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一轮复习第六章不等式与推理证明


第 1 课时 不等关系与不等式

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握不等式的性质,会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大小.

1.比较两个实数大小的依据

a>b?a-b>0,a=b?a-b=0,a<b?a-b<0.
2.不等式的基本性质 (1)对称

性:a>b?b<a(双向). (2)传递性:a>b,b>c? a>c(单向). (3)同向不等式可加性:a>b?a+c>b+c(双向);

a>b,c>d? a+c>b+d(单向).
(4)乘法法则:a>b,c>0? ac>bc(单向);

a>b,c<0? ac<bc(单向);
? a>b>0? ?? ac>bd(单向).

c>d>0? ?

1 1 (5)倒数法则:a>b,ab>0? < (单向).

a b
n

(6)乘方法则:a>b>0? a >b (n∈N 且 n>1)(单向). (7)开方法则:a>b>0? [基础自测] 1.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( A.ad>bc C.a-c>b-d 解析:由不等式的性质知:a>b,c>d? a+c>b+d. 答案:D 2.(2016?内江检测)若 6<a<10, ≤b≤2a,c=a+b,则 c 的取值范围是( 2 A.9≤c≤18 C.9≤c≤30 B.15<c<30 D.9<c<30 B.ac>bd D.a+c>b+d )

n

n

n a> b(n∈N 且 n>1)(单向).

a

)

1

a 3a 解析:因为 c=a+b, ≤b≤2a,所以 ≤c≤3a,又 6<a<10,则 9<c<30. 2 2
答案:D 3.(2016?铜川质检)已知 a,b,c∈R,则“a>b”是“ac >bc ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 解析:a>b 答案:B 4.(教材改编题)若 a>b,c>d,则下列不等关系中一定成立的是________. ①a-b>d-c ②a+d>b+c ③a-c>b-c ④a-c<a-d 解析:∵a>b,c>d,∴a-b>0,d-c<0,∴a-b>d-c.故①成立;取 a=0,b=-2,c=0,d=-3 代入②,可知②不成立;由不等 式的可加性知③成立;由 c>d 知,-c<-d,由不等式的可加性知④成立. 答案:①③④ 5.已知 f(x)=3x -x+1,g(x)=2x +x-1,x∈R,则 f(x)与 g(x)的大小关系是________. 解析:f(x)-g(x)=x -2x+2=(x-1) +1>0 ∴f(x)>g(x). 答案:f(x)>g(x)
2 2 2 2 2 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

ac2>bc2,∵c2=0 时,ac2=bc2;反之,ac2>bc2? a>b.

考点一 用不等式(组)表示不等关系 [例 1] 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别 为 1 小时、2 小时,加工一件乙产品所需工时分别为 2 小时、1 小时,A,B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500.写出满足上述所有 不等关系的不等式. 审题视点 这是一个二元不等关系的实际应用题,只需设出两个变量,依据题目所述条件逐一用不等式表示,然后组成不等式组即可. 解 设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y,则由题意可知

x+2y≤400, ? ?2x+y≤500. ?x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N.

2

用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,除了把文字语言“翻译”成符号语言,把握“不超过”“不低于”“至少”“至多”等关键 词外,还应考虑变量的实际意义,即变量的取值范围.

1.实数 x 的绝对值不大于 2,用不等式表示为( A.|x|>2 C.|x|<2 解析:“不大于”指“≤”,所以|x|≤2. 答案:D

) B.|x|≥2 D.|x|≤2

2.某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过 1 000 万元的资金购买单价分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽 车.根据需要,A 型汽车至少买 5 辆,B 型汽车至少买 6 辆,写出满足上述所有不等关系的不等式. 解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,则由题意可 40x+90y≤1 000, ? ? 得?x≥5,y≥6, ? ?x,y∈N. 4x+9y≤100, ? ?x≥5, 即? y≥6, ? ?x,y∈N, 考点二 不等式的性质 [例 2] (1)若 a>0>b>-a;c<d<0,则下列命题;(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b-d;(4)a?(d-c)>b(d-c)中能成立的个数 是( ) A.1 C.3 (2)“ B.2 D.4

a b d c

a2+b2 ≤-2”是“a>0 且 b<0”的( ab

) B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件 C.充分不必要条件

审题视点 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假. 解析 (1)∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴a(-c)>(-b)(-d), ∴ac+bd<0,∴ + =

a b ac+bd <0,∴(2)正确. d c cd

∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d,∴(3)正确.∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴(4)正确,

3

故选 C. (2)
2 ?a<0 ? a2+b2 a2+b2 ?a+b? ≤-2? +2= ≤0?ab<0?? ab ab ab ?b>0 ?

或?

? ?a>0 ?b<0 ?

,故选 A.

答案 (1)C (2)A

在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假, 当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的性质等.

1.(2016?鄂州模拟)已知 a<b,则下列不等式正确的是( 1 1 A. >
2

)
2

a b

B.a >b D.2 >2
a

C.2-a>2-b

b

解析:a<0,b>0 时,A 不成立,0<a<b 时,B 不成立,由 y=2 是增函数,知 2 <2 ,故 D 不成立,故选 C. 答案:C 2.(2016?山东临沂一模)若 a,b 为实数,则 a>b>0 是“a >b ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件
2 2 2 2 2 2

x

a

b

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

解析:当 a>b>0 时,a >b 显然成立;当 a >b 时,令 a=-2,b=1,则 b>a,故 a >b ? a>b>0 不一定成立,故选 A. 答案:A 考点三 比较大小 [例 3] (1)若 a、b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式成立的是( A.a +1>b +1 C.lg(a-b)>0
2 2

)

B. <1

b a

?1?a ?1?b D.? ? <? ? ?3? ?3?
) B.M>N D.不确定

(2)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N

4

(3)已知 a>b>0,比较 a b 与 a b 的大小. 审题视点 (1)运用特殊值验证即可.(2)可用作差法求解.(3)利用作商法求解判断. 1 解析 (1)令 a=- ,b=-1,则 A、B、C 均不成立,故选 D. 2 (2)∵M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1) 又 a1,a2∈(0,1), 故(a1-1)(a2-1)>0,故 M>N. (3)解:∵

a b

b a

aabb aa-b ?a?a-b = =? ? , abba ba-b ?b? a b

又 a>b>0,故 >1,a-b>0, ∴? ?

?a?a-b>1,即a b >1,又 abba>0,∴aabb>abba, abba ?b?
a b b a a b b a

a b

∴a b 与 a b 的大小关系为:a b >a b . 答案 (1)D (2)B

(1)“作差比较法”的依据是“a-b>0?a>b, a-b<0?a<b, a-b=0?a=b”, 其过程可分三步: ①作差; ②变形; ③判断差的符号. 其 中关键一步是变形. (2)“作商比较法”的依据是“ >1,b>0? a>b”,是把两数的大小比较转化为两数的商与 1 进行比较,在数式结构含有幂或根式、绝对 值时,可采用此方法.

a b

1.(2016?吉林联考)已知实数 a、b、c,满足 b+c=6-4a+3a ,c-b=4-4a+a ,则 a、b、c 的大小关系是( A.c≥b>a C.c>b>a 解析:c-b=4-4a+a =(2-a) ≥0,∴c≥b. (b+c)-(c-b)=2a +2,∴b=a +1,
2 2 2 2

2

2

)

B.a>c≥b D.a>c>b

? 1?2 3 2 ∴b-a=a -a+1=?a- ? + >0,∴b>a. ? 2? 4
答案:A 2.(2015?高考北京卷)2
-3,

1 3 ,log25 三个数中最大的数是________. 2

解析:利用中间量进行大小比较.
5

1 1 1 -3 因为 2 = 3= <1,1<3 = 3<2,log25>log24=2, 2 8 2 所以三个数中最大的数是 log25. 答案:log25

忽视等号成立条件致误 [典例] 若变量 x,y 满足约束条件?
? ?3≤2x+y≤9, ?6≤x-y≤9, ?

则 z=x+2y 的最小值为________.

解题指南 设 z=x+2y=λ (2x+y)+μ (x-y),然后利用待定系数法,求得 λ 和 μ 的值,然后通过“2x+y”和“x-y”本身的范围求 得 z=x+2y 的范围. 解析 令 z=x+2y=λ (2x+y)+μ (x-y) =(2λ +μ )x+(λ -μ )y,
? ?2λ +μ =1, ∴? ?λ -μ =2, ? ?λ =1, ? ∴? ? ?μ =-1,

∴z=(2x+y)-(x-y), 又∵3≤2x+y≤9,-9≤-(x-y)≤-6, ∴-6≤(2x+y)-(x-y)≤3, 即-6≤z≤3, ∴zmin=-6. 答案 -6 易错分析 创新点评 多次同向不等式相加扩大变量的范围,切断了变量间互相的限制. 解答本题时有两点误区

(1)忽视条件中等号成立条件分别求出 x、y 范围后再求 x+2y 的范围; (2)利用待定系数法求 λ ,μ 时计算失误. 备考建议 求范围及最值问题时要对以下问题高度关注:

(1)解题时看清题目条件,不能忽视变量满足的约束条件; (2)题目运算过程要等价转换,转换不等价易造成失分;
6

(3)此类问题也可寻求多种解法,如本题还可利用线性规划求解.

1.要注意不等式性质的单向性或双向性,也就是说每条性质是否具有可逆性.在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条 件. 2.作差法是比较两数(式)大小的常用方法,也是证明不等式的基本方法,其中作差变形是关键,常用因式分解或配方法.

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2015?高考安徽卷)设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的( A.充分必要条件 C.必要不充分条件 解析: B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可.将 p,q 对应的集合在数轴上表示出来如图所示,易知,当 p 成立时,q 不一定成立; 当 q 成立时,p 一定成立,故 p 是 q 成立的必要不充分条件. 答案:C 2.(2016?大庆质检)若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是( A. 1 )

a-b a

1 >

1 1 B. >

a b
2 2

C.|a|>|b|

D.a >b

解析:由 a<b<0,可用特殊值法加以验证,取 a=-2,b=-1,则 答案:A

1

a-b a

1 > 不成立,选 A.

β ? π? ? π? 3.(2016?西安检测)设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,那么 2α - 的取值范围是 2? 2? 3 ? ? ( )

? 5π ? A.?0, ? 6 ? ?
C.(0,π )

? π 5π ? B.?- , ? 6 ? ? 6 ? π ? D.?- ,π ? ? 6 ?

β π 解析:由题设得 0<2α <π ,0≤ ≤ , 3 6

7

π β π β ∴- ≤- ≤0,∴- <2α - <π . 6 3 6 3 答案:D 4.已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 a>b,则 ac >bc ;②若 ac >bc ,则 a>b; ③若 a>b,则 a?2 >b?2 . 其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上) 解析:①若 c=0 则命题不成立.②正确.③中由 2 >0 知成立. 答案:②③ π π α +β α -β 5.已知- ≤α <β ≤ ,则 的取值范围是________, 的取值范围是________. 2 2 2 2 π π π π 解析:∵- ≤α < ,- <β ≤ , 2 2 2 2 π α +β π ∴-π <α +β <π .∴- < < . 2 2 2 π π ∵- ≤-β < , 2 2 ∴-π ≤α -β <π , π α -β π ∵- ≤ < . 2 2 2 又∵α -β <0, π α -β ∴- ≤ <0. 2 2
c c c
2 2 2 2

? π π? ? π ? 答案:?- , ? ?- ,0? ? 2 2? ? 2 ?
1 1 1 1 1 1 2 2 6. (2016?河南郑州调研)若 < <0, 则下列不等式中: ① < ; ②|a|+b>0; ③a- >b- ; ④ln a >ln b 中, 正确的不等式是________. (填 a b a+b ab a b 正确不等式的序号) 1 1 解析:由 < <0,得 b<a<0.

a b

①∵a+b<0,ab>0,∴ ∴ 1

1

a+b

<0,

1

ab

>0,

a+b ab

1 < 成立,即①正确;

②∵b<a<0,∴-b>-a>0,则-b>|a|,即 |a|+b<0,∴②错误; 1 1 1 1 ③∵b<a<0,且 < <0,∴a- >b- ,故③正确;

a b

a

b

8

④∵b<a<0,∴b >a ,∴ln b >ln a 成立.∴④错误,故正确的是①③. 答案:①③ 7.已知 a>2,b>2,试比较 a+b 与 ab 的大小. 解:法一(作差法):ab-(a+b)=(a-1)(B-*4/5)-1, ∵a>2,b>2,∴a-1>1,B-*4/5>1. ∴(a-1)(B-*4/5)-1>0.∴ab-(a+b)>0. ∴ab>a+b. 法二(作商法):∵ 1 1 1 1 ∴ < , < . a 2 b 2 1 1 1 1 ∴ + < + =1. b a 2 2 ∴

2

2

2

2

a+b 1 1 = + ,且 a>2,b>2, ab b a

a+b <1.又∵ab>4>0,∴a+b<ab. ab

8.一学生计划使用不超过 20 元的钱为自己购买学习用具.根据需要,单价为 4 元的圆珠笔至少需要购买 2 支,单价为 2 元的笔记本至少 需要购买 3 本.写出满足上述所有不等关系的不等式. 解:设购买圆珠笔和笔记本的数量分别为 x 支,y 本. 4x+2y≤20, ? ?x≥2, 则? y≥3, ? ?x,y∈N ,


2x+y≤10, ? ?x≥2, 即? y≥3, ? ?x,y∈N .


[B 级 能力突破] 1.(2015?高考浙江卷)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8 成等比数列,则( A.a1d>0,dS4>0 C.a1d>0,dS4<0 B.a1d<0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 )

5 2 2 2 2 解析:∵a3,a4,a8 成等比数列,∴a4=a3a8,∴(a1+3d) =(a1+2d)(a1+7d),展开整理,得-3a1d=5d ,即 a1d=- d .∵d≠0,∴a1d<0. 3 ∵Sn=na1+

n?n-1? d,
2

2 2 2 ∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d =- d <0. 3 答案:B 2.(2016?北京平谷模拟)已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题: ①若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0;

c d a b

9

②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; ③若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 解析:∵ab>0,bc-ad>0, ∴ - = ) B.1 D.3

c d a b

c d a b

c d bc-ad >0,∴①正确; a b ab c d a b bc-ad >0, ab

∵ab>0,又 - >0,即

∴bc-ad>0,∴②正确; ∵bc-ad>0,又 - >0,即

c d a b

bc-ad >0, ab

∴ab>0,∴③正确.故选 D. 答案:D 3.(2016?上海杨浦模拟)已知 a、b、c 是任意的实数,且 a>b,则下列不等式恒成立的为( A.(a+c) >(b+c)
4 4

)

B.ac >bc

2

2

C.lg|b+c|<lg|a+c|

1 1 D.(a+c) >(b+c) 3 3

解析:当 a>b,a+c 与 b+c 为负数时,由 0>a+c>b+c,得 0<-(a+c)<-(b+c). ∴0<[-(a+c)] <[-(b+c)] ,即(a+c) <(b+c) .∴A 不成立; 当 c=0 时,ac =bc ,∴B 不成立; 当 a>b 时,a+c>b+c,但若 a+c、b+c 均为负数时, |a+c|<|b+c|,即 lg|a+c|<lg|b+c|. 故 C 不恒成立.故选 D. 答案:D
2 2 4 4 4 4

a b 1 1 4.已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系是__________. b a a b
2 a b ?1 1? a-b b-a ? 1 1 ? ?a+b??a-b? . 解析: 2+ 2-? + ?= 2 + 2 =(a-b)?? 2- 2?= 2 2

b

a

?a b?

b

a

?b

a?

ab

?a+b??a-b? 2 ∵a+b>0,(a-b) ≥0,∴ ≥0. 2 2

2

ab

a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . b a a b

10

a b 1 1 答案: 2+ 2≥ + b a a b
,则 z=x+2y 的取值范围为__________.
? ?3≤2x+y≤9 5.若变量 x,y 满足约束条件? ?6≤x-y≤9 ?

