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第13讲《椭圆、双曲线、抛物线》


用心教育加速育才

2014 高考理科数学复习

第 13 讲《椭圆、双曲线、抛物线》
【知识点】 1、椭圆 定义 焦点位置 方程

1. 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于定长( ? F1F2 )的点的轨迹
焦点在 x 轴上 椭圆 C1 : 焦点在 y 轴上 椭圆 C2 :


x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ); a 2 b2

图形

焦点 顶点 范围 对称性 离心率 abc 关系

F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0?
A1 ? ?a,0? , A2 ? a,0? ;

F1 ? 0, ?c ? , F2 ? 0, c ?
A1 ? 0, ?a ? , A2 ? 0, a ? ;

B1 ? 0, ?b? , B2 ? 0, b ? ;

B1 ? ?b,0? , B2 ? b,0? ;

x ≤ a , y ≤b ; x ≤b , y ≤a ; 关于 x, y 轴均对称,关于原点中心对称; c e ? ? ? 0,1? (离心率越大越扁,越小越圆) a

1、焦点三角形 △PF1F2 的面积: S△ PF1F2

c ? a 2 ? b2 ? ? b 2 tan ( ?F1PF2 ? ? , b 为短半轴长) 2
3、 长轴长= 2 a , 短轴长= 2b , 焦距长= 2c

2、 焦点位置是化为标准方程后, 在分母大的轴上

4、通径:设 AB 过焦点 F (c, 0) ,且 AB 垂直于长半轴可得 AB ?

2b 2 a

1

独家内部教材 双曲线 焦点的位置 焦点在 x 轴上

学习改变命运,携手名师,把握未来! 焦点在 y 轴上

图形

标准方程 第一定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 离心率

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a ( 0 ? 2a ?| F1 F2 | )

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

到两定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2 a ,

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

实轴的长 ? 2 a 虚轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? (e ? 1) (越大张中越大)
y?? a x b

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2 b y?? x 渐近线方程 a ? 2 (? ? ?F1MF2 ) 1、焦点三角形面积 S ?MF1F2 ? b cot 2
2、焦点位置是化为标准方程后,在正数项的轴上

3、通径:设 AB 过焦点 F (c, 0) ,且 AB 垂直于长半轴可得 AB ?

2b 2 a

2

用心教育加速育才 3、抛物线 标准方程

2014 高考理科数学复习

y2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? ?2 py( p ? 0)

图形 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线. y轴 y轴 轴 轴

定义 对称轴 焦点 顶点 准线 范围 焦半径

x

x

p F ( , 0) 2 p 2 x≥0 , y? R x??
PF ? x0 ? p 2

F (?

p , 0) 2
原点 (0, 0)

p F (0, ) 2 p 2 0 y≥ ,x?R y??
PF ? y0 ? p 2

p F (0, ? ) 2 p 2 0 y≤ ,x?R y?
PF ? ? y0 ? p 2

p 2 x ≤0 , y? R x?
PF ? ? x0 ? p 2

e ?1 离心率 1、通径为 2p,这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦 2、焦点位置是化为标准方程后,看一次项名称及符号 3、焦点到准线的距离为 p ,焦点=一次项系数 ?4 ,准线=一次项系数 ?(?4) ,

圆锥曲线弦问题 1、弦长公式:

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ; 2 k k x2 y2 2 .圆锥曲线遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 2 ? 2 ? 1 中, 以 a b 2 2 2 bx x y P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线斜率 k ? ? 2 0 ;在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所 a b a y0
AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ?

在直线斜率 k ?

b 2 x0 p ;在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k ? 2 y0 a y0
3

独家内部教材 【例题讲解】椭圆

学习改变命运,携手名师,把握未来!

