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杭州学军中学2011学年第一学期期末考试 高二数学(理)试卷

时间:2012-01-29


杭州学军中学 2011 学年第一学期期末考试 高二数学(理)试卷
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分 1.“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的 A.充分不必要条件
2

( D.既不充分也不必要条件 (



B.必要不充分条件 C. 充要条件
2 2 2

2.已知椭圆 C1 :

x y x y ? ? 1, C 2 : ? ? 1, 则 12 4 16 8
B. C1 与 C 2 长轴长相同 D. C1 与 C 2 焦距相等



A. C1 与 C 2 顶点相同 C. C1 与 C 2 短轴长相同

3.某简单几何体的三视图如图所示,其正视图.侧视图.俯视图均为直角三角形,面积分 别是 1,2,4,则这个几何体的体积为 ( ) A.
4 3

B.

8 3

C.4

D.8

正视图 俯 视 图

侧视图

4. 下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2 2





B.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 C. “存在 x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ” 命题 的否定是: “对任意 x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件
2

5.已知空间三条直线 l、m、n. 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则 A. m 与 n 异面 C. m 与 n 平行 B. m 与 n 相交 D. m 与 n 异面、相交、平行均有可能





6.过圆 x2 ? y 2 ? 4 外一点 P(4, 2) 作圆的两条切线,切点分别为 A, B ,则 ?ABP 的外接圆方 程是 A. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 B. x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ( )

7.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 (三条侧 棱 和 底 面 均 垂 直 的 三 棱 柱 叫 做 直 三 棱 柱 )中,若

?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于
A.30° 8.已知双曲线 B.45° C.60° D.90°





x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆 C: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切, a 2 b2
( )

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为

x2 y 2 A. ? ?1 5 4

x2 y 2 B. ? ?1 4 5

x2 y 2 C. ? ?1 3 6

x2 y 2 D. ? ?1 6 3

9.如图有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为 a1 和 a2,半焦距分 别为 c1 和 c2,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.则下列结论不正确的是 . A.a1+c1>a2+c2 C.a1c2<a2c1 B.a1-c1=a2-c2 D.a1c2>a2c1 ( )

10.如图在长方形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹 的长度为 ( )

第 12 题

? A. 2
?

? B. 3
?

第 10 题 C.

3 2

D.

2 3 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11.已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______ . 12.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=________. 13.从正方体的八个顶点中任意选择 4 个顶点,它们可能是如下几种几何体(或平面图形) 的 4 个顶点,这些几何体(或平面图形)是___________(写出所有正确的结论的编号) ①矩形 ②不是矩形的平行四边形 ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体 ④每个面都是等边三角形的四面体 14. 已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上, 且动圆恒与直线 x=-1 相切, 则此动圆必过定点____. 15.设 A, B 是双曲线的两个焦点, C 在双曲线上。已知 ?ABC 的三边长成等差数列,且

?

?

?ACB ? 120? ,则该双曲线的离心率为

.

16. 设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C 半
2

径能取到的最大值为__________. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E, F , G, H 分别是棱 AB, CC1 , D1 A1 , BB1 的中点. (1)证明: FH // 平面 A1 EG ; (2)求三棱锥 A1 ? EFG 的体积.
A1 D1 G B1 F C1

D

H C

A

E

B

18 . 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? A B C ,D 面 A B C D 菱 形 , PA ? 平 面 A B C D 底 为 ,

?ABC ? 60? , E 、 F 分别是 BC 、 PC 的中点.
(1)证明: AE ? PD; (2)设 AB=2, 若 H 为线段 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所 成的最大角的正切值为

6 , 求二面角 E ? AF ? C 的余弦值. 2

19.已知焦点在 x 轴的椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短半轴长为 1,动点 M (2, t ) (t ? 0) 在直线 x ?

a2 ( a 为长半轴, c 为半焦距)上. c

(1)求椭圆的标准方程; (2)求以 OM 为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证: 线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.

20.如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 3 x 2 , 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

得的线段长等于 C1 的长半轴长. (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分 别与 C1 相交与 D,E. (i)证明: MD ? ME ; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S 2 . 问:是否存在直线 l ,使得 由.

S1 17 = ?请说明理 S 2 32

杭州学军中学 2011 学年第一学期期末考试 高二数学(理)答卷
二.填空题 11. 13. 15. 三.解答题 17.
D1 G A1 B1 F C1

12. 14. 16.

D

H C

A

E

B

18.

19. ks5u ks5u

20

杭州学军中学 2011 学年第一学期期末考试 高二数学(理)答案
一.选择题 ADABD DCADB 二.填空题 11.

10 3
1,3,4

12.

1

13.

14.

(1,0)

15.

7 2

16.

6 ?1
D1 G A1 B1 F C1

17.解: (1)证明:? FH // B1C1 , B1C1 // A1G, ? FH // A1G 又 A1G ? 平面 A1GE , FH ? 平面 A1GE ,
? FH // 平面 A1 EG

D

H C

E (2)连结 HA1 , HE, HG ,由(1)得 FH // 平面 A1 EG ,?VH ? A1EG ? VF ? A1EG

A

B

又 S?A1EH ? S ABB1 A1 ? S?A1 AE ? S?A1B1H ? S?EBH ? 1? 1 ?

1 1 1 3 1 ? ? ? , A1G ? 4 4 8 8 2

1 1 3 1 1 ?VA1 ? EFG ? VF ? A1EG ? VH ? A1EG ? VG ? A1EH ? S?A1EH ?A1G ? ? ? ? 3 3 8 2 16

18.(1)略 (2)

15 5

19. (1)又由点 M 在准线上,得

a2 ?2 c



1 ? c2 ? 2 ,?c ? 1 c

从而 a ? 2

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆方程为 2
(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x( x ? 2) ? y( y ? t ) ? 0

即 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t 2

t2 ?1 4
t2 ?1 4

其圆心为 (1, ) ,半径 r ?

t 2

因为以 OM 为直径的圆被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

r 2 ?1 ?

t 2

所以

3 ? 2t ? 5 5

?

t ,解得 t ? 4 2
2 2

所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 (3)方法一:由平几知: ON 直线 OM: y ?
2

? OK OM

t 2 x ,直线 FN: y ? ? ( x ? 1) 2 t

t ? ?y ? 2 x 4 ? 由? 得 xK ? 2 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?
? ON ? (1 ?
2

t2 t2 ) xK ? (1 ? ) xM 4 4

t2 4 ? (1 ? ) ? 2 ?2 ? 2 4 t ?4
所以线段 ON 的长为定值 2 。ks5u 方法二、设 N ( x0 , y0 ) ,则

???? ???? ? FN ? ( x0 ? 1, y0 ), OM ? (2, t ) ???? ? ???? MN ? ( x0 ? 2, y0 ? t ), ON ? ( x0 , y0 )

???? ???? ? ? FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0,? 2 x0 ? ty0 ? 2
又? MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0,? x0 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 2
2

???? ?

????

所以, ON ?

????

x02 ? y02 ? 2 为定值

20.(I)由题意知 e ?

c 3 ? ,从而 a ? 2b ,又 2 b ? a ,解得 a ? 2, b ? 1 。 a 2



C1



C2

的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1 。 4

(II) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx ? y ? x ?1
2

得 x ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 。 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?1

故 MA ? MB ,即 MD ? ME 。 (ii)设直线的斜率为 k1 ,则直线的方程为 y ? k1 x ? 1 ,由 ?

? y ? k1 x ? 1
2 ? y ? x ?1

解得 ?

?x ? 0 或 ? y ? ?1

? x ? k1 2 ,则点的坐标为 ( k1 , k1 ? 1) ? 2 ? y ? k1 ? 1
又直线 MB 的斜率为 ?

1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 (? , 2 ? 1) . k1 k1 k1

于是 S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 2 ? | ? |? . 2 2 k1 k1 2 | k1 |
得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 ,
2 2

由?

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

8k1 ? ? x ? 1 ? 4k 2 ?x ? 0 8k1 4k 2 ? 1 ? 1 , 1 2); 解得 ? 或? ,则点 D 的坐标为 ( 2 1 ? 4k12 1 ? 4k1 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ?
又直线的斜率为 ?

?8k1 4 ? k12 1 , ) ,同理可得点 E 的坐标 ( 4 ? k12 4 ? k12 k1

于是 S 2 ?

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 | MD | ? | ME |? 2 (1 ? 4k12 )(4 ? k12 )

因此

S1 1 1 ? (4k12 ? 2 ? 17) S2 64 k1 1 1 17 1 2 解得 k1 ? 4 或 k12 ? 。 (4k12 ? 2 ? 17) ? 64 k1 32 4

由题意知,

1 k12 1 3 又由点 A, B 的坐标可知, k ? ? k1 ? ,所以 k ? ? . 1 k1 2 k1 ? k1 k12 ?
故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ?

ks5u

3 3 x和 y ? ? x。 2 2


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