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力学竞赛辅导


一. 质点运动学 二.静力学

三.牛顿运动定律
四. 动量与能量 五.角动量定理 角动量守恒定律 六.万有引力与天体运动 七.简谐振动

1.质点运动的一般描述
1.1 运动方程与轨道方程 运动方程

y P(x,y)

? ? ? ? r ? r (t ) ? x(t )i

? y(t ) j

y

? x ? x(t ) ? ? y ? y (t )
轨道方程

r
O x x

? x ? x(t ) 消去t ??? ? f ( x, y ) ? 0 ? ? y ? y (t )

1.2 速度
反映质点运动的快慢和方向的物理量

? ? ?r v? ?t

y A ?r rA rB O x B

? ? ?r dr ? v ? lim ? dt ?t ?0 ?t

dx ? vx ? ? ? dt ? ?v ? dy y ? dt ?

? 瞬时速度沿轨道切线方向

1.3 加速度
反映速度(大小和方向) 变化快慢的物理量 ? ? ?v a? ?t ? ? ?

z A rA O

vA

B
rB vB

?v dv d r ? a ? lim ? ? 2 ?t ?0 ?t dt dt
2

y

x

dv x d x ? ax ? ? 2 ? ? dt dt ? 2 dv d y y ?a ? ? 2 y ? dt dt ?
2

(a)

vA
?v vB (b)

? 加速度与速度的方向一般不同。

2. 抛体运动
速度:
y

? ?vx ? v0 cos ? ? ? ?v y ? v0 sin ? ? gt
运动方程:
? x ? v0 cos ? t ? ? 1 2 y ? v0 sin ? t ? gt ? ? 2
g O

v0

?

x

轨道方程:
g 2 y ? x tan ? ? 2 x 2v0 cos 2 ?

y

推论
1)飞行时间:

v0

2v0 sin ? T? g
2)上升高度:

g O

?

x

H ? ymax
3)射程:
2 0

2 v0 sin 2 ? ? 2g

v sin 2? s? g

思考 甲、乙两小孩在做游戏,甲在树上,乙在地上 用枪描准甲,乙一开枪,甲就从树上跳下(初速度为 零) 。问:甲是否被击中?若被击中,求出被击中的 时间和地点。


? v0

h



?

s

3. 圆周运动
3.1 圆周运动的加速度

? ? ? a ? a?? 0 ? an n0 dv ? a ? ? ? ? dt ? 2 ?a ? v n ? ? R ?a ? a 2 ? a 2 n ? ? ? an ? tan ? ? a? ?

?0
v

a?
a an n0
?

P s

O

R

P0

x

3.2 圆周运动的角量描述 角位置:?=?(t)

?? d? ? 角速度: ? ? lim dt ?t ?0 ?t ?? d? 角加速度: ? ? lim ? dt ?t ?0 ?t
3.3 角量和线量的关系
2 ? a ? R ? ? n ? ? ?a? ? R ?

P

?
O R

s

P0

x

v ? R?

4.相对运动
4.1 运动描述与参照系:对物体运动的描述与参照系 有关——位移、速度、加速度的测量与参照系有关。 4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换

? ? ? v ? v0 ? v?

? ? ? r ? r0 ? r ?

y S

y?
S?
P

O?
r0 O r

r?
x?

? ? ? a ? a0 ? a ?

x

绝对速度=牵连速度+相对速度

1.一般曲线运动
1.1 一般曲线运动中的加速度
dv ? a? ? : 切向加速度 ? dt ? ? 2 v ?an ? : 法向加速度 ? ? ?

? ? ? a ? a?? 0 ? an n0

?
an
a

a?

?a ? a 2 ? a 2 n ? ? ? an ? tan ? ? a? ?

1.2 曲率半径的物理求法

v2 an ? ? ? ? ? an
椭圆的曲率半径:

v2

y B b O

x2 y 2 轨道方程: 2 ? 2 ? 1 a b ? x ? a cos ?t 对应运动方程:? ? y ? b sin ?t
2 2

a

A

x

A点:v ? v y ,max ? b? , an ? ax ,max ? a?

2

v b ?A ? ? an a

a2 同理:? B ? b

抛物线的曲率半径:
2 y ? Ax 轨道方程:

y

? x ? v0t ? 对应运动方程: ? 1 2 y ? at ? ? 2 a 其中: 2 ? A 2v0

vy
?

v
vx

a
an ?
x

a?

O

av0 ? ?vx ? v0 2 2 2 2 a ? a cos ? ? ? v ? v0 ? a t n ? 2 2 2 v ? at v0 ? a t ? ? y
2 2 ? a 2t 2 )3/ 2 v0 v 2 (v0 a 2 x 2 3/ 2 (1 ? 4 A2 x 2 )3/ 2 ?? ? ? ? (1 ? 4 ) ? an av0 a v0 2A

2. 连体运动问题
解题方法一:运动的分解

情形1:两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连, 他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。
?
v1 cos ? ? v2 cos ?

v2

v1

?

情形2:两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。
v1

?

?
v2

v1 cos ? ? v2 cos ?

情形3:两直线相交点的运动等于各直线沿对方

直线方向运动的合运动:
? v1

v1 P v2 v2

v1

? ? v2 ? v P ? v1
v1 v2 ?? ?? v1 , v2 , sin ? sin ?
?2 ? v2 ?2 ? 2v1 ? v2 ? cos ? vP ? v1
? 1 2 v12 ? v2 ? 2v1 v2 cos ? sin ?

v? 2

?

例 1.1 如图, 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度 v0 匀速前进。求当绳子与水平面夹角为 ? 时,重物上 升的速度。

解:v ? v||

? v0 cos ?

h

v0

?

?
v||

v0

例 1.2 如图示,一半径为 R的半圆柱体沿水平方向

以速度 v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点 P
的角位置为? 时竖直杆运动的速度。 解: v0 sin ? ? vP cos ?
vP

vP ? v0 tan ?
O

?
P

v0

? R

例1.3 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速

v0竖直下落,如图所示,试求套在该直线和圆圈的
交点处小环M的速度。

v0 解:vM ? v1 ? sin ?

M

?
v0 O

R

v0

v1

v0

v2

解题方法二:运动的合成(相对运动) 一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换:

? ? ? B对地:rB、vB、aB ? ? ? ? ? ? ? ? ? A对地:rA ? rAB ? rB、vA ? vAB ? vB、aA ? aAB ? aAB

? ? ? A对B:rAB、vAB、aAB

例 1.4 如图,缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光

滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳,当绳与竖直方向
夹角为 ?时,求线轴中心 O的运动速度 v。设线轴的 外半径为R,内半径为r,线轴沿水平面作无滑动滚

动。
?
R r O B C

A

v

情况1:线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为??。 解: B点相对O的速度大小: ? ? r? vB

? ? vO B点相对于地面的速度: vB ? vB
vB沿绳子方向的分量与v相等: r? ? vO sin ? ? v …….(1) 线轴与地面无滑动: v ? R? ……………………..….(2)
O

Rv ……..…..….(3) 联立(1)、(2)得: vO ? r ? R sin ? 由式(3)可知,情况1出现的条件为: r ? R sin ?
A

?
vO
R r O B C

? vB

v

? / 2 ??

情况2:线轴座顺时针方向转动。同理可得:

Rv vO ? R sin ? ? r 出现情况2的条件为: r ? R sin ?

A

r R O ? B vB C

? / 2 ??
vO

?
v

例1.5 续例1.1,求重物上升的加速度。
O

h

B

? a A|| ? A

v?

?
v||

v0

解: 以O点为参照系,绳子末端A作圆周运动,其加 速度沿绳子方向的分量,即向心加速度大小为

v sin ? ? ? aA|| h
2 0 3

以地面为参照系,A的加速度

? ? ? ? aA ? aO ? aA ? ? ? ? aA|| ? aO|| ? aA||
v sin ? 0 ? ?aB ? h 2 v0 sin 3 ? aB ? h
2 0 3

O

h

B

? aA||

v?