考点 1、椭圆的定义 x2 y2 1、已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是________. m-1 1+2m
? ?1+2m>m-1, 1、解析:由题意得? 解得 m>1. ?m-1>0, ? x2 y2 2、椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________, 9 2 ∠F1PF2 的大小为________. 2、解析 由题意知长轴长 2a=6,焦距 2c=2 7,由椭圆的定义得|PF2|=6-4=2;由余弦定理 42+22-?2 7?2 1 可得 cos ∠F1PF2= =- ,所以∠F1PF2=120° . 2 2×4×2

3、设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3, 25 16 则 P 点到椭圆左焦点的距离为________. 1 3、解析:由题意知|OM|= |PF2|=3,∴|PF2|=6.∴|PF1|=2×5-6=4. 2 2 x 4、已知椭圆 +y2=1,F1,F2 为其两焦点,P 为椭圆上任一点.则|PF1|· |PF2|的最大值为( ) 4 A、6 B、4 C、2 D、8 m+n 2 4、解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a=4,|PF1|· |PF2|=mn≤( ) =4 2 (当且仅当 m=n=2 时,等号成立)故选 B. x2 y2 5、如图,在直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为 F1、F2. a b 过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交,其中一个交点为 M( 2,1). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的一个顶点为 B(0,-b),直线 BF2 交椭圆 C 于另一点 N,求△F1BN 的面积. 5、解析 (1)由椭圆定义可知|MF2|+|MF2|=2a. 由题意|MF2|=1,∴|MF1|=2a-1, 又由 Rt△MF1F2 可知(2a-1)2=(2 2)2+1,a>0, x2 y2 ∴a=2,又 a2-b2=2,得 b2=2. ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

x2

y2

? ?y=x- 2, (2)直线 BF2 的方程为 y=x- 2. 由?x2 y2 ? ? 4 + 2 =1,

得点 N 的纵坐标为

2 . 3

1 ? 8 2? 又|F1F2|=2 2,∴S△F1BN= × 2+ ×2 2= . 2 ? 3 3? y2 x2 6、如图,点 P 是椭圆 + =1 上的一点,F1 和 F2 是焦点, 5 4 且∠F1PF2=30° ,求△F1PF2 的面积. y2 x2 6、解:在椭圆 + =1 中,a= 5,b=2.∴c= a2-b2=1. 5 4 又∵点 P 在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=2 5.①
4

用心教育加速育才 由余弦定理知|PF1| +|PF2| -2|PF1||PF2|cos30° =|F1F2| =(2c) =4.② 2 2 ①式两边平方得|PF1| +|PF2| +2|PF1|· |PF2|=20.③ ③-②得(2+ 3)|PF1|· |PF2|=16. ∴|PF1|· |PF2|=16(2- 3). 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|sin30° =8-4 3. 2 考点 2、椭圆的标准方程
2 2 2 2

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1、 (定义法)已知两圆 C1: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 169,C2: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆在圆 C1 内部且 和圆 C1 相内切,和圆 C2 相外切,求动圆圆心的轨迹方程. 1、解:设动圆圆心M( x , y ) ,半径为 r ,如图所示, 由题意动圆M内切于圆 C1,∴ MC1 ? 13 ? r ,圆M外切于圆 C2 , ∴ MC2 ? 3 ? r , ∴ ∴ MC1 ? MC2 ? 16 ,

动圆圆心M的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆,且 2a ? 16,2c ? 8 ,

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 64 ? 16 ? 48 ,故所求轨迹方程为:
x2 y2 + =1 10 15 x2 y2 B、 + =1 20 25 x2 y2 C、 + =1 8 13

2、经过点(2,-3),且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同焦点的椭圆方程为( A、 x2 y2 D、 + =1 15 10

x2 y2 ? ? 1. 64 48



x2 y2 2、解析:A 椭圆 9x2+4y2=36 可化为 + =1,其焦点为(0, 5),(0,- 5), 4 9 x2 y2 设所求方程为 2+ 2=1(a>b>0).∵2a= 4+?3- 5?2+ 4+?3+ 5?2 b a = 3?6-2 5?+ 3?6+2 5?=( 5-1) 3+( 5+1) 3=2 15, x2 y2 ∴a= 15,b2=10,∴方程为 + =1. 10 15 3、 (待定系数法)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴, 且经过两点 P ), P2 (? 3,? 2 ) ,求该椭圆的方程. 1 ( 6 ,1 分析:已知两点,椭圆标准方程的形式不确定,我们可以设椭圆方程的一般形式:

mx2 ? ny2 =1( m ? 0, n ? 0) ,进行求解,避免讨论。 2 2 解:设所求的椭圆方程为 mx ? ny =1( m ? 0, n ? 0) .
∵椭圆经过两点 P ), P2 (? 3,? 2 ) , 1 ( 6 ,1 ∴?