解析:令 z=x+2y=λ (2x+y)+μ (x-y) =(2λ +μ )x+(λ -μ )y
? ?2λ +μ =1 ∴? ?λ -μ =2 ? ? ?λ =1, ,∴? ?μ =-1. ?

∴z=(2x+y)-(x-y) 又∵3≤2x+y≤9,-9≤-(x-y)≤-6, ∴-6≤(2x+y)-(x-y)≤3,即-6≤z≤3, 答案:[-6,3] 1 1 6.给出下列条件:①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中,能推出 logb <loga <logab 成立的条件的序号是________(填所有可

b

b

能的条件的序号). 1 解析:∵logb =-1

b

1 1 若 1<a<b,则 < <1<b.

b a

1 1 ∴loga <loga =-1,故条件①不可以;

b

a

1 1 若 0<a<b<1,则 b<1< < ,

b a

1 1 1 1 ∴logab>loga >loga =-1=logb ,故条件②可以;若 0<a<1<b,则 0< <1,

b

a

b

b

1 ∴loga >0,logab<0,条件③不可以.

b

答案:② 7.设函数 f(x)=ax-(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}. (1)求 I 的长度(注:区间(α ,β )的长度定义为 β -α ); (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 解:(1)令 f(x)=x[a-(1+a )x]=0, 解得 x1=0,x2= 2. 1+a ∴I=?x?0<x< 2 1+a ? ? ?
? ?
2 2 2

a

?

a

? ? ?, ? ?

11

∴I 的长度 x2-x1= 2. 1+a (2)k∈(0,1),则 0<1-k≤a≤1+k<2.

a

a 1-a 由(1)知 I= 2,∴I′= 2 2. 1+a ?1+a ?
令 I′=0,得 a=1.∵0<k<1, 1-k 2 I1 1+?1-k ? 2-k2-k3 ∴I 关于 a 在[1-k,1)上单调递增,在(1,1+k )上单调递减.Imin 必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得. = = 2 3<1,∴ I2 1+k 2-k +k 2 1+?1+k?

2

I1<I2,
1-k ∴Imin= 2. 2-2k+k 1-k 因此当 a=1-k 时,I 在区间[1-k,1+k]上取得最小值 2. 2-2k+k

第 2 课时 一元二次不等式及其解法

1.会从实际情况中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.

1.一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax+b>0(a≠0)的解集为: (1)当 a>0 时,?x?x>-
? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

b a b a

? ? ?; ? ? ? ? ?. ? ?

(2)当 a<0 时,?x?x<-

2.一元二次不等式及其解法 (1)一元二次不等式的定义 含有一个未知数,且未知数的最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式为:

12

ax2+bx+c>0,或 ax2+bx+c<0(a≠0).
(2)一元二次不等式的解法 利用一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系求解一元二次不等式. 三者的关系见下表:

判别式 Δ =b -4ac 方程 ax +bx+c=0
2 2

2

Δ >0 有两个不等实根 x1,

Δ =0 有两个相等实根 x1=

Δ <0 无实根

x2(x1<x2)

x2

二次函数 y=ax +bx +c(a>0)的图像 不等式 ax +bx+c> 0(a>0)的解集 不等式 ax +bx+c< 0(a>0)的解集
2 2

{x|x<x1,或 x>x2}

? ? ? b ?x?x≠- 2 a ? ? ?

? ? ? ? ?

R

{x|x1<x<x2}

?

?

[基础自测] 1.(教材改编题)不等式 x -3x+2<0 的解集为( A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) B.(-2,-1) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2) 解析:x -3x+2<0?(x-1)(x-2)<0?1<x<2. 答案:D 2.不等式 2x -x-1>0 的解集是(
2 2 2

)

)

? 1 ? A.?- ,1? ? 2 ?
B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) 1? ? D.?-∞,- ?∪(1,+∞) 2? ? 1 2 解析:2x -x-1>0?(2x+1)(x-1)>0?x<- 或 x>1. 2 答案:D 3.(2016?许昌模拟)若不等式 ax +bx-2<0 的解集为
13
2

? ? ? 1 ?x?-2<x< 4 ? ? ?

? ? ?,则 ab=( ? ?

) B.-26 D.26

A.-28 C.28

1 2 解析:当 a≠0 时由题意知-2, 是方程 ax +bx-2=0 的两根. 4

b 1 ? ?-a=-2+4 ∴? 2 1 ?-a=?-2??4 ?
答案:C

解得?

? ?a=4 ?b=7 ?

,∴ab=28.

4.(2016?合肥模拟)不等式 x <1 的解集为________. 解析:x <1?x -1<0?(x+1)(x-1)<0?-1<x<1. 答案:(-1,1) 5.不等式 ax +2ax+1≥0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围为________.
?a>0 ? 解析:当 a≠0,由题意知? 2 ? ?Δ =4a -4a≤0
2 2 2

2

解得 0<a≤1.

当 a=0 时亦符合题意,故 0≤a≤1.

答案:[0,1]

考点一 一元二次不等式及简单高次不等式的解法

x-1 [例 1] (1)不等式 ≤0 的解集为( 2x+1

)

? 1 ? A.?- ,1? ? 2 ? ? 1 ? B.?- ,1? ? 2 ?
1? ? C.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? 1? ? D.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? 2 (2)不等式 x -5x+6≤0 的解集为________. 审题视点 (1)利用分式不等式与一元二次不等式组间的转化关系求解. (2)分解因式求解
14

?x-1≤0, ? x-1 解析 (1) ≤0 等价于不等式组? 2x+1 ?2x+1>0, ?



或?

? ?x-1≥0, ?2x+1<0. ?

1 ②解①得- <x≤1,解②得 x∈?, 2

? 1 ? ∴原不等式的解集为?- ,1?. ? 2 ?
(2)∵x -5x+6≤0,∴(x-2)(x-3)≤0. ∴2≤x≤3.∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}. 答案 (1)A (2){x|2≤x≤3}
2

1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax +bx+c>0(a>0),ax +bx+c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集. 2.用“穿针引线法”解高次不等式的步骤: (1)将原不等式化为(x-x1)a1(x-x2)a2?(x-xn)an>0(或<0)的形式; (2)求相应方程的根,并在数轴上从小到大排列起来; (3)“穿针引线”,对于偶次重解,线穿而不过;对于奇次重解,线穿解而过; (4)根据图形写出不等式的解集. 3.解分式不等式的思想是将分式不等式转化为等价的整式不等式(或整式不等式组),通过解整式不等式(组)去求解.
2 2

1.(2015?高考广东卷)不等式-x -3x+4>0 的解集为________.(用区间表示) 解析:由-x -3x+4>0 得 x +3x-4<0,解得-4<x<1. 答案:(-4,1) 2.解下列不等式: (1)2x +4x+3>0; (2)-3x -2x+8≥0; (3)
2 2 2 2

2

x-2 >0. x2+3x+2
2

解:(1)∵Δ =4 -4?2?3<0,

15

∴方程 2x +4x+3=0 没有实根, 二次函数 y=2x +4x+3 的图像开口向上,与 x 轴没有交点,即 2x +4x+3>0 恒成立, 所以不等式 2x +4x+3>0 的解集为 R. (2)原不等式可化为 3x +2x-8≤0,∵Δ =100>0, 4 2 ∴方程 3x +2x-8=0 的两根为-2, , 3
? ? ? 4 2 结合二次函数 y=3x +2x-8 的图像可知原不等式的解集为?x?-2≤x≤ 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?
2 2 2 2

2

(3)

x-2 x-2 >0? >0? (x+1)(x+2)(x-2)>0. x +3x+2 ?x+1??x+2?
2

根据如图所示的标根法.

可得解集为{x|-2<x<-1 或 x>2}. 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 [例 2] 解关于 x 的不等式 ax -(2a+1)x+2<0. 审题视点 这个不等式的左端可以分解为两个因式的乘积,即(ax-1)(x-2),这样就可以根据字母 a 和 0 的三种关系进行分类解决. 解 原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.
2

? 1? ? 1? ? 1? (1)当 a>0 时,原不等式可以化为 a(x-2)?x- ?<0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)?x- ?<0,方程(x-2)??x- ?=0 ?
a?

?

a?

?

a?

? ? ? 1 1 1 1 的两个根是 2, .当 0<a< 时,2< ,不等式的解集是?x?2<x< a a 2 a ? ? ? ? 1 ? ? ?x? <x<2 ? ? ?a ? ? ?; ? ?

? ? ?,当 ? ?

a= 时,不等式的解集是?,当 a> 时, <2,不等式的解集是 2 2 a

1

1

1

(2)当 a=0 时,原不等式即为-(x-2)<0,解得 x>2,解集为{x|x>2}; 1 ? 1? ? 1? (3)当 a<0 时,不等式可以化为 a(x-2)?x- ?<0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)?x- ?>0,由于 <2,故此时不等式的

?

a?

?

a?

a

? ? ? 1 解集是?x?x< 或x>2 ? ?

?

a

? ? ? ? ? 1 ?.综上所述,当 a<0 时,不等式的解集为?x?x< 或x>2 a ? ? ? ? ?

? ? 1 ?;当 a=0 时,不等式的解集为{x|x>2};当 0<a< 时, 2 ? ? ? ? ?. ? ?

? ? ? 1 不等式的解集为?x?2<x< ? ?

?

a

? ? ? ? ?1 1 1 ?;当 a= 时,不等式的解集为?;当 a> 时,不等式的解集为?x? <x<2 2 2 ? ? ?a ? ?

16

解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是 否存在,即 Δ 的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.

1.(2016?鄂州模拟)已知不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意可得 Δ =a -16>0,即 a>4 或 a<-4. 答案:{a|a>4 或 a<-4} 2.(2016?临沂检测)解关于 x 的不等式:ax -(a+1)x+1<0. 解:当 a=0 时,原不等式可化为-x+1<0,即 x>1. 当 a<0 时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0,
2 2

2

? 1? 即?x- ?(x-1)>0. ?
a?
1 1 因为 <1,所以 x>1 或 x< .

a

a

? 1? 当 a>0 时,原不等式可化为?x- ?(x-1)<0, ?
a?
1 1 ①若 0<a<1,则 >1,所以 1<x< ;

a

a

1 ②若 a=1,则 =1,不等式无解;

a

1 1 ③若 a>1,则 <1,所以 <x<1.

a

a

综上知,当 a<0 时,原不等式的解集为
? ?x| ?

x< 或x>1?; a ?

1

?

当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x>1};
? 1? 当 0<a<1 时,原不等式的解集为?x| 1<x< ?; ?

a?

当 a=1 时,原不等式的解集为?; 当 a>1 时,原不等式的解集为?x|
? ? ? 1 <x<1?.

a

?

17

考点三 不等式恒成立问题 [例 3] 设 0≤α ≤π ,不等式 8x -(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为________. 审题视点 根据开口向上的二次函数定义域为 R 时函数值非负的条件(Δ ≤0)列式直接运算求解. 解 1 2 2 由题意,要使 8x -(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立,需 Δ =64sin α -32cos 2α ≤0,化简得 cos 2α ≥ .又 0≤α ≤π , 2
2

π 5π π 5π ∴0≤2α ≤ 或 ≤2α ≤2π ,解得 0≤α ≤ 或 ≤α ≤π . 3 3 6 6

? π ? ?5π ,π ? 答案 ?0, ?∪? ? 6 6 ? ? ? ?

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题, 恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴上方, 恒小于 0 就是相应的二次函数的图 像在给定的区间上全部在 x 轴下方. (3)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是:
2

a>0 且 b2-4ac<0(x∈R).
②ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是:a<0 且 b -4ac<0(x∈R).
2 2

1.(2015?广西南宁模拟)在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立,则( A.-1<a<1 1 3 C.- <a< 2 2 B.0<a<2 3 1 D.- <a< 2 2

)

解析:(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立,即(x-a)?(1-x-a)<1 对任意实数 x 成立. ∴x -x-a +a+1>0 恒成立, ∴Δ =1-4(-a +a+1)<0, 1 3 ∴- <a< . 2 2 答案:C 2.(2016?湛江检测)设奇函数 f(x)在[-1,1]上是单调函数,且 f(-1)=-1.若函数 f(x)≤t -2at+1 对所有的 x∈[-1,1]都成立,则 当 a∈[-1,1]时,t 的取值范围是__________. 解析:∵f(x)为奇函数,f(-1)=-1, ∴f(1)=-f(-1)=1.
2 2 2 2

18

又∵f(x)在[-1,1]上是单调函数,∴-1≤f(x)≤1, ∴当 a∈[-1,1]时,t -2at+1≥1 恒成立, 即 t -2at≥0 恒成立. 令 g(a)=t -2at,a∈[-1,1], ∴?
? ?t -2t≥0, ? ?t +2t≥0,
2 2 2 2 2

解得 t≥2 或 t=0 或 t≤-2.

答案:(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)

一元二次不等式的实际应用 [典例] 汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分 析事故的一个重要因素.在一个限速为 40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘 查测得甲车的刹车距离略超过 12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间分别有如下关系:

s 甲=0.1x+0.01x2,s 乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?
解题指南 利用刹车距离与车速的关系,与实际距离构建不等式求解.

【解】 由题意知,对于甲车,有 0.1x+0.01x >12,即 x +10x-1 200>0,3 分

2

2

解得 x>30,或 x<-40(不合实际意义,舍去).5 分

这表明甲车的车速超过 30 km/h.但根据题意刹车距离略超过 12 m,由此估计甲车车速不会超过限速 40 km/h.6 分 对于乙车,有 0.05x+0.005x >10,
2

即 x +10x-2 000>0,9 分

2

解得 x>40,或 x<-50(不合实际意义,舍去).11 分

19

这表明乙车的车速超过 40km/h,超过规定限速.12 分 【思维流程】

列出甲车实际距离与刹车距离的不等式.

解不等式.

与限速比较.

列出乙车实际距离与刹车距离的不等式.

解不等式.

