题 p:对于任意实数 x,都有 ax2>﹣2ax﹣4 恒成立;命题 q:方程 x2+y2﹣2x+a=0 表示一个圆.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】分别求出 p,q 为真时的 a 的范围,根据若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,得 到 p,q 一真一假,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解:若命题 p 为真,即对于任意实数 x,都有 ax2+2ax+4>0 恒成立, a=0 时,4>0 成立, a≠0,只需 ,解得:0<a<4,

综上,若 p 真:a∈[0,4) ; 若命题 q:方程 x2+y2﹣2x+a=0 表示一个圆, 只需 4﹣4a>0,解得:a<1, 故,q 为真时,a∈(﹣∞,1) ; 若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题, 则 p,q 一真一假, 故 a∈(﹣∞,0)∪[1,4) . 17.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,∠ACB=60°,AC=CC1=2,BC=1,E, F 分别是 A1C1,BC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)求三棱锥 E﹣ABC1 的体积.

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (I) 由余弦定理计算 AB, 利用勾股定理的逆定理得出 AB⊥BC, 由 BB1⊥平面 ABC 得 BB1⊥AB,故 AB⊥平面 B1BCC1,从而平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (II)过 B 作 BD⊥AC 于 D,则 BD⊥平面 ACC1A1,于是 V = . =V

【解答】 (I)证明:∵AC=2,BC=1,∠ACB=60°, ∴AB= = .

∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC. ∵AA1⊥平面 ABC,AA1∥BB1, ∴BB1⊥平面 ABC,∵AB? 平面 ABC, ∴BB1⊥AB, 又 BC? 平面 B1BCC1,BB1? 平面 B1BCC1,BC∩BB1=B, ∴AB⊥平面 B1BCC1.又 AB? 平面 ABE, ∴平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (II)解:过 B 作 BD⊥AC 于 D, ∵AA1⊥平面 ABC,BD? 平面 ABC, ∴AA1⊥BD,又 AA1? 平面 ACC1A1,AC? 平面 ACC1A1,AA1∩AC=A, ∴BD⊥平面 ACC1A1. ∵S△ABC= ∵S ∴V = =V = ,∴BD= = = = , . .

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18.已知斜率为 1 的直线 l 与圆心为 O1(1,0)的圆相切于点 P,且点 P 在 y 轴上. (Ⅰ)求圆 O1 的方程; (Ⅱ)若直线 l′与直线 l 平行,且圆 O1 上恰有四个不同的点到直线 l′的距离等于 线 l′纵截距的取值范围. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】 (Ⅰ)设 P 的坐标为(0,t) ,由题目条件即可得出结论; (Ⅱ)设出 l′:y=x+b,由 O1 上恰有四个不同的点到直线 l′的距离等于 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得,设 P 的坐标为(0,t) , ∵O1P⊥l, ∴ =﹣1,∴t=1, ,即可得出答案. ,求直

即点 P 的坐标为(0,1) , 从而圆 O1 的半径 r=|O1P|= , 故所求圆 O1 的方程为(x﹣1)2+y2=2; (Ⅱ)∵l∥l′,∴设 l′:y=x+b, 由圆 O1 上恰有四个点到直线 l′距离为 得圆心到直线 y=x+b 的距离 d= 解得﹣2<b<0, 即直线 l′纵截距的取值范围为(﹣2,0) . 19.已知抛物线方程为 y2=﹣2px,其准线方程为 x= ,直线 l:y=k(x+1)与抛物线相交于 A,B 两个不同的点,O 为坐标原点. (Ⅰ)求证:OA⊥OB; (Ⅱ)当△OAB 的面积等于 时,求 k 的值. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)求出抛物线的方程,联立直线与抛物线方程,证明 x1x2+y1y2=0,即可证明 OA⊥OB; (Ⅱ)连接 AB,设直线 AB 与 x 轴交于 N,由题意,△OAB 的面积 S= |ON||y1﹣ y2|= = ,即可求 k 的值. , ,

【解答】 (Ⅰ)证明:∵抛物线方程为 y2=﹣2px,其准线方程为 x= , ∴ = ,解得 p= , ∴抛物线方程为 y2=﹣x. 联立直线 l:y=k(x+1) ,消去 x 得,ky2+y﹣k=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

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得 y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣1. ∴x1x2=(y1y2)2=1 ∴x1x2+y1y2=0, ∴OA⊥OB; (Ⅱ)连接 AB,设直线 AB 与 x 轴交于 N,由题意,k≠0 令 y=0 则 x=﹣1,即 N(﹣1,0) , ∴△OAB 的面积 S= |ON||y1﹣y2|= ∴k=﹣± . = ,