?6m ? n ? 1, ?3m ? 2n ? 1.

1 ? m? , ? ? 9 解得 ? ?n ? 1 . ? 3 ?

,故所求的椭圆标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 3

考点 3、椭圆的几何性质 x2 y2 1、椭圆m+ =1 的焦距为 2,则 m 的值等于( ) 4 A、5 B、3 C、5 或 3 D、8
5

独家内部教材 1、解析

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? ?m-4=1, ?4-m=1, ? C ∵c=1,∴? 或? ∴m=3 或 m=5. ?m>0 ? ? ?m>0,
2 2

2、椭圆 x +4y =1 的离心率为(
2 2

)

A、

3 2

3 B、 4

C、

2 2

2 D、 3

1 3 2 2 2、解析:将 x +4y =1 化为标准方程 + =1,则 a=1,b= ,c= a -b = . 1 1 2 2 4 3 . 答案 A 2 3、椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( ) 1 1 A、 B、 C、2 D、4 4 2 y2 1 1 1 1 3、解析:变形为 x2+ =1,由题意知 a2= ,b2=1,∴a= ,b=1.∴ =2,∴m= . m m m 1 4 m → → x2 y2 1 4、若 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,且PF1· PF2=0,tan ∠PF1F2= , a b 2 5 2 1 1 则此椭圆的离心率为( ) A、 B、 C、 D、 3 3 3 2 2c 5 4、解析:A 在 Rt△PF1F2 中,设 PF2=1,则 PF1=2,F1F2= 5,故椭圆的离心率 e= = . 2a 3 x2 y2 5、椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c,若 d1,2c,d2 a b 1 2 3 3 成等差数列,则椭圆的离心率为( ) A、 B、 C、 D、 2 2 2 4 c 1 5、解析:由 d1+d2=2a=4c,所以 e= = ,故选 A. a 2 2 2 x y 6、 椭圆 + =1 的左焦点为 F1, 点 P 在椭圆上, 若线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, 则|PF1|= ( ) 25 9 41 9 A、 B、 C、6 D、7 5 5 b2 9 9 41 6、解析:由条件知 PF2⊥x 轴,则|PF2|= a = ,于是|PF1|=2a-|PF2|=2×5- = ,选 A. 5 5 5 x2 y2 → → 7、 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则OP· FP的 4 3 最大值为( ) A、 2 B、3 C、6 D、8 离心率 e= =
2 7、解析:由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0),则OP· FP=(x0,y0)· (x0+1,y0)=x2 0+x0+y0. 2 2 2 2 x0 y 0 x0 x0 1 → → 2 ∵P 为椭圆上一点,∴ + =1. ∴OP· FP=x2 0+x0+3(1- )= +x0+3= (x0+2) +2. 4 3 4 4 4 → → ∵-2≤x0≤2,∴OP·FP的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6. 考点 4 直线与椭圆的位置关系 x2 1 1 1、椭圆 +y2=1 的弦被点( , )平分,则这条弦所在的直线方程是________. 2 2 2 1 1 1、解析:设该弦与椭圆相交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则由点( , )平分弦 AB 可得 x1+x2=1, 2 2 1 y1+y2=1,再将点 A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程后作差可得 kAB=- ,然后根据点斜式方 2