?
A

?
v||

v0

例1.6 续例1.2,求竖直杆运动的加速度。

以圆心O为参照系,P点作圆周运动,
其速度大小为:

向心加速度:

v0 v? ? cos ?

v?

?

vP P

2 2 ? v0 v ?? an ? 2 R R cos ?

R

?

a? n

at? v 0

O

aP

P点相当于地面的加速度:

? ? ? ? ? ? ? aP ? a? ? a0 ? a? ? at? ? an 2 ? an v0 aP ? ? ?? cos ? R cos3 ?

解题方法三:微积分
关键:找出各物体间位移间的关系,进而得到速 度、加速度之间的关系。
?f dx1 ?f dx2 f ( x1 , x2 ) ? 0 ? ? ?0 ?x1 dt ?x2 dt ?f ?f v1 ? v2 ? 0 ?x1 ?x2 dv2 ?v2 dv1 ?v2 dx1 ?v2 dx2 v2 ? v2 (v1 , x1 , x2 ) ? a2 ? ? ? ? dt ?v1 dt ?x1 dt ?x2 dt ?v2 ?v2 ? a1 ? v1 ? v2 ?x1 ?x2

例 1.7

如图, 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度

v0 匀速前进。求当绳子与水平面夹角为 ? 时,重物上

升的速度和加速度。

h y x

v0

?

解:

( 1) y ? x 2 ? h 2 ? L
v0 x dy dy dx dy v? ? ? v0 ? ? v0 cos ? dt dx dt dx x2 ? h2 2 2 2 v0 h v0 dv dv dx dv 3 a ? ? ? v ? ? sin ? ( 2) 0 2 2 3/ 2 dt dx dt dx ( x ? h ) h

h y x

v0

?

例 1.8 如图示,一半径为 R的半圆柱体沿水平方向

以速度 v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点 P
的角位置为? 时竖直杆运动的速度和加速度。

vP

?
O

R

P y

v0

x A

解:y ? R 2 ? x 2 x dy dy dx dy ? v0 tan ? ? v0 vP ? ? ? ?v0 dt dx dt dx R2 ? x2 2 2 R v0 dvP dvP dx dvP aP ? ? ? ?v0 ? ? 2 2 3/ 2 dt dx dt dx (R ? x ) 2 v0 ?? R cos3 ?
vP

?
O

R

P y v0

x A

例1.9 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速

v0竖直下落,如图所示,试求套在该直线和圆圈的
交点处小环M的速度和加速度。
x y? v0 O R M

v0

解: x ? R2 ? y 2
dx dx dy dx vMx ? ? ? ?v0 dt dy dt dy y ? v0 ? v0 cot ? 2 2 R ?y
x y? v0 O R M v0

vMy ? v0

vM ? v ? v
2 Mx

2 My

v0 ? sin ?

aMx

2 2 dvMx dvMx dy dvMx R 2v0 v0 ? ? ? ?v0 ?? 2 ?? 2 3/ 2 dt dy dt dy (R ? y ) R cos3 ?

aMy ?

dvMy dt

?0

1.两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别 为 ?1 ? 30? , ? 2 ? 15? 。冰雹竖直下落,打在 玻璃上,两司机都看到冰雹从玻璃上反弹后竖 直向上运动,求两车速率之比。(假设碰撞前 后相对速度遵循反射定律)
v0 tan(90 ? 2 ? ) ? v
?

v vr? ? vr
?

?v v0
?
?

v1 tan 2?1 tan 60 3 ? ? ? ? v2 tan 2?2 tan 30 1

2. 如图所示,一串相同的汽车以等速v沿宽度为c的 直公路行驶,每车宽为b,头尾间距为a,则人能以 最小速率沿一直线穿过马路所用时间为多少? 相对速度:V 牵连速度:v 绝对速度:u

-v

θ

V

θ

V ? u ? v ? u ? (?v)
tmin

u v

c c c b a ? /u ? ? ( ? ) cos? cos? ? v sin ? v a b

13. 在掷铅球时,铅球出手时距地面的高度 为h,若出手时速度为v0,求以何角度掷球时, 水平射程最远?最远射程为多少? 2 y gx 2 y ? x tan ? ? 2 (1 ? tan ? ) 2v0 2 v0 gx ?h ? x tan ? ? 2 (1 ? tan 2 ? ) g 2v0 ? 2 2
gx gx 2 tan ? ? x tan ? ? ( 2 ? h) ? 0 2 2v0 2v0
O

h
v0
2 v0 ? 2 gh

x

2 v0 v0 ? 2 gh ??0? x? g

tan ? ?

(-h,x)

2 vt ? v0 ? 2 gh

1 1 S ? ? gt ? v0 cos ? ? g ? x 2 2
1 1 2 g ? xmax ? v0 ? v0 ? 2 gh 2 2

v0

? ? vt vy=gt

xmax

2 v0 v0 ? 2 gh ? g

v0 v0 tan ? ? ? 2 vt v0 ? 2 gh

14.A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长 为a的正三角形,每只猎犬追捕猎物的速度均为 v, A犬想追捕B犬,B犬想追捕C犬,C犬想追捕A犬, 为追捕到猎物,猎犬不断调整方向,速度方向始 终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可 捕捉到猎物?
v? ? v cos30? ? 3 v 2
A A

3 s? a 3 s 2a t? ? v ? 3v

O B C B C

解法二:在AB连线上,相对距离为 a,相对速度为vA对B。 a 2a 3 ? v A对B ? v ? v cos 60 ? v t ? ? 3 2 3v 2v 解法三:设在一个极短的时间Δt内, B 猎犬做匀速直线运动,正三角形边 长依次变为a1、a2、a3、…、an。

A

v

v
C

v

3 3 an ? a ? n ? v?t a ? n ? v?t ? 0 2 2

3 3 a2 ? a1 ? v?t ? a ? 2 ? v?t 2 2 3 3 a3 ? a2 ? v?t ? a ? 3 ? v?t 2 2

3 a1 ? a ? AA1 ? BB1 cos 60 ? a ? v?t 2
0

n?t ? t

所以 t ?

2a 3v

15.一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑,一 只猎犬以不变的速率v2追击,其运动方向始终对准狐 狸。某时刻狐狸在F处,猎犬在D处,FD⊥AB,且 FD=L,如图所示,求猎犬的加速度的大小。

?很小时,? ? sin ? ? tan?
a?

? 22
R

v ?t ?? 2 R

v1v2 a? L

v1?t ? ? L

1.摩擦角
1 )全反力 : 接触面上弹力和摩擦力的合力称为全
反力,也叫约束反力。

N

?m

f
2)摩擦角:全反力与界面法线方向所成的最大夹 角叫摩擦角。

动摩擦角: tan?m ? ?
静摩擦角: tan? m ? ? s

R

?m
?m

R

Fmin ? G sin ? m ? G

?
1? ? 2

G

2.刚体平衡条件(一般物体的平衡条件)
1)物体受力的矢量和为零:

? ? Fi ? 0
2)对矩心的合力矩为零
i

? ? ? ? M i ? ? ri ? Fi ? 0
i i

重要推论:
刚体受三个非平行力作用而平衡时,此三个力的 合力为零,而且这三个力的力线(含延长线)相 交于一点。

3.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体,若受到扰动,便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置,则称为稳 定平衡;若它会更远离平衡位置,则称为不稳定

平衡;若平衡位置的周围仍是平衡位置,则称为
随遇平衡。

稳定平衡

不稳定平衡

随遇平衡

? 由下式决定的位置矢量 rC [位置坐标 (xC, yC) 所对应
的点 C,称为质点系的质心:

4. 质心

? rC ?

