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2006年高考试题与答案-全国卷1数学理


2006 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚,并 贴好条形

码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2. 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

球的表面积公式 S=4π R
2

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
V ? 4 3

?R

3

其中 R 表示球的半径

一.选择题 (1)设集合 M ? { x | x ? x ? 0}, N ? { x || x |? 2} ,则
2

(A) M ? N ? ? (C) M ? N ? M
x

(B) M ? N ? M (D) M ? N ? R

(2)已知函数 y ? e 的图像与函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 (A) f ( 2 x ) ? e
2x

( x ? R)

(B) f ( 2 x ) ? ln 2 · ln x ( x ? 0 ) (D) f ( 2 x ) ? ln x ? ln 2 ( x ? 0 )

(C) f ( 2 x ) ? 2 e ( x ? R)
x

(3)双曲线 mx (A) ?
1 4

2

? y

2

? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=

(B)-4
2

(C)4

(D)

1 4

(4)如果复数 ( m ? i )( 1 ? mi ) 是实数,则实数 m= (A)1 (B)-1 (C) 2 (D)- 2

(5)函数 f ( x ) ? tan( x ? (A) ( k ? ? (C) ( k ? ?
?
2 3?
4

?
4

) 的单调增区间为 ), k ? Z
), k ? Z

, k? ?

?
2

(B) ( k ? , ( k ? 1)? ), k ? Z (D) ( k ? ?
?
4 , k? ? 3? 4 ), k ? Z

, k? ?

?
4

(6) △ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a、 c. 若 a、 c 成等比数列, c ? 2 a , 则 cos B ? B、 b、 b、 且
1 4 3 4

(A)

(B)

(C)

2 4

(D)

2 3

(7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 (A)16 ? (B)20 ? (C)24 ? (D)32 ? (8)抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
2

(A)

4 3

(B)

7 5

(C)

8 5

(D)3

(9)设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0. 如果平面向量 b1、b2、b3 满足
| b i |? 2 | a i |, 且 a i 顺时针旋转 30°后与 bi 同向,其中 i=1,2,3,则

(A) ? b1 ? b 2 ? b 3 ? 0 (C) b1 ? b 2 ? b 3 ? 0

(B) b1 ? b 2 ? b 3 ? 0 (D) b1 ? b 2 ? b 3 ? 0

(10)设 { a n } 是公差为正数的等差数列,若 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 15 , a 1 a 2 a 3 =80,则
a 11 ? a 12 ? a 13 =

(A)120

(B)105

(C)90

(D)75

(11)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 5 根细木棒围成一个三角形(允许连接, 但 不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为 (A) 8 5 cm2 (C) 3 55 cm2 (B) 6 10 cm2 (D)20cm2

(12)设集合 I ? {1, 2 , 3 , 4 ,5} ,选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中 最大的数,则不同的选择方法共有 (A)50 种 (B)49 种

(C)48 种

(D)47 种

2006 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后 贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第 II 卷共 2 页,请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 在试题卷上作 答无效。 3.本卷共 10 小题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在横线上. (13)已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等 于 .

(14)设 z ? 2 y ? x ,式中变量 x、y 满足下列条件
? 2 x ? y ? ? 1, ? ? ? ? 3 x ? 2 y ? 23 , ? ? ? y ? 1, ?

则 z 的最大值为

.

(15)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不 安排在 5 月 1 日和 2 日. 不同的安排方法共有 ( 16 ) 设 函 数 f ( x ) ? cos(
? =
3 x ? ? )( 0 ? ? ? ? ).

种.(用数字作答) 若 f ( x ) ? f ?( x ) 是 奇 函 数 , 则

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) △ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 求出这个最大值.
B ?C 2

取得最大值,并

(18) (本小题满分 12) A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由 4 只 小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效. 若在一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 A 有效 的概率为
2 3

,服用 B 有效的概率为

1 2

.

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数. 求 ? 的分布列和数 学期望. (19) (本小题满分 12 分) 如图, l1 、 l 2 是相互垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段. 点 A、B 在 l1 上,C 在
l 2 上,AM = MB = MN.

(Ⅰ)证明 AC ? NB ; (Ⅱ)若 ? ACB ? 60 ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.
?

(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 ( 0 , ? 3 ) 和 F 2 ( 0 , 3 ) 为焦点、离心率为 的椭 圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点 分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB . 求: (Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)| OM |的最小值. (21) (本小题满分 14 分) 已知函数
f (x) ? 1? x 1? x e
? ax

3 2

.

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ( 0 ,1) 恒有 f ( x ) ? 1 ,求 a 的取值范围. (22) (本小题满分 12 分) 设数列 { a n } 的前 n 项的和
Sn ? 4 3 an ? 1 3 ?2
n ?1

?

2 3

, n ? 1, 2 , 3 , ?

(Ⅰ)求首项 a 1 与通项 a n ; (Ⅱ)设 T n ?
2
n

Sn

, n ? 1, 2 , 3 , ? , 证明: ? T i ?
i ?1

n

3 2

.