x2 y2

c a

→ →

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程可求得直线 AB 的方程为 2x+4y-3=0. x2 y2 3 2、设 A、B 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点,(1, )为椭圆上一点,椭圆长半轴的长 a b 2 等于焦距. (1)求椭圆的方程; (2)设 P(4,x)(x≠0),若直线 AP,BP 分别与椭圆相交异 于 A,B 的点 M,N,求证:∠MBN 为钝角. x2 y2 3 2、 (1)解:依题意,得 a=2c,b2=a2-c2=3c2 设椭圆方程为 2+ 2=1,将(1, )代入, 4c 3c 2 x2 y2 2 得 c =1. 故椭圆方程为 + =1. 4 3 3 2 (2)证明:由(1)知,A(-2,0),B(2,0),设 M(x0,y0),则-2<x0<2,y2 0= (4-x0). 4 6y0 6y0 → → 由 P,A,M 三点共线,得 x= ,BM=(x0-2,y0),BP=(2, ), x0+2 x0+2 2 6y0 5 → → BM· BP=2x0-4+ = (2-x0)>0,即∠MBP 为锐角,则∠MBN 为钝角 x0+2 2 3、设 F1,F2 分别是椭圆 +y =1 的左、右焦点. 4 5 (1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且 PF1 · PF2 =- ,求点 P 的坐标; 4 (2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为原点), 求直线 l 斜率 k 的取值范围. 3、解析 (1)由题意知 a=2,b=1,c= 3,所以 F1(- 3,0),F2( 3,0). 设 P(x,y)(x>0,y>0), PF1 =(- 3-x,-y), PF2 =( 3-x,-y). 5 5 2 2 由 PF1 · PF2 =- ,得 x +y -3=- . 4 4 7 ? ?x +y =4, 联立? x ? 4 +y =1, ?
2 2 2 2

x2

2

解得点 P(1,

3 ). 2

(2)可设 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).将 y=kx+2 代入椭圆方程, 2 2 2 2 2 3 得(1+4k )x +16kx+12=0. 由 Δ =(16k) -4·(1+4k )·12>0,得 k > . ① 4 2 又 y1·y2=(kx1+2)(kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4,∵∠AOB 为锐角, 所以 OA · OB >0,即 x1x2+y1y2>0. 2 12 1+k 2 即(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4= 2 1+4k 1 2 所以- <k <4. ② 4 16k 4 4-k 2)+4= 2 1+4k 1+4k
2

+2k(-

>0.

3 2 3 3 由①②可知 <k <4,故 k 的取值范围是(-2,- )∪( ,2). 4 2 2

【双曲线】
考点 1、双曲线的定义 1、 设 F1、 F2 是双曲线 -y =1 的两个焦点, P 在双曲线上, 当△F1PF2 的面积为 2 时,PF1 · PF2 3 的值为( ) A、2 B、3 C、4 D、6 1、解析:设点 P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2 3+1=4, 2 1 x0 2 2 2 S△PF1F2= |F1F2|×|y0|=2|y0|=2,|y0|=1, -y0 =1,x0=3(y0+1)=6, 2 3
2

x2

7

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y2 2、设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且|PF1|=5, 9 则|PF2|=( ) A、 5 B、3 C、7 D、3 或 7 2、答案:D 解析:∵||PF1|-|PF2||=2,∴|PF2|=7 或 3. y2 3、设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 24 则△PF1F2 的面积等于( ) A、4 2 B、8 3 C、24 D、48 3、解析:由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|=4|PF2|可知,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8, 1 |PF2|=6,又|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2 为直角三角形,所以△PF1F2 的面积 S= ×6×8=24. 2 x2 y2 4、已知 F1、F2 是双曲线 - =1 的焦点,PQ 是过焦点 F1 的弦,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值 16 9 是 . 4、解析:由双曲线方程得,2a=8. 由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=8,① |QF2|-|QF1|=2a=8,② ①+②,得 |PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=16, 所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=16. 考点 2 双曲线的标准方程 x2 y2 1、已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1, a b 则双曲线 C 的方程为________. c 1、解析:在双曲线中,顶点与较近焦点距离为 c-a=1,又 e= =2,两式联立得 a=1,c=2, a y2 ∴b2=c2-a2=4-1=3. ∴方程为 x2- =1. 3 2、已知双曲线经过点 A(?7, ?6 2) 及点 B(2 7, ?3) ,求它的标准方程。 2、解析:设双曲线方程为 mx2 ? ny 2 ? 1(mn ? 0) ,则 ? 解之得 m ?

2 答案 B PF1 · PF2 =(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=x2 0+y0-4=3.