? ? mi ri M

y

? xdm mi xi ? ? ? xC ? ? ? M M ? ydm ? mi yi ? ? ? ? yC ? ? M M

C

? rC
O x

5.质心运动定理
系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小 成正比,与系统的总质量成反比,加速度的方向沿 合外力的方向。

? ? F ? MaC

? 内力不影响系统质心的运动。

例 2.1 匀质杆 OA 重 P1 ,长为 l1 ,能在竖直平面内 绕固定铰链 O 转动,此杆的 A 端用铰链连另一重

为 P2、长为 l2的均匀杆 AB,在 AB杆的 B端加一水
平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度?与

?的大小,以及OA与AB间的作用力。
O

?
?
B P2 F

P1

A

解:
(1) 以AB为研究对象,有
l2 Fl2 sin ? ? P2 cos ? 2 P tan ? ? 2 2F

O

? ?
B P2 F

P1

A

以OA+AB为研究对象,有

l1 l2 P cos ? ? P2 (l1 cos ? ? cos ? ) ? F (l1 sin ? ? l2 sin ? ) 1 2 2 P 1 ? 2P 2 tan ? ? 2F

(2) 以AB为研究对象,其所受的合力为零,因此

N ? F 2 ? P22

N A

N 的方向与水平线的夹角?满足:
P2 tan ? ? F

?B
P2

F

例 2.2 有 6 个完全相同 的刚性长条薄片 AiB ( i i=l, 2…,6) ,其两端下方各有 一个小突起。薄片及突起 的重量均可以不计。现将 此 6 个薄片架在一只水平 的碗口上,使每个薄片一 端的小突起 Bi 恰在碗口 上。另一端小突起 Ai 位于 其下方薄片的正中,由正上方俯视如囹所示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点, 这一点与此薄片中点的距离 等于它与小突起 A6 的距离,求薄片 A6B6 中点所受的(由另 一薄片的小突起 A1 所施的)压力。

解: 设任一小突起Ai对其的压力为Pi,则

Pi ? 2 Pi( ?1 i=2 … 6) P2 ? 2 P 1
P3 ? 2 P2 ? 22 P 1
Bi-1

Pi-1 Ai Pi
P6 Ai-1

??
P6 ? 25 P 1 ? 32 P 1
考虑薄片A6B6,根据力矩平衡条件可得
l 3 P ? mg l ? P6l ? 0 1 2 4

B6

A1 C P1

A6

P6 ? 32 P 1 代入可解得:
1 P mg 1 ? 42

mg

例2.3

用 20块质量均匀分布的相同光滑积木块,

在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,如图
所示。已知每一积木块的长度为 l,横截面是边长 为h=l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度(即桥 孔底宽)。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l

h

H

L

解:
x1 ? l 2 l mx1 ? m( x1 ? l / 2) l x2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? 4 2m 4 m( x1 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ? l / 2) l x1 ? x2 ? x3 ? ? x1 ? x2 ? 2m 6

x3 ?

??

l 6

l xn ? 2n

l
1

L 10 l 10 1 ? ? xn ? ? 2 n ?1 2 n ?1 n
9 H ? 9h ? l 4
L ? n ?11/ n ? ? 1.258 H 9/4
10

1 L ? l? n ?1 n

10

2 3

4
…… 10

x3

x2

x1

例2.4 有一半径为R的圆柱A,静止 在水平地面上,并与竖直墙面相接

触。现有另一质量与 A相同,半径 为r的较细圆柱 B,用手扶着圆柱 A, 将 B 放在 A 的上面,并使之与墙面 相接触,如图所示,然后放手。己 知圆柱A与地面的静摩擦系数为 0.20 ,两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30。若放手后,两圆柱体能保持 图示的平衡,问圆柱 B 与墙面间的 静摩擦系数和圆柱 B 的半径的值各 应满足什么条件?

B

r

A

R

解: 对A球:
mg ? N1 ? N3 sin ? ? F3 cos? ? 0(1) (2) F1 ? N3 cos? ? F3 sin ? ? 0 F1R ? F3 R (3)

B

? N2

? F2

对B球: mg ? F2 ? N3 sin ? ? F3 cos? ? 0 (4)
N2 ? N3 cos? ? F3 sin ? ? 0 F3r ? F2 r

? ? ? N ? mg 3 F3? ? ? F3 N3

(5) (6) A

?
? ? mg N1
? F1

联立(1)~(6)解得:
N1 ?

cos ? N 2 ? F1 ? F2 ? F3 ? mg 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? sin ? N3 ? mg 1 ? cos ? ? sin ?

2 ? cos ? ? 2sin ? mg 1 ? cos ? ? sin ?

圆柱B与墙面的接触点不发生滑动:

F2 ? ?2 N2 ? ?2 ? 1
圆柱A在地面上不发生滑动:

F1 cos ? F1 ? ?1 N1 ? ?1 ? ? N1 2 ? cos ? ? 2sin ? R?r 2 Rr cos ? ? , sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? R?r R?r
两圆柱的接触点不发生滑动:

1 r? R 9

2 F3 cos ? ?7? ? F3 ? ?3 N3 ? ?3 ? ? r ? ? ? R ? 0.29 R N3 1 ? sin ? ? 13 ?

综合上述结果,可得到r满足的条件:

R ? r ? 0.29R

1.牛顿运动定律 第一定律:定性反映了物体的运动与其受力之间 的关系,引入惯性参照系的概念。 第二定律:定量性反映了物体的运动规律与其受 力之间的关系:

? ? F ? ma

第三定律:反映了力的来源:力来自物体间的相
互作用。 ——正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状 态不断发生改变,使得自然界不断地变化发展。

2.自然界中的力
2.1 万有引力

任何物体之间都存在的相互吸引力:
M
r

m F

? mM ? F ? ?G 2 er r
G ? 6.6726 ?10 N ? m ? kg
2 ?11 -2

2.2 重力:使物体产生重力加速度的力。 ? 重力来源于地球对物体的引力,若忽略地球的 惯性离心力,则

mM P ? G 2 ? mg R
M g ?G 2 R

——重力加速度与物体质量无关

2.3 弹力: 物体由于形变而对引起形变的物体产 生的作用力。 弹簧:F

? ?kx (在弹性范围内)

2.4 摩擦力:相互接触的物体间产生的一对阻止相

对运动或相对运动趋势的力。
滑动摩擦力: f k

? ?N

? 摩擦力总是阻止相对运动。

1.关于弹力
1.1 弹力的大小

N ? N ( x) ? ?k1 x ? k2 x ? ? ???? ??k1 x
2

微小形变

——微小振动为简谐振动 1.2 弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反. 接触面:沿法线方向 绳子:沿绳子方向 杆:较复杂
N
T F Fn F?

1.3 弹簧的串联与并联
k1
k2 F k1 F k2

1 1 1 ? ? k k1 k2

k ? k1 ? k2

2.关于摩擦力
2.1 摩擦力的大小 无滑动:决定于物体的运动和所受的其他力:

? ? ? ? ? ? f s ? F其他 =ma ? f s ? ma ? F其他

有滑动:f k ? ? N ? 两接触物体相对滑动的条件:fs=?N 2.2 摩擦力的方向 摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。 无滑动:决定于物体的运动和所受的其他力: f N

? ? ? f s ? ma ? F其他
有滑动:与相对运动速度方向相反。

2.3 摩擦力的作用时间

? ?t f ? t N 可能有两种情况: ? ? ?t f ? t N
m

v0=0

h

V0

?

v M V0

例 3.1 如图所示,有一固定的斜面,其倾角?=300,一质 量为 m=0.5kg 的物体置于斜面上, 它与斜面之间的摩擦系 数为 ?=0.8。起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边 缘平行的力 F 作用在物体上,F 从零逐渐增大。问:F 为 多大时,物体开始运动,开始运动的方向怎样?

解: F 2 ? (mg sin ? )2 ? f max ? mg ? cos ?
Fmin ? mg ? 2 cos 2 ? ? sin 2 ?

F

?
f

? 2.40( N )
mg sin ? tan ? sin ? ? ? ? 0.722 ? ? 46.20 f max ?

?

F

mg sin ?

例 3.2 如图所示,有一质量为 m=20kg 的钢件,架在两根 相同的、平行的长直圆柱上。钢件的重心与两柱的轴线在 同一水平面内。圆柱的半径为 r=0.025m,钢件与圆柱间的 动摩擦因数?=0.20.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转 动,角速度?=40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢 件作速度 v0=0.050m/s 的匀速运动, 推力为多大?设钢件左 右受光滑导槽限制(图中未画出),不发生横向运动。

解:f ? 1 ? mg

F
v0 ? v?