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
一.选择题 (1)B (7)C 二.填空题 ? (13)
3

(2)D (8)A

(3)A (9)D

(4)B (10)B

(5)C (11)B
?
6

(6)B (12)B

(14)11

(15)2400

(16)

三.解答题 (17)解:由 A ? B ? C ? ? , 得 所以有
cos
B ?C 2 ?

?
2

?

A 2

,

B ?C 2

? sin

A 2

.

cos A ? 2 cos

B ?C 2

? cos A ? 2 sin
? 1 ? 2 sin
2

A 2

A 2

? 2 sin

A 2

? ? 2 (sin

A 2

?

1 2

) ?
2

3 2
3 2

.

当 sin

A 2

?

1 2

,即 A ?

?
3

时 , cos A ? 2 cos

B ?C 2

取得最大值

.

(18 分)解: (Ⅰ)设 A1 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只” 0,1,2, ,i= B1 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只” 0,1,2, ,i= 依题意有
. 3 3 9 3 3 9 1 1 1 1 1 1 P ( B 0 ) ? ? ? . P ( B1 ) ? 2 ? ? ? . 2 2 4 2 2 2 P ( A1 ) ? 2 ? 1 ? 2 ? 4 , P ( A2 ) ? 2 ? 2 ? 4

所求的概率为 P = P(B0·A1)+ P(B0·A2)+ P(B1·A2) =
? 1 4 4 9 ? .
4 9

4 9

?

1 4

?

4 9

?

1 2

?

4 9

(Ⅱ)ξ 的可能值为 0,1,2,3 且ξ ~B(3,
5 3 P (? ? 0 ) ? ( ) ? 9 4 1 P (? ? 1) ? C 3 ? ? 9 , 729 5 2 100 ( ) ? , 9 243 125



4 2 5 80 2 P (? ? 2 ) ? C 3 ? ( ) ? ? , 9 9 243 4 3 64 P (? ? 3 ) ? ( ) ? . 9 729

ξ 的分布列为 ξ p 0
125 729 4 9 4 3

1
100 243

2
80 243

3
64 729

数学期望 E ? ? 3 ?

?

.

(19)解法: (Ⅰ)由已知 l2⊥MN,l2⊥l1,MN ? l1 = M, 可得 l2⊥平面 ABN. 由已知 MN⊥l1,AM = MB = MN, 可知 AN = NB 且 AN⊥NB 又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影, ∴ AC⊥NB (Ⅱ)∵ Rt △CAN = Rt △CNB, ∴ AC = BC,又已知∠ACB = 60°, 因此△ABC 为正三角形。 ∵ Rt △ANB = Rt △CNB。 ∴ NC = NA = NB,因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三角形 ABC 的中心,连结 BH,∠ NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角。 在 Rt △NHB 中, cos ? NBH ?
HB NB ?
3 3 2 2

AB AB

?

6 3

.

解法二: 如图,建立空间直角坐标系 M-xyz, 令 MN = 1, 则有 A(-1,0,0) ,B(1,0,0) ,N(0,1,0) 。 (Ⅰ)∵MN 是 l1、l2 的公垂线,l2⊥l1, ∴l2⊥ 平面 ABN, ∴l2 平行于 z 轴, 故可设 C(0,1,m) 于是 AC ? (1,1, m ), NB ? (1, ? 1, 0 ),
? AC ? NB ? 1 ? ( ? 1) ? 0 ? 0 ,

∴AC⊥NB. (Ⅱ)? AC ? (1,1, m ), BC ? ( ? 1,1, m ). ?| AC |? | BC | . 又已知∠ABC = 60°,∴△ABC 为正三角形,AC = BC = AB = 2. 在 Rt △CNB 中,NB = 2 ,可得 NC = 2 ,故 C ? ( 0 ,1, 2 ).

连结 MC,作 NH⊥MC 于 H,设 H(0,λ , 2 ? ) > 0). (λ
? HN ? ( 0 ,1 ? ? , ? 2 ? ), MC ? ( 0 ,1,
? HN ? MC ? 1 ? ? ? 2 ? ? 0 , ?? ? 1 3
? H (0, 1 3 , 2 3 ), 可得 HN ? ( 0 , 2 3 ,? 2 3 ), 连结 BH , 则 BH ? ( ? 1, 1 3 , 2 3 ).

2 ).
.

? HN ? BH ? 0 ?

2 9

?

2 9

? 0 , ? HN ? BH , 又 MC ? BH ? H ,

∴HN ⊥平面 ABC,∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角. 又 BN ? ( ? 1,1, 0 ).
? cos ? NBH ? BH ? BN | BH || BN | ?
2 3 4 3

?

? 2

6 3

.

