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2013年广州市一模数学理科试卷含答案(word版)


2013 年广州市一模数学理科试卷
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔 将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案

后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:如果事件 A,B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

? ? ? ? 线性回归方程 y ? bx ? a 中系数计算公式 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

? (x
i ?1

? , a ? y ? bx ,

? x)

2

其中 x, y 表示样本均值。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1,3,5} , B ? {2,4} ,则 A. U ? A ? B 2.已知 B. U ? (CU A) ? B C. U ? A ? (CU B) D. U ? (CU A) ? (CU B)

a ? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a+bi= 1? i
B.2+i C.2-i D.1-2i

A.1+2i

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ?
A.-3 B .0
2 2

C.1

D.3

4.直线 x ? 3 y ? 0 截圆 ( x ? 2) ? y ? 4 所得劣弧所对的圆心角是 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

5.某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是

1

A.2

B.1

C.

2 3

D.

1 3

6.函数 y ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 是 A.奇函数且在 [0, B.奇函数且在 [

?
2

] 上单调递增

?
2

, ? ] 上单调递增

C.偶函数且在 [0, D.偶函数且在 [

?
2

] 上单调递增

?
2

, ? ] 上单调递增
x

7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点为 a,函数 g ( x) ? ln x ? x ? 2 的 零点为 b,则下列不等式中成立的是 A. f (a) ? f (1) ? f (b) C. f (1) ? f (a) ? f (b) B. f (a) ? f (b) ? f (1) D. f (b) ? f (1) ? f (a)

8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d=600m,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往 河对岸的码头 B.已知 AB ? 1k m ,水流速度为 2km/h,若客船行驶完航程所用最短时 间为 6 分钟,则客船在静水中的速度大小为 A.8km/h C. 2 34 km/ h B. 6 2km/ h D.10km/h 图2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 x ?1 ? x 的解集是_________. 10. cos xdx ? _______.
0

?

1

11.某工厂的某种型号机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的统计资料: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23 x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用所限为 10 年维修
费用约______万元(结果保留两位小数).

2

12.已知 a ? 0, a ? 1,函数 f ( x) ? ? 最小值大

?a x ,

x ?1

?? x ? a , x ? 1

,若函数 f (x) 在区间[0,2]上的最大值比

5 ,则 a 的值为________. 2

13.已知经过同一点的 n(n ? N *, n ? 3) 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这 n 个 平面将空间分成 f (n) 个部分,则 f (3) ? ______,f (n) ________ . (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,定点 A(2, ? ) ,点 B 在直线 ? cos? ? 3? sin ? ? 0 上 运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为______. 15.(几何证明选讲选做题) 如图 3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O 交于点 D,若 BC=3, AD ?

3 2

16 ,则 AB 的长为______. 5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函 f ( x) ? A sin(?x ? 值为 2,最小正周期为 8. (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若函数 f (x) 图象上的两点 P,Q 的横坐标依次为 2,4,O 坐标原点,求 ?POQ 的 面积. 17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

?
4

) (其中 x ? R, A ? 0, ? ? 0 )的最大

1 , 乙,丙做对的概率分别为 2

m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其分布列 为:

?
P

0

1 a

2 b

3

1 4

1 24

(1)求至少有一位学生做对该题的概率; (2)求 m,n 的值; (3)求 ? 的数学期望.

3

18.(本小题满分 14 分) 如图 4, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,?ABC 是边长为 2 的等边三角形,

AA1 ? 平面 ABC,D,E 分别是 CC1,AB 的中点.
(1)求证:CE//平面 A1BD; (2)若 H 为 A1B 上的动点,当 CH 为平面 A1AB 所成最大角的正切值 为

15 时,求平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值. 2
19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) S n ? 2n(n ? N *) . 且 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等差数列,试判断 a p ? 1, aq ? 1, ar ? 1 是否成等比数列?并说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,点 A(2,3)在 椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C
2

处的切线分别为 l1 ,l2 ,且 l1 与 l 2 交于点 P. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? | AF2 | 的点 P?若存在,指出这样的点 P 有几个 (不必求出点 P 的坐标) ;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? m ? 1 ,关于 x 的不等式 f ( x) ? (2m ? 1) x ? 1 ? m 的解
2 2

集为 (m, m ? 1) ,其中 m 为非零常数.设 g ( x) ? (1)求 a 的值;

f ( x) . x ?1

(2) k (k ? R) 如何取值时,函数 ? ( x) ? g ( x) ? k ln( x ? 1) 存在极值点,并求出极值点; (3)若 m=1,且 x>0,求证: [ g ( x ? 1)] ? g ( x ? 1) ? 2 ? 2(n ? N *)
n n n

4

2013 年广州市一模数学理科试卷 参考答案

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