?49m ? 72n ? 1 , ?28m ? 9n ? 1

1 1 x2 y 2 ? ?1。 ,n ? ? 。 ∴所求双曲线方程为 25 75 25 75 9 2 ? 3、已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且过点 M? ?2,-1?,求双曲线的标准方程 3
(1)∵双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0,∴可设双曲线的方程为 4x2-9y2=λ(λ≠0). 9 x2 y2 81 ,-1?,∴λ=4× -9=72. ∴双曲线为 4x2-9y2=72,即 - =1. 又∵双曲线过点 M? ?2 ? 4 18 8 2 2 x y 5 4、与椭圆 + =1 有公共焦点,且离心率 e= ,求双曲线的标准方程 49 24 4 4、解析:方法一:(设标准方程) 由椭圆方程可得焦点坐标为(-5,0),(5,0),即 c=5 且焦点在 x2 y2 x 轴上,∴可设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),且 c=5. a b c 5 x2 y2 又 e=a= ,∴a=4,∴b2=c2-a2=9. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 4 16 9 方法二:(设共焦点双曲线系方程) ∵椭圆的焦点在 x 轴上, λ-24 25 x2 y2 5 ∴可设双曲线方程为 - =1(24<λ<49).又 e= ,∴ = -1,解得 λ=33. 4 49-λ λ-24 49-λ 16 x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 3、解析
8

用心教育加速育才 5、设双曲线与椭圆 双曲线的方程。

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x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐标为 4,求此 27 36

y 2 x2 2 [解法 1]解:设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,由题知 c ? 36 ? 27 ? 9 ,∴ c ? 3 。 a b 2 ? 2 15 4 ? a 2 ? 4, ? 1, 解得 ? 又点 A 的纵坐标为 4,则横坐标为 15 ,于是有 ? 2 ? 2 ? 2 a b ? b ? 5. ? 2 2 ? a ? b ? 9. y 2 x2 ? ?1。 ∴所求双曲线方程为 4 5 [解法 2]:将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A 15, 4 ,又两交点分别为 F 1 ? 0,3? , F 2 ? 0, ?3? ,

? ?

?

?

∴ 2a ?

?

15 ? 0 ? ? 4 ? 3? ?
2

?

2

?15 ? 0 ? ? ? 4 ? 3?
2

2

? 8?4 ? 4,

2 2 2 ∴a ? 2,b ? c ?a ? 9?4 ? 5。

∴所求双曲线方程为

y 2 x2 ? ?1。 4 5

x2 y2 ? ? 1 (27 ? ? ? 36) ,将 A 27 ? ? 36 ? 7 y 2 x2 ? ? 32 ? ? 0 ? ?1。 代入得 , (舍去)。 ∴所求双曲线方程为 4 5
[解法 3]:由题意设双曲线方程为 考点 3、双曲线的几何性质 1、双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是(

?

15, 4

?

) A、2 B、2 2 C、4 D、4 2 x2 y2 1、解析:双曲线的方程 2x2-y2=8 可化为 - =1,则 a=2,故实轴长 2a=4,故选 C. 4 8 2 2 1.双曲线方程为 x -2y =1,则它的右焦点坐标为( ) 2 5 6 A、( ,0) B、( ,0) C、( ,0) D、( 3,0) 2 2 2 y 2 2 2 1. 【解析】 选 C.∵双曲线方程为 x - =1, ∴a=1, b= , ∴c= a +b = 1 2 2
2 2

1 +(

2

2 2 6 )= , 2 2

6 ,0),故 C 正确. 2 2、双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( ) 1 1 A、- B、-4 C、4 D、 4 4 x2 1 2、解析:A 双曲线方程 mx2+y2=1 化为标准形式 y2- =1,则有 a2=1,b2=- . m 1 -m 1 1 1 ∴2a=2,2b=2 -m,∴2×2=2 -m,∴m=- . 4 x2 y2 6 3、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为( ) a b 2 ( ) ∴它的右焦点坐标为(
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独家内部教材 A、y=± 2x B、y=± 2x

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2 1 C、y=± x D、y=± x 2 2 a2+b2 3 c c2 3 b2 1 b 6 2 4、解析:C 由已知 e=a= ,即 2= ,又 c2=a2+b2,∴ 2 = ,得 2= ,∴a=± . 2 a 2 a 2 a 2 2 2 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x. 2 5、设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为( a 9 A、4 B、3 C、2 D、1

x2 y2

).