(20)解: (Ⅰ)椭圆的方程可写为
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1,

?a 2 ? b 2 ? 3 ? 式中 a ? b ? 0 , 且 ? 3 3 ? ? 2 ? a

得 a ? 4 , b ? 1 ,所以曲线 C 的方程为
2 2

x ?
2

y

2

? 1 ( x ? 0, y ? 0)

4
y ? 2 1? x y? ? ? 2x 1? x
2 2

( 0 ? x ? 1),

2 设 P ( x 0 , y 0 ) ,因 P 在 C 上,有 0 ? x 0 ? 1, y 0 ? 2 1 ? x 0 , y ? | x ? x ? ?
0

4 x0 y0

,得切线 AB

的方程为

y ?

4 x0 y0

(x ? x0 ) ? y0 .

设 A(x,0)和 B(0,y) ,由切线方程得
x ? 1 x0 ,y ? 4 y0 .

由 OM ? OA ? OB 的 M 的坐标为(x,y) ,由 x 0 , y 0 满足 C 的方程,得点 M 的轨迹方 程为
1 x
2

?

4 y
2

? 1( x ? 1, y ? 2 ).

(Ⅱ)∵ | OM | ? x ? y
2 2
2

2

y

? 1?

4 1 x
2
2

? 4?

4 x ?1
2

∴ | OM | ? x ? 1 ?
2

4 x ?1
2

?5? 4?5 ? 9 3 ? 1 时,上式取等号,

且当 x ? 1 ?
2

4 x ?1
2

,即 x ?

故 OM 的最小值为 3。 (21)解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 ( ?? ,1) ? (1, ?? ). 对 f ( x ) 求导数得
f ?( x ) ? ax
2

?2?a
2

(1 ? x )

e

? ax

(i)当 a=2 时, f ? ( x ) ?

2x (1 ? x )
2

e

?2x

, f ? ( x ) 在 ( ?? , 0 ),

(0,1)和(1,+∞)均大于 0,

所以 f ( x ) 在 ( ?? ,1), (1, ?? ) 为增函数。 (ii)当 0 ? a ? 2时 , f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在(-∞,1)(1,+∞)为增函数。 , (iii)当 a ? 2时 ,0 ?
a?2 a ? 1.
a?2 a a?2 a

令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x 1 ? ?

, x2 ?

当 x 变化时, f ? ( x ) 和 f ( x ) 的变化情况如下表:
a?2 a a?2 a a?2 a a?2 a

x

( ?? , ?

)

(?

,

)

(

,1)

(1,+∞)

f ?( x )
f (x)

+ ↗

- ↘

+ ↗

+ ↗

f ( x ) 在 ( ?? , ?

a?2 a

), (

a?2 a

,1), (1,+∞)为增函数,

f ( x )在 ( ?

a?2 a

,

a?2 a

) 为减函数。

(Ⅱ) (i)当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅰ)知:对任意 x ? ( 0 ,1) 恒有
1 2 a?2 a

f ( x ) ? f (0) ? 1.

(ii)当 a ? 2 时,取 x 0 ?

? ( 0 ,1) ,则由(Ⅰ)知

f ( x ) ? f (0) ? 1.

(iii)当 a ? 0 时,对任意 x ? ( 0 ,1) ,恒有
f (x) ? 1? x 1? x e
? ax

1? x 1? x

? 1且 e

? ax

? 1 ,得

?

1? x 1? x

? 1.

综上当且仅当 a ? (?? , 2 ] 时,对任意 x ? ( 0 ,1) 恒有 f ( x ) ? 1 . (22)解: (Ⅰ)由 S n ? 得 所以
4 3 3 3 4 1 2 a1 ? S 1 ? a1 ? ? 4 ? 3 3 3 an ? 1 ?2
n ?1

?

2

, n ? 1, 2 , 3 , ?



a1=2
S n ?1 ? 4 3 a n ?1 ? 1 3 ?2 ?
n

再由①有

将①和②相减得 整理得
an ? 2
n

a n ? S n ? S n ?1
? 4 ( a n ?1 ? 2
n n ?1

, n ? 2 ,3 , ? ② 3 4 1 n ?1 n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ? ( 2 ? 2 ), n ? 2 , 3 , ? 3 3

2

), n ? 2 , 3 , ? ,

因而数列 { a n ? 2 } 是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即
an ? 2
n

? 4?4
n

n ?1

? 4 ,n=1,2,3,?,
n

因而

an ? 4 ? 2 ,
n n n

n=1,2,3,?,

(Ⅱ)将 a n ? 4 ? 2 代入①得

Sn ?

4 3 ? ?

? (4 ? 2 ) ?
n n

1 3

?2
n ?1

n ?1

?

2 3

1 3 2 3

? (2 ? (2 2 S
n

n ?1

? 1)( 2 ? 1)( 2

? 2) ? 1)

n ?1

n ?1

Tn ?

n

? ?

3 2 3 2

? (2 ?(

2
n ?1

n n

? 1) ? ( 2 ? 1) ? 2 1
n ?1

1 2 ?1
n

?1
?

)

所以, ? T i ?
i ?1

n

3

? (2 2
i ?1

n

1
i

1 2
i ?1

?1

?1

)

? ?

3 2 3 2

?( .

1 2 ?1
i

? 2

1
n ?1

?1

)


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