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2016届高三数学复习 第一章 第二节 命题及其关系、充要条件

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第二节

命题及其关系、充要条件

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1.(2015·四川成都模拟)已知命题 p:“若 x≥a +b ,则 x≥2ab”,则下列说法正确的是 ( )
2 2 2 2

A.命题 p 的逆命题

是“若 x<a +b ,则 x<2ab” B.命题 p 的逆命题是“若 x<2ab,则 x<a +b ” C.命题 p 的否命题是“若 x<a +b ,则 x<2ab” D.命题 p 的否命题是“若 x≥a +b ”,则 x<2ab 解析 原命题为“若 p 则 q”的形式,则否命题为“若 p 则 q”的形式,故选 C. 答案 C 2.(2015·广东惠州模拟)“a>b>0”是“a >b ”成立的( A.必要不充分条件 C.充要条件
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

解析 由不等式的性质知,当 a>b>0 时,a >b 成立; 反之,例如取 a=-3,b=1,显然 a >b ,而 a>b>0 不成立.故选 B. 答案 B 2 2 3.(2015·四川乐山模拟)设 x∈R,则“x> ”是“3x +x-2>0”的( 3 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
2 2

2 2 2 2 解析 由 3x +x-2>0 得 x> 或 x<-1,故由“x> ”能推出“3x +x-2>0”,反之则不 3 3 能,故选 A. 答案 A 4.(2014·广东湛江模拟)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析 若命题“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题,若命题“p 且 q”为 真命题,则 p,q 都为真命题,因此“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的必要不充 分条件. 答案 C
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二、填空题 5.(2015·北京西城模拟)设函数 f(x)=3x+bcos x,x∈R,则“b=0”是“函数 f(x)为奇 函数”的________条件. 解析 当 b=0 时,函数 f(x)为奇函数,反之也成立. 答案 充分必要 三、解答题 6.(2015·长春测试)已知 p:x -8x-20≤0,q:x -2x+1-a ≤0(a>0).若 p 是 q 的充分不 必要条件,求实数 a 的取值范围. 解
2 2 2

p:x2-8x-20≤0?-2≤x≤10,

q:x2-2x+1-a2≤0?1-a≤x≤1+a.
∵p? q,q

p,

∴{x|-2≤x≤10}?{x|1-a≤x≤1+a}. 1-a≤-2, ? ? 故有?1+a≥10, 且两个等号不同时成立,解得 a≥9. ? ?a>0, 因此,所求实数 a 的取值范围是[9,+∞). 一年创新演练 7.α , β 为两个互相垂直的平面,a, b 为一对异面直线,下列条件:①a∥α , b? β ; ②a⊥α ,b∥β ;③a⊥α ,b⊥β ;④a∥α ,b∥β 且 a 与 α 的距离等于 b 与 β 的距离. 其中是 a⊥b 的充分条件的有( A.①④ B.① ) C.③ D.②③

解析 ①②④不能推出 a⊥b,对于③,过 β 内任一点作 α 、β 交线的垂线 b′,则

b′⊥α ,又 a⊥α ,∴a∥b′,又 b⊥β ,∴b⊥b′,∴a⊥b,③? a⊥b,故选 C.
答案 C 8.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 解析 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

∵an+1>|an|,∴an>0,∴an+1>|an|? an+1>an? {an}单调递增.∴an+1>|an|是{an}为递

n 1 1 ?1? 增数列的充分条件.当{an}为递增数列时,如 an=-? ? .则 a1=- ,a2=- ,a2>|a1|不 2 4 ?2?
成立, ∴an+1>|an|不是{an}为递增数列的必要条件.故选 B. 答案 B B 组 专项提升测试

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三年模拟精选 一、选择题 9.(2014·山西咸阳三模)“1+ A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 因为 1+ 3 ≥0”是“(x+2)(x-1)≥0”的( x-1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3 x+2 ≥0? ≥0?x>1 或 x≤-2,又因为(x+2)(x-1)≥0 的解集为 x-1 x-1 )

x≥1 或 x≤-2,令 A={x|x>1,或 x≤-2},B={x|x≥1,或 x≤-2},且 A B,所以
“1+ 3 ≥0”是“(x+2)(x-1)≥0”的充分不必要条件. x-1

答案 A 10.(2015·山东潍坊模拟)下列有关命题的说法正确的是(
2 2

)

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题 D.若命题 p:? x0∈R,x0-x0+1<0,则綈 p:? x∈R,x -x+1>0 解析 根据原命题与其逆否命题等价,具有共同的真假性,故选 C. 答案 C 11.(2013·湖南六校联考)设 p:|4x-3|≤1,q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈 p 是綈
2 2 2 2

q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是(

)

? 1? A.?0, ? ? 2? ?1 ? C.(-∞,0]∪? ,+∞? ?2 ?
解析

? 1? B.?0, ? ? 2? ?1 ? D.(-∞,0)∪? ,+∞? ?2 ?
1 2

p : |4x - 3|≤1? - 1≤4x - 3≤1 , ∴ ≤ x ≤ 1 ; q : x2 - (2a + 1)x + a(a +

1)≤0? (x-a)[x-(a+1)]≤0,∴a≤x≤a+1.由题意知 p 是 q 的充分不必要条件,故 1 ? ?a≤ , 1 2 有? 则 0≤a≤ . 2 ? ?a+1≥1, 答案 A 二、填空题 12.(2015·河南豫东豫北模拟)已知数列{an}的通项为 an=n -2λ n,则“λ <0”是“? n∈ N ,an+1>an”的________条件. 解析 当 λ <0 时,an=n -2λ n 的对称轴为 n=λ <0,则 an+1>an;反之不一定成立.
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答案 充分不必要 三、解答题 13.(2015·菏泽模拟)设命题 p:|4x-3|≤1;命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解 ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,∴綈 q? 綈 p,且綈 p 綈 q 等价于 p? q,且 q
2

p.
? ?1 ? 2 记 p : A = {x||4x -3|≤1}= ?x? ≤x≤1? , q : B = {x|x - (2a + 1)x + a(a +1)≤0|= 2 ? ? ?

{x|a≤x≤a+1}, 则 A B.

a+1≥1, ? ? 1 从而? 1 且两个等号不同时成立,解得 0≤a≤ . 2 a≤ , ? ? 2

? 1? 故所求实数 a 的取值范围是?0, ?. ? 2?
一年创新演练 14.设 y=f(x)是定义在 R 上的函数,给定下列三个条件: (1)y=f(x)是偶函数;(2)y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称;(3)T=2 为 y=f(x)的一 个周期.如果将(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,那么构成的 三个命题中真命题有________个. 解析 ①(1)(2)? (3),由(2)知 f(x)=f(2-x),又 f(x)=f(-x),∴f(-x)=f(2-

x),∴T=2 为 f(x)的一个周期,得证;
②(1)(3)? (2),由(3)知 f(x)=f(2+x), 又 f(x)=f(-x),∴f(-x)=f(2+x), ∴y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③(2)(3)? (1),由(2)知 f(x)=f(2-x),即 f(-x)=f(2+x),由(3)知 f(x)=f(2+

x),∴f(-x)=f(x), 即 f(x)为偶函数,故答案为 3 个.
答案 3

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