5、解析:双曲线 2- =1 的渐近线方程为 3x±ay=0 与已知方程比较系数得 a=2. a 9 6、双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为 8,则半焦距的取值范围是( ) A、[4 2-4,4] B、[4 2-4,2] C、(4 2-4,2) D、[4 2-4,2) x2 y2 6、解析 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),其中 a2+b2=c2. ∵2a+2b+2c=8, a b ∴a+b+c=4. ∵(a+b)2≤2(a2+b2), ∴(4-c)2≤2c2?c2+8c-16≥0 ?c≥4 2-4 或 c≤-4 2-4(负根舍去). 又∵a2+b2=c2,∴a+b>c. 而 a+b+c=4,∴c<2,即 4 2-4≤c<2. x2 y2 7、设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个 a b 3 5 顶点,则双曲线的离心率( ) A、 B、2 C、 D、3 2 2 7、答案 B 解析 设 F1(-c,0),F2(c,0).由△PF1F2 为正三角形得 2c= c2+4b2. ∴3c2=4b2=4(c2-a2). ∴c2=4a2,e2=4,e=2. 8、双曲线 - =1 的右焦点到渐近线的距离是________. 3 6 8、解析: 由题意得:双曲线 - =1 的渐近线为 y=± 2x. 3 6 ∴焦点(3,0)到直线 y=± 2x 的距离为 3 2 2+1 = 6.

x2 y2

x2 y2

x2 y2

y2 9、已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点, 3 → → 则PA1· PF2的最小值为________. → 9、解析:由题知 A1(-1,0),F2(2,0),设 P(x,y)(x≥1),则PA1=(-1-x,-y), → → → PF2=(2-x,-y),PA1· PF2=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1) 1 → → =4x2-x-5. ∵x≥1,函数 f(x)=4x2-x-5 的图象的对称轴为 x= ,∴当 x=1 时,PA1· PF2 8 取得最小值-2. 考点 4、直线与双曲线的位置关系 x2 y2 1、双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与 9 16 32 双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为 . 15 4 1、解析:双曲线右顶点 A(3,0),右焦点 F(5,0),双曲线一条渐近线的斜率是 ,直线 FB 的方程 3

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4 32 是 y= (x-5),与双曲线方程联立解得点 B 的纵坐标为- , 3 15 1 1 32 32 故△AFB 的面积为 ×|AF||yB|= ×2× = . 2 2 15 15 2、已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点, 且 AB 的中点为 N(-12,-15),求 E 的方程. x2 y2 2、解:设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9. a b x2 y2 1 1 2- 2=1, a b y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有: 2 2 两式作差,得 = = = 2. x1-x2 a2?y1+y2? -15a2 5a x2 y2 - =1, a2 b2

? ? ?

-15-0 又 AB 的斜率是 =1,所以将 4b2=5a2 代入 a2+b2=9,得 a2=4,b2=5. -12-3 x2 y2 所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 x2 2 3、设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两点 A、B. a (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA= PB,求 a 的值. 12 2 2 2 2 ?x -a y -a =0, ? 解析:(1)联立? 消 y 得 x2-a2(1-x)2-a2=0,(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ?x+y=1, ?

? ? 得? -2a ? ?x x =1-a .
2 1 2 2

-2a2 x1+x2= , 1-a2

2 ? ?1-a ≠0, ? ∵与双曲线交于两点 A、B,∴ 4 ?0<a2<2 且 a2≠1. 2 2 ?4a +8a ?1-a ?>0 ?

∴e 的取值范围为(
1 2

6 , 2)∪( 2,+∞). 2
2 2 2 → 5→ -2a2 5 17 5 2 -2a ∵PA= PB,∴x1= x2. 则 x2= ,① x = .② 12 12 12 12 2 1-a2 1-a2