2 F ? 2 f cos ?

2 2 2 ? v ? v0 ? r ? v0 cos ? ? 2 v0 ? r 2? 2

r?

?
f f

?

F?

? mgv0
2 v0 ? r 2? 2

? 2.0(N)

例3.3 一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运
动。质量为 m 的小球从 h 处落下,与平板发生碰撞 后弹起,已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小 与碰撞前速度大小之比为 e ,球与平板间的摩擦系 数为?。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。
m h v M V0

?

解:
情况1:?tf= ?tN

m h v y v ? vx M

v0 y ? ? 2 gh v y ? ?ev0 y ? e 2 gh

V

f ?t f ? ? N ?t f ? mvx ? ? ? N ?t N ? m(e ? 1) 2 gh ? ? vx ? ? (e ? 1) 2 gh ? ?t N ? ?t f ? ? vy e tan ? ? ? vx ? (e ? 1) m m MV0 ? MV ? mvx ? V ? V0 ? vx ? V0 ? ? (e ? 1) 2 gh M M ?tf = ?tN的条件:vx?V,即

h?

? MV0 1 ? ? 2g ? ( M ? m ) ? ( e ? 1) ? ?

2

情况2:?tf < ?tN
v y ? e 2 gh
?v x ? V ? ? ? MV0 ? MV ? mvx MV0 vx ? V ? m?M vy e m tan ? ? ? ( ? 1) 2 gh vx V0 M
?tf < ?tN的条件: m h v y v ? vx M

V

? MV0 1 ? h? ? 2g ? ( M ? m ) ? ( e ? 1) ? ?

2

3. 非惯性参照系的动力学问题 3.1 惯性参照系与非惯性参照系 惯性系: 牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作 匀速直线运动的参考系也是惯性系。 非惯性系: 相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性 系内牛顿定律不成立。

3.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律

? ? ? F ? FI ? ma '

? ? FI ? ?ma0

例 3.4 如图,设所有的接触面都光滑,求物体 m 相 对于斜面 M 的加速度和斜面 M 相对于地面的加速度。

m M

?

解:

?mg sin ? ? ma 0 cos ? ? ma' ? ? N 1 ? mg cos ? ? ma 0 sin ? ? 0 ? N sin ? ? Ma 0 ? 1
( M ? m) g sin ? ? a' ? ? ? M ? m sin 2 ? ? ?a ? mg sin ? cos ? 0 ? M ? m sin 2 ? ?
a0
? N1

Y

y N1
?

N2
X
a?

? ma0
x

Mg

mg

例3.5 在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C,车 上有质量为4m和m的立方块A和B,它们与小车表面 之间的摩擦系数?=0.5。今用一恒力F 沿水平方向作

用在滑轮上。求A、B、C的加速度。
4m B C F

m

m A

解:第一种情况:A、B与小车间均无相对滑动。
F aA ? aB ? aC ? fA 6m F 1 ? f A ? maA ? f A ? F 2 3 fB F 1 ? f B ? 4maB ? f B ? ? F 2 6 A、B与小车间无相对滑动的条件:
1 ? 3 ? f A ? ? mg ? mg 2 ? F ? mg ? 2 ? f B ? 4? mg ? 2mg ?
4m m B C m A F

A B

F/2

F/2

第二种情况:F 大于 3mg/2,使得 A 相对于小车滑动,但 B 与小车间无相对滑动。
F / 2 ? ? mg F 1 fB aA ? ? ? g m 2m 2 F / 2 ? ? mg F 1 aB ? aC ? ? ? g 5m 10m 10 F 1 2 ? f B ? 4maB ? f B ? F ? mg 2 10 5
B F/2

B 与小车间无相对滑动的条件
f B ? 4 ? mg ? 2mg ? F ? 24mg
4m
m B C

m A

F

第三种情况:F 大于 24mg,A、B 与小车间均相对滑动。
F / 2 ? ? mg F 1 aA ? ? ? g m 2m 2

F / 2 ? 4? mg F 1 aB ? ? ? g 4m 8m 2 4? mg ? ? mg 5 aC ? ? g m 2
4m m

B C

m A

F

结论:
F 3 ? ?aA ? aB ? aC ? 6m ( F ? 2 mg ) ? F 1 F 1 3 ? ? g , aB ? aC ? ? g ( mg ? F ? 24mg ) ?aA ? 2m 2 10m 10 2 ? F 1 F 1 5 ? ?aA ? 2m ? 2 g , aB ? 8m ? 2 g , aC ? 2 g ( F ? 24mg ) ?

例 3.6 一小环 A 套在半径为 a 的竖直大圆环上, 小环与大环之间的摩擦系数为?,证明:当大环 以匀角速? 绕它自己水平轴 O 转动时,如果

? ? ( g / a)

1/ 2

(1 ? 1 / ? )

2 1/ 4

则小环与大环之间无相对运动。
A O a

?

解:
? N ? mg cos ? ? ma? 2 ? ? f ? mg sin ? ? 0 ? N ? m(a? ? g cos ? ) ? ? f ? mg sin ?
2

? f
? N

a
? mg

?
O

?

无滑动条件:f<?N
mg sin ? ? ? (ma? 2 ? mg cos ? )
? g sin ? ? ??? ( ? cos ? ) ? ?a ? ?
1/ 2


f (? ) ? sin ?

?

? cos ? ? 1 ?

1

?

2

cos(? ? ? )

为使大、小环间始终无滑动,以上不等式对任意

? 都要成立。因此

g 1/ 2 1 1/ 4 ? ? ( ) (1 ? 2 ) a ?

例3.7 如图所示,长为2l的轻绳,两端各系一个质 量为m的小球,中央系一个质量为M的小球,三球

均静止于光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态,
三球在一条直线上。今给小球 M 以一个冲量,使 它获得水平速度v0,v0的方向与绳垂直。求: (1)M刚受冲量时绳上的张力; (2)在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。
v0
m m

M

解:
( 1 )以 M 为参照系, m 绕 M 作以

v0 m T1 M T1

速度v0作圆周运动。M刚受冲量时, m 绳子对 M 的作用合力为零, M 为 惯性参照系,因此
2 mv0 T1 ? l

V

(2)

M

? Mv0 ? ( M ? 2m)V ? M 1 1 2 ? v? ? v ?1 2 2 0 ? Mv0 ? MV ? 2 ? mv M ? 2m 2 2 ?2 ?v ? v ?2 ? V 2 ?

V

m v?

V m v?

以M为参照系,m绕M以速度
v? 作圆周运动。此时 M 有加 速度aM,为非惯性参照系。

M
aM

V

M

?2T2 ? MaM ? ? v? 2 ? ?m ?T2 ? maM ? mam l ?

T2 T2

? T2 maM am V

M mv T2 ? ( M ? 2 m) 2 l

2

2 0

v?

m v?

V m v?

一、动量与冲量
1. 动量:
p ? mv

动量是状态量;

动量是矢量:动量的方向就是速度的方向;
动量与动能之间的互换式:p ? 2m Ek 2. 冲量:

I ? Ft

冲量是过程量:反映力的时间积累效应;
冲量是矢量:冲量的方向由力的方向决定;

F

*.变力的冲量

I ? F ? ?t
? Fi ? ?ti F? ?t
O t0

?S

ti ti+? ti

t

t

?力对时间的平均值

二、动量定理
1. 内容:物体所受合外力的冲量等于物体动量的变 化量。研究对象可以是单个物体,也可以是系统。 ? ? ? I 合 ? ?P( I合 ? I 1 ? I 2 ? ?, ?P ? P2 ? P1 ) 2.表达式:

?P F合 ? (牛顿定律的动量表述) ?t
3.定性应用:

当?P一定时,若?t长,则F合小。

4.定量计算:选对象,定过程,列方程。

三、动量守恒定律 ? ? ? ? p1 ? ? p2 (? I ? 0)
系统不受外力或者受外力的合力为0, 则系统动量守恒。 ? 系统受外力,但外力远小于内力(如 碰撞等),则系统动量守恒。
?

若系统在某一方向所受的合力的冲量 为零,则该方向动量守恒。
?