20.如图,在多面体 ABCDEF 中,CDEF 为矩形,ABCD 为直角梯形,平行 CDEF⊥平面 ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD= CD=1,ED= (Ⅰ)若 M 为 EA 中点,求证:AC∥平面 MDF; (Ⅱ)线段 EA 上是否存在点 M,使平面 MDF 与平面 ABCD 所成的锐二面角大小为 若存在,求出 AM 的长度,若不存在,请说明理由. ? ,M 为线段 EA 上动点.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)连结 CE 交 DF 于 O,则 OM∥AC,由此能证明 AC∥平面 MDF. (Ⅱ)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DE 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出当 AM= (2 AE 时, ﹣3) 平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为 .

【解答】证明: (Ⅰ)连结 CE 交 DF 于 O, CDEF ∵ 为矩形,∴O 为 CE 中点, 又 M 为 EA 中点,∴OM∥AC, 又 AC?平面 MDF,OM? 平面 MDF, ∴AC∥平面 MDF.

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解: (Ⅱ) 假设线段 EA 上存在点 M, 使平面 MDF 与平面 ABCD 所成的锐二面角大小为



理由如下: ∵平面 CDEF⊥平面 ABCD, 在矩形 CDEF 中,ED⊥DC,平面 CDEF∩平面 ABCD=CD, ∴ED⊥平面 ABCD,AD? 平面 ABCD,∴ED⊥AD, 又 CD⊥AD,∴以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DE 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,E(0,0, ) ,F(0,2, ) , M E 0 1 由题意知 , 重合时不符合,设 , ( ≤λ< ) , 则 M(1﹣λ,0, ) , =(1﹣λ,0, ) , =(0,2, ) , 设 =(x,y,z)是平面 DMF 的法向量, 则 ,取 z=1,得 =( ,﹣ ,1) ,

又 ED⊥平面 ABCD,∴平面 ABCD 的法向量 =(0,0,1) , ∵线段 EA 上存在点 M,使平面 MDF 与平面 ABCD 所成的锐二面角大小为 ,

∴cos 解得

=

= ∈[0,1],或

= , [0,1], (舍去) , ,

∴当 AM=(2 此时 AM=4

﹣3)AE 时,平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为 .

21.已知点 A、B 的坐标分别为(2,0) 、 (﹣2,0) ,直线 AT、BT 交于点 T,且它们的斜 率之积为常数﹣λ(λ>0,λ≠1) ,点 T 的轨迹以及 A、B 两点构成曲线 C. (1)求曲线 C 的方程,并求其焦点坐标; (2)若 0<λ<1,且曲线 C 上的点到其焦点的最近距离为 1.设直线 l:y=k(x﹣1)交曲 线 C 于 E、F 两点,交 x 轴于 Q 点.直线 AE、AF 分别交直线 x=3 于点 N、M.记线段 MN 的中点为 P,直线 PQ 的斜率为 k′.求证:k?k′为定值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【分析】 (1)设 T(x,y) ,则 ,由此能求出曲线 C 的方程及其焦点坐标.

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(2)椭圆长轴端点到同侧焦点的距离是椭圆上的点到焦点的最近距离,从而 2﹣2

=1,进而求出曲线 C 的方程为

.直线 y=k(x﹣1)交 x 轴于 Q(1,0) ,联立

,得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,由此利用韦达定理、直线方程,结合已

知条件能证明 k?k′为定值. 【解答】解: (1)设 T(x,y) ,则 ,

整理,得:

(x≠±2) ,

又 A(2,0) 、B(﹣2,0)也符合上式, ∴曲线 C: =1, (λ>0,λ≠1) ,

当 0<λ<1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,焦点为(﹣2 当 λ>1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,焦点为(0,﹣2 (2)∵0<λ<1,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,其焦点为(﹣2 0) , 椭圆长轴端点到同侧焦点的距离是椭圆上的点到焦点的最近距离, 曲线 C 上的点到其焦点的最近距离为 1. ∴2﹣2 =1,解得 ,

,0) , (2 ) , (0, ,0) , (2

,0) , ) . ,

∴曲线 C 的方程为



直线 y=k(x﹣1)交 x 轴于 Q(1,0) , 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) , 联立 ,得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,



,x1x2=

,①

直线 AE 方程为 y=

,交直线 x=3 于点 N(3,
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) ,

直线 AF 方程为 y=

,交直线 x=3 于点 M(3,

) ,

∴线段 MN 的中点 P(3, ∴直线 PQ 的斜率为:

) ,

k′=

=

=



② 将①代入②,整理,得 ∴kk′=﹣ , ∴k?k′为定值﹣ . ,

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