nbhkdz.com冰点文库

1.4生活中的优化问题举例

时间:2011-04-28


1.4 生活中的优化问题举例

生活中经常遇到求利润最大、用 生活中经常遇到求利润最大、 料最省、效率最高等问题, 料最省、效率最高等问题,这些问题 通常称为优化问题. 通过前面的学习, 通常称为优化问题. 通过前面的学习, 我们知道,导数是求函数最大( 我们知道,导数是求函数最大(小) 值的强有力工具.这一节, 值的强有力工具.这一节,我们利用 导数,解决一些生活中的优化问题. 导数,解决一些生活中的优化问题.

例1、在边长为 、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去 的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形,再把它的边沿虚线折起, 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时, 一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱 子容积最大?最大容积是多少? 子容积最大?最大容积是多少?
x
x x
60

x

60

设箱底边长为x,则箱高 解:设箱底边长为 则箱高 设箱底边长为 则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 解得x=0(舍去 舍去),x=40.且V(40)= 令V ′( x) = 60x ? x = 0 ,解得 解得 舍去 且 2 16000.

由题意可知,当 过小 接近0)或过大 接近60)时 箱子 过小(接近 或过大(接近 由题意可知 当x过小 接近 或过大 接近 时,箱子 的容积很小,因此 因此,16000是最大值 是最大值. 的容积很小 因此 是最大值 箱子容积最大,最大容积是 答:当x=40cm时,箱子容积最大 最大容积是 当 时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3.

如果函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个极 在开区间( ) 如果函数 在开区间 值点,那么这个极值点必定是最值点。 值点,那么这个极值点必定是最值点。

说明
1、设出变量找出函数关系式; 、设出变量找出函数关系式; 确定出定义域; 确定出定义域; 所得结果符合问题的实际意义 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点 0 , 、 在定义域内只有一个极值点 在定义域内只有一个极值点x 则不需与端点比较, 则不需与端点比较, f ( x0 )即是所求的最大值或 即是所求的最大值或 最小值. 最小值 (所说区间的也适用于开区间或无穷区间 所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 所说区间的也适用于开区间或无穷区间

例2 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报 学校或班级举行活动, 进行宣传. 进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖 向张贴的海报, , 向张贴的海报,要求版心面积为 128dm 2 下两边各空2dm 2dm. 右两边各空1dm. 上、下两边各空2dm.左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸, 如何设计海报的尺寸,才能使四周空白的面 积最小? 积最小?

解:设版心的宽为x dm ,长为y dm 2 ,(1 则有 xy=128,(1) 另设四周空白面积为S, 另设四周空白面积为S, y
则 S = 2( x + 2) × 2 + 2 × y × 1
128 式得: 由(1)式得 y = x x 256 + 8( x > 0). 式中得: 代入(2)式中得 S ( x ) = 4 x + x
令S ′( x ) = 0, 即4 ?

= 4x + 2 y + 8

(2)

∴ x = 8,∴ 最小面积S = 4 × 8 + 128 此时y = = 16(dm ) ∴ x 8

256 =0 2 x 256

8

+ 8 = 72 dm 2 ) (

= 8dm

由解法(一 得 解法二:由解法 一)得

256 256 S( x) = 4 x + + 8 ≤ 2 4x ? +8 x x

= 2 × 32 + 8 = 72
256 , 即x = 8( x > 0)时S 取最小值 当且仅当4 x = x
128 此时y= = 16 8

答:应使用版心宽为8dm,长为16dm,四周空白面积最小

例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 饮料瓶大小对饮料公司利润的 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 )你是否注意过, 比大包装的要贵些? 比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? )是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 2 瓶子的制造成本是 0.8π r 分,其中 r 是瓶 子的半径,单位是厘米.已知每出售 已知每出售1 子的半径,单位是厘米 已知每出售 ml 的饮料, 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能 且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题(1 瓶子的半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大? 瓶子的半径多大时, 问题 1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 瓶子的半径多大时, 2 瓶子的半径多大时 每瓶的利润最小?

解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是 由于瓶子的半径为 ,



4 3 y = f (r) = 0.2× π r ? 0.8π r2 3 3 r 2 6 = 0.8π ( ? r ), 0<r≤ 3 2

f '( r ) = 0.8( r ? 2r ) = 0 当 r = 2时, f '( r ) = 0

当 r ∈ (0, 2) 时 , f '( r ) < 0 当 r ∈ (2, 6) 时 , f '( r ) > 0
当半径r> 单调递增, 当半径 >2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 它表示 即半径越大,利润越高; 即半径越大,利润越高; 当半径r< 当半径 <2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低. 即半径越大,利润越低.

1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f ( 2 ) < 0 半径为2 利润最小, 半径为 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大 半径为6 时

例 4. 磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是 带有磁性介质的圆盘, 带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其 R 格式化成磁道和扇区。 格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径 所构成的同心轨道, 所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分 r 割所成的扇形区域。 割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可 作为基本存储单元, 作为基本存储单元,根据其磁化与否可分 别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被 称为比特(bit) 称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率, 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比 为了数据检索便利, 特所占用的磁道长度不得小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化 时要求所有磁道要具有相同的比特数 求所有磁道要具有相同的比特数。 时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题: 的磁盘, 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之 越小,磁盘的存储量越大? 间的环形区域. 间的环形区域.⑴是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?⑵ r 为多少 磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?

由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 之间,由于磁道之间 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间 的宽度必需大于 m , 且最外面的磁道不存储任何信 R?r 息,故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比 m 特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装 特数相同,为获得最大存储量, 2π r 满,即每条磁道上的比特数可达 。 n R?r 2π r 2π ∴磁盘总存储量 f ( r ) = × = r(R ? r) m n mn 的二次函数, 它是一个关于 r 的二次函数, 从函数解析式上可以判 越小,磁盘的存储量越大. 断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大. 的最大值, 为求 f ( r ) 的最大值,计算 f ′( r ) = 0 .

