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1.4生活中的优化问题举例

时间:2017-07-04


1.4 生活中的优化问题举例

生活中经常遇到求利润最大、用 生活中经常遇到求利润最大、 料最省、效率最高等问题, 料最省、效率最高等问题,这些问题 通常称为优化问题. 通过前面的学习, 通常称为优化问题. 通过前面的学习, 我们知道,导数是求函数最大( 我们知道,导数是求函数最大(小) 值的强有力工具.这一节, 值的强有力工具.这一节,我们利用 导数,解决

一些生活中的优化问题. 导数,解决一些生活中的优化问题.

例1、在边长为 、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去 的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形,再把它的边沿虚线折起, 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时, 一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱 子容积最大?最大容积是多少? 子容积最大?最大容积是多少?
x
x x
60

x

60

设箱底边长为x,则箱高 解:设箱底边长为 则箱高 设箱底边长为 则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 解得x=0(舍去 舍去),x=40.且V(40)= 令V ′( x) = 60x ? x = 0 ,解得 解得 舍去 且 2 16000.

由题意可知,当 过小 接近0)或过大 接近60)时 箱子 过小(接近 或过大(接近 由题意可知 当x过小 接近 或过大 接近 时,箱子 的容积很小,因此 因此,16000是最大值 是最大值. 的容积很小 因此 是最大值 箱子容积最大,最大容积是 答:当x=40cm时,箱子容积最大 最大容积是 当 时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3.

如果函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个极 在开区间( ) 如果函数 在开区间 值点,那么这个极值点必定是最值点。 值点,那么这个极值点必定是最值点。

说明
1、设出变量找出函数关系式; 、设出变量找出函数关系式; 确定出定义域; 确定出定义域; 所得结果符合问题的实际意义 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点 0 , 、 在定义域内只有一个极值点 在定义域内只有一个极值点x 则不需与端点比较, 则不需与端点比较, f ( x0 )即是所求的最大值或 即是所求的最大值或 最小值. 最小值 (所说区间的也适用于开区间或无穷区间 所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 所说区间的也适用于开区间或无穷区间

例2 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报 学校或班级举行活动, 进行宣传. 进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖 向张贴的海报, , 向张贴的海报,要求版心面积为 128dm 2 下两边各空2dm 2dm. 右两边各空1dm. 上、下两边各空2dm.左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸, 如何设计海报的尺寸,才能使四周空白的面 积最小? 积最小?

解:设版心的宽为x dm ,长为y dm 2 ,(1 则有 xy=128,(1) 另设四周空白面积为S, 另设四周空白面积为S, y
则 S = 2( x + 2) × 2 + 2 × y × 1
128 式得: 由(1)式得 y = x x 256 + 8( x > 0). 式中得: 代入(2)式中得 S ( x ) = 4 x + x
令S ′( x ) = 0, 即4 ?

= 4x + 2 y + 8

(2)

∴ x = 8,∴ 最小面积S = 4 × 8 + 128 此时y = = 16(dm ) ∴ x 8

256 =0 2 x 256

8

+ 8 = 72 dm 2 ) (

= 8dm

由解法(一 得 解法二:由解法 一)得

256 256 S( x) = 4 x + + 8 ≤ 2 4x ? +8 x x

= 2 × 32 + 8 = 72
256 , 即x = 8( x > 0)时S 取最小值 当且仅当4 x = x
128 此时y= = 16 8

答:应使用版心宽为8dm,长为16dm,四周空白面积最小

例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 饮料瓶大小对饮料公司利润的 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 )你是否注意过, 比大包装的要贵些? 比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? )是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 2 瓶子的制造成本是 0.8π r 分,其中 r 是瓶 子的半径,单位是厘米.已知每出售 已知每出售1 子的半径,单位是厘米 已知每出售 ml 的饮料, 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能 且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题(1 瓶子的半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大? 瓶子的半径多大时, 问题 1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 瓶子的半径多大时, 2 瓶子的半径多大时 每瓶的利润最小?

解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是 由于瓶子的半径为 ,



4 3 y = f (r) = 0.2× π r ? 0.8π r2 3 3 r 2 6 = 0.8π ( ? r ), 0<r≤ 3 2

f '( r ) = 0.8( r ? 2r ) = 0 当 r = 2时, f '( r ) = 0

当 r ∈ (0, 2) 时 , f '( r ) < 0 当 r ∈ (2, 6) 时 , f '( r ) > 0
当半径r> 单调递增, 当半径 >2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 它表示 即半径越大,利润越高; 即半径越大,利润越高; 当半径r< 当半径 <2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低. 即半径越大,利润越低.