与限速比较. 阅卷点评 创新点评 本题解答关键是列出实际距离与刹车距离的不等关系. (1)不能建立正确的不等关系.

(2)忽视实际问题对自变量的限制,致使解出不等式后,不能作出正确分析. 备考建议 不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等

问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键.

◆解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,小于 0 时将不等式转化为二次项系数为正的形式; (2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系; (3)方程有一根或无根时可直接写出解集,方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集.

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2016?惠州模拟)不等式 A.[-2,1] B.(-2,1] 1-x ≥0 的解集为( 2+x )

20

C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-2]∪(1,+∞)
??1-x??2+x?≥0, ? 1-x 解析: ≥0?? 2+x ? ?2+x≠0

?-2<x≤1.

答案:B 2.(2016?山东临沂模拟)不等式(x-1)(2-x)≥0 的解集为( A.{x|1≤x≤2} C.{x|1<x<2} B.{x|x≤1 或 x≥2} D.{x|x<1 或 x>2} )

解析:由(x-1)(2-x)≥0 可知(x-2)(x-1)≤0, 所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}. 答案:A 3.(2016?皖南八校一模)不等式 3x -2x-1<0 成立的一个必要不充分条件是(
2

)

? 1 ? A.?- ,1? ? 3 ? ? 1 ? C.?- ,0? ? 3 ?

1? ? B.?-∞,- ?∪(1,+∞) 3? ? D.(-1,1)

1 ? 1 ? 2 2 解析:由 3x -2x-1<0 解得- <x<1,而?- ,1??(-1,1),所以(-1,1)是 3x -2x-1<0 成立的一个必要不充分条件. 3 ? 3 ? 答案:D
?x , x<0, ? 4.已知函数 f(x)=? ?x+1,x≥0, ?
2 2

则不等式 f(x)>4 的解集为__________.

解析:当 x<0 时,解 x >4,得 x<-2;当 x≥0 时,解 x+1>4,得 x>3.所以不等式 f(x)>4 的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-2)∪(3,+∞) 5.若不等式(1-a)x -4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1},则 a 的值为________. 解析:∵(1-a)x -4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}, ∴1-a<0,即 a>1. 于是原不等式可化为 (a-1)x +4x-6<0,a-1>0, 其解集为{x|-3<x<1}. 则方程(a-1)x +4x-6=0 的两根为-3 和 1.
2 2 2 2

? 4 ? -3+1=- , a - 1 由? 6 ? ?-3?1=-a-1,
a>1,

解得 a=3.

21

答案:3

? 1? 2 6.(2016?郑州调研)若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈?0, ?都成立,则 a 的最小值是__________. ? 2?
1? 1 5 5 ? 1? ? 1? ? 解析:法一:由于 x>0,则由已知可得 a≥-x- 在 x∈?0, ?上恒成立,而当 x∈?0, ?时,?-x- ?max=- ,∴a≥- ,故 a 的最小值 2 2 x x 2 2 ? ? ? ? ? ? 5 为- . 2 法二:设 f(x)=x +ax+1,则其对称轴为 x=- . 2
2

a

a 1 5 ? 1? ?1? ①若- ≥ ,即 a≤-1 时,f(x)在?0, ?上单调递减,此时应有 f? ?≥0,从而- ≤a≤-1. 2 2 2 ? 2? ?2? a ? 1? ②若- <0,即 a>0 时,f(x)在?0, ?上单调递增,此时应有 f(0)=1>0 恒成立,故 a>0. 2 ? 2? a 1 a ? a? a a ③若 0≤- < ,即-1<a≤0 时,则应有 f?- ?= - +1=1- ≥0 恒成立,故-1<a≤0. 2 2 4 ? 2? 4 2
5 5 综上可知 a≥- ,故 a 的最小值为- . 2 2 5 答案:- 2 7.(2016?广东珠海模拟)已知二次函数 f(x)=ax +x,若对任意 x1、x2∈R,恒有 2f?
2 2 2 2

?x1+x2?≤f(x )+f(x )成立,不等式 f(x)<0 的解集 ? 1 2 ? 2 ?

为 A. (1)求集合 A; (2)设集合 B={x||x+4|<a},若集合 B 是集合 A 的子集,求 a 的取值范围. 解:(1)对任意的 x1、x2∈R, 由 f(x1)+f(x2)-2f?

?x1+x2?=1a(x -x )2≥0, ? 1 2 ? 2 ? 2

要使上式恒成立,所以 a≥0. 由 f(x)=ax +x 是二次函数知 a≠0,故 a>0.
2

? 1? 2 由 f(x)=ax +x=ax?x+ ?<0, ?
a?

? 1 ? 解得 A=?- ,0?. ? a ?
1 (2)解得 B=(-a-4,a-4),因为集合 B 是集合 A 的子集,所以 a-4≤0,且-a-4≥- .

a

化简得 a +4a-1≤0,解得 0<a≤-2+ 5. 8.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品 x(百台),其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入 R(x)满足
22

2

?-0.4x +4.2x-0.8 ?0≤x≤5? ? R(x)=? ?10.2 ?x>5? ?

2



假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?此时每台产品的售价为多少? 解:依题意得 G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),则 f(x)=R(x)-G(x),
?-0.4x +3.2x-2.8 ?0≤x≤5? ? 所以 f(x)=? ?8.2-x ?x>5? ?
2



(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为

f(x)>0??

? ?0≤x≤5 ?-0.4x +3.2x-2.8>0 ?
2

? ?x>5 或? ?8.2-x>0 ?

? ?0≤x≤5 ?? 2 ?x -8x+7<0 ?

? ?0≤x≤5 或 5<x<8.2? ? ?1<x<7 ?

或 5<x<8.2? 1<x≤5 或 5<x<8.2? 1<x<8.2. 所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4) +3.6 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2. 所以当工厂生产 400 台产品时,盈利最大,又 x=4 时, 故此时每台产品的售价为 240 元. [B 级 能力突破]
? ?x?x+2?>0, 1.(2014?高考大纲全国卷)不等式组? ?|x|<1 ?
2

R?4?
4

=2.4(万元/百台)=240(元/台).

的解集为(

)

A.{x|-2<x<-1} C.{x|0<x<1}

B.{x|-1<x<0} D.{x|x>1}

解析:由 x(x+2)>0 得 x>0 或 x<-2;由|x|<1 得-1<x<1,所以不等式组的解集为{x|0<x<1},故选 C. 答案:C 2.(2016?杭州七校模拟)“x∈{a,3}”是“不等式 2x -5x-3≥0 成立”的一个充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( A.(3,+∞) 1? ? C.?-∞,- ? 2? ? 1? ? B.?-∞,- ?∪[3,+∞) 2? ? 1? ? D.?-∞,- ?∪(3,+∞) 2? ?
2

)

? ? 1 2 2 解析:不等式 2x -5x-3≥0 的解集为?x| x≤- 或x≥3?,由题意知,要使“x∈{a,3}”是不等式 2x -5x-3≥0 成立的一个充分不必要 2 ? ? ? ? 1 1? ? 条件,只需{a,3}是?x| x≤- 或x≥3?的真子集,所以 a∈?-∞,- ?∪(3,+∞). 2 2? ? ? ? 23

答案:D 3.(2016?洛阳诊断)若不等式 x +ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则 a 的取值范围是(
2

)

? 23 ? A.?- ,+∞? ? 5 ?
C.(1,+∞)

? 23 ? B.?- ,1? ? 5 ?
23? ? D.?-∞,- ? 5? ?

解析:由 Δ =a +8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负(如图),所以方程必有一正根,一负根. 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)>0, 23 ? 23 ? 解得 a>- ,故 a 的取值范围为?- ,+∞?. 5 ? 5 ? 答案:A 4.(2014?高考江苏卷)已知函数 f(x)=x +mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析:
2

2

作出二次函数 f(x)的图像,对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0,则有?
? ?m +m -1<0, 即? 2 ??m+1? +m?m+1?-1<0, ?
2 2

?f?m?<0, ? ? ?f?m+1?<0,

解得-

2 <m<0. 2

答案:?-

? ?

2 ? ,0? 2 ?
2

5.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x -4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 解析:依据已知条件求出 y=f(x),x∈R 的解析式,再借助 y=f(x)的图像求解.设 x<0,则-x>0.

∵当 x≥0 时,f(x)=x -4x, ∴f(-x)=(-x) -4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)=x +4x(x<0),
24
2 2

2

?x -4x,x≥0, ? ∴f(x)=? 2 ?x +4x,x<0. ? ? ?x -4x=5, 由 f(x)=5 得? ?x≥0 ?
2

2

或?

?x +4x=5, ? ? ?x<0,

2

∴x=5 或 x=-5. 观察图像可知由 f(x)<5,得-5<x<5. ∴由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,∴-7<x<3. ∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}. 答案:{x|-7<x<3} 6.已知 a=(1,x),b=(x +x,-x),m 为实数,求使 m(a?b) -(m+1)a?b+1<0 成立的 x 的范围. 解:∵a?b=x +x-x =x, ∴m(a?b) -(m+1)a?b+1<0?mx -(m+1)x+1<0. (1)当 m=0 时,不等式等价于 x>1; (2)当 m≠0 时,不等式等价于
2 2 2 2 2 2

m?x- ?(x-1)<0 ? m?
1 ①m<0 时,不等式等价于 x>1 或 x< ;

?

1?

m

1 ②0<m<1 时,不等式等价于 1<x< ;

m

③m=1 时,不等式等价于 x∈?; 1 ④m>1 时,不等式等价于 <x<1.

m

综上所述,原不等式成立的 x 的范围为:
? ? ? 1 当 m<0 时是?x?x< 或x>1 ? ?

?

m

? ? ?; ? ?

当 m=0 时是{x|x>1};
? ? ? 1 当 0<m<1 时是?x?1<x< ? ?

?

m

? ? ?; ? ?

当 m=1 时是?;
? 1 ? ? 当 m>1 时是?x? <x<1 ? ?

?m

? ? ?. ? ?

25

第 3 课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有的点组成的平面区域(半平面)不含边 界直线,不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域(半平面)含有边界直线. (2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有的点(x,y),使得 Ax+By+C 值的符号相同,也就是位于同一半平面的点,其坐标适合 Ax+By+

C>0;而位于另一半平面的点,其坐标适合 Ax+By+C<0.
(3)可在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点,一般取特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的符号来判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表 示的区域. 2.线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 [基础自测] 1.(教材改编题)不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的点是 ( A.(0,0) C.(0,2) B.(1,1) D.(2,0) ) 意义 由变量 x,y 组成的不等式组 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

26

解析:逐一代入验证,只有 D 不满足不等式. 答案:D 2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式( A.x+y-1<0 B.x+y-1>0 C.x-y-1<0 D.x-y-1>0 )

解析:虚线所在直线方程为 x+y-1=0 且阴影部分在原点异侧. 答案:B

x≥1, ? ? 3.若 x、y∈R,且?x-2y+3≥0, ? ?y≥x,
A.2 C.5

则 z=x+2y 的最小值等于(

)

B.3 D.9

解析:可行域如图中阴影部分所示,则当直线 x+2y-z=0 经过点 M(1,1)时,z=x+2y 取得最小值,为 1+2?1=3.

答案:B 4.如果点(1,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值为________. 7 解析:令 x=1,代入 6x-8y+1=0,解得 y= ; 8 代入 3x-4y+5=0,解得 y=2. 7 由题意得 <b<2,又 b 为整数,∴b=1. 8 答案:1

x≥1, ? ? 5.已知变量 x,y 满足条件?y≤2, ? ?x-y≤0,

则 z=x+y 的最小值为________,最大值为________.

27

x≥1, ? ? 解析:不等式组?y≤2, ? ?x-y≤0,
由?
? ?x=1 ?x-y=0 ?

所表示的平面区域如图所示,作出直线 x+y=0,可观察知当直线过 A 点时 z 最小.

得 A(1,1),此时 zmin=1+1=2;
? ?y=2 ?x-y=0 ?

当直线过 B 点时 z 最大.由?

得 B(2,2),此时 zmax=2+2=4.

答案:2

4

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 2x-y+1>0, ? ? [例 1] 设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 4? ? A.?-∞, ? 3? ? 2? ? C.?-∞,- ? 3? ?

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,则 m 的取值范围是(

)

1? ? B.?-∞, ? 3? ? 5? ? D.?-∞,- ? 3? ?

审题视点 作出可行域图,使直线 x-2y=2 穿过区域时求 m 的变化范围. 解析 当 m≥0 时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,因此 m<0.

28

如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域. 1 1 1 2 要使可行域内包含 y= x-1 上的点,只需可行域边界点(-m,m)在直线 y= x-1 的下方即可,即 m<- m-1,解得 m<- . 2 2 2 3 答案 C

(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. (2)根据平面区域,判断其形状,求相应的边界点坐标,相关长度等,利用相对位置求参数.

1.(2016?河南洛阳一模)若 2 +2 <4,则点(m,n)必在( A.直线 x+y-2=0 的左下方 B.直线 x+y-2=0 的右上方 C.直线 x+2y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方 解析:因为 2 +2 ≥2? 2 ?2 , 所以 4>2 2 ?2 ,即 2
m n m+n m n m n

m

n

)

<4.

所以 m+n<2,即 m+n-2<0, 所以点(m,n)必在直线 x+y-2=0 的左下方. 答案:A

x≥1 ? ? 2.(2016?北京海淀区高三调研)不等式组?x+y-4≤0 ? ?kx-y≤0
A.-2 C.0

表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为(

)

B.-1 D.1

解析:注意到直线 kx-y=0 恒过原点,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,结合题意得直线 kx-y=0 与直线 x+y-4=0 垂直时满足题意,于是有 k?(-1)=-1,由此解得 k=1,选 D. 答案:D 考点二 求目标函数的最值
29

x-y+2≥0, ? ? [例 2] 已知?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0,
(1)z=x+2y-4 的最大值;

求:

(2)z=x +y -10y+25 的最小值; 2y+1 (3)z= 的范围. x+1 审题视点 (1)转化为直线平移问题; (2)区域内的点到(0,5)的距离的平方; 1? ? (3)区域内的点与点?-1,- ?连线的斜率. 2? ? 解 作出可行域如图,并求出交点的坐标 A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).

2

2

(1)易知可行域内各点均在直线 x+2y-4=0 的上方,故将 C(7,9)代入 z=x+2y-4 得最大值为 21. (2)z=x +(y-5) 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上,故 z 的最小 9 2 值是|MN| = . 2
2 2

(3)z=2?

y-?- ? 2

? 1? ? ?

x-?-1?

1? 7 3 ? ?3 7? 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q?-1,- ?连线的斜率的两倍,因为 kQA= ,KQB= ,所以 z 的范围为? , ?. 2? 4 8 ? ?4 2?

