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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第3届)无答案

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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 3 届) 1. 设 a、b 是常数,解方程组 x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2 并求出若使 x、y、z 是互不相同的正数,a、b 应满足什么条件? 2. 设 a、b、c 是某三角形的边,A 是其面积,求证: a2 + b2 + c2 >= 4 3 A. 并求出等号何时成立. 3. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中 n 是一个自然数. 4. P 是三角形 ABC 内部一点,PA 交 BC 于 D,PB 交 AC 于 E,PC 交 AB 于 F,求证 AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于 2,也至少有一个不小于 2. 5. 作三角形 ABC 使得 AC=b, AB=c,锐角 AMB = ?,其中 M 是线断 BC 的中点.求 证这个三角形存在的充要条件是 b tan(?/2) <= c < b. 又问上式何时等号成立. 6. 三个不共线的点 A、B、C,平面 p 不平行于 ABC,并且 A、B、C 在 p 的同一侧.在 p 上任意取三个点 A', B', C', A'', B'', C''设分别是边 AA', BB', CC'的中点, O 是三角形 A''B''C''的重心.问,当 A',B',C'变化时,O 的轨迹是什么? 1

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