1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f ( 2 ) < 0 半径为2 利润最小, 半径为 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大 半径为6 时

例 4. 磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是 带有磁性介质的圆盘, 带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其 R 格式化成磁道和扇区。 格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径 所构成的同心轨道, 所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分 r 割所成的扇形区域。 割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可 作为基本存储单元, 作为基本存储单元,根据其磁化与否可分 别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被 称为比特(bit) 称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率, 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比 为了数据检索便利, 特所占用的磁道长度不得小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化 时要求所有磁道要具有相同的比特数 求所有磁道要具有相同的比特数。 时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题: 的磁盘, 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之 越小,磁盘的存储量越大? 间的环形区域. 间的环形区域.⑴是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?⑵ r 为多少 磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?

由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 之间,由于磁道之间 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间 的宽度必需大于 m , 且最外面的磁道不存储任何信 R?r 息,故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比 m 特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装 特数相同,为获得最大存储量, 2π r 满,即每条磁道上的比特数可达 。 n R?r 2π r 2π ∴磁盘总存储量 f ( r ) = × = r(R ? r) m n mn 的二次函数, 它是一个关于 r 的二次函数, 从函数解析式上可以判 越小,磁盘的存储量越大. 断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大. 的最大值, 为求 f ( r ) 的最大值,计算 f ′( r ) = 0 .

2π f ′( r ) = ( R ? 2r ) mn

R 令 f ′( r ) = 0 ,解得 r = 2 R R 当 r < 时, f ′( r ) > 0 ;当 r > 时, f ′( r ) < 0 . 2 2 R 磁盘具有最大存储量。 因此 r = 时,磁盘具有最大存储量。 2 2π R 2 此时最大存储量为 mn 4

方法小结 解决优化问题的方法之一: 解决优化问题的方法之一:通过搜集大量的 统计数据,建立与其相应的数学模型, 统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过 研究相应函数的性质,提出优化方案, 研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题 得到解决.在这个过程中, 得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有 利的工具,其基本思路如以下流程图所示: 利的工具,其基本思路如以下流程图所示 优化问题
建立数学模型

用函数表示数学问题
解决数学模型

优化问题的答案
思考1 思考

作答

用导数解决数学问题
思考 2

思考 1 : (课本习题 A 组第 3 题 ) 课本习题 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应 怎样选取, 才能使所用的材料最省? 怎样选取 , 才能使所用的材料最省 ?

分析: 分析: 所用材料最省”用什么量来刻划? “所用材料最省”用什么量来刻划?
表面积 设半径为R,则高为h 设半径为R,则高为h R,则高为 表面积写成R的函数, 表面积写成R的函数,问题就转化求函数 的最值问题

h R

思考 3 : (课本习题 A 组第 3 题 ) 课本习题 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应 怎样选取, 才能使所用的材料最省? 怎样选取 , 才能使所用的材料最省 ? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面 V 2 2 S=2πRh+2π V=π 积 S=2πRh+2πR 由 V=πR h,得 h = , 2 h πR V 2 2V 2 2π 2π +2π 则 S(R)= 2πR + 2πR = +2πR 2 R πR R V 2V 3 +4πR=0, 解得, 令 s′( R ) = ? 2 +4πR=0, 解得,R= , 2π R 4V V V V 3 3 从而 h= 2 = = =2 即 h=2R π π πR V 2 3 π( ) 2π S(R)只有一个极值 只有一个极值, ∵S(R)只有一个极值,所以它是最小值 当罐的高与底直径相等时, 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

变式题 变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时, 它的高与底面半径应怎样选取, 它的高与底面半径应怎样选取,才能使饮料罐的容 积最大? 积最大?
S ? 2π R 2 提示: 提示: S = 2π Rh + 2π R 2 ? h = 2π R

h R

S ? 2π R 1 1 2 2 ? π R = ( S ? 2π R ) R = SR ? π R 3 ? V(R)= 2 2 2π R
2

令 V '( R ) =0 ? S = 6π R 2
? 6π R 2 = 2π Rh + 2π R 2 ? h = 2 R .

回顾总结: 回顾总结 1.利用导数解决优化问题的基本思路: 利用导数解决优化问题的基本思路 优化问题
建立数学模型

用函数表示数学问题
解决数学模型
作答

优化问题的答案

用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建 2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据, 解决优化问题的方法 立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质, 立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质, 提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中, 提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数 往往是一个有利的工具。 往往是一个有利的工具。


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