*.动量定理、定理守恒定律与参考系
动量定理、动量守恒定律只适用于惯 性参照系。 在非惯性参照系中使用动量定理,需 计入惯性力的冲量;

在非惯性参照系中,动量守恒定律的 适用条件为外力与惯性力的合力为零 .。

四、碰撞
动量守恒: m1 v10 ? m 2 v 20 ? m1 v1 ? m 2 v 2
v 2 ? v1 恢复系数: e ? v10 ? v 20
(1 ? e)m 2 (v10 ? v 20 ) ? ?v1 ? v10 ? m1 ? m 2 ? ? ?v ? v ? (1 ? e)m1 (v 20 ? v10 ) 2 20 ? m 2 ? m1 ?
1 1 1 1 2 2 2 2 ?E k ? ( m1 v10 ? m 2 v 20 ) ? ( m1 v1 ? m 2 v 2 ) 2 2 2 2 m1 m 2 1 2 ? (1 ? e ) (v10 ? v 20 ) 2 2 m1 ? m 2

(1)弹性碰撞:e=1,
? ? m2 v 2 ? m1v1 ? m1v1 1 1 1 2 2 ? ? m2 v 2 ?2 m1v1 ? m1v1 2 2 2
?? v1 ? ? v2 m1 ? m2 v1 m1 ? m2 2m1 v1 m1 ? m2

(2)完全非弹性碰撞:e=0,

m1v1 ? (m1 ? m2 )v
?Ek损 m1m2 1 1 2 2 2 ? m1v1 ? (m1 ? m2 )v ? v1 2 2 2(m1 ? m2 )

五、动能定理
1. 质点的动能定理:

W ? Ek ? Ek0

W ? ? Wi ? W1 ? W2 ? ? 1 2 1 2 E k ? mv , E k 0 ? mv0 2 2

文字表述:合外力对物体做的总功等于物体 动能的变化量。 2.质点组的动能定理

?W ? ? E K ? ? E

? ? W ? ? A外 ? ? A内 ? ? 1 1 2 2 E ? m v , E ? m v ? k ? ? k0 ? i i i 0i K0 ? i 2 i 2 ?

文字表述:外力做的功和内力做功之和等于 质点组(系统)动能的变化量。

六、势能
1.保守力:做功只与物体的始、末位置有 关,而与物体的运动路径无关的力。 ? 2.势能:若质点从空间某一点 r0 沿任一路径移动到 ? r ,保守力对质点所做的功可表为 ? ? ? W保= ? [ E p ( r ) ? E p (r0 )] 则 E p=E p (r ) 称为质 ? 点在 r 处的势能。 3. 特点:系统共有,相对值,位置的函数
重力势能:

E p ? m gh 1 2 弹力势能: E p ? kx 2

mM 引力势能: E p ? ? G r

七、功能原理
1.功能原理

机械能守恒定律

W ? ?



? ? W非保内 ?

? E?? E

0

? ? ? W外 : 所有外力对系统做功的和 ? ? ? W非保内 : 所有非保守内力对系统做功的和 ? ? ? Ek : 系统总动能 ? ? ? E ? ? Ek ? ? E p ? E : 系统的势能 ? ? p ?

? ?封闭 : ? W外 ? 0 封闭保守系统:? ? ?保守 : ? W非保内 ? 0

2.机械能守恒定律

?E??E

0

八、质心运动定理
1. 质心 ? 由下式决定的位置矢量 rC [位置坐标 (xC, yC) 所对应

的点 C,称为质点系的质心:

? rC ?

? ? mi ri M

y

? xdm mi xi ? ? ? xC ? ? ? M M ? ydm ? mi yi ? ? ? ? yC ? ? M M

C

? rC
O x

2.质心运动定理 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小 成正比,与系统的总质量成反比,加速度的方向沿 合外力的方向。

? ? F ? MaC

? 内力不影响系统质心的运动。

九、柯尼希定理 质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动 能之和。此结论称为柯尼希定理。

1 1 1 2 2 2 ? Ek ? ? mi vi ? Mvc ? ? mi vi 2 i 2 i 2
特别地:两质点构成的质点系统的总动能为

推论:质心参照系中两质点构成的质点系统的总 动能为

1 1 2 m1m2 2 ) Ek ? Mvc ? ? vr ( ? ? m1 ? m2 2 2 1 2 ? ? ? vr Ek 2

例 4.1 如图所示,四个相等质量的质点由三根不 可伸长的绳子依次连接,置于光滑水平面上,三

根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量
作用在质点A,并使这个质点速度变为u,方向沿 绳向外,试求此瞬间质点D的速度
B C

A u

D

u1 u B 600 600 C I2 I2 I3 I3 D u2

I1
A I0

I1

u:A的速度或B的速度在B、A连线方向的分量 u1:B或C的速度在C、B连线方向的分量

u2:D的速度或C的速度在D、C连线方向的分量

解: B球: I1 ? I 2 cos 600 ? mu
I1 cos 60 ? I 2 ? mu1
0

u1 u I1 A I0 B I1 600 600 C I2 I 2 I3 I3 D u2

C球: I 2 ? I3 cos 600 ? mu1
I 2 cos 600 ? I 3 ? mu2

D球: I3 ? mu2 联立以上各式,解得:
1 u2 ? u 13

例 4.2 足球射到球门横梁上时,因速度方向不同、射 在横梁上的位置有别,其落地点也是不同的。已知球 门的横梁为圆柱形, 设足球以水平方向的速度沿垂直 于横梁的方向射到横梁上, 球与横梁间的滑动摩擦系 数 ? ? 0.70 ,球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。 试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球 门线内(含球门上)? 足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁 轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线)的夹角

? (小于 90? )来表示。不计空气及重力的影响。

y
f
v0
O2

B
O1 ?

x

?

N

O

?

? ??
O2

A

v

解:
f ?t ? ?mv sin(? ? ? ) ? mv0 sin ?
y

(1)
O1 v0

B

? N ?t ? ?mv cos(? ? ? ) ? mv0 cos ? (2)

x

?

?

f ? ?N v cos(? ? ? ) e? v0 cos ?
若足球被球门横梁反弹后落在球 门线内, 则应有 ? ? 90? ; 若足球被 反弹后刚好落在球门线上,则

(3)
(4)

O

?

? ??
O2

A

v

f

N

O2

? ? 90?

(5)

根据(1)—(5)可得

tan 2 ? ? ? ?1 ? e ? tan ? ? e ? 0
tan ? ?

? ?1 ? e ? ? ? ?1 ? e ? ? 4e
2 2

2

? 1.6

? ? 580

球要落在球门线内,要求 ? ? 58

?

例 4.3 一质量为 M 的圆环用线悬挂着,两质量为 m 的有孔小珠套在此环上,小珠可在环上无摩擦滑动, 如图所示。今将两小珠从环的顶部释放,使之沿相反 方向自由滑下。

(1)证明:为使小珠下滑过程 中大环能升起,m 和 M 必须满

3 足: m ? M ; 2
(2)在满足上述条件下,求大 环开始升起时小珠与环中心连 线与竖直线的夹角。

m N mg

m

?
O M

解:
1 2 ? (1) ?mgR(1 ? cos ? ) ? mv ? 2 ? N ? mg (2 ? 3cos ? ) ? 2 ?mg cos ? ? N ? mv ? ? R 上升条件: 2 N cos ? ? Mg ,即

2mg (2 ? 3cos ? ) cos ? ? Mg
2 M cos ? ? cos ? ? ?0 3 6m
2

m N mg

m

?
O M

以上不等式有解:

4 4M 3 ?? ? ?0?m? M 9 6m 2

3 (2) 当m ? M 时,以上不等式的解为: 2
1 3M 1 3M (1 ? 1 ? ) ? cos? ? (1 ? 1 ? ) 3 2m 3 2m
即开始上升时,

?1 3M ? ? ? cos? ? (1 ? 1 ? )? 2m ? ?3
?1

m N mg

m

?
O M

例 4.4 如图所示,半径为 R、质量为 M、表面光滑 的半球放在光滑的水平面上,在其正上方置一质量 为 m 的小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后, 在图示的? 角位置处开始脱离半球,已知 cos? = 0.7,求 M/m。
V

m

M

?

