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2016届高三数学复习 第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


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第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1.(2015·广东揭阳模拟)已知命题 p:四边形确定一个平面;命题 q:两两相交的三条直线 确定一个平面.则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.(綈 p)∨q )



B.p∨q D.p∧(綈 q)

解析 命题 p,q 均为假命题,则綈 p 为真命题,所以(綈 p)∨q 为真命题,故选 C. 答案 C 4 1 + x0 2.(2015·山东德州模拟)已知命题 p:? x>0,x+ ≥4;命题 q:? x0∈R ,2 = .则下列 x 2 判断正确的是( A.p 是假命题 C.p∧(綈 q)是真命题 ) B.q 是真命题 D.(綈 p)∧q 是真命题

解析 命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则 p∧(綈 q)是真命题,故选 C. 答案 C 3.(2015·吉林实验模拟)命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x <0 B.不存在 x∈R,使得 x <0 C.存在 x0∈R,使得 x0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x0<0 解析 命题为全称命题,故否定为特称命题,选 D. 答案 D 4.(2014·广东中山模拟)已知 α ,β ,γ 为互不重合的三个平面,命题 p:若 α ⊥β ,β ⊥γ ,则 α ∥γ ;命题 q:若 α 上不共线的三点到 β 的距离相等,则 α ∥β .对以上两 个命题,下列结论中正确的是( A.命题“p∧q”为真 C.命题“p∨q”为假 ) B.命题“p∨綈 q”为假 D.命题“綈 p∧綈 q”为假
2 2 2 2 2

)

解析 由题意,可判定 p、q 皆为假命题,∴“p∨q”为假命题,故可判断 C 正确. 答案 C 二、填空题
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5.(2013·安徽安庆模拟)已知命题 p:? x∈R,x +m<0;命题 q:? x∈R,x +mx+1>0.若

2

2

p∧q 为真命题,则实数 m 的取值范围为________.
解析 若 p∧q 为真,则 p 真 q 真.p 真的充要条件是 x <-m 有解,即 m<0;q 真的充要条 件是 Δ =m -4<0,即-2<m<2,所以-2<m<0. 答案 (-2,0) 三、解答题 6.(2015·开封模拟)已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=c 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)
x
2 2

?1 ? 2 =x -2cx+1 在? ,+∞?上为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真, 求实数 c 的取 ?2 ?
值范围. 解 ∵函数 y=c 在 R 上单调递减,∴0<c<1.
x

即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴綈 p:c>1.

?1 ? 2 又∵f(x)=x -2cx+1 在? ,+∞?上为增函数, ?2 ?
1 ∴c≤ . 2 1 1 即 q:0<c≤ ,∵c>0 且 c≠1,∴綈 q:c> 且 c≠1. 2 2 又∵“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p 与 q 一真一假. ① 当 p 真, q 假时,

? ? ? 1 ? 1 {c|0<c<1}∩?c|c> ,且c≠1?=?c| <c<1?. 2 ? ? ? 2 ? ? 1? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤ ?=?. 2? ? ? ?1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是?c? <c<1?. 2 ? ? ?

一年创新演练 7.若函数 f(x)=x + (a∈R),则下列结论正确的是( A.? a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.? a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.? a0∈R,f(x)是偶函数 D.? a0∈R,f(x)是奇函数 解析 对于 A,只有当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,否则不成立;对于 B,当
2

a x

)

a≤0 时不成立;对于 D,不存在 a(a∈R),使 f(x)是奇函数,因此只有 C 是正确的,即
当 a=0 时,有 f(x)=x 是一个偶函数,因此存在这样的 a,使 f(x)是偶函数.
2

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答案 C 8.命题 p:若 xy≠6,则 x≠2 或 y≠3;命题 q:当 a∈(-1,5]时,|2-x|+|3+x|≥a - 4a 对任意 x∈R 恒成立,则( A.“p∨綈 q”为假命题 B.“綈 p∨q”为假命题 C.“p∧綈 q”为真命题 D.“p∧q”为真命题 解析 由题意,命题 p、q 均为真命题.故选 D. 答案 D B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 9.(2015·山东烟台模拟)设命题 p:曲线 y=e 在点(-1,e)处的切线方程是 y=-ex ;命题 q:a,b 是任意实数,若 a>b,则 A.p∨q 为真 C.p 假 q 真
-x -x -x 2

)

1

a+1 b+1

<

1

,则(

)

B.p∧q 为真 D.p,q 均为假命题

解析 y′=(e )′=-e ,∴切线斜率为-e,切线方程为 y-e=-e(x+1),即 y= -ex,∴p 为真.当 a=0,b=-2 时, 1

a+1

=1,

1

b+1 -2+1



1

=-1,此时

1

a+1 b+1

>

1



∴命题 q 为假.∴“p 或 q”为真,选 A. 答案 A 10.(2015·陕西西安模拟)已知命题 p:“? x∈[0,1],a≥e ”,命题 q:“? x∈R,x + 4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.[e,4] C.(4,+∞) B.[1,4] D.(-∞,1]
x
2

x

2

)

