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第5讲指数与指数函数


第 5 讲 指数与指数函数
【2013 年高考会这样考】 1.考查指数函数的图像与性质及其应用. 2.考查指数函数求值. 3.在函数与导数的解答题中,指数函数作为试题中函数解析式的组成部分,考查指数 函数的求导、函数单调性的讨论等. 【复习指导】 1. 熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础, 较高的运算能力是高考得分的保障, 所以熟练掌握这一基本技能是重中之重. 2

. 本节复习, 还应结合具体实例了解指数函数的模型, 利用图像掌握指数函数的性质. 重 点解决:(1)指数幂的运算;(2)指数函数的图像与性质. 基础梳理 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且, n∈N+), 那么这个数叫做 a 的 n 次方根. 也就是, n 若 xn=a,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N+.式子 a叫做根式,这里 n 叫做根指 数,a 叫做被开方数. (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a n 的 n 次方根用符号 a表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方 n n n 根用符号 a表示,负的 n 次方根用符号- a表示.正负两个 n 次方根可以合写为± a(a> 0). n ③( a)n=a. n ④当 n 为奇数时, an=a. n 当 n 为偶数时, an=|a|={a ⑤负数没有偶次方根. ?a≥0? -a?a<0? .

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念

an=a· a· ?· a ①正整数指数幂: )(n∈N+); n个 ②零指数幂:a0=1(a≠0); 1 - ③负整数指数幂:a p= p(a≠0,p∈N+); a m n ④正分数指数幂:a = am(a>0,m、n∈N+,且 n>1); n m 1 1 ⑤负分数指数幂:a- = = (a>0,m、n∈N+,且 n>1). n m n m a a n ⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar s(a>0,r、s∈Q);


②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图像与性质 y=ax

a>1

0<a<1

图像

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞)

续表 性质 (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时,y>1; x<0 时,0<y<1 (6)在 R 上是增函数 (5)当 x>0 时,0<y<1; x<0 时,y>1 (7)在 R 上是减函数

一个关系

分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的, 分数指数幂与根式可以相互转化, 通常利用分数指 数幂进行根式的化简运算. 两个注意 (1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围. 三个关键点 1? 画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),? ?-1,a?. 双基自测 1.(北师大版教材习题改编) ?π-4?2等于( A.π-4 解析 答案 B 2.已知函数 f(x)=4+ax 1(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点 P,则点 P 的坐标是(


). D.±(π-4)

B.4-π ?π-4?2=|π-4|=4-π.

C.π+4

).

A.(1,5)

B.(1,4)

C.(0,4)

D.(4,0)

解析 当 x=1 时,f(1)=5. 答案 A 3.函数 f(x)= 1-2x的定义域是( A.(-∞,0] C.(-∞,0)
x

).

B.[0,+∞) D.(-∞,+∞)
x

解析 由 1-2 ≥0,得 2 ≤1,∴x≤0. 答案 A 4.已知 f(x)=2x+2 x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于(


).

A.5

B.7


C.9

D.11

解析 ∵f(x)=2x+2 x,f(a)=3, ∴2a+2 a=3,


f(2a)=22a+2 答案 B

-2a

=(2a+2 a)2-2=9-2=7.


5.(2011· 西安模拟)已知 a= n 的大小关系为________. 解析 ∵a= 5-1 ∈(0,1), 2

5-1 ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m, 2

则 f(x)=ax 为 R 上的减函数.∵am>an,∴m<n. 答案 m<n

考向一 指数式与根式的计算 【例 1】?计算下列各式: 7 1 4 3 - ?0+80.25× 2+( 2× 3)6- (1)1.5- ×? 3 ? 6? 4 1 a -8a b 3 3

?2?2; ?3?3

(2)

2 3 a +2 ab+4b 3 3

? 2 ?

÷ ?1-2

3 b? 3 ?× a . a?

[审题视点] 先化为分数指数幂,再进行运算. 解 2?1 1 ? 1 1?6 ?2?1 3 1 (1)原式=? × 1 + (2 ) × 2 + 2 ×32? -?3? =2+4×27=110. ?3?3 4 4 ? 3 3

m4-8mn3 m?m3-8n3? 1 1 m2 ? 2n? · (2) 令 a = m , b = n ,则原式= 2 m = = 2 ÷ 1- 2 2· m? 3 3 m +2mn+4n ? m +2mn+4n m-2n m3?m-2n??m2+2mn+4n2? =m3=a. ?m2+2mn+4n2??m-2n? 化简结果:①若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; ②若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示; ③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂. 【训练 1】 化简下列各式(其中各字母均为正数). 1 1 1 -1? ?a2· a- · b ? 3 b ?-2· 2 3 6 a· b
5