R

v?

解:

?mvx ? MV ? 0 ? ?1 1 2 2 2 MV ? m ( v ? v x y ) ? mgR (1 ? cos ? ) ? ?2 2

m

?vx ? v 'cos ? ? V ? ? ? ?? V v ?V ?v ' ? M v ? v 'sin ? ? R ? y ? ?m(v 'cos ? ? V ) ? MV ? 0 ? ?1 1 2 2 2 2 MV ? m [( v 'cos ? ? V ) ? v ' sin ? ] ? mgR(1 ? cos ? ) ? ?2 2
? 2( M ? m) gR(1 ? cos ? ) v ' ? ? M ? m sin 2 ? ? ? 2 m gR(1 ? cos ? ) cos ? ?V ? 2 ? ( M ? m )( M ? m sin ?) ?

v?

脱离球面的条件:N=0,则
2 ? v 2( M ? m)mg (1 ? cos ? ) mg cos ? ? m ? R M ? m sin 2 ?

M cos3 ? ? 3cos ? ? 2 ? ? 2.43 m 3cos ? ? 2
m V

M

?

R

v?

例 4.5 如图所示,半径为 R、质量为 M、表面光滑 的半球放在光滑的水平面上,在其顶部有一质量为 m 的小滑块,从静止开始沿球面下滑。试求:小滑 块脱离球面之前的轨迹。
m M

R
O

解: xC 0 ? 0
mx ? M (? s ) xC ? m?M 由 x C1 ? x C 得:
2

y m s M O'
2 2 2

x R y O x

m s? x M
根据 ( s ? x) ? y ? R 可得

x y ? 2 ?1 M R 2 ( R) m?M

2

2

1.力矩

? 力 F 对参考点 O 的力矩定义为:

? ? ? M ? r ?F

?大小:M ? Fr sin ? ? Fd ? ? ? 沿r ? F 方向 ?方向:
M

O d

r P ?

F

2.质点的角动量
质点对参考点O的角动量定义为:

? ? ? ? ? L ? r ? p ? r ? mv

?大小 : L ? rp sin ? ? pd ? mvd ? ? ? ?方向 : 沿r ? p方向
L

O

r
m ?

d

v

3.质点的角动量定理和角动量守恒定律
? ? ? ?L dL M? ? ?t dt ? ? ? ? ? t ? M (t ? t0 ) ? L ? L0 ? ? Mdt ? L ? L0
t0

? 若M ?0?

? ? L ? L0 ——质点的角动量守恒

?

角动量守恒,动量未必守恒

4.质点系的角动量定理和角动量守恒定律
? ?M ? ? ?? L ?t ? ? d? L dt

? ? ? ? ? ? t ? M (t ? t0 ) ? ? L ? ? L0 ? ? ? Mdt ? ? L ? ? L0

? 若?M ? 0 ? ? ? ? L ? ? L0 ——质点系的角动量守恒
? 内力不改变系统的总角动量

t0

例 5.1 如图,质量为 m 的小球,拴于不可伸长的 轻绳上,在光滑水平桌面上作匀速圆周运动,其 半径为 R,角速度为?,绳的另一端通过光滑的竖 直管用手拉住,如把绳向下拉 R/2 时角速度 ? ? 为 多少?

m

R

F

解:

L ? mvR ? mR ?
2

R 1 2 L' ? mv' ? mR ? ' 2 4

L ? L' ?
? ' ? 4?
m

R

F

例5.2 如图所示,质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内,现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球

A,开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A
以初速度 v0 在光滑的水平地面上向右运动。当 A 运 动到图示某一位置时细绳被拉紧,试求 B 球开始运 动时速度vB的大小。
B
vB

l/2

l
v Ay 300 A A vA vAx

解:

mv0 ? mvB ? mvAx

mv0l / 2 ? mvAxl sin 300 ? mvAyl cos300 vB cos300 ? vAx cos300 ? mvAy sin 300 3 vB ? v0 7
B vB l vAy 300 A A vA vAx

l/2

解: (1) 机械能守恒: 1 1 2 ? 2 ?0 ? mgl sin ? ? 2mgl sin ? ? (2m)v1 ? mv 2 2 2 ? ? B ?v1 ? v 2 ? l?
2 g sin ? ?? 3l
2 m l O l 1

角动量定理:

B

?L ? ?2mgl cos ? ? mgl cos ? ? ?t ? ? 2 L = 2 m lv ? ml v = 3 m l ? ? 1 2 ? ?L ?? ? ? 3ml 2 ? 3ml 2 ? ? ?t ? ?t
g cos ? ?? 3l

?

A 2m

A

对小球1:

? ?2mg cos ? ? N1 ? 2ma1t ? 2ml ? ? 2 f ? 2 mg sin ? ? 2 ma ? 2 ml ? ? 1n ? 1
4 ? N ? mg cos ? 1 ? ? 3 ? ? f ? 10 mg sin ? 1 ? 3 ?
f2 2
.

N2 l O

mg

同理对小球2:

?
f1 l 1 N1

4 ? N 2 ? mg cos ? ? ? 3 ? ? f ? 1 mg sin ? 2 ? 3 ?

2mg

小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力, 故小球 1 先滑动. 设球 1 开始滑动时,细杆与水平线夹角为 ?1 ,则
N2

f1 (?1 ) ? ? N1 (?1 )
10 4 mg sin ?1 ? ? mg cos ?1 3 3 ? ?1 ? 6
.

f2

2
mg l O

?
f1 l 1 2mg N1

由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端,因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为

?1 ?

?
6

因轻杆没有质量,球 1 一旦脱离轻杆,球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失,此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动,其初速度:
3gl 2 g sin ?1 v0 ? l ? 3l 3
y v0 B2 A

?0
l O

初速度的方向与水平线的夹角:
?0 ? ?
2 ? ?1 ?

?
3

mg

?2 ?1

x

得任意 t 时刻球2的位置坐标:
? 3gl 3 2 x ? ? l cos ? ? v cos ? t ? l ? t ? 1 0 0 B ? 2 6 ? gl 1 2 1 1 2 ? y ? l sin ? ? v sin ? t ? gt ? l ? t ? gt 1 0 0 ? ? 2 2 2 2
A

球2脱离细杆时,

l 2 ? x2 ? y 2
t 2 (t 2 ? 2 l 2l t? )?0 g 3g
B2

y v0 A

?0
l O

15 l t ? (1 ? ) 3 g
? 2 3? 5 l ?x ? ? ? 6 ? ? y ? ? 2 ? 15 l ? 6 ?

mg

?2 ?1

x

A 2 B

2 3? 5 cos ? 2 ? ? l 6 x

? 2 ? 78.2?

解:(1)
tan ? ?

m

?R 1 ? 2? R 2

h

v?

5 2 5 sin ? ? , cos ? ? 5 5 v0 ? R? 螺旋环的角动量:

?

L ? ? ?mi v0 R ? mv0 R ? mR 2?
i

角动量守恒:
0 ? mv|| R ? mR2? ? ? ? v ? v? ? v0 ? v|| ? v? cos ? ? ? R
v? v? ?? cos ? , ? ? cos ? 2R 2R

v??t s h h ?0 ? ??t ? cos ? ? cos ? ? cot ? ? 2R 2R 2R R

(2)根据角动量守恒和机械能守恒定律
1 2 1 ? 2 2 mgh ? mv ? mR ? ? 2 2 ? ?0 ? mv|| R ? mR 2? ?
m
h

v?

?v|| ? v? cos ? ? ? R ? ? ? v ? v? ? v0 ? ? v0 ? R? ? ?v? ? v sin ? 1 1 1 ? 2 2 2 ? ? mgh ? m ( v cos ? ? ? R ) ? mv sin ? ? mR 2? 2 ? 2 2 2 ? ? ?0 ? m(v? cos ? ? ? R) ? mR?

?

解得: ? gh 10 gh ? ? ?v ? 2 2 1 ? sin ? 3 ? ? 1 gh cos 2 ? 1 2 gh ? ?? ? 2 ? R 1 ? sin ? R 3 ?