与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的范围、最值、距离等问题的求解一般是结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几 何意义有:(1) x +y 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;(2) ?x-a? +?y-b? 表示点(x,y)与点(a,b)的距离;(3) 表示点(x,y)与原 点(0,0)连线的斜率值;(4)
2 2 2 2

y x

y-b 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率值. x-a

30

1.(2015?高考湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件

x+y≥-1, ? ? ?2x-y≤1, ? ?y≤1.
A.-7 C.1

则 z=3x-y 的最小值为(

)

B.-1 D.2

解析:画出可行域,如图中阴影部分所示.目标函数 z=3x-y 可化为 y=3x-z,其斜率为 3,纵截距为-z,平移直线 y=3x 知当直线 y =3x-z 经过点 A 时,其纵截距最大,z 取得最小值.由?
? ?y=1, ?x+y=-1, ?

得 A(-2,1),故 zmin=3?(-2)-1=-7,故选 A.

答案:A 2.(2015?高考福建卷)变量 x,y 满足约束条件

x+y≥0, ? ? ?x-2y+2≥0, ? ?mx-y≤0.

若 z=2x-y 的最大值为 2,则实数 m 等于

( A.-2 C.1 B.-1 D.2

)

解析:对于选项 A,当 m=-2 时,可行域如图(1)所示,直线 y=2x-z 的截距可以无限小,z 不存在最大值,不符合题意,故 A 不正确; 对于选项 B,当 m=-1 时,mx-y≤0 等同于 x+y≥0,可行域如图(2)所示,直线 y=2x-z 的截距可以无限小,z 不存在最大值,不符合 题意,故 B 不正确; 对于选项 C,当 m=1 时可行域如图(3)所示,当直线 y=2x-z 过点 A(2,2)时截距最小,z 最大为 2,满足题意,故 C 正确; 对于选项 D,当 m=2 时,可行域如图(4)所示,直线 y=2x-z 与直线 OB 平行,截距最小值为 0,z 最大为 0,不符合题意,故 D 不正确.故 选 C.

31

答案:C

考点三 线性规划的实际应用 [例 3] 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知 1 个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;1 个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果 1 个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位 的午餐和晚餐? 审题视点 设出午餐和晚餐的单位个数,列出不等式组和费用关系,利用线性规划求解. 解 法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意,得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足

x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ? ?6x+10y≥54,

x≥0,y≥0, ? ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ? ?3x+5y≥27.

作出可行域如图,则 z 在可行域的四个顶点 A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是

zA=2.5?9+4?0=22.5 zB=2.5?4+4?3=22, zC=2.5?2+4?5=25, zD=2.5?0+4?8=32.
比较之,zB 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.

32

法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意,得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足

x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ? ?6x+10y≥54,

x≥0,y≥0, ? ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ? ?3x+5y≥27.

作出可行域如图,让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.

(1)用线性规划解决实际问题的步骤:

(2)求线性规划问题的整点最优解常用以下方法: ①平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线 l,最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解. ②检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解. ③调整优值法:先求非整点最优解,再调整最优值,最后筛选出整点最优解.

1.(2015?高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所 示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( )

A(吨) B(吨)
A.12 万元

甲 乙 3 2 1 2 B.16 万元

原料限额 12 8

33

C.17 万元

D.18 万元

解析:设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨,每天所获利润为 z 万元,则由题意可得,

3x+2y≤12, ? ? ?x+2y≤8, ? ?x≥0,y≥0, 3?2+4?3=18. 答案:D

z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,由图形可知,当直线 z=3x+4y 经过点 A(2,3)时,z 取最大值,最大值为

2.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表:

a A B
50% 70%

b/万吨
1 0.5

c/百万元
3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________百万元. 解析:可设需购买 A 矿石 x 万吨,B 矿石 y 万吨,则根据题意得到约束条件为:

x≥0, ? ?y≥0, ?0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2,
=15(百万元).

目标函数为 z=3x+6y,作图可知当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值,最小值为 zmin=3?1+6?2

34

答案:15

数形结合思想在线性规划中的应用

x+2y≥2, ? ? [典例] 设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ? ?4x-y≥-1

则目标函数 z=3x-y 的取值范围是(

)

? 3 ? A.?- ,6? ? 2 ?

? 3 ? B.?- ,-1? C.[-1,6] ? 2 ?

3? ? D.?-6,- ? 2? ?

解题指南 画出约束条件对应的平面区域,将目标函数视为 y=3x-z,平移使之经过可行域,观察纵截距-z 的最值. 解析 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,作直线 3x-y=0,并向上、下平移,

? ?x+2y-2=0, 由图可得,当直线过点 A 时, z = 3x - y 取最大值;当直线过点 B 时, z = 3x - y 取最小值.由 ? ?2x+y-4=0 ? ?4x-y+1=0, ? ? ?2x+y-4=0 ?

解得 A(2,0) ;由

?1 ? 解得 B? ,3?. ?2 ?

1 3 ∴zmax=3?2-0=6,zmin=3? -3=- . 2 2

? 3 ? ∴z=3x-y 的取值范围是?- ,6?. ? 2 ?
答案 A

35

阅卷点评

本题考查线性规划最值问题的应用,解题的关键在于用数形结合思想确定何时取得最大值,从而建立不等关系求目标函数的

范围,解此题时很多学生因为目标函数中含参数而又无数形结合思想的应用意识感觉无从下手. 易错警示 (1)不能正确画出可行域;

(2)找错最值点,不能正确解出最值点坐标,从而代入求解失误. 备考建议 (1)熟练掌握用线性规划解题的步骤: ①画出不等式组表示的平面区域; ②确定线性目标函数中 z 的几何意义; ③画出过原点、

斜率与目标函数相同的直线;④平移该直线,确定最优解的位置;⑤通过解方程组求得最优解;⑥将最优解代入目标函数求出最值. (2)要准确理解线性目标函数 z=ax+by(b≠0)中 z 的几何意义,即在直线 y=- x+ 中, 表示该直线在 y 轴上的截距.当 b>0 时,z 与 截距成正比;当 b<0 时,z 与截距成反比,通过这种关系可确定最优解,进而求得最值.

a b

z b

z b

◆一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 ax+by+c=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的区域就是包 括该点的这一侧,否则就表示直线的另一侧.特别地,当 c≠0 时,常把原点作为测试点;当 c=0 时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点. ◆两个防范 (1)二元一次不等式与半平面的对应关系,避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. (2)在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时,要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取 最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值. 课时规范训练 [A 级 基础演练]

z b

z b

z b

z b

z b

x-y≥0, ? ? 1.(2015?高考安徽卷)已知 x,y 满足约束条件?x+y-4≤0, ? ?y≥1,
A.-1 C.-5 B.-2 D.1

则 z=-2x+y 的最大值是(

)

解析: 画出约束条件下的可行域如图所示, 由 z=-2x+y 可知 y=2x+z, 当直线 y=2x+z 过点 A(1,1)时截距最大, 此时 z 取得最大值. zmax =-2?1+1=-1,故选 A.

36

答案:A

x-y+5≥0, ? ? 2.(2016?广西二市联考)已知 x,y 满足条件?x+y≥0, ? ?x≤3,
A.2 2 C.- 3 B.3 5 D.- 3

则 z=

y-1 的最大值为( x+3

)

5 -1 2 5 5 ? ? 解析:作出可行域如图,问题转化为区域上哪一些与点 M(-3,1)连线斜率最大,观察知点 A?- , ?,使 kMA 最大,zmax=kMA= =3. 5 ? 2 2? - +3 2 答案:B

x+y-2≤0, ? ? 3.(2015?高考课标卷Ⅰ)若 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0, ? ?2x-y+2≥0,
解析:画出可行域(如图所示).

则 z=3x+y 的最大值为________.

∵z=3x+y, ∴y=-3x+z. ∴直线 y=-3x+z 在 y 轴上截距最大时,即直线过点 B 时,z 取得最大值. 由?
? ?x+y-2=0, ?x-2y+1=0, ?

37

解得 B(1,1), ∴zmax=3?1+1=4. 答案:4

x+y-5≤0, ? ? 4.(2015?高考课标卷Ⅱ)若 x,y 满足约束条件?2x-y-1≥0, ? ?x-2y+1≤0,
解析:

则 z=2x+y 的最大值为________.

画出可行域(如图所示),∵z=2x+y,∴y=-2x+z, 将直线 y=-2x 向上平移,经过点 B 时 z 取得最大值. 由?
? ?x+y-5=0, ?x-2y+1=0, ? ?x=3, ? ? ?y=2,

解得?

当动直线 2x+y-z=0 过点 B(3,2)时,

zmax=2?3+2=8.
答案:8

y≤x, ? ? 5.(2014?高考湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ? ?y≥k,

且 z=2x+y 的最小值为-6,则 k=________.

解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z=2x+y,则 y=-2x+z.易知当直线 y=-2x+z 过点 A(k,k)时,z=2x +y 取得最小值,即 3k=-6,所以 k=-2.

答案:-2

38

x≥0 ? ? 6.(2016?兰州诊断)已知 x,y 满足约束条件?3x+4y≥4, ? ?y≥0
则 x +y 的最小值是__________. 解析:画出不等式组表示的平面区域如图所示,x +y 表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方.由题意知,当以原点为圆心的圆与 |-4| 4 16 2 2 2 2 2 2 直线 3x+4y-4=0 相切时,x +y 取得最小值,即 x +y = = ,所以(x +y )min= . 5 5 25
2 2 2 2

16 答案: 25

x-2y+1≤0 ? ? 7.若变量 x,y 满足?2x-y≥0 ? ?x≤1

,求点 P(2x-y,x+y)所表示区域的面积.

?2x-y=a ? 解:设? ? ?x+y=b

a+b x= ? ? 3 ?? 2b-a y= ? ? 3



代入 x,y 的关系式得:

a-b+1≤0 ? ? ?a≥0 ? ?a+b-3≤0

1 ,作出可行域如图所示,易得阴影面积 S= ?2?1=1. 2

y≤2x+2, ? ? 8.(1)设实数 x,y 满足?x+y-2≥0, ? ?x≤2, y≥1, ? ? (2)已知实数 x,y 满足?y≤2x-1, ? ?x+y≤4,



y-1 的取值范围. x+3

求目标函数 z=

x+4y+5 的最大值与最小值的和. x+1

39

y≤2x+2, ? ? 解:(1)作出不等式组?x+y-2≥0, ? ?x≤2

表示的可行域如图所示,从图可看出,

y-1 表示可行域内的点与点 A(-3,1)连线的斜率,其最 x+3

6-1 0-1 1 1 y-1 大值为 kAD= =1,最小值为 kAC= =- ,故- ≤ ≤1. 2+3 2+3 5 5 x+3

y≥1, ? ? (2)作出?y≤2x-1, ? ?x+y≤4

表示的可行域,如图.把 z=

x+4y+5 x+1+4y+4 4?y+1? ?5 7? 变形为 z= =1+ ,解得 A? , ?,C(3,1),最大值 x+1 x+1 x+1 ?3 3?

?7 ? 4?? +1? 4??1+1? ?3 ? 为 zmax=1+ =6,最小值为 zmin=1+ =3,所以最大值与最小值的和为 9. 5 3+1 +1 3

[B 级 能力突破]

x+y-2≤0, ? ? 1.(2015?高考重庆卷)若不等式组?x+2y-2≥0 ? ?x-y+2m≥0
A.-3 4 C. 3 B.1 D.3

4 ,表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值为( 3

)

解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,易求 A,B,C,D 的坐标分别为 A(2,0),B(1-m,1+m),C?

?2-4m,2+2m?,D(-2m,0). ? 3 ? ? 3

40

S△ABC=S△ADB-S△ADC= |AD|?|yB-yC|= (2+2m)?1+m-
答案:B

1 2

1 2

? ?

2+2m? ? m-2? 4 ?=(1+m)?1+ 3 ?=3,解得 m=1 或 m=-3(舍去). 3 ? ? ?

x+y-2≥0, ? ? 2.(2014?高考北京卷)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0,
A.2 1 C. 2 B.-2 1 D.- 2

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为(

)

解析:作出可行域,平移直线 y=x,由 z 的最小值为-4 求参数 k 的值.

? 2 ? 作出可行域,如图中阴影部分所示,直线 kx-y+2=0 与 x 轴的交点为 A?- ,0?. ? k ?

2 1 ∵z=y-x 的最小值为-4,∴ =-4,解得 k=- ,故选 D. k 2 答案:D

x+y-2≤0, ? ? 3.(2016?重庆万州一模)x,y 满足约束条件?2y-x+2≥0, ? ?2x-y+2≥0,
1 A.1 或- 2 C.2 或 1 1 B. 或-1 2 D.2 或-1

若 z=y-2ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为(

)

解析:作出不等式组所对应的平面区域如图,

41

由 z=y-2ax 得 y=2ax+z,当直线 y=2ax+z 的纵截距最大时,z 最大. 若 a=0,则 y=z,此时目标函数只在 A 处取得最大值,不满足题意, 若 a>0 则 y=2ax+z 的斜率 k=2a>0,要使 z=y-2ax 取得最大值的最优解不唯一,则直线 y=2ax+z 与直线 2x-y+2=0 平行,此时 2a =2,即 a=1, 若 a<0,则 y=2ax+z 的斜率 k=2a<0,要使 z=y-2ax 取得最大值的最优解不唯一, 1 1 则直线 y=2ax+z 与直线 x+y-2=0 平行,此时 2a=-1,解得 a=- .综上,a=1 或 a=- ,故选 A. 2 2 答案:A 4.(2016?大冶模拟)已知函数 f(x)=x -4x+3,集合 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合 N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合 M∩N 的 面积是________.
2

解析:由题意得 f(x)+f(y)=x -4x+3+y -4y+3=(x-2) +(y-2) -2,故集合 M={(x,y)|(x-2) +(y-2) ≤2}, 同理可得集合 N={(x,y)|(x-2) -(y-2) ≥0}, 则集合 M∩N 所描述的图形为如图阴影部分. 1 2 1 π 2 可求得 S=2? r a=2? ?( 2) ? =π . 2 2 2 答案:π
2 2

2

2

2

2

2

2

y≤1, ? ? 5.(2016?北京石景山一模)设不等式组?x+y≥0, ? ?x-y-2≤0
率为________. 解析:

表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一点 M,则点 M 落在圆 x +y =1 内的概

2

2

42

画出可行域及圆 x +y =1(如图).可行域恰好为等腰直角三角形 ABC,由? |-1-1-2|
2

2

2

? ?y=1, ?x+y=0, ?

解得?

? ?x=-1, ?y=1. ?

点 A(-1,1)到直线 x-y-2=0

的距离为

1 π 2 2 2 =2 2,所以可行域 D 的面积为 ?2 2?2 2=4.而圆 x +y =1 在可行域内恰为半圆,面积为 ,故点 M 落在圆 x + 2 2 1 +?-1?
2

π 2 π y2=1 内的概率为 = . 4 8 π 答案: 8 6.(2014?高考陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上. → → → → (1)若PA+PB+PC=0,求|OP|; → → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. → → → 解:(1)∵PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(0,0),∴1-x+2-x+3-x=0,1-y+3-y+2-y=0,∴x=2,y =2,∴|OP|=2 2. → 2 2 ∴|OP|= 2 +2 =2 2.