(1)



1 -1? ? 2 -3?1 5 1 -2 ? b (2) a · b · ?-3a-2b ?÷ ?4a3· ? 2. 6 3 1 1 1 1 a- b · a- b 3 2 2 3 解 (1)原式= 1 5 a b 6 6 1 1 1 1 1 5 1 =a- - - · b + - = . 3 2 6 2 3 6 a 5 1 - ? 2 -3?1 b (2)原式=- a- b 3÷ ?4a3· ?2 2 6 5 1 -3 ? 1 3? 5 1 3 =- a- · b ÷ b- ?a3b-2?=-4a-2· 4 6 2 5 1 5 ab =- · 3=- . 4 ab 4ab2 考向二 指数函数的图像及应用

【例 2】?(2011· 合肥模拟)函数

f(x)=ax

-b

的图像如图,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是(

).

A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 [审题视点] 先由函数的增减趋势确定 a 的范围,再由图像在 y 轴上的截距所在范围求 b. 解析 由图像呈下降趋势可知 0<a<1,又由图像在 y 轴上的截距小于 1 可知 a b<1,


即-b>0,∴b<0. 答案 D 抓住指数函数的图像,不仅可以直观准确地把握指数函数的性质,而且利用 指数函数的图像的形象直观,还可以使有些问题得到简捷的解法. -x2 1 【训练 2】 函数 y= · (2a-3) 的部分图像大致如图中的一个,根据你的判断,a 可 2π 3 能的取值是( ).

1 A. 2

3 B. 2

C.2

D.4

解析 函数为偶函数,排除①②,又函数值恒为正值,则排除④,故图像只能是③,再 根据图像先增后减的特征可知 2a-3>1,即 a>2,符合条件的只有 D 选项. 答案 D 考向三 指数函数的性质及应用 【例 3】?设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值. [审题视点] 换元令 t=ax,利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性,构 建方程获解.

解 令 t=ax(a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). 1? ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=ax∈? ?a,a?, 1? 此时 f(t)在? ?a,a?上为增函数. 1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f? ?a?=?a+1? -2=14. 1 ?2 1 1 所以? ?a+1? =16,所以 a=-5或 a=3. 1 又因为 a>0,所以 a= . 3 1 ? ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=ax∈? ?a,a?, 1 ? 此时 f(t)在? ?a,a?上是增函数. 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a= 或 3. 3 指数函数问题一般常与其它函数复合. 本题利用换元法将原函数化为二次函 数,结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性,从而获解.由于指 数函数的单调性取决于底数的大小,所以要注意对底数的分类讨论,避免漏解. 1 1 【训练 3】 已知函数 f(x)=?2x-1+2?x3.

?

?

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0. (1)解 由 2x-1≠0,可解得 x≠0, ∴定义域为{x|x≠0}. (2)解 1 1 f(-x)=?2-x-1+2?· (-x)3

?

?

1 1 3 2x 1 3 =-?2-x-1+2?· x =-?1-2x+2?· ? ? ? ?x 2 1 3 2· 2 -2 +1 3 =?2x-1-2?· x ? ? x = 2?2x-1? · 1 3 2x+1 3 2x-1+2 3 ? 1 = x · x= · x = 2x-1+2?· x ? ? x =f(x).∴f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶 2?2 -1? 2?2 -1? 函数.
x x x

1 1 (3)证明 当 x>0 时,2x-1>0,∴?2x-1+2?x3>0,

?

?

即 f(x)>0.又∵f(x)是偶函数,∴当 x<0 时 f(x)=f(-x)>0, ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上恒大于零.

难点突破 4——如何求解新情景下指数函数的问题 高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景中的问题,题目除最基本 问题外,注重考查一些小、巧、活的问题,突出考查思维能力和化归等数学思想. 一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法 【示例】? (2011· 福建五市模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正
- 数 K,定义函数 fK(x)={f?x?,f?x?≥K, K,f?x?<K, 取函数 f(x)=2+x+e x,若对任意的

x∈(-∞,+∞),恒有 fK(x)=f(x),则 K 的最大值为________.

二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【 示 例 】 ? 若 f1(x) = 3|x


1|

, f2(x) = 2· 3|x



a|

, x∈R , 且

f(x) =

{f1?x?,f1?x?≤f2?x?,
范围是________.

f2?x?,f1?x?>f2?x?, 则 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立,则实数 a 的取值


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