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用空间向量解立体几何题


20 0 5年

第4 4卷

第1 2期 

数 学通 报  

2  3

用空 间 向量解立体几何题 
汪 昌政  
( 北省荆门市实验高 中 湖 4 80 ) 40 0 
: c — b. BD : c — n  

用 传

统 的综合 推理 法解立 体几 何 问题 往往 需 
要 较 强 的 空 间 想 象 力 , 解 决 角 度 、 离 问 题 时 技  在 距 巧 性 较 强 , 旦 思 路 受 阻 就 只 能 放 弃 . 课 程 增 加  一 新

n.  

依 题 意有 


.  

:  
①  ② 

n?( c—b)= 0   0   由 ② 一① 得 
b ?c — a ?b = 0.  

的空间 向量利用代数 的方 法 , 为解 决这些 问题 提供  了通 用 方 法 . 显 著优 点 是 减弱 了推理 论 证 的成  其

A 赢 :c ( 一n : D. .西 )  

份, 用计算 来代替论证 , 缺点是 计算量 加大 . 其 如果 
在 解 决 问 题 的 过 程 中 推 理 论 证 与 向 量 运 算 综 合 运 

\ .     . /
图 1  

D 

用, 则不失为一种好办法 1  
1 方 式 的 选 择    用 向量 解 题 有 两 种 方 式 可 供 选 择 , 种 是 真 接   一

.  

: b. c一口   ( ):

b . c — a .b = 0  

所 以  _  L

即有 A L肋 命题得证 . C—  

用 向量代 数式 运算 , 种是 向量 的坐 标运 算 . 一 一般 
来说 , 向量 的坐标运算 , 用 思维 量更少 , 运算 技巧性 

例 2 已知 边 长为 0 正 三 角 形 A C的 中线 A     的 B F

与 中位线 D E相交 于 G, 将此 三角形沿 D E折成二面 
角 A — D — B, l E  

更低 , 容易 掌握 , 更 因而我们 应 尽可 能采 用坐 标运 

算方式 . 坐标运算方式 的弱点 是要 十分精确 的写 出  
各个点 的坐标 , 确无 误地 写 出相 关 向量 的坐标 , 准  
坐标一错则 全 盘皆错 . 外 , 另 有些 情况 下 可能 并不  是很方便建立直角坐标 系 , 时不 妨考 虑用代 数式  此

() : 面 A F上 平 面  1求 平 l G
BC ED ;  

() 2 当二 面角 A — D —B B l E   
为 多 大 时 , 面 直 线 A 与  异   B D互 相 垂 直 ?   解  ( ) 为 D 1因 E为 中  线 , 以 A D = A E. 所 】 】  
图 2  
C 

运算 , 只是运算技巧相对要强一些 .  
2 代 数 式 运 算 方 式   

用代数 式运算 方 式 的要 点是 在 空 问 图形 中选 
择 一组 合 适 的基 底 , 般 选 其 起 点 的三 个 不 共 面 的  一 向量 构 成 基 底 , 样 图 形 中 任 何 其 他 向量 总 可 以 用  这 这 一组 基 向 量 来 表 示 , 相 关 向 量 表 示 出 来 后 , 把 就 

又 G为 D E中 点 , 以 A G—  E, D LF   所 1 LD 而 E—  G,

所 以 D L平面 A G 又平面 B E E—   F, C D经过 D   E,
所 以 平 面 A F上 平 面 B E   l G C D.

可用 向量 内积运算来讨 论 向量 所成 的角 , 特别是通 
过 内积 为 零 来 证 明线 线 垂 直 , 向 量 共 线 来 说 明线  用

() 2 选取以 G 作为始点的 三个向 量  , ,   瓦 蔬
构 成 一组 基 底 ,  


线平行等 等.   例 1 证明 : 四面体的两对对棱垂直 ,   若 则第三 
对对棱也垂直 .  

则菌 :疏 +G 商 :蔬 +G 一 F+ 一 F一2 : 蔬   G 蔬  F一 ① 
E Al= G + G l   4 


② 

已知 : 四面体 A—B D中A LC B LA   C B—  D, C—  D. 求证 : C上 B   A D
证 明  选 取 从 A点 出发 的 三 条 棱 的 方 向 向 量  构成一组基底 ,  

D   B.
:   .
— — — —  

:( 一蔬 )赢 + )   (     赢 +   .   一蔬 . 一蔬 . 赢  

6   Hl
: 


.  