→ (2)∵OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), ∴?
? ?x=m+2n, ?y=2m+n, ?

两式相减,得 m-n=y-x. 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1. 7.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵 需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元.

43

(1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω (元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y,所以利润 ω =5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. (2)约束条件为 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? ?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N.

x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N
目标函数为 ω =2x+3y+300.作出可行域.如图所示:

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,ω 有最大值.由? 最优解为 A(50,50),所以 ω max=550 元.

?x+3y=200, ? ?x+y=100, ?

得?

?x=50, ? ?y=50. ?

所以,每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大为 550 元. 第 4 课时 基本不等式

1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1.基本不等式 如果 a、b 都是正数,那么

a+b
2

≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,称上述不等式为基本不等式.其中

a+b
2

称为 a、b 的算术平均数, ab

称为 a、b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式.
44

2.常用的几个重要不等式 (1)a +b ≥2ab(a,b∈R) (2) + ≥2(a,b 同号) (3)ab≤? (4)
2 2

b a a b

?a+b?2(a,b∈R) ? ? 2 ?
≥?

a2+b2 ?a+b?2
2

? (a,b∈R) ? 2 ?
a+b
2

3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 取得最小值 2 p.(简记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 取得最大值 s /4.(简记:和定积最大) [基础自测] 1 1.(教材改编题)函数 y=x+ (x>0)的值域为(
2

,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均

x

) B.(0,+∞) D.(2,+∞)

A.(-∞,-2)∪[2,+∞) C.[2,+∞) 1 解析:∵x>0,∴x+ ≥2

x

x? =2 即 y∈[2,+∞). x

1

答案:C 2.下列不等式:①a +1>2a;② A.0 C.2
2 2

a+b 1 2 ≤2;③x + 2 ≥1,其中正确的个数是( x + 1 ab
B.1 D.3

)

解析:①中,当 a=1 时,a +1=2a 故①不正确,②中, 当 a,b∈R 时,a+b≥2 ab, 即


a+b ≥2,故②不正确. ab
2

③正确,x + 答案:B

1 1 2 =(x +1)+ 2 -1≥2-1=1. x +1 x +1
2

45

3 3.设 0<x< ,则函数 y=x(3-2x)的最大值是( 2 A. 9 16

) B. D. 9 4 9 8

C.2 3 解析:∵0<x< ,∴3-2x>0. 2

1 1 ?2x+3-2x?2 9 ∴y=x(3-2x)= ?(2x)?(3-2x)≤ ?? ? =8. 2 2 2 ? ? 答案:D 4.若 x>0,y>0 且 x+8y=1,则 xy 的最大值为________. 解析:∵x>0,y>0 且 x+8y=1 ∴1=x+8y≥2 8xy 1 即 xy≤ . 32 答案: 1 32

5.已知 t>0,则函数 y= 解析:∵t>0,∴y=

t2-4t+1 的最小值为________. t

t2-4t+1 1 =t+ -4≥-2. t t

答案:-2

考点一 利用基本不等式求最值 [例 1] (1)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当 取得最小值时,x+2y-z 的最大值为( A.0 C.2 B. D. 9 8 9 4 )
2 2

z xy

)

→ → → (2)在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,AD=1,点 P 在线段 AD 上,则PA?(PB+PC)的最小值为( A.-1 B.1

46

1 C. 2

1 D.- 2

审题视点 (1)利用基本不等式求出 的最小值及取得最小值时,x 与 y 的关系,再利用二次函数性质求结论. (2)利用向量模的意义转化为基本不等式. 解析 (1)含三个参数 x,y,z,消元,利用基本不等式及配方法求最值.

z xy

z=x2-3xy+4y2(x,y,z∈R+),


z x2-3xy+4y2 x 4y = = + -3≥2 xy xy y x y x

x 4y ? -3=1. y x

x 4y 当且仅当 = ,即 x=2y 时“=”成立,此时 z=x2-3xy+4y2=4y2-6y2+4y2=2y2,
∴x+2y-z=2y+2y-2y =-2y +4y =-2(y-1) +2. ∴当 y=1 时,x+2y-z 取最大值 2. → ? 2 → → ? → |AD| 1 1 2 (2)依题意得,PA?(PB + PC )= 2PA ?PD=- 2|PA |?|PD |≥- 2?|PA|+|PD|? =- =- ,当且仅当|PA | =|PD |= 时取等号,因此 ? ? 2 2 2 2 ? ? → → → → → → → → → → →
2 2 2

PA?(PB+PC)的最小值是- ,选 D.
答案 (1)C (2)D

1 2

(1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1”的代换等. (3)若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解.

1 2 1.(2015?高考湖南卷)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为(

a b

)

A. 2 C.2 2 1 2 解析:由 + = ab知 a>0,b>0,所以

B.2 D.4

a b

47

ab= + ≥2 a b
1 2 ? ?a=b, 当且仅当? 1 2 ? ?a+b= 答案:C

1 2

2

ab

,即 ab≥2 2,

4 4 即 a= 2,b=2 2时取“=”,所以 ab 的最小值为 2 2.

ab,

2.(2015?高考山东卷)定义运算“?”:x?y= 解析:因为 x?y=
2

x2-y2 (x,y∈R,xy≠0).当 x>0,y>0 时,x?y+(2y)?x 的最小值为________. xy

x2-y2 , xy
2

4y -x 所以(2y)?x= . 2xy 又 x>0,y>0, 故 x?y+(2y)?x= 答案: 2

x2-y2 4y2-x2 x2+2y2 2 2xy + = ≥ = 2,当且仅当 x= 2y 时,等号成立. xy 2xy 2xy 2xy

考点二 利用基本不等式证明不等式 [例 2] 已知 a>0,b>0,c>0, 求证: + +

bc ca ab ≥a+b+c a b c

审题视点 先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得证. 证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴ + ≥2

bc ca a b

bc ca ? =2c; a b

bc ab + ≥2 a c

bc ab ca ab ? =2b; + ≥2 a c b c

ca ab ? =2a. b c

?bc ca ab? 以上三式相加得:2? + + ?≥2(a+b+c). ?a
b c?


bc ca ab + + ≥a+b+c. a b c

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关 定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.
48

1.(2016?江西南昌调研)已知 a,b∈R,且 ab≠0,则下列结论恒成立的是( A.a+b≥2 ab C. + ≥2 B.a +b >2ab
2 2

)

a b b a

?a b? D.? + ?≥2 ?b a?
2 2

解析:对于 A,当 a,b 为负数时,a+b≥2 ab不成立;对于 B,当 a=b 时,a +b >2ab 不成立;对于 C,当 a,b 异号时, + ≥2 不成立;

a b b a

b a ?a b? ?b? ?a? 对于 D,因为 , 同号,所以? + ?=? ?+? ?≥2 a b

?b a? ?a? ?b?

?b???a?=2(当且仅当|a|=|b|时取等号),所以 D 正确. ?a? ?b? ? ? ? ?

答案:D 2.已知 x>0,y>0,z>0.

? ?? ?? ? 求证:? + ?? + ?? + ?≥8.
y z x z x y ?x x??y y??z z?
证明:∵x>0,y>0,z>0, ∴ + ≥

y z 2 yz x z 2 xz >0, + ≥ >0, x x x y y y

x y 2 xy + ≥ >0, z z z

?y z??x z??x y? 8 yz? xz? xy=8. ∴? + ?? + ?? + ?≥ ?x x??y y??z z?
xyz
当且仅当 x=y=z 时等号成立.

考点三 利用基本不等式解实际问题 [例 3] 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建 造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计.
2

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 审题视点 (1)由题意设出未知量,构造函数关系式,变形转化利用基本不等式求得最值,得出结论;
49

(2)先由限制条件确定自变量的范围,然后判断(1)中函数的单调性,利用单调性求最值,得出结论. 解 162 (1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 米.

x

则总造价

f(x)=400??2x+

? ?

2?162? ?+248?2x+80?162

x

?

1 296?100 =1 296 x+ +12 960

x

? 100? =1 296?x+ ?+12 960 ?
x ?
≥1 296?2

x?

100 +12 960=38 880(元),

x

100 当且仅当 x= (x>0),

x

即 x=10 时取等号. ∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38 880 元. 0<x≤16, ? ? (2)由限制条件知? 162 0< ≤16, ? x ? 1 ∴10 ≤x≤16. 8 100? 1 ? 设 g(x)=x+ ?10 ≤x≤16?, x ? 8 ?

? 1 ? 由函数性质易知 g(x)在?10 ,16?上是增函数, ? 8 ?
162 1 ? ? ∴当 x=10 时?此时 =16?, x 8 ? ?

g(x)有最小值,即 f(x)有最小值

? 1 800? 1 296??10 + ?+12 960=38 882(元). ? 8 81 ?
1 ∴当长为 16 米,宽为 10 米时,总造价最低,为 38 882 元. 8

1.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结果不成立,从而转化为应用函数的单调性求解,这也是此部分内容的常规解法. 2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能否成立,因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围.

50

1.(2014?高考福建卷)要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平 方米 10 元,则该容器的最低总造价是( A.80 元 C.160 元 ) B.120 元 D.240 元
3 2

3

解析:设底面矩形的一条边长是 x m,总造价是 y 元,由题意知,体积 V=4 m ,高 h=1 m,所以底面积 S=4 m ,设底面矩形的一条边长 4 是 x m,则另一条边长是 m,又设

x

8? ? 总造价是 y 元,则 y=20?4+10??2x+ ?≥80+20

?

x?

8 8 2x? =160,当且仅当 2x= ,即 x=2 时取得等号.

x

x

答案:C 2.(2016?河北省普通高中质检)如图,有一块边长为 1(单位:百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ 始终为 45°(其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上),设∠PAB=θ ,tan θ =t. (1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为多少?

解:(1)由 tan θ = =t,得 BP=t(0≤t≤1),可得 CP=1-t. ∵∠DAQ=45°-θ , 1-t ∴DQ=tan(45°-θ )= , 1+t

BP AB

CQ=1-

1-t 2t = , 1+t 1+t
2 2

∴PQ= CP +CQ =

?1-t? +?
2

? 2t ?2=1+t , ? ?1+t? 1+t

2

∴△CPQ 的周长 l=CP+PQ+CQ 2t 1+t =1-t+ + =2 为定值. 1+t 1+t (2)∵S=S 正方形 ABCD-S△ABP-S△ADQ
2

t 1 1-t =1- - ? 2 2 1+t
51

2 ? 1? =2- ?t+1+ ≤2- 2, t+1? 2? ? 当且仅当 t+1= 2

t+1

,即 t= 2-1 时等号成立.

∴探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为(2- 2)平方百米.

特殊值法解不等式选择题 [典例] 下列不等式一定成立的是( )

? 2 1? A.lg?x + ?>lgx(x>0) 4? ?
1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sin x C.x +1≥2|x| D. 1
2

x2+1

>1(x∈R)


解题指南 应用基本不等式:x,y∈R ,

x+y
2

≥ xy(当且仅当 x=y 时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.

1 1 ? 2 1? 2 解析 当 x= 时,x + =x 即 lg?x + ?=lgx,故 A 不正确. 4? 2 4 ? 运用基本不等式时需保证一正、二定,三相等,而当 x≠kπ (k∈Z)时,sin x 正负不定,故选项 B 不正确. 由 x +1=(|x|) +1≥2|x|可知选项 C 正确. 当 x=0 时, 答案 C 阅卷点评 创新点评 错误的举反例说明,正确的要给出证明. (1)忽视等号成立的条件致误. 1 =1,故 D 错. x +1
2 2 2

(2)忽视使用基本不等式的前提“一正”致误. 备考建议 (1)熟悉基本不等式的形式特点,在应用时若不满足条件,则需要进行相应的变形得到基本不等式所要的“和”或“积”为定
52

值的形式. (2)注意基本不等式适用的条件,即“一正、二定、三相等”且这三个条件缺一不可;若等号成立的条件不满足,则可考虑用函数的单调性 求最值.

1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能 否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误. 对于公式 a+b≥2 ab,ab≤?

?a+b?2,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系. ? ? 2 ?
2 2

2.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a +b ≥2ab 逆用就是 ab≤

a2+b2 a+b
2 ; 2

≥ ab(a,b>0)逆用就是

ab≤?

?a+b?2(a,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. ? ? 2 ?
课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2015?宁波模拟)下列函数中,最小值为 4 的个数为( 4 ①y=x+ )

x
-x

4 ②y=sin x+ (0<x<π ) sin x ④y=log3x+4logx3 B.3 D.1

③y=e +4e A.4 C.2

x

解析:①中,由于 x 的符号不确定,故不满足条件;②中,0<sin x≤1,而应用不等式时等号成立的条件为 sin x=2,故不满足条件; ③正确;④中 log3x,logx3 的符合不确定,故不满足条件,综上只有③满足条件. 答案:D 2.(2015?高考福建卷)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( A.2 C.4 B.3 D.5

x y a b

)

x y 1 1 解析:将(1,1)代入直线 + =1 得 + =1,a>0,b>0, a b a b b a ?1 1? 故 a+b=(a+b)? + ?=2+ + ≥2+2=4,等号当且仅当 a=b 时取到,故选 C.

?a b?

a b

答案:C 3.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( )
53

A.3 9 C. 2

B.4 D. 11 2

8-x 解析:法一:因为 x+2y+2xy=8,所以 y= , 2x+2 8-x -?x+1?+9 9 所以 x+2y=x+ =x+ =(x+1)+ -2≥2 9-2=4 x+1 x+1 x+1

?当且仅当x+1= 9 ,即x=2时等号成立,此时y=1?, ? ? x+1 ? ?
故选 B. 法二:因为 x+2y≥2 2xy, 所以 2xy≤?

?x+2y?2, ? ? 2 ?
2

?x+2y? 所以 x+2y+2xy≤x+2y+ , 4 设 x+2y=A,则 A+ ≥8.即 A +4A-32≥0, 4 解此不等式得 A≤-8(舍去)或 A≥4, 即 x+2y≥4,故选 B. 答案:B 1 1 + x 4.(2016?日照模拟)已知 a,b∈R ,函数 y=2ae +b 的图像过点(0,1),则 + 的最小值是__________.

A2

2

a b b

1 1 2a+b 2a+b b 2a b 2a 解析:因为函数过点(0,1),所以 2a+b=1,所以 + = + =3+ + ≥3+2 2,当且仅当 = 时取等号,故填 3+2 2.

a b

a

b

a

a

b

答案:3+2 2 1 1 x y 5.(2016?杭州模拟)设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =4 且 a+b=2 2,则 + 的最大值为________.

x y

1 1 1 1 x y 解析:由 a =b =4 得 x=loga4,y=logb4,故 + = + =log4a+log4b=log4ab. x y loga4 logb4 又∵a>1,b>1,a+b=2 2, 故 log4ab≤log4?

?a+b?2=log 2=1, ? 4 2 ? 2 ?