另解: (1)

? ( M ? m) g sin ? 5 a' ? ? g ? 2 ? M ? m sin ? 3 ? ?a ? mg sin ? cos ? ? 1 g 0 ? M ? m sin 2 ? 3 ?

m
h

M

a v??
?

1 2 ? h ? a?t ? h a0 h ? sin ? 2 ? ?? ? ? ? R sin ? a? R ? R?? ? 1 a t 2 0 ? ? 2

a0R? v0 ?

h 10 gh ? (2) v? ? 2a? sin ? 3 v0 1 1 2 ?? ? 2a0 R?? ? gh R R R 3
m
h
v0 ? R?

v?

?

1.开普勒三定律
第一定律:行星围绕太阳运动的轨道为椭圆,太

阳在椭圆轨道的一个焦点上。
第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间内扫

过相等的面积:

?S 1 2 ?? ? r ?t 2 ?t

? 常量
?t ?0

第三定律:各行星绕太阳运动的周期平方与轨道
半长轴立方之比值相等:

T2 ? 常量 3 a

2.万有引力与引力势能
2.1 万有引力

? mM ? 0 F ? ?G 2 r r
2.2 引力势能

mM E p ? ?G r

例 6.1

利用角动量守恒证明开普勒定律(Ⅱ) :从太阳

到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。

? 解:M ? r ?F ? 0?

?

?

? L ? 常量
? ? ? ? ? ?r L ? r ? mv ? m(r ? ) (?t ? 0) ?t ? ? r ? ?r ?S L?m ? 2m ?t ?t ?S L ? ? 常量 ?t 2m

?S r

?r

例6.2

地球和太阳的质量分别为m和M ,地球绕太

阳作椭圆运动,轨道的半长轴为a,半短轴为b ,如
图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动 速度大小及轨迹在A、B、C 三点的曲率半径。
C m B a b O

M

A

解: A、B两点:
1 2 GmM 1 2 GmM mvA ? ? mvB ? 2 a?c 2 a?c
m B vB

vC
b a O

C
a M c

vA A

mvA (a ? c) ? mvB (a ? c)

? a ? c GM ?v A ? 2 2 b a ? ( c ? a ? b ) ? ?v ? a ? c GM B ? b a ? 2 vA GmM b2 m ? ? ?A ? 2 ? A (a ? c) a

GmM b2 m ? ? ?B ? 2 ? B (a ? c) a

2 vB

A、C两点:

vC
m B a b O

C

1 2 GmM 1 2 GmM mvA ? ? mvC ? 2 a?c 2 a
GM vC ? a
2 vC

?
c

vA a M

A

vB

GmM GmM b a2 m ? cos ? ? ? ?C ? 2 2 ?C a a a b

例6.3

质量为M的宇航站和对接上的质量为 m的

飞船沿圆形轨道绕地球运动着,其轨道半径是地

球半径的n倍(n=1.25)。某一瞬时,飞船从宇
航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动,其最 远点到地心的距离为 8nR ,求质量 m/M 为何值时, 飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇?
M+m M M0

m

解:
2 ( m ? M ) M GM 0 u 0 M+m: G ? (m ? M ) ?u ? 2 (nR) nR nR

mM 0 1 mM 0 ?1 2 2 ? ?G mv1 ? G ? mv1 4 GM 0 ? m: nR 2 8nR ? v1 ? ?2 3 nR ? ? mv ? nR ? mv ? 8 nR ? 1 1
M+m u nR m v1

M0

nR

8nR

? v1

3M ? m GM 0 (m ? M )u ? mv1 ? Mv2 ? v2 ? 3M nR
设M的最近点到地心的距离为x,则 M:

u

v2 v1

m?M M m

mM 0 1 mM 0 ?1 2 2 ? ?G ? mv2 ? mv2 ? G nR 2 x ?2 ? ?x ?mv2 ? nR ? mv2 3M 2 x ? nR[2( ) ? 1]?1 3M ? m

v2

M

nR M0

x

? v1

T1 a1 3/ 2 (nR ? 8nR) / 2 3/ 2 1 m 2 3/ 2 ? ( ) ?[ ] ? 27[1 ? (1 ? ) ] ?K T2 a2 (nR ? x) / 2 2 3M

m ? 3 ? [2(9 ? K 2 / 3 )]1/ 2 M m 2 1/ 2 9n 3/ 2 R ? x ? nR ? ? 3[1 ? ( ) ]? K ?( ) ? 11.18 M n ?1 n ?1 m 27 2 ?0?K ? ? 9.546 m M 4

K ? 10、 11
m ? 3 ? [2(9 ? 102 / 3 )]1/ 2 M ? 0.048、 3 ? [2(9 ? 112 / 3 )]1/ 2 ? 0.153

M nR x

8nR

M0

例 6.4 距离我们为 L 处有一恒星,其质量为 M,观测发现其 位置呈周期性摆动, 周期为 T, 摆动范围的最大张角为 ?? . 假 设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行 星引起的. (1)试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程. (2) 若 L ? 10 光年, T ? 11.86 年,?? ? 3.229 毫角秒,M ? M S ( M S 为太阳质量) ,则此行星的质量和它运动的轨道半径 r 各为多少?分别用太阳质量 M S 和国际单位 AU(平均日地距 离, 1AU ? 1.50 ? 109 km )作为单位,并保留两位有效数字.

解: (1)
L?? MR ML?? R? ,r? ? 2 m 2m
G Mm

m
2

C r R

M

?R ? r?

2

? 2π ? 2 ? MR? ? MR ? ? ?T ?
2 L ? ? π ? ? ? 2GMT 2 3

?m M ?

3 2

??

?1 ? m M ?

(2)若M=MS,则

?m MS ?

3 2

?1 ? m M S ?

L?? ? ? 2 ? ? 2GM S T 2
3

设地球绕太阳作圆周运动,则

? 2? ? mE M S 2 3 ? 2π ? G ? mE rE rE ? mE rE ? ? ? GM S ? rE ? ? 2 rE ? TE ? ? TE ?

2

2

?m MS ?

3 2

?1 ? m M S ?

? L?? ? ?? ? ? 2rE ?

3

? TE ? ?13 ? 8.555 ? 10 ? ? ?T ?

2

m ? (8.555 ?10?13 )1/ 3 M s ? 9.5 ?10?5 M s

M s L?? r? ? 5.2AU m 2

1.简谐振动的基本概念 1.1 简谐振动的定义

物体在运动过程中所受的合力与离开平衡位置的位
移成正比而方向相反,即

F ? ?kx (k ? 0)
则物体所作的运动为简谐振动。

1.2 简谐振动的运动方程
x ? A cos(?t ? ? ) 运动方程:

速度方程:v ? vm cos(?t ? ? ? 其中: ? ? k/m

?

2 2 加速度方程:a ? am cos(?t ? ? ? ? ) (am ? A? )

) (vm ? A? )

1.3 简谐振动的特征量

x ? A cos(?t ? ? )
周期和频率:

振幅:A

1 ? T? ,?? ? ? T 2?

2?

位相与初相: t 时刻的位相: ?t+? 初相: ? ? 位相是描述物体振动状态的物理量

? 周期和频率:由振动系统的固有性质决定:

m ? 1 T? ? 2? ?? ? ? k 2? 2?
? 振幅和初相:由初始条件决定:
2 ? v0 2 A ? x0 ? 2 ? ? x ? x 0 ? t ?0 ? ? ? ? ? ? ?tan ? ? ? v0 ?v t ?0 ? v0 ? ?x0 ?

2?

k m

1.4 简谐振动的旋转矢量表示 振幅:旋转矢量的模A 圆频率:旋转矢量的角速度?