蔬z  

令向  

:口  :b一 , ,D:c则赢 :b— A ,  

l  

l瓦 lo0+ 蔬 l   l  s l   c

2  4

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20 0 5年

第4 4卷

第1 2期 

= ? c  ( )     o +号  s
3   a
∞  

( 求异面直线所成 的角  I)
设 异 面 直 线 A 和 C 的方 向 向 量 分 别 为A   B D  、 C  D,两 直 线 所 成 的 角 设 为 臼 则 有 cs = , o0  


n  

a  

令 .A: , 。 : {,   E 0 s 一   得c  
= a cs一了 r o( 1) c
,  

注 意 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 (。 0,  

9 ̄ , 以分子上对 内积取绝对值 . 0 ]所  
( 证 直 线 和 平 面 平 行  Ⅱ) 要 证 直线 A B和 平 面 a 行 , 种 方 法 是 看 平 面  平 一

因 为 Al   G上 D F 上 D   E, G E,

所 以角 0=a cs 一 1) r o(   即二面角 A —D c l E—B  
的大小 .  

a上是否有 和 向量A 豆共 线 的向量 , c 若 D在 平面 a   上, 且有  ∥  , 只须交待 直线 A B不在平 面。 , 上   即可判定 A /a 第二种方法是求 出平 面 a的法 向  B/ ,

例 3 P是 二 面 角 口一A     B
一  

棱 上 的一点 , 别在 a  分 ,
BMP =   BP N = 4 。  5 ,

量 n 如果蔬 .l , , ,:0 即蔬 上 , 即可判定 A / l , B/ 平 
面 口 ( 4  .图 )

平 面 上 引 射 线 P , N, 果    P 如
Ⅳ =6  ̄ 那 么 二 面角 口一 0,   A — 的 大小 为 B  
图 3  
. 
— —

解  在 P 上取作向量丽 , 设其模 长为 n    并 ,
在 P 上取 作 向 量  , 其 模 长 为 b 分 别 过  ,   N 使 , Ⅳ 作 MC, MD垂 直 于 A 于 c, 点 . B D 则  角 即二 面 角 的平 面 角 .  


,  

所 成 的 

图4  

图 5  

( 证 直 线 和 平 面 垂 直  Ⅲ)
,  

C M : 一P + 一 C PM




DN : _+ + N DP  P

要证 直线 A B和平面a 直 , 垂 只须求 出平面 a的  法向 n, 然后判定 A 百是否等于 l 即它们是否共线 , ,,  
若 共 线 则 可 说 明 A 上 平 面 a ( 5  B .图 )



C M .一 DN



( + ) ( 十P )   葡 .  一   k
+   .b Ⅷ s3 。 15 

:  

.  

( ) 二 平 面平 行  Ⅳ 证

+  

c s 3 。+ n 01 5  

。6 o: 0 s0  

要证平面 a/ /平面 , 出两平 面的法向量 J , 求 ,  l
n, J 若 , l=A 则 a/  , 图 6 . n, / ( )  

所 以 二 面 角 a —A 一 的大 小 为 9 ̄ 日   0   评 析  此 题 和 前 两 题 比较 米 说 , 乎 没 有 明 确  似 选 择 基 底 , 际 上 是 以 P 点 为 始 点 的 三个 向 量 作 为  实
基向量 了.  

3 向量 坐 标 运 算 方 式    用 向量 坐标 运 算 方 式 , 1 建 立 空 间 直 角 坐 标  () 系 , 意 尽 可 能 利 用 已 经 存 在 的过 同 一 个 点 的 两 两  注 垂 直 的 三线 , 果 没有 三 线 垂 直 , 多 找 两 线 垂 直 , 如 也   然 后 作 出 第 三 线 和 两 线 垂 直 . 般  ,,z 轴 应 是  一 】 , 右 手 系 空 间直 角 坐标 系 . 实 上 坐 标 系 是 右 手 系 还  事 是 左 手 系 不 是 问题 的关 键 , 要 的是 所 写 的 点 的 坐  重 标 必 须 与 所 建 立 的坐 标 系相 一 致 .   ( ) 出需 要 用 到 的 点 的 坐 标 . 步 一 定 要 仔  2 写 此
细 , 能有 一 点差 错 . 不  
1I   璺  6 图 7  

( ) 二 平 面垂 直  V 证

要证平面 a上 平面 , 出两平 面的法向量 J, 求 ,  l
n 若 m ? =0 则 aj ,图 7 . , n ,  _口 ( )  

( 求斜线 与平面所 成 的角  Ⅵ) 求 斜线 A B与平 面a 所成角 , 先求 出平 面 a的法 
向量 n 设 线 面 角 为  , 有  , 则
sn = i    s < 一B A


, l> I:  

( ) 出所 有 要 用 到 的 向量 . 别 注 意 是 用 终  3写 特

注 意平 面 的法 向量 , l 与  所 成 的角 <  


, > ,   l

点坐标减起点 坐标 !   () 4 通过计算 解决具体问题 ;  