1 1 1 ∴ + ≤ ,等号当且仅当 a=b= 2, x y 2 1 1 1 即 x=y=4 时等号成立.∴ + 的最大值为 . x y 2 1 答案: 2
54

6.已知函数 f(x)=log2[k(x+4)+2]+1 恒过定点 P,且点 P 在直线 - =2(a,b 属于正实数)上,则 3a+2b 的最小值为________. 解析:由函数 f(x)=log2[k(x+4)+2]+1 可知, 当 x=-4 时,f(x)=2,即 P 点坐标为(-4,2), 又 P 在直线 - =2(a,b∈R )上, 2 4 2 1 故 + =2,即 + =1,

y x b a

y x b a



b a

a b

3a 4b ?2 1? ∴3a+2b=(3a+2b)? + ?=8+ + ≥8+2 12=8+4 3,

?a b?

b

a

2 3 2 2 当且仅当 3a =4b ,即 a=2+ ,b= 3+1 时等号成立. 3 ∴3a+2b 的最小值为 8+4 3. 答案:8+4 3 7.(1)当点(x,y)在直线 x+3y-4=0 上移动时,求表达式 3 +27 +2 的最小值; (2)已知 x,y 都是正实数,且 x+y-3xy+5=0,求 xy 的最小值. 解:(1)由 x+3y-4=0 得 x+3y=4, ∴3 +27 +2=3 +3 +2 ≥2? 3 ?3 +2=2? 3 =2? 3 +2=20, 2 x 3y 当且仅当 3 =3 且 x+3y-4=0,即 x=2,y= 时取“=”. 3 (2)由 x+y-3xy+5=0 得 x+y+5=3xy. ∴2 xy+5≤x+y+5=3xy. ∴3xy-2 xy-5≥0,∴( xy+1)(3 xy-5)≥0, 5 25 ∴ xy≥ ,即 xy≥ ,等号成立的条件是 x=y. 3 9 5 25 此时 x=y= ,故 xy 的最小值是 . 3 9 8.若 x,y∈R,且满足(x +y +2)(x +y -1)-18≤0. (1)求 x +y 的取值范围; (2)求证:xy≤2. 解:(1)由(x +y ) +(x +y )-20≤0, 得(x +y +5)(x +y -4)≤0, 因为 x +y +5>0,所以有 0≤x +y ≤4,即 x +y 的取值范围为[0,4].
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

x

y

x

y

x

3y

x

3y

x+3y

+2

55

(2)证明:由(1)知 x +y ≤4,由基本不等式得 xy≤

2

2

x2+y2 4
2

≤ =2,所以 xy≤2. 2 [B 级 能力突破]

1 1 1.(2016?福建漳州联考)若正实数 x,y 满足 x+y+ + =5,则 x+y 的最大值是(

x y

)

A.3 C.5

B.4 D.6

1 1 x+y x+y 4 1 1 解析:∵x,y 为正实数,∴x+y+ + =x+y+ ≥x+y+ =x+y+ ,又 x+y+ + =5, x y xy x + y x + y x y ? ? ? 2 ?2 ? ? ∴x+y+ 4 ≤5,解得 1≤x+y≤4. x+y

∴x+y 的最大值是 4. 答案:B 1 1 x y 2.(2015?陕西西安二模)已知 x>0,y>0,lg 2 +lg 8 =lg 2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 C.4 解析:由 lg 2 +lg 8 =lg 2 得 lg 2
x y

)

B.2 2 D.2 3
x+3y

=lg 2,

x 3y 1 1 ?1 1 ? x 3y ? ? ∴x+3y=1, + =? + ?(x+3y)=2+ + ≥4?当且仅当 = 时,等号成立?.故选 C. 3y x x 3y ?x 3y? 3y x ? ?
答案:C 3.设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 解析:因为直线与圆相切,所以 d=r, 即 |m+1+n+1-2| ?m+1? +?n+1?
2 2 2 2

)

=1? mn=m+n+1,
2

∵mn≤?

?m+n?2,∴m+n+1≤?m+n? , ? 4 ? 2 ?
2

令 m+n=t,则 t -4t-4≥0? t∈(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞),故选 D. 答案:D 1 a 4.(2016?洛阳高三统考)设正实数 a,b 满足 a+b=2,则 + 的最小值为__________. a 8b
56

1 a a+b a 1 b a 1 解析:依题意得 + = + = + + ≥ +2 a 8b 2a 8b 2 2a 8b 2 是 1. 答案:1 5.(2015?高考重庆卷)设 a,b>0,a+b=5,则
2

b a ? ? = , b a 2 ? =1,当且仅当? a 8b 2a 8b ? ?a+b=2,

4 1 a 即 a=2b= 时取等号,因此 + 的最小值 3 a 8b

a+1+ b+3的最大值为__________.

解析:令 t= a+1+ b+3,则 t =a+1+b+3+2 ?a+1??b+3?=9+2 ?a+1??b+3?≤9+a+1+b+3=13+a+b=13+5 =18, 7 3 当且仅当 a+1=b+3 时取等号,此时 a= ,b= . 2 2 ∴tmax= 18=3 2. 答案:3 2 2 6.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图像交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________.

x

2 ? 2? 解析:由题意可知 f(x)= 的图像关于原点对称,而与过原点的直线相交,则两交点必关于原点对称,故可设两交点分别为 P?x, ?与

x

?

x?

Q?-x,- ?, x? ?
由两点间距离公式可得 |PQ|= 答案:4 7.某工厂去年某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定成本为 8 元,今年工厂第一次投入 100 万元(科技成本),并 计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科技成本),预计产量年递增 10 万只.第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g(n)= 为常数,n∈Z 且 n≥0),若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元. (1)求 k 的值,并求出 f(n)的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?(利润=销售额-固定成本-科技成本) 解:(1)g(n)=

?

2?

?2 2?2 2 ?x+x? +? + ? = ?x x?

?4?2 2 2 ?2x? +? ? ≥4 等号当且仅当 x =2,即 x=± 2时取得. x ? ?

k (k>0,k n+1

k , n+1 k
0+1 =8,解得 k=8. 8 8

当 n=0 时,g(0)=

∴f(n)=(100+10n)?10- (2)f(n)=(100+10n)?10-

? ?

n+1?

? ?-100n.

? ?

? ?-100n n+1?
57

80?n+10? =1 000- n+1

? =1 000-80? n+1+ ?

9

n+1?

? ?

≤1 000-80?2 9=520. 当且仅当 n+1= 即 n=8 时取等号. ∴从今年算起第 8 年工厂的利润最高,最高利润为 520 万元. 第 5 课时 合情推理与演绎推理 9

n+1



1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

1.归纳推理 根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个都具有这种属性的推理,叫作归纳推理.归纳推理是由部分到整体,由个 别到一般的推理. 归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同属性; (2)从已知的相同属性中推出一个明确表述的一般性命题. 2.类比推理 (1)根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性质,推测其中一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫作类比推理(简 称类比). 类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题. (2)前提为真时,结论可能为真的推理,叫作合情推理. 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理. 3.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推
58

理. (2)演绎推理的一般模式——“三段论”: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. [基础自测] 1.观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x) 的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) C.g(x) ) B.-f(x) D.-g(x)
2 4 3

解析:通过观察所给的结论可知,若 f(x)是偶函数,则导函数 g(x)是奇函数,故选 D. 答案:D 2.已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=60°,求证 a<b. 证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B,∴a<b,画线部分是演绎推理的( A.大前提 C.结论 解析:由推理过程知∠A<∠B 是演绎推理的小前提. 答案:B 3. (教材改编题)在平面上, 若两个正方形的边长的比为 1∶2, 则它们的面积比为 1∶4.类似地, 在空间中, 若两个正方体的棱长的比为 1∶ 2,则它们的体积比为________. B.小前提 D.三段论 )

V1 S1 h1 1 1 1 解析: = ? = ? = . V2 S2 h2 4 2 8
答案:1∶8 4.观察如图所示的“三角数阵”:

记第 n 行的第 2 个数为 an(n≥2,n∈N+),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题: (1)第 6 行的 6 个数依次为________、________、________、________、________、________; (2)a2=________,a3=________,a4=________,a5=________; (3)归纳出 an+1 与 an 的关系式为________. 解析:(1)第 6 行的 6 个数依次为 6,16,25,25,16,6. (2)由“三角数阵”易知 a2=2,a3=4,a4=7,a5=11.
59

(3)由“三角数阵”知 a3 比 a2 多 2,a4 比 a3 多 3,a5 比 a4 多 4,?,归纳得 an+1 比 an 多 n,故得 an+1-an=n,即 an+1=an+n. 答案:(1)6 16 25 25 16 6 (2)2 4 7 11

(3)an+1=an+n

考点一 归纳推理 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 [例 1] (1)已知数列: , , , , , , , , , ,?,依它的前 10 项的规律推测这个数列的第 2 018 项是________. 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 (2)给出下列命题: 1 命题 1:点(1,1)是直线 y=x 与双曲线 y= 的一个交点;

x

8 命题 2:点(2,4)是直线 y=2x 与双曲线 y= 的一个交点;

x

27 命题 3:点(3,9)是直线 y=3x 与双曲线 y= 的一个交点;

x

?? 请观察上面的命题,猜想出命题 n(n 是正整数)为:________. 审题视点 (1)把前 10 项分组归纳,分析归纳每一组数的变化规律及个数. (2)总结点的变化规律,再看直线和曲线的变化规律,写出此(语言)命题相似的内容. 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 n n-1 解析 (1)这个数列的前 10 项按如下规则分组.第一组: ;第二组: , ;第三组: , , ;第四组: , , , ;?;第 n 组: , , 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2

n-2
3

,?,

n-r+1 1 n?n+1? n?n+1? ,?, .由不等式 <2 018,即 n(n+1)<4 036,得 n≤63(n∈N+),且当 n=63 时, =2 016,2 018-2 r n 2 2

63 016=2,即这个数列的第 2 018 项是上述分组中的第 64 组中的第 2 个数,即第 2 018 项是 . 2

n3 (2)点的横坐标是命题“n”的值,纵坐标为 n ,直线的斜率为 n,曲线的系数为 n ,总结为点(n,n )是直线 y=nx 与双曲线 y= 的一个交 x
2 3 2

点. 63 n 2 答案 (1) (2)点(n,n )是直线 y=nx 与双曲线 y= 的一个交点 2 x
3

所谓归纳,就是由特殊到一般,因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律,从而得到一般结论.

60

1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图(1)中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的 1,4,9,16,?这样的数为 正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( A.289 C.1 225 B.1 024 D.1 378 )

解析:设图(1)中数列 1,3,6,10,?的通项为 an,则 a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,?,an-an-1=n. ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=1+2+?+n= 1??1+1? 当 n=1 时,有 a1= =1, 2 ∴an=

n?n+1?
2

(n≥2).

n?n+1?
2

.
2

图(2)中数列为{bm},通项公式 bm=m ,把选项中的数代入知选 C. 答案:C 2.(2015?高考陕西卷)观察下列等式: 1 1 1- = , 2 2 1 1 1 1 1 1- + - = + , 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + - = + + , 2 3 4 5 6 4 5 6

61

?, 据此规律,第 n 个等式可为________________________. 解析:观察等式两边的规律,利用归纳推理解决. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 等式左边的通项为 - , 前 n 项和为 1- + - +?+ - ; 右边的每个式子的第一项为 , 共有 n 项, 故为 + +? 2n-1 2n 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+1 n+2 + 1 . n+n 1 1 1 1 1 1 1 1 答案:1- + - +?+ - = + +?+ 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 考点二 类比推理 [例 2] 已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N+),则 am+n= {bn}(bn>0,n∈N+),若 bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N+),则可以得到 bm+n=______. 审题视点 法一:利用等差数列、等比数列的知识进行推导;法二:(直接类比)将等差数列中的乘法、除法分别类比成等比数列中的乘方、 开方. 解析 法一:设数列{an}的公差为 d,则 d1=

nb-ma .类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列 n-m

an-am b-a b-a bn-am = ,所以 am+n=am+nd1=a+n? = . n-m n-m n-m n-m
n-m

类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为 q,由 bn=bmq

可知 d=cq

n-m

,所以 q=

n n-m d n-m d ? ?n= n-m d , n ,所以 bm+n=bmq =c? ? ? m c c ?c?

法二: (直接类比)设数列{an}的公差为 d1, 数列{bn}的公比为 q, 因为等差数列中 an=a1+(n-1)d1, 等比数列中 bn=b1q

n-1

, 因为 am+n=

nb-ma , n-m

所以 bm+n=

n-m dn . cm n-m dn cm

答案

(1)类比推理是根据两个对象有一部分属性类似, 推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法, 是由特殊到特殊的推理, 其一般步骤为: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). (2)熟悉常见的类比对象 ①平面与空间的类比 平面 点 线 圆 空间 线 面 球
62

三角形 角 面积 周长 ?

三棱锥 二面角 体积 表面积 ?

②等差数列与等比数列的类比 等差数列 两项之和 两项之差 前 n 项之和 ? 等比数列 两项之积 两项之比 前 n 项之积 ?

1.(2016?贵州六校联考)在平面几何中:△ABC 的∠C 的平分线 CE 分 AB 所成的线段的比为 = (如图 1).把这个结论类比到空间:在 三棱锥 A?BCD 中(如图 2),面 DEC 平分二面角 A?CD?B 且与 AB 相交于 E,则类比得到的结论是__________.

AC AE BC BE

解析:由平面中线段的比化为空间中面积的比可得 = 答案: =

AE S△ACD . EB S△BCD

AE S△ACD EB S△BCD a11+a12+?+a20
10 =

2 . (2016? 福 建 厦 门 模 拟 ) 已 知 等 差 数 列 {an} 中 , 有 ________________. 解析:由等比数列的性质可知

a1+a2+?+a30
30

, 则 在 等 比 数 列 {bn} 中 , 会 有 类 似 的 结 论 :

b1b30=b2b29=?=b11b20,
63



10

b11b12?b20=
10

30

b1b2?b30.
30

答案:

b11b12?b20=

b1b2?b30
考点三 演绎推理

1 [例 3] 若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1)求证:? ?成等差数列; ?Sn?

(2)求数列{an}的通项公式.
?1? 审题视点 (1)利用 an=Sn-Sn-1 推导? ?的递推关系,从而求 an. ?Sn?

解析 (1)证明:当 n≥2 时,由 an+2SnSn-1=0, 得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1, 1 1 所以 - =2,

Sn Sn-1

?1? 1 1 又 = =2,故? ?是首项为 2,公差为 2 的等差数列.

S1 a1

?Sn?

1 1 (2)由(1)可得 =2n,∴Sn= , Sn 2n 1 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = 2, 2n 2?n-1? 2n-2n 1 ? ?2 对 n=1 不成立,所以 a =? 1 ? ?2n-2n
n

?n=1?, ?n≥2?.

2

(1)演绎推理的结构 演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断: 第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了一般原理和 特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论. (2)演绎推理的理论依据 其推理的依据用集合论的观点来讲就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P.