-2a x +x = , ? ? 1-a (2)由(1)得? -2a xx= . ? ? 1-a
2 2 1 2

①2 289 得,a2= . 169 ②

结合 a>0,则 a=

17 . 13

【抛物线】
考点 1、抛物线的定义 1、设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A、4 B、6 C、8 D、12 p 4 1、解析:B 由抛物线的方程得 = =2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为 4+2=6. 2 2 1 抛物线 x2=ay 过点 A(1, ),则点 A 到此抛物线的焦点的距离为 4 1 解析:由已知可得 1= a,所以 a=4,所以 x2=4y. 4
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学习改变命运,携手名师,把握未来! p 1 5 由抛物线的定义可知点 A 到焦点的距离等于 A 到准线的距离: yA+ = +1= . 2 4 4 2 2、从抛物线 y =4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△MPF 的面积为( ) A、5 B、10 C、20 D、 15 2 3、解析:B 由抛物线方程 y =4x 易得抛物线的准线 l 的方程为 x=-1,又由|PM|=5 可得点 P 1 的横坐标为 4,代入 y2=4x,可求得其纵坐标为± 4,故 S△MPF= ×5×4=10. 2 4、已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点, 则△ABP 的面积为( ). A、18 B、24 C、36 D、48 2 4、解析:如图,设抛物线方程为 y =2px(p>0). p |AB| 12 ∵当 x= 时,|y|=p,∴p= = =6. 2 2 2 1 又 P 到 AB 的距离始终为 p,∴S△ABP= ×12×6=36. 答案 C 2 2 5、已知点 A(3,4),F 是抛物线 y =8x 的焦点,M 是抛物线上的动点, 当|AM|+|MF|最小时,M 点坐标是( ) A、 (0,0) B、 (3,2 6) C、 (2,4) D、(3,-2 6) 5、解析:由题知点 A 在抛物线内.设 M 到准线的距离为|MK|,则|MA|+|MF|=|MA|+|MK|, 当|MA|+|MK|最小时,M 点坐标是(2,4). 6、如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. ?y=x+b, ? 6、解析 (1)由? 2 得 x2-4x-4b=0.(*) ? x = 4 y , ? 因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 Δ=(-4)2-4×(-4b)=0. 解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)即为 x2-4x+4=0. 解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1.故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距 离,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 考点 2、抛物线的标准方程 1、如果抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y-12=0 上,那么抛物线的方 程是( ) A、 y2=-16x B、y2=12x C、y2=16x D、y2=-12x 1、解析:由题设知直线 3x-4y-12=0 与 x 轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点, 故其方程为 y2=16x. 2、如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B, 交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为( ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= 3x 2、解析:分别过 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 E,D,如图. 因为|BC|=2|BF|,由抛物线的定义可知|BF|=|BD|,∠BCD=30° . 又|AE|=|AF|=3,所以|AC|=6, 1 3 即 F 为 AC 的中点,所以 p= |EA|= ,故抛物线的方程为 y2=3x,故选 C. 2 2 考点 3 抛物线的几何性质
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1、抛物线 y=2x 的准线方程为( ) 1 1 1 A、y=- B、y=- C、y=- D、y=-1 8 4 2 1 1 1、解析:由 y=2x2,得 x2= y,故抛物线 y=2x2 的准线方程为 y=- ,选 A. 2 8 2、抛物线 y2=4x 的焦点 F 到准线 l 的距离为( ) A、1 B、2 C、3 D、4 2、解析:B 该抛物线的焦点 F(1,0),准线 l 为:x=-1.∴焦点 F 到准线 l 的距离为 2. 3、抛物线 y=x2 上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最短的点的坐标是( ) 1 1 3 9 A、 ( , ) B、 (1,1) C、 ( , ) D、(2,4) 2 4 2 4 3、解析:方法一:设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线的距离得 |2x-y-4| |2x-x2-4| |?x-1?2+3| ?x-1?2+3 3 d= = = = ≥ . 5 5 5 5 5 当 x=1 时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1). 方法二:设 2x-y+m=0 与 y=x2 相切,则 x2-2x-m=0. Δ=4+4m=0,∴m=-1, 此时 x=1,∴点的坐标为(1,1). 法三:(导数法)y=x2 的导数为 y′=2x,设所求点为 P(x0,y0),则 2x0=2. ∴x0=1,∴P(1,1). 考点 4 直线与抛物线的位置关系 1、已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为________. p ? ?y=x-2, p 1、解析:直线方程为 y=x- ,由? 得 y2-2py-p2=0.设 A 和 B 的纵坐标分别为 y1 2 2 ? ?y =2px, 和 y2,由韦达定理知 y1+y2=2p,又线段 AB 的中点的纵坐标为 2,所以 p=2.于是抛物线的准线 方程为 x=-1,也可用点差法快速破解 2、已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A、x=1 B、x=-1 C、x=2 D、x=-2 p p p ? 2、解析:B 焦点坐标? ?2,0?,准线方程为 x=-2. 过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-2, y =2px, ? ? y1+y2 联立? 消去 x 得 y2-2py-p2=0,由题意知 =p=2,∴准线方程为 x=-1. p 2 y=x- , ? 2 ? 3、设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点. → → (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小; (2)求证:OA· OB是一个定值.
? ?y=x-1, (1)∵F(1,0),∴直线 l 的方程为 y=x-1,设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ?y =4x ? 2 得 x -6x+1=0, ∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= 2· ?x1+x2?2-4x1x2= 2· 36-4=8. ? ?x=ky+1, (2)设直线 l 的方程为 x=ky+1,由? 2 得 y2-4ky-4=0. ?y =4x ? → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2
2