与 线 面角  之 间 的关 系 是 <一 ,>+0:9 ̄ 者  A l B 0或 是 < A n >一9o= 0 如 图 8 , 论 是 哪 种 情 况 , B, 0 ( )不  

20 年 05

第4 4卷

第 1 期  2

数 学通 报  

2  5

两向量夹角的余弦的绝对值 总是 线面角 的正 弦 ( 线 
,  

,, l在两异面直线上分别选 一点构 成线段 , 即平 面 a   的斜线段 ( B ) 它与平 面 a的线 面 角 的正弦 即  如 D ,
  。 Ic s < 一 D B


面 角 的 范 围 是 Eo9 ̄ ) o ,0] .  

小  

( 求 二 面角 的平 面  Ⅶ)
角 

, l>I   :

, 以两 直 线 问 的  所
疗 > I=  

求二面角 a一1   的平  一 面角, 只需要 求出两个 半平 
面的法 向量 m, , 有  ,则 l

距 离 为 d : I D I cs<一D —  I。 B     B 4 平面 的 法 向 量 的 求 法   



在 以上 的解 法 中 , 求平 面 的法 向量 是关 键 , 在  高 中阶段 只能用解方 程 的方 式来求 法 向量 , 首先 设 
平 面 a 法 向量 为 , = ( Y 1 , 平 面 a 任 找 两  的 l  , ,)在 上

设 a一 1   的 平 面 为 , 一 则  与 < 臃 , , 的关 系  l>

个不共线 且 已知 坐标 的 向量 如 A c .  , D 建立 方 程 
, 1.A ’ : 0 B


是相等或互补 . 至于具体 到一个 题 目中它们 是相等  还是互补 , 取决 于法 向量 m, 的方 向 , , l 一种 相对 准 
确 的判 定 方 式 图示 如 下 :  

,?   :0 解 出 , 即 可 , 果 方 程 无  l C ,   Y 如

解 , 明法 向量的竖坐标不可能 为 1 此时 只需将 所  说 , 设法 向量 坐 标 中的 竖 坐标 由 1改 为 。 相 应 地 将  ,
( 者 Y 改 为 1再 解 方 程 . 或 ) ,   例 4 如 图 1 , 直 三 棱 柱 A C —A B C 中 ,   2在 B 】 】】  

当 a 两个 平面处 于重合 时 , , 让其 法 向量方 向 


致 , 当 a绕交线 旋转 时 , 则 其法 量 , 随之一起旋  l

转 , 时不 论二 面角是 多 大 ,< m, 此 , l> 总与 之 相 
等.  

底 面是 等腰 直角三 角形 , A B =9 。侧棱    C 0,

=  

2 D, , E分 别 是 C 】 B 】 中点 , E在平 面 A D C与 A 的 点 B 

上 的射影 是 AA D的重心 G ( ) B   面 A D B ,1 求 A 与 B  所成 的角的大小 ,2 求点  到平 面 A D的距离 . () E   解  ( ) 1 建立如 图 1 所 示空问直角坐标系 , 2 设  底 面 AA C的腰 A B C= 口 则各点 的坐标 为  ,
A( 0, ) B( 口, )  口, 0 , o, 0 ,
图 9  

c( 0 0 , 0, , ) A1 a, o, , ) D( 0 1 , (  
C  占 

( 求点面距及线 面距  Ⅷ)
点 面 距 与 线 面 距 总 是 可 

02 , , ) E为  1 中点 , 用 中  利

以相互 转化的 , 如图 1 求 直线  0
B C到 平 面 a的 距 离 d 也 就 是  ,

点公式 可求得E詈, 1, ( 詈,   )
E在 底 面 A C上 的 射 影 为  B

求点  到平面 a的距 离 , 它是  在求斜 线段 A B与平 面 a所成  的线 面角的基础 上进行 的, 利  用 ( 中的方法求出 了 s O 即得 d:I   I iO Ⅵ) i , n    n . A s   ( 求异面直线 间的距离  Ⅸ)
两异面直线 A  与 C D之 间  的距 离 最 终 也 要 转 化 为 线 面  则 C D到 平 面 a 离 即 两 异 面 直  距 线 间 的 距 离 . 一 步 可 转 化 为  进 图l 1   .  £ /  。. 旦  .  