64

1. 对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0), 给出定义: 设 f′(x)是函数 y=f(x)的导数, f″(x)是函数 f′(x)的导数, 若方程 f″(x) =0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都 1 3 1 2 5 有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若三次函数 f(x)= x - x +3x- ,请你根据这一发现,求: 3 2 12 1 3 1 2 5 (1)函数 f(x)= x - x +3x- 对称中心为______; 3 2 12 (2)f?

3

2

? 1 ?+f? 2 ?+f? 3 ?+f? 4 ?+?+f?2 016?=__________. ? ? ? ? ? ? ? ?2 017? ?2 017? ?2 017? ?2 017? ?2 017? ? ?

1 ?1? 1 3 1 2 5 ?1 ? 2 解析:(1)f′(x)=x -x+3,f″(x)=2x-1,令 f″(x)=0,则 x= ,f? ?=1,所以函数 f(x)= x - x +3x- 的对称中心为? ,1?. 2 ?2? 3 2 12 ?2 ?

?1 ? ?1 ? ? 1 ?+f?2 016?=2,f? 2 ?+f?2 015?=2,?,所以 f? 1 ?+ (2)由(1)知,计算 f? +x?+f? -x?=2? f(x)+f(1-x)=2? f? ? ? ? ?2 017? ?2 017? ?2 017? ?2 ? ?2 ? ?2 017? ?2 017? ? ? ? ? ? ?
f?

? 2 ?+f? 3 ?+f? 4 ?+?+f?2 016?=2 016. ? ? ? ? ? ?2 017? ?2 017? ?2 017? ?2 017? ? ? ?1 ? 答案:(1)? ,1? ?2 ?
(2)2 016

2.(2016?吉安模拟)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= (1)数列? ?是等比数列;
?n? ?Sn?

n+2 Sn(n∈N+),求证: n

(2)Sn+1=4an. 证明:(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

n+2 Sn, n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. ∴

Sn+1 Sn =2? (小前提) n+1 n
?Sn? ?n?

故? ?是以 2 为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知

Sn+1 Sn-1 =4? (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 =4? ?Sn-1 n-1 n-1

∴Sn+1=4(n+1)? =4an(n≥2).

又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1, ∴对于任意正整数 n, 都有 Sn+1=4an.(完全归纳推理)

65

归纳推理的答题误区 [典例] 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数.

将三角形数 1,3,6,10,?记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测: (1)b2016 是数列{an}中的第________项; (2)b2k-1=________.(用 k 表示) 解题指南 归纳出{an}的通项是解题关键. 解析 (1)由图可知 an+1=an+(n+1)(n∈N+). 所以 a2-a1=2,a3-a2=3,?,an-an-1=n. 累加得 an-a1=2+3+?+n, 即 an=1+2+3+?+n=

n?1+n?
2

.

当 n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,?时,an 能被 5 整除,即 b2=a5,b4=a10,b6=a15,b8=a20,?,所以 b2k=a5k(k∈N+).所以 b2 016=

a5?1 008=a5 040.
1 5k?5k-1? (2)由(1)可知 b2k-1=a5k-1= ?5k(5k-1)= . 2 2 5k?5k-1? 答案 (1)5 040 (2) 2 易错警示 解答本题时有两点易错:

(1)对所给式子,列举较少,不能发现正确的规律而误解. (2)无从下手,找不到 bk 与 an 之间的关系. 备考建议 (1)解决归纳推理问题,尤其是所求题目无法直接解出,必须寻求规律才能解决时要多计算几个式子,从中发现规律,但运算

要准确无误方能正确求解. (2)归纳推理的关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性,然后进行归纳、猜想.

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理,是数学的基本思维过程,也是人们在学习和生活中经常运用的思维方式.在解决问题过程中,
66

合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用.合情推理的结论可能为真,也可能为假,结论的正确性有待于进一步的证明. 2.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提 错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的.

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2016?合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确
2 2 2

)

B.大前提不正确 D.全不正确

解析:因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 答案:C 2.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
2 2 2 2

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,由 an=2n-1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:Sn=n B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇函数 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N+,(n+1) >2
2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

n

解析:选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前 n 项和等于 Sn= 属于归纳推理,但结论不正确. 答案:A

n?1+2n-1?
2

=n ,选项 D 中的推理

2

1 3.三角形的面积为 S= (a+b+c)r,a、b、c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为( 2 1 A.V= abc 3 1 B.V= Sh 3 1 C.V= (S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4 为四个面的面积,r 为内切球的半径) 3 1 D.V= (ab+bc+ac)h(h 为四面体的高) 3

)

解析:设△ABC 的内心为 O,连接 OA、OB、OC,将△ABC 分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是 r,底边长分别为 a、b、c;类比: 设四面体 A-BCD 的内切球的球心为 O,连接 OA、OB、OC、OD,将四面体分割为四个以 O 为顶点,以原来面为底面的四面体,高都为 r,所以有

V= (S1+S2+S3+S4)r.
答案:C
67

1 3

4.观察下列等式 (1+1)=2?1 (2+1)(2+2)=2 ?1?3 (3+1)(3+2)(3+3)=2 ?1?3?5 ? 照此规律,第 n 个等式可为______________. 解析:由前三个式子观察归纳可得结论. 答案:(n+1)(n+2)?(n+n)=2 ?1?3???(2n-1) 5. (2016?深圳模拟)现有一个关于平面图形的命题: 如图, 同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形, 其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部 4 分的体积恒为________.
n
3 2

a2

解析:本题考查类比推理知识.可取特殊情况研究,当将一个正方体的一个顶点垂直放在另一个正方体的中心时,易知两正方体的重叠部 1 a 分占整个正方体的 ,故其体积为 . 8 8 答案:
3

a3
8

6.(2016?陕西质量检测)观察下列等式:1=1,1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,?,由以上可推测出一个一般 性结论:对于 n∈N+,1+2+?+n+?+2+1=________. 解析:∵1=1 1+2+1=2 1+2+3+2+1=3 1+2+3+4+3+2+1=4 ,?,∴归纳可得 1+2+?+n+?+2+1=n . 答案:n
2 2, 2, 2, 2 2

7.如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点,1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点 和 1 个空心圆点.

(1)求第 n 行实心圆点个数与第 n-1,n-2 行实心圆点个数的关系; (2)求第 11 行的实心圆点的个数.

68

解:(1)设第 n 行实心圆点有 an 个,空心圆点有 bn 个,由树形图的生长规律可得? ∴an=an-1+bn-1=an-1+an-2, 即第 n 行实心圆点个数等于第 n-1 行与第 n-2 行实心圆点个数之和.

?bn=an-1, ? ?an=an-1+bn-1, ?

(2)由(1)可得数列{an}为 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,?,∴第 11 行实心圆点的个数是该数列的第 11 项 55. 8.已知等差数列{an}的公差为 d=2,首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5),求 S1,S2,S3,S4,S5,T1,T2,T3,T4,T5,并归纳 Sn,Tn 的大小规律. 解:(1)Sn=5n+

n?n-1?
2

?2=n(n+4).
2

(2)Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5]=4n +n. ∴S1=5,S2=12,S3=21,S4=32,S5=45,

T1=5,T2=18,T3=39,T4=68,T5=105.
由此可知 S1=T1,当 5≥n≥2(n∈N+)时,Sn<Tn, 猜想,当 n≥2,n∈N+时,Sn<Tn. [B 级 能力突破] 1.(2016?枣庄九中模拟)已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),?,fn+1(x)=f′n(x),

n∈N+,则 f2 017(x)=(
A.sin x+cos x C.sin x-cos x

) B.-sin x-cos x D.-sin x+cos x

解析:f2(x)=f′1(x)=cos x-sin x,f3(x)=f′2(x)=-sin x-cos x,f4(x)=f′3(x)=-cos x+sin x,f5(x)=f′4(x)=sin x+cos

x,f6(x)=f′5(x)=cos x-sin x,?,可知 fn(x)是以 4 为周期的函数,∵2 017=504?4+1,
∴f2 017(x)=f1(x)=sin x+cos x.故选 A. 答案:A 2.(2016?昆明调研)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=2a8-3a4,则 A. 3 10 B. D. 1 3 1 8

S8 =( S16

)

1 C. 9

5 S8 8a1+28d 5 S8 3 解析:由已知得 a1=2a1+14d-3a1-9d,得 a1= d,又 = ,将 a1= d 代入化简得 = . 2 S16 16a1+120d 2 S16 10 答案:A 3.(2014?高考北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都 不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不

69

存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 C.4 人 解析:利用反证法解决实际问题. B.3 人 D.5 人

)

假设满足条件的学生有 4 位及 4 位以上,设其中 4 位同学分别为甲、乙、丙、丁,则 4 位同学中必有两个人语文成绩一样,且这两个数学 成绩不一样,那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好,故满足条件的学生不能超过 3 人.当有 3 位学生时,用 A,B,C 表示“优秀”“合 格”“不合格”,则满足题意的有 AC,CA,BB,所以最多有 3 人. 答案:B 1 4.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2),其余每个

n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 数是它下一行左右相邻两数的和,如 = + , = + , = + ,?,则第 7 行第 4 个数(从左往右数)为( 1 2 2 2 3 6 3 4 12

)

A. C.

1 140 1 60

B. D.

1 105 1 42

1 1 解析:由“第 n 行有 n 个数且两端的数均为 ”可知,第 7 行第 1 个数为 ,由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第 7 行 n 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第 2 个数为 - = ,同理易知,第 7 行第 3 个数为 - = ,第 7 行第 4 个数为 - = . 6 7 42 30 42 105 60 105 140 答案:A 5.(2015?高考山东卷)观察下列各式: C1=4 ; C3+C3=4 ; C5+C5+C5=4 ; C7+C7+C7+C7=4 ; ?; 照此规律,当 n∈N+时, C2n-1+C2n-1+C2n-1+?+C2n-1=________. 解析:用归纳法求解. 观察每行等式的特点, 每行等式的右端都是幂的形式, 底数均为 4, 指数与等式左端最后一个组合数的上标相等, 故有 C2n-1+C2n-1+C2n-1+?
70
0 1 2 0 1 2 0 1 2 3 3 0 1 2 2 0 1 1 0 0

n-1

+C2n-1=4

n-1

n-1

.
n-1

答案:4

→ → 6.已知 M 是△ABC 内的一点(不含边界),且AB?AC=2 3,∠BAC=30°,若△MBC,△BMA 和△MAC 的面积分别为 x,y,z,记 f(x,y,z) 1 4 9 = + + ,则 f(x,y,z)的最小值是________.

x y z

→ → → → → → → 1 → 解析:由题意得AB?AC=|AB|?|AC|cos ∠BAC=2 3,则|AB|?|AC|=4,∴S△ABC= |AB|?|AC|?sin ∠BAC=1,x+y+z=1,∴f(x,y, 2

z) =

1

x



4

y



9

z



x+y+z 4?x+y+z? 9?x+y+z? ?y 4x? ?9x z? ?4z 9y? + + = 14 + ? + ? + ? + ? + ? + ? ≥14 + 4 + 6 + 12 = x y z ?x y ? ? z x? ?y z?

1 1 1 ? ? 36?当且仅当x= ,y= ,z= 时等号成立?. 6 3 2 ? ? 答案:36 7. (2014?高考北京卷)对于数对序列 P: (a1, b1), (a2, b2), ?, (an, bn), 记 T1(P)=a1+b1, Tk(P)=bk+max{Tk-1(P), a1+a2+?+ak}(2≤k≤n), 其中 max{Tk-1(P),a1+a2+?+ak}表示 Tk-1(P)和 a1+a2+?+ak 两个数中最大的数. (1)对于数对序列 P:(2,5),(4,1),求 T1(P),T2(P)的值; (2)记 m 为 a,b,c,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列 P:(a,b),(c,d)和 P′:(c,d),(a,b), 试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2(P)和 T2(P′)的大小; (3)在由五个数对(11,8), (5,2), (16,11), (11,11), (4,6)组成的所有数对序列中, 写出一个数对序列 P 使 T5(P)最小, 并写出 T5(P)的值. (只 需写出结论) 解:(1)T1(P)=2+5=7,

T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.
(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},

T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}.
当 m=a 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b. 因为 a+b+d≤c+b+d,且 a+c+d≤c+b+d,所以 T2(P)≤T2(P′). 当 m=d 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b. 因为 a+b+d≤c+a+b,且 a+c+d≤c+a+b,所以 T2(P)≤T2(P′). 所以无论 m=a 还是 m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立. (3)数对序列 P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的 T5(P)值最小.

T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.

第 6 课时 直接证明与间接证明

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.
71

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法:了解反证法的思考过程、特点.

1.综合法 (1)定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理证明,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合 法. (2)框图表示: P? Q1 → Q1? Q2 → Q2? Q3 →?→ Qn? Q (其中 P 表示条件,Q 表示要证结论). 2.分析法 (1)定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫作分析法. (2)框图表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→得到一个明显 成立的条件. 3.反证法 反证法 在证明数学命题时, 先假定命题结论的反面成立, 在这个前 提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题 定义 中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾, 从而说明命题结论 的反面不可能成立, 由此断定命题的结论成立.这种证明方 法叫作反证法.

(1)作出否定结论的假设; 证明步骤 (2)进行推理,导出矛盾; (3)否定假设,肯定结论. [基础自测] 1.(教材改编题)p= ab+ cd,q= ma+nc? A.p≥q C.p>q 解析:q =ab+cd+ ∴q≥p.
72
2

b d + (m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的大小为( m n
B.p≤q D.不确定

)

mad nbc 2 + ≥ab+cd+2 abcd=p n m

答案:B 2.已知 a>b>0,证明 a- b< a-b可选择的方法,以下最合理的是( A.综合法 C.类比法 B.分析法 D.归纳法 )

解析:首先,排除 C、D.然后,比较综合法、分析法. 我们选择分析法,欲证: a- b< a-b,只需证: a< b+ a-b,即证:a<b+(a-b)+2 b?a-b?,只需证:0<2 b?a-b?. 答案:B 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是( A.三个内角中至少有一个钝角 B.三个内角中至少有两个钝角 C.三个内角都不是钝角 D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 解析:“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少有两个”. 答案:B 4.将“函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1 在区间[-1,1]上至少存在一个实数 c,使 f(c)>0”反设,所得命题为_________. 解析:“至少存在”的反面为“不存在”.“不存在 c,使 f(c)>0”即“f(x)≤0 恒成立”. 答案:函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1 在区间[-1,1]上恒有 f(x)≤0 5.已知 log2a+log2b≥1,则 3 +9 的最小值为________. 解析:由 log2a+log2b≥1 得 log2(ab)≥1,得 ab≥2, ∴3 +9 =3 +3 ≥2?3
a b a
2b 2 2 2 2

)

a

b

a+2b
2

(当且仅当 3 =3 ,即 a=2b 时“=”号成立).

a

2b

又∵a+2b≥2 2ab≥4(当且仅当 a=2b 时“=”成立), ∴3 +9 ≥2?3 =18.即当 a=2b 时,3 +9 有最小值 18.
a b
2

a

b

答案:18

考点一 综合法 1 2 2 2 [例 1] 已知 x+y+z=1,求证:x +y +z ≥ . 3 审题视点 由基本不等式 x +y ≥2xy,得到关于 x、y、z 的三个不等式,将三式相加整理变形,然后利用 x+y+z=1 得(x+y+z) =1 从 而可证. 证明 ∵x +y ≥2xy,x +z ≥2xz,y +z ≥2yz,
73
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴2x +2y +2z ≥2xy+2xz+2yz, ∴3x +3y +3z ≥x +y +z +2xy+2xz+2yz, 即 3(x +y +z )≥(x+y+z) , ∵x+y+z=1,∴(x+y+z) =1, 1 2 2 2 2 2 2 ∴3(x +y +z )≥1,即 x +y +z ≥ . 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件与已知的基本不等式,经过推理论证推导出正确结论,是顺推 法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这就需保证前提正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确.