位相:旋转矢量与Ox轴的夹角?t+?
y

?
M M0 x

A

O

?t ? P
x

2.简谐振动的判别
2.1 简谐振动的判据

F ? ? kx 2 a ? ?? x
2.2 两种常见的简谐振动

m 1)弹簧振子:T ? 2? k

l 2)单摆:T ? 2? g

3.简谐振动的能量

1 2 2 Ek ? kA sin (?t ? ? ) 2 1 2 E p ? kA cos 2 (?t ? ? ) 2 1 2 E ? Ek ? E p ? kA 2 1 2 E p ? Ek ? kA 4 谐振子的动能和势能都随时间而变化,振动过程 中两者相互转换,但系统的总能保持不变。谐振 子系统是一个封闭保守系统。

x

O

t

1 2 E ? kA 2 Ek

O

Ep

t

4.简谐振动的合成
4.1 同频率同方向的简谐振动的合成 1)两个同频率同方向的简谐振动的合振动为与分 振动同频率的简谐振动。 2)合振动的振幅

A ? A ? A ? 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 )
2 1 2 2

?? ? 2k? , A ? A1 ? A2 ?? ? (2k ? 1)? , A ? A1 ? A2

例 7.1 如图,一正方体木块浮在水面,因外界扰动而沿 竖直方向上下振动,设木块的边长为 l,密度为 ? ,水的 密度为 ? 0 ( ? 0 ? ? ) 。 (1)证明木块作简谐振动,并求其振动周期; ( 2)若已知 t ? 0 时木块经过平衡位置以速度 v 0 向下运 动,试求出物体的振动方程(取平衡位置为坐标原点, 向下为坐标轴正方向) 。

2 mg ? ? gl x0 (1) 0

解:

F ? mg ? ?0 gl 2 ( x ? x0 ) ? ? ?0 gl 2 x ? ?kx
?0 gl 2 ?0 g k ?? ? ? 3 m ?l ?l
x0 x

O

?l T? ? 2? ? ?0 g
(2) x ? A cos(?t ? ? )

2?

x

? v0 ?l A ? ? v ? 0 ? ? A cos ? ? 0 ? x t ?0 ? 0 ? ? ?0 g ? ? ? ? ? ?? A? sin ? ? v0 ? ? ? ?v t ?0 ? v0 ? ? ? ? ? 2 ?0 g ? ?l x ? v0 cos( t? ) ?0 g ?l 2

例 7.2 如图,两个半径不同的圆柱分别绕平行的水平轴 反向转动,它们转动的角速度均为?,两轴之间的水平距 离为 L。在 t=0 时刻,把一匀质木板垂直于轴放在两圆 柱上,木板处于水平位置且同时与两个转动面接触,其 质心位于小圆柱轴的正上方。设木板与圆柱面之间的摩 擦系数为?,试求木板的质心的位置与时间的关系。

解: 平衡位置: F ? f1 ? f 2 ? ? N1 ? ? N 2 ? 0

? N1 ? N 2
因此木板处于平衡位置时,其质心到 N1 和 N2 作用线的垂直距离均为 L/2。

离开平衡位置x:

1 x ? L ? N1 ? mg ( ? ) ? ?mg ( ? x) ? N 2 L ? 0 ? 2 L 2 ?? ? 1 x ? ? N ? N ? mg N 2 ? mg ( ? ) ? 1 2 ? ? 2 L 2? mg F ? f1 ? f 2 ? ? N1 ? ? N 2 ? ? x L 因此木板的质心作简谐转动。

k 2? g ?? ? m L 2? g x ? A cos( t ? ?) L
L ? A cos ? ? L ? L ? ? x ? ? t ?0 ? ?A ? 2 2 ?? ?? 2 ? ?v ? 0 ?? A 2? g sin ? ? 0 ? ? ?0 ? ? t ?0 ? ? L

L 2? g x ? cos( t) 2 L

例 7.3 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来,一起放在地面上,弹簧的质量可不计,而 m 2 >m 1 , 问: 对上面的木块必须施加多大的压力F, 以便在F突然撒去而上面的木块跳起来时,恰能使 下面的木块提离地面?
m1

F

m2

解:F 撤去后, m1 围绕其平衡位置 O 作简谐振动。

m1 在平衡位置时,弹簧的压缩量:

x
xm x0

x0 ? m1 g / k
m1 作简谐振动的振幅:

A O
A

A? F /k
m1 上升到最大高度时,弹簧的伸长量:
m1

F

xm ? A ? x0 ? ( F ? m1 g ) / k
m2 刚好能被提起的条件:

m2 g ? kxm ? F ? m1 g
由此可得: F ? ( m1 ? m2 ) g

m2

例 7.4 如图所示,在一个劲度系数为 k
的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球 A 和质量为 2m 的小球 B.A 用 细线拴住悬挂起来, 系统处于静止状态, 此时弹簧长度为 l。 现将细线烧断, 并以 此时为计时零点, 取一相对地面静止的、 竖直向下为正方向的坐标轴 Ox, 原点 O 与此时 A 球的位置重合(如图) 。试求 任意时刻两球的坐标。
O

A k B

l

x

解:

在质心坐标系 O?x? 中,A、B 球作简谐振动。

2mg 2mg ? k (l ? l0 ) ? k ? l ? l0

2 1 AC ? l , BC ? l 3 3 ?1 1 1 ?k ? k ? k 3 ? 1 2 ? k1 ? k , k2 ? 3k ? 2 ? k1 ? 1 ? ? k2 2 两球相对于质心的位移: 2 ? ? x1 ? ? l0 ? A1 cos(?1t ? ?1 ) ? ? 3 ? ? x? ? 1 l ? A cos(? t ? ? ) 2 0 2 2 2 ? 3 ?

k1 k2

2 ? ? 2 ? x ? ? l ? 1 t ?0 ? A1 ? (l ? l0 ) 3 ?? 3 ? ?v1 ??1 ? ? ? ? ? t ?0 ? 0 1 ? ? 1 ? x ? l ? 2 t ?0 ? A2 ? (l ? l0 ) 3 ?? 3 ? ?v2 ??2 ? 0 ? ? 0 ? ? t ?0
k1 k2

2 2 3g ? x1 ? ? l0 ? (l ? l0 ) cos( t ??) 3 3 l ? l0 1 1 3g ? ? l0 ? (l ? l0 ) cos( x2 t) 3 3 l ? l0

在坐标系Ox中,任意t时刻质心的位置坐标:

2 1 2 xC ? l ? gt 3 2
由此可得在坐标系Ox中,任意t时刻A、B 球的位置坐标:

? 1 2 2 3g ? ? ? gt ? (l ? l0 ) ?1 ? cos( x1 ? xC ? x1 t )? 2 3 l ? l0 ? ? ? 1 2 1 3g ? ? ? l ? gt ? (l ? l0 ) ?1 ? cos( x2 ? xC ? x2 t )? 2 3 l ? l0 ? ?

解:第一阶段:自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。
mg x0 ? k ?T ? mg ? ma1 ? N ? mg ? 2T ? ma ? 1 ? ? N ? ma1 ? mg ? ma? ? ? N ? k ( x0 ? x?)
4k k a? ? ? x?, a1 ? ? x? 3m 3m 4k x? ? A cos( t ? ?) 3m
T
a1 2 mg N ma
1

2T

T a1

a?
1 mg 3

a1 mg mg x x0 -x' l0

N

2mg ? ? 2mg ? ? x t ?0 ? ?(l0 ? x0 ) ? ? ?A ? k ?? k ? ?v? ? 0 ? ?? ? ? ? t ?0

O E

x? ?

2mg 4k cos( t ??) k 3m
? 4k 1 mg cos( t ? ? ) ? ? 1 ? x0 ? 3 m 2 ? k ?? ?v? ? ?2 g 4m sin( 4k t ? ? ) ? 0 ?0 1 ? 3 k 3 m ?

设t=t1时,砝码1与弹簧分离,则

? ? ? x t ?t1 ? ?v? ? t ?t1

? m ?t1 ? ? 3k ? ? ? v? ? 2 g m ? k ?

第二阶段:自砝码1脱离弹簧至至再次接触弹簧。

?T ? mg ? ma1 4 ? ? N ? mg ? 2T ? ma1 ? a? ? ? g 3 ?ma ? mg ? ma? ? 1

2v? m t2 ? ?3 a? k

3? m t ? t1 ? t2 ? (3 ? ) 3 k


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