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高中数学放缩法公式


“放缩法”证明不等式的基本策略
1、添加或舍弃一些正项(或负项)
例 1、已知 an ? 2n ?1(n ? N * ). 求证:

a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ... ? n (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 证明: ? ? k ?1 ?

? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2
? a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的 值变小。 由于证明不等式的需要, 有时需要舍去或添加一些项, 使不等式一边放大或缩小, 利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 2 ? 2 ,从而是使和式得 到化简.
k

2、先放缩再求和(或先求和再放缩)
例 2、函数 f(x)=
4x 1? 4
x

,求证:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+
2

1
n ?1

1 ? (n ? N * ) . 2

证明:由 f(n)=

4n 1? 4
n

=1-

1 1 ? 1? n 1? 4 2 ? 2n
1 2? 2 1
1

得 f(1)+f(2)+…+f(n)> 1 ?

?1?

1 2? 2
2

? ??1 ?

1 2 ? 2n

1 1 1 1 1 ? n ? (1 ? ? ? ? ? n?1 ) ? n ? n?1 ? (n ? N * ) . 4 2 4 2 2 2

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进 行放缩, 从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一 变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分 母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、逐项放大或缩小

例 3、 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) 求证: 设 证明:∵ ∴ n?

n(n ? 1) ? n 2 ? n

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2 1 2n ? 1 n(n ? 1) ? (n ? ) 2 ? 2 2

2n ? 1 2 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? ∴ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? an ? , ∴ 2 2 2 2n ? 1 本题利用 n ? n(n ? 1) ? ,对 an 中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的 2 n(n ? 1) ?
数列,达到化简的目的。

4、固定一部分项,放缩另外的项;
例 4、求证: 证明:?

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 1 2 3 n 4

1 1 1 1 ? ? ? 2 n n(n ? 1) n ? 1 n

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 7 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? 2 ? ( ? ??? ? )? ?( ? )? . 2 1 2 3 n 2 2 3 n ?1 n 4 2 n 4

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根 据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。

5、函数放缩
ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? (n ? N * ) 2 3 4 3 6 例 5.求证: .

解析:先构造函数有

ln x ? x ? 1 ?

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 1 1 1 ln x 1 ? ? ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) ? 1? x x ,从而 2 3 4 2 3 3 3

1 1 1 ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 2 3 3 2 ?1 3 ? ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2 因为

?

? 3n?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3n?1 ? 5n ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 ? 3n?1 ? 3n ? ? 6 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? ? ?

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ? 3n ? 2 3 4 6 6 3 所以

6、裂项放缩
例 6 求证: k ?1

?k

n

1
2

?

5 3.

1 ? n2

1 1 n ? 4
2

?

4 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

解析:因为

,所以 k ?1

?k

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

7、均值不等式放缩
例 7.设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 解析: 此数列的通项为 ak ?
? k ? k (k ? 1) ?
n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? Sn ? . 2 2

k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.

n n k ? k ?1 1 1 ?k? ? ? k ? S n ? ? (k ? ) 2 , 2 2 , k ?1 k ?1

n(n ? 1) n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? Sn ? ? ? . 2 2 2 2 即
ab ? a?b 2

注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式
k (k ? 1) ? k ? 1则得
S n ? ? (k ? 1) ?
k ?1 n

,若放成

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 ? 2 2

,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n 1 1 ??? a1 an ? n a1 ? a n ? a1 ? ? ? a n ? n
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

8、二项放缩
0 1 n 0 1 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn , 2 n ? Cn ? Cn ? n ? 1 ,

0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)


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