1.(2015?高考湖南卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1,a2=2,且 an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N+. (1)证明:an+2=3an; (2)求 Sn. 解:(1)证明:由已知条件,对任意 n∈N+,有

an+2=3Sn-Sn+1+3,



因而对任意 n∈N+,n≥2 时,有

an+1=3Sn-1-Sn+3. ②
①-②,得 an+2-an+1=3an-an+1,即 an+2=3an,n≥2. 又 a1=1,a2=2,所以

a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.
故对一切 n∈N+,an+2=3an. (2)由(1)知,an≠0,所以

an+2 =3. an

于是数列{a2n-1}是首项 a1=1,公比为 3 的等比数列;数列{a2n}是首项 a2=2,公比为 3 的等比数列. 因此 a2n-1=3
n-1

,a2n=2?3

n-1

.

于是 S2n=a1+a2+?+a2n =(a1+a3+?+a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) =(1+3+?+3
n-1

)+2(1+3+?+3 )

n-1

)

=3(1+3+?+3 3?3 -1? = , 2
n

n-1

74

3?3 -1? 3 n-1 n-2 从而 S2n-1=S2n-a2n= -2?3 = (5?3 -1). 2 2

n

2.设 f(x)=3ax +2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:a>0 且-2< <-1. 证明:∵f(0)>0,∴c>0, 又∵f(1)>0,即 3a+2b+c>0.① 而 a+b+c=0,即 b=-a-c,代入①式, 得 3a-2a-2c+c>0,即 a-c>0, ∴a>c,∴a>c>0. 又∵a+b=-c<0,∴a+b<0. ∴1+ <0,∴ <-1. 又 c=-a-b,代入①式,得 3a+2b-a-b>0, ∴2a+b>0,∴2+ >0, ∴ >-2.故-2< <-1. 考点二 分析法 [例 2] (2016?杭州模拟)已知 a>0, 求证:

2

b a

b a

b a

b a

b a

b a

a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

1

1

审题视点 所给条件简单,所给结论复杂,采用分析法. 证明 要证 只需证

a2+ 2- 2≥a+ -2, a a a2+ 2+2≥a+ + 2. a a
1 1

1

1

∵a>0,故只需证? 1 2 即 a + 2+4 1

? ?

? ?2 2 a2+ 2+2? ≥?a+a+ 2? , a ? ? ?
1 1 1

?

a

a2+ 2+4≥a2+2+ 2+2 2?a+ ?+2,从而只要证 2 a a ? a?

?

1?

a2+ 2≥ 2?a+ ?, a ? a?

1

?

1?

1? ? 2 1? ? 2 只要证 4?a + 2?≥2?a +2+ 2?, a a

?

?

?

?

1 2 即 a + 2≥2,而上述不等式显然成立,

a

75

故原不等式成立.

分析法是一种从未知到已知(从结论到题设的逻辑推理方法).具体说,即先假设所要证明命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论 成立的必要的判断,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时,命题得证.

1.△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 求证: 1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c

证明:要证 只需证

a+b+c a+b+c c a + =3 也就是 + =1, a+b b+c a+b b+c

只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 即证 c +a =ac+b , 又△ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60°, 由余弦定理,得
2 2 2

b2=c2+a2-2accos 60°,即 b2=c2+a2-ac,
故 c +a =ac+b 成立. 于是原等式成立. 1+3 1 0.2+1 0.2 10+0.1 10 0.5+0.6 0.5 2.给出下列四个不等式: > , > , > , > ,总结一个恒成立的不等关系,并证明. 2+3 2 0.3+1 0.3 11+0.1 11 0.6+0.6 0.6 解:由题意可得不等关系:已知 a,b,m 都是正数且 a<b,则有 证明:要证明
2 2 2

a+m a > . b+m b

a+m a > , b+m b

由于 a,b,m 都是正数, 只需证 a(b+m)<b(a+m), 只需证 am<bm, 因为 m>0,所以只需证 a<b. 又已知 a<b,所以原不等式成立. 考点三 反证法 [例 3] 已知函数 f(x)=a +
x

x-2 (a>1). x+1
76

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 审题视点 (1)用增函数定义证明;(2)假设有负数根,根据指数函数性质证出矛盾. 证明 (1)任取 x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设 x1<x2, 则 x2-x1>0. ∵a>1, ∴ax2-x1>1 且 ax1>0, ∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0. 又∵x1+1>0,x2+1>0, ∴

x2-2 x1-2 - x2+1 x1+1

?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? = ?x1+1??x2+1? = 3?x2-x1? >0, ?x1+1??x2+1?

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x2-2 x1-2 - >0, x2+1 x1+1

故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 ax0=- ∵a>1,∴0<ax0<1, ∴0<-

x0-2 . x0+1

x0-2 <1, x0+1

1 即 <x0<2, 2 与假设 x0<0 相矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根.

当一个命题的结论是以“至多”,“至少”、“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾, 矛盾可以是:①与已知条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾等方面,反证法常常是解决某些“疑难”问题的 有力工具,是数学证明中的一件有力武器.

1.(2016?大同模拟)用反证法证明命题“若 a,b∈N,ab 能被 3 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 3 整除”时,假设应为(

)
77

A.a、b 都能被 3 整除 C.b 不能被 3 整除

B.a、b 都不能被 3 整除 D.a 不能被 3 整除

解析:由反证法的定义可知,否定结论,即“a,b 中至少有一个能被 3 整除”的否定是“a,b 都不能被 3 整除”,故选 B. 答案:B 2.已知 f(x)=x +ax+b. (1)求 f(1)+f(3)-2f(2); 1 (2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 解:(1)∵f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,
2

f(3)=3a+b+9,∴f(1)+f(3)-2f(2)=2.
1 (2)证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 . 2 1 1 1 1 1 1 则- <f(1)< ,- <f(2)< ,- <f(3)< , 2 2 2 2 2 2 ∴-1<-2f(2)<1,-1<f(1)+f(3)<1. ∴-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2, ∴这与 f(1)+f(3)-2f(2)=2 矛盾. ∴假设错误,即所证结论成立.

分析法与综合法的综合应用 1 1 1 [典例] (1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+ ≤ + +xy;

xy x y

(2)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 解题指南 (1)利用作差法可证明不等式成立;(2)利用不等式的基本性质、对数函数的性质和对数换底公式的知识解决问题. 【证明】 (1)要证 x+y+ 1

xy x y

1 1 ≤ + +xy

即证 xy(x+y)+1≤y+x+(xy) 2 分

2

又[y+x+(xy) ]-[xy(x+y)+1]

2

78

=[(xy) -1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1)

2

=(xy-1)(x-1)(y-1)6 分

∵x≥1,y≥1,∴(xy-1)(x-1)(y-1)≥0. 从而所证不等式成立. 1 1 1 (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 logca= ,logba= ,logcb= ,logac=xy.

xy

x

y

于是,所要证明的不等式即为

x+y+ ≤ + +xy,10 分 xy x y
其中 x=logab≥1,y=logbc≥1.

1

1

1

故由(1)可知所要证明的不等式成立.12 分 【思维流程】

利用分析法,将原不等式变形.

利用作差法证明变形后的不等式.

分解因式.

定号,得证.

换底.

利用(1)证明(2). 阅卷点评 综合法和分析法各有其优缺点,分析法有利于思考综合法宜于表达,因此解题时常常把分析法和综合法结合起来运用,先以

分析法为主寻找解题思路,再用综合法表述解答或证明过程,有时两者交替使用才能成功. 失分警示 (1)不会用分析法寻找突破口,直接入手感觉无路,从而导致不会.

(2)在作差变形时,变形不彻底或不会因式分解导致失败,第(2)问中的证明联想(1)问的结论是解题的突破口. 备考建议 (1)熟悉综合法和分析法的基本证题思路,掌握两种证明方法的表达形式,明确综合法和分析法是思路相反的两种证明方法,

同时两种证明方法之间又有着密切的联系,即在应用综合法证明问题过程的分析思路上,很多情况融合了分析法思想.
79

(2)在选择证明方法时, 一定要有“综合性选取”的意识, 明确数学证明方法不是孤立的, 应当善于将两种不同的证明方法综合在一起运用.

◆一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再 运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用. ◆两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的. (2)用分析法证明数学问题时, 要注意书写格式的规范性, 常常用“要证(欲证)?”“即要证?”“就要证?”等分析到一个明显成立的结 论 P,再说明所要证明的数学问题成立.

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2014?高考山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 解析:依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出命题的否定.方程 x +ax+b=0 至少有一个实根的反面是方程 x +ax+b=0 没有实根,故应选 A. 答案:A 2.(2016?襄阳模拟)若 a>0,b>0,那么必有( A.a +b ≥a b+ab C.a +b ≤a b+ab
3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3

)

)
2

B.a +b >a b+ab D.a +b <a b+ab
2 2 2 3 3 2

2

2

解析:∵a +b -a b-ab =a (a-b)+b (b-a)=(a-b)(a -b )=(a-b) (a+b), 又∵a>0,b>0, ∴a+b>0,而(a-b) ≥0,∴(a-b) (a+b)≥0, 即 a +b -a b-ab ≥0,即 a +b ≥a b+ab . 答案:A 3.(2015?高考天津卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2
|x-m| 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2

2

2

2

-1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,

c 的大小关系为(
A.a<b<c

) B.a<c<b
80

C.c<a<b 解析:由 f(x)=2
|x| |x-m|

D.c<b<a -1 是偶函数可知 m=0,

所以 f(x)=2 -1. 所以 a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2,

b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4, c=f(0)=2|0|-1=0,所以 c<a<b.
答案:C 4.设 a≥0,b≥0,a + =1,则 a 1+b 的最大值为________. 2 解析:∵a≥b,b≥0,∴a 1+b = 3 2 答案: 4 1 2 5.设 a,b,c 为一个三角形的三边,S= (a+b+c),且 S =2ab,则 S________2a. 2 解析:假设 S<2a,下面给出证明:由于 S =2ab,要证 S<2a 只需证 S< ,即 b<S. 1 因为 S= (a+b+c), 2 所以只需证 2b<a+b+c,即 b<a+c, 显然成立,故 S<2a. 答案:< 6. 设 x, y, z 是空间的不同直线或不同平面, 且直线不在平面内, 下列条件中能保证“若 x⊥z, 且 y⊥z, 则 x∥y”为真命题的是________(填 写所有正确条件的代号). ①x 为直线,y,z 为平面;②x,y,z 为平面; ③x,y 为直线,z 为平面;④x,y 为平面,z 为直线; ⑤x,y,z 为直线. 解析:①中 x 为直线,y,z 为平面,则 x⊥z,y⊥z,而 x? y,∴必有 x∥y 成立,故①正确. ②中若 x,y,z 均为平面,由墙角三面互相垂直可知 x∥y 是错的. ③x、y 为直线,z 为平面,则 x⊥z,y⊥z 可知 x∥y 正确. ④x、y 为平面,z 为直线,z⊥x,z⊥y,则 x∥y 成立. ⑤x、y、z 均为直线,x⊥z 且 y⊥z,则 x 与 y 还可能异面、垂直,故不成立. 答案:①③④ 7.设 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ac≤ ; 3
81
2 2 2

b2

2

2 2 2a +1+b 2 3 3 2 2 2 ? 2a ? 1+b ≤ ? = ? = . 2 2 2 2 2 4

2

2

S2 b

(2) + + ≥1. 证明:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c) =1, 即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2 b2 c2 b c a

a2 b

b2 c

c2 a

a2 b2 c2 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), b c a a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a
所以 + + ≥1. 8.已知函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,设当 x0≥1,f(x0)≥1 时,有 f[f(x0)]=x0,求证:f(x0)=x0. 证明:假设 f(x0)≠x0,则必有 f(x0)>x0 或 f(x0)<x0.若 f(x0)>x0≥1,由 f(x)在[1,+∞)上是增函数,得 f[f(x0)]>f(x0),又 f[f(x0)] =x0,所以 x0>f(x0),与假设矛盾; 若 x0>f(x0)≥1,则 f(x0)>f[f(x0)],又 f[f(x0)]=x0,所以 f(x0)>x0,也与假设矛盾. 综上所述,当 x0≥1,f(x0)≥1 且 f[f(x0)]=x0 时,有 f(x0)=x0. [B 级 能力突破] → → 1.△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是( A.|b|=1 C.a?b=1 B.a⊥b → D.(4a+b)⊥BC )

a2 b2 c2 b c a

→ → → → 解析: 在△ABC 中, 由BC=AC-AB=2a+b-2a=b, 得|b|=2.又|a|=1, 所以 a?b=|a||b|cos 120°=-1, 所以(4a+b)?BC=(4a+b)?b → 2 =4a?b+|b| =4?(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥BC,故选 D. 答案:D 2.(2016?衡水中学模拟)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一个人说了真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小 偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是( A.甲 C.丙 B.乙 D.丁 )

解析:假如甲说了真话,则乙、丙、丁都说了假话,那么丙不是小偷,丁不是小偷,丁偷了珠宝,显然矛盾,故甲说了假话,即甲是小偷,

82

故选 A. 答案:A 3.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 解析:易知△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,故△A1B1C1 为锐角三角形, 设△A2B2C2 也为锐角三角形, )

?sin A =cos A =sin?? 2 -A ??, ? ?π -B ?, ? 由?sin B =cos B =sin? ?2 ? ?π ? ? sin C =cos C =sin? -C ?, ?2 ? ?
2 1 1 2 1 1 2 1 1



?

? ? π π 得?∠B = -∠B ,那么∠A +∠B +∠C = , 2 2 π ? ?∠C = 2 -∠C ,
π ∠A2= -∠A1, 2
2 1 2 2 2 2 1

这与三角形内角和为 180°矛盾,所以假设不成立,所以△A3B2C2 是钝角三角形. 答案:D 4.如果 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是________. 解析:∵a a+b b>a b+b a?( a- b) ( a+ b)>0?a≥0,b≥0 且 a≠b. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则
2

T16 T4,________,________, 成等比数列. T12
解析