解析 若命题 p:“? x∈[0,1],a≥e ”为真命题,则 a≥e;若命题 q:“? x∈R,x

+4x+a=0”为真命题,则 Δ =16-4a≥0,即 a≤4,所以若命题“p∧q”是真命题, 则实数 a 的取值范围是[e,4]. 答案 A 11.(2015·湖北荆门模拟)下列命题中,真命题是( A.? x0∈R,使得 e ≤0 2 2 B.sin x+ ≥3(x≠kπ ,k∈Z) sin x C.? x∈R,2 >x
x
2

)

x0

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D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分不必要条件 解析 A 中的 e 恒大于 0;B 中,当 sin x>0 时,sin x+ 在 C 中 x=2 时,2 =x 故不成立,故选 D. 答案 D 12.(2014·菏泽调研)已知命题 p:? x∈[0,1],a≥e ;命题 q:? x0∈R,x0+4x0+a=0. 若命题 p∧q 是假命题,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,4] C.(-∞,e)∪(4,+∞) 解析 )
x
2

x0

2

2 ≥3(x≠kπ ,k∈Z)成立, sin x

x

2

B.(-∞,1)∪(4,+∞) D.(1,+∞)
2

当 p 为真命题时,a≥e;当 q 为真命题时,x +4x+a=0 有解,则 Δ =16-

4a≥0,∴a≤4.∴p∧q 为真命题时,e≤a≤4.∴p∧q 为假命题时,a<e 或 a>4. 答案 C 二、填空题 13.(2014·深圳调研)已知下列命题: ①命题“? x∈R,x +1>3x”的否定是“? x∈R,x +1<3x”; ②已知 p,q 为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“(綈 p)∧(綈 q)为真命题”; ③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件; ④“若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题为真命题. 其中所有真命题的序号是________. 解析 命 题 “? x ∈ R , x + 1>3x” 的 否 定 是 “? x ∈ R , x + 1 ≤ 3x ” , 故 ① 错 误 ;
2 2 2 2

“p∨q”为假命题说明 p 假 q 假,则(綈 p)∧(綈 q)为真命题,故②正确;a>5? a>2, 但

a>2? / a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错误;因为“若 xy=0,则 x
=0 或 y=0”,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错误. 答案 ② 三、解答题 14.(2014·安阳模拟)已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;命题 q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根.若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围. 解 若方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根,
2 2 2 2

?Δ =m -4>0, ? 则? 解得 m>2,即命题 p:m>2. ?m>0, ?

若方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根, 则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0, 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. 因“p 或 q”为真,所以 p,q 至少有一个为真,
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又“p 且 q”为假,所以命题 p,q 至少有一个为假, 因此,命题 p,q 应一真一假,即命题 p 为真、命题 q 为假或命题 p 为假、命题 q 为真. ∴?
? ?m>2, ? ?m≤2, 或? ?m≤1或m≥3 ? ?1<m<3. ?

解得:m≥3 或 1<m≤2, 即实数 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞). 一年创新演练 15.下列命题: ①在△ABC 中,若 A>B,则 sin A>sin B; → → → → ②已知AB=(3,4),CD=(-2,-1),则AB在CD上的投影为-2; ③已知 p:? x∈R,cos x=1,q:? x∈R,x -x+1>0,则“p∧綈 q”为假命题; π? ? ④已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?-2(ω >0)的导函数的最大值为 3,则函数 f(x)的图象关 6? ? π 于 x= 对称. 3 其中真命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4
2

→ 解析 ①根据正弦定理可知在三角形中.若 A>B,则 a>b,∴sin A>sin B,正确.②中AB在

CD上的投影为|AB|cos〈AB,CD〉,
→ → → → ∵|AB|=5,|CD|= 5,AB·CD=-10, → → AB·CD -10 → → → ∴|AB|cos〈AB,CD〉= = =-2 5,∴②错误.③中命题 p 为真,q 为真,∴ → 5 |CD|





→ →

p∧綈 q 为假命题,∴正确.④中函数的导数为 f′(x)=ω cos?ω x+ ?,最大值为 ω = 6

? ?

π?

?

3, π? ? ∴函数 f(x)=sin?3x+ ?-2. 6? ?

?π ? ? π π? ∴f? ?=sin?3× + ?-2 3 6? ?3? ?
π? 5 ? =sin?π + ?-2=- 不是最值, 6 2 ? ? ∴错误,∴真命题有 2 个.选 B. 答案 B

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