F詈, 0, G AD ( 詈, 而 为A B  )
的重心 , 用重心公 式 可得  利
图 1  2

Ga詈 ) ‘ ,, . 了  
所 以 


= ( o o 一2 , 一 , , ) 

= ( ,, 1 , o 0 一 ) 

D=0 ,1E:一 ,詈 一 ) B (。一)G (詈 ~ ,号  , 一) o ,   一  ,

距过 B C的 行 面 , 蒸 ,A作 D 平 平 a     :  
点 面距来求解 , 方法 如( 所示 . Ⅷ)   实 际求解 时 , 平面 a是 不用作 出的 , 因为如 图  1 所示 , 1 只要 向量 A c 百,  能够 表示 出来 , 平 面 a 则   的法 向量 ,可通过 , ? 百 =0 , ?   =0解出 ,  l l A ,l c , l
也 可理 解 为 两 异 面 直 线 公 垂 线 的方 向 向 量 , 道 了 知  

设 平 面 的 法 向量 为 m = ( Y 1 , 有   , ,)则

{ 》 …O : 童 :   : x    +:  
解得  = 1 a Y: 1 a即 m = (/ ,/ ,) / , / 1a 1a 1 .   设 B1 A 与平面 A B所 成角为 0 则有  D ,
sn _ l o < A1 , > l iO   s c B m  
  . .

IA1 ?小 I     B  

数学通报 

20 年  第 4 卷 05 4

第 1 期  2

用 几 何 画板 制 作 一 般 棱 柱 的  ‘ 实 型 " 转 直 观 图  ‘   虚 旋
蔡 国瑛 
( 肃 省 武 威 六 中  7 30 ) 甘 300 

文 [] 1 主要谈 了如何让立体 图形动起来 , 2  文[ ] 继 文[ ] 了如何让 特殊的几何体 一 正棱柱 ( 1谈 正棱  锥 ) 虚 实 ”变 化 .本 文 是 通 过 《 何 画 板 》 Te “ 几 ( h  G o e r S e h a , 文 简称 G P 使用 4 0 em t s kt pd本 e  c S, .6中文  版)做 数学”活动进 行 教学 的实例 , “ 展示 用 G P制  S 作一般棱柱的“ 虚实型” 旋转 直观图的方法 , 也是对  文[ ]2 作法 的补充 与发展 , 1[] 以飨 读者 .  
1 基 本 原 理 


②作圆: O 以 X= 0 A 为半径作大 圆 , o 11 在 x&  任取一点  , O 以 M为半径 作小 圆 , 并在大圆上任取  点 Q作 动画 、 隐藏按钮 .  

① 高 中数学课本 中多面体直观 图的画法规则 ,   ② 将 多面体上的点分组转化到 圆( 可能是不  也
同 圆 ) 以 实 现 图形 旋 转 , 立 圆 上 的 点 与 椭 圆上  上 建

的点 的对应关系 以实现 “ 直观 图” 利用 多 面体上 的  ,
点 在 圆 的 不 同弧 上 的位 置 以实 现 虚 实 线 转换 .   2 制 作 底 面 内接 于 圆 的 直 四 棱 柱 的 “ 实型 ” 转    虚 旋
直 观 图 
图 1  

① 度 量 : 图 1左 )中 四 边 形  】 c D 是 欲  设 (  】 】 】

作 的四棱柱 的底 面 , 接外 接 圆 圆一    四边形  连 t0 与 5
各顶点 , 量 出 度   l 1 1 7。 B 0 C = 10 , 0 B = 0 , 1 1 1 2 ̄    
Cl D l= 1 0 , D1 A1 = 2  ̄  0l 5  ̄    01 0 .

③ 作射线 : o 过 q作 射 线 , 以度 量 角 2。 再 0,   10 ,2 ̄ 5  ̄10 依次旋转三次作另 三条射线 ( 这是 因为底  面 中 0 到底 面四边形 四顶点连线 中相邻连 线所成  。
角 为 2 ̄ 10,2  ̄7 ̄ 0,5 ̄ 10 , ) 0 

1 ×( Ⅱ 一 )+—-×Ⅱ +1×( = 1 Ⅱ   Ⅱ   、 2    )




( 詈, :(,,  詈, o ) 1 0 1)


一  

 

平 面 A E 的法 向 量设 为 , ( Y 1 ,   D l=  , ,) 由

{ — 二  得l (,,. L D 。解  :   1 E 解 , 21 )    0 12)      ,
, ? l   = 

、 

又点 G 为E在平面A 上的射影, — :   加 由赢  小
解 得 n = 2 代 入 上 式 得  ,
sn : i    ,  

设 A E与平 面 A D所成角为 , 1 E 则 
sn = i    s<   , > 一     =



 

即 Bl A 与平 面 A B所成 角为 aci4 D r n  s 2
.  

一 3    

所 以 A  l E到平 面A D的距离为  E

( 2 = 一 ,, 1= 一’ 一) )   (号号 一) ( l, 1 l  

l 1s/   .  3=√   了 n 3
.  

B  

i  

22 26 4  4

=了 .  


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