3、解析

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→ → =-4k2+4k2+1-4=-3. ∴OA· OB是一个定值. 4、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=2px(p>0)上横坐标为 4 的点到该抛物线的 焦点的距离为 5. (1)求抛物线的标准方程; (2)设点 C 是抛物线上的动点,若以 C 为圆心的圆在 y 轴上 截得的弦 AB 的长为 4,求证:圆 C 过定点. p 4、解析:(1)由抛物线的定义得 +4=5,则 p=2, 2 所以抛物线的标准方程为 y2=4x. y2 0 (2)证明:设圆心 C 的坐标为( ,y0),半径为 r. 4 y2 0 因为圆 C 在 y 轴上截得的弦长为 4,所以 r2=4+( )2, 4 y2 y2 x 0 0 故圆 C 的方程为(x- )2+(y-y0)2=4+( )2,整理得(1- )y2 -2yy0+(x2+y2-4)=0,① 4 4 2 0

? ?1-2=0 对于任意的 y ∈R,方程①均成立.故有?-2y=0 ? ?x +y =4
0 2 2

x

? ?x=2 ,解得? . ?y=0 ?

所以圆 C 过定点(2,0).

5、 已知抛物线 y2=4x, 点 M(1,0)关于 y 轴的 对称点为 N, 直线 l 过点 M 交抛物线于 A, B 两点.[来 源:Zxxk.Com] (1)证明:直线 NA,NB 的斜率互为相反数; (2)求△ ANB 面积的最小值; (3)当点 M 的坐标为(m,0)(m>0,且 m≠1).由(1)、(2)结论试推测并回答下列问题(不必说明理由). ① 直线 NA,NB 的斜率是否仍互为相反数? ② △ ANB 面积的最小值是多少? 【解析】(1)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). ? ?y=k(x-1), 2 2 2 2 由? 2 可得 k x -(2k +4)x+ k =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?y =4x, ? 2 2k +4 则 x1+x2= 2 ,x1x2=1. ∴y1y2=-4. ∵N(-1,0), k 2 2 y1 y2 4y1 4y2 4[y1(y2+4)+y2(y1+4)] 4(-4y2+4y1-4y1+4y2) kNA+kNB= + = 2 + 2 = = =0. 2 2 2 2 x1+1 x2+1 y1+4 y2+4 (y1+4)(y2+4) (y1+4)(y2+4) 又当 l 垂直于 x 轴时,点 A,B 关于 x 轴对称,显然 kNA=-kNB,所以 kNA+kNB=0. 综上,直线 NA,NB 的斜率互为相反数. (2)当 l 不垂直于 x 轴时, 1 1 2 S△NAB= |MN||y1-y2|=|y1-y2|= (y1+y2) -4y1y2= 4(x1+x2)+8=4 1+ 2>4, 2 k 当 l 垂直于 x 轴时,△ANB 的面积为 4. 综上,△ANB 面积的最小值为 4. (3)①直线 NA,NB 的斜率仍互为相反数; ②△ANB 面积的最小值是 4m m.

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