2π f ′( r ) = ( R ? 2r ) mn

R 令 f ′( r ) = 0 ,解得 r = 2 R R 当 r < 时, f ′( r ) > 0 ;当 r > 时, f ′( r ) < 0 . 2 2 R 磁盘具有最大存储量。 因此 r = 时,磁盘具有最大存储量。 2 2π R 2 此时最大存储量为 mn 4

方法小结 解决优化问题的方法之一: 解决优化问题的方法之一:通过搜集大量的 统计数据,建立与其相应的数学模型, 统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过 研究相应函数的性质,提出优化方案, 研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题 得到解决.在这个过程中, 得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有 利的工具,其基本思路如以下流程图所示: 利的工具,其基本思路如以下流程图所示 优化问题
建立数学模型

用函数表示数学问题
解决数学模型

优化问题的答案
思考1 思考

作答

用导数解决数学问题
思考 2

思考 1 : (课本习题 A 组第 3 题 ) 课本习题 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应 怎样选取, 才能使所用的材料最省? 怎样选取 , 才能使所用的材料最省 ?

分析: 分析: 所用材料最省”用什么量来刻划? “所用材料最省”用什么量来刻划?
表面积 设半径为R,则高为h 设半径为R,则高为h R,则高为 表面积写成R的函数, 表面积写成R的函数,问题就转化求函数 的最值问题

h R

思考 3 : (课本习题 A 组第 3 题 ) 课本习题 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应 怎样选取, 才能使所用的材料最省? 怎样选取 , 才能使所用的材料最省 ? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面 V 2 2 S=2πRh+2π V=π 积 S=2πRh+2πR 由 V=πR h,得 h = , 2 h πR V 2 2V 2 2π 2π +2π 则 S(R)= 2πR + 2πR = +2πR 2 R πR R V 2V 3 +4πR=0, 解得, 令 s′( R ) = ? 2 +4πR=0, 解得,R= , 2π R 4V V V V 3 3 从而 h= 2 = = =2 即 h=2R π π πR V 2 3 π( ) 2π S(R)只有一个极值 只有一个极值, ∵S(R)只有一个极值,所以它是最小值 当罐的高与底直径相等时, 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

变式题 变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时, 它的高与底面半径应怎样选取, 它的高与底面半径应怎样选取,才能使饮料罐的容 积最大? 积最大?
S ? 2π R 2 提示: 提示: S = 2π Rh + 2π R 2 ? h = 2π R

h R

S ? 2π R 1 1 2 2 ? π R = ( S ? 2π R ) R = SR ? π R 3 ? V(R)= 2 2 2π R
2

令 V '( R ) =0 ? S = 6π R 2
? 6π R 2 = 2π Rh + 2π R 2 ? h = 2 R .

回顾总结: 回顾总结 1.利用导数解决优化问题的基本思路: 利用导数解决优化问题的基本思路 优化问题
建立数学模型

用函数表示数学问题
解决数学模型
作答

优化问题的答案

用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建 2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据, 解决优化问题的方法 立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质, 立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质, 提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中, 提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数 往往是一个有利的工具。 往往是一个有利的工具。


赞助商链接

3.4 生活中的优化问题举例 教学设计 教案

3.4 生活中的优化问题举例 教学设计 教案。教学准备 1. 教学目标知识与技能 1.体会导数在解决实际问题中的作用,能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化 ...

1.4 生活中的优化问题举例 教学设计 教案

1.4 生活中的优化问题举例 教学设计 教案。教学准备 1. 教学目标一、知识与技能目标 1、体会导数在解决实际问题中的作用,能解决利润最大、用料最省、效率最高等...

《1.4生活中的优化问题举例(1)》教学案2

1.4 生活中的优化问题举例(1) 》教学案 2 课型:新授课 教学目标: 1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用 提高将...

1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)

1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)_数学_高中教育_教育专区。§1.4.1 生活中的优化问题举例 课前预习学案【预习目标】 预习优化问题,初步体会导数在解决实际...

1.4 生活中的优化问题举例

1.4 生活中的优化问题举例_高二数学_数学_高中教育_教育专区。1.4 生活中的优化问题举例 凤鸣中学双单三卡教学模式导学设计 年级 高二_ 科目 数学 主备教师 协作...

生活中的优化问题举例教学设计

成都七中万达学校 2016 年青年教师赛课教学设计 课题:生活中的优化问题举例 课...暂无评价 5页 1下载券 1.4生活中的优化问题举例... 2页 1下载券 ©...

《生活中的优化问题举例》教学设计(4)

生活中的优化问题举例》教学设计 【教学目标】 1.会解决使利润最大、用料最...现让你设计一张如图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报, 要求版心面积为 128dm2,...

高中数学 1.4.1生活中的优化问题举例教案 新人教版选修2-2

课题: §1.4 生活中的优化问题举例(2 课时) 1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决 实际问题中的作用 提高将实际问题转化为数学问题的...

...2第一章+1.4《生活中的优化问题举例》【素材】

人教版A版高中数学选修2-2第一章+1.4生活中的优化问题举例》【素材】_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修,PPT,PPT课件,数学练习说课稿,备课教案学案导学案,...

...2第一章+1.4《生活中的优化问题举例》【教案】

人教版A版高中数学选修2-2第一章+1.4生活中的优化问题举例》【教案】_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修,PPT,PPT课件,数学练习说课稿,备课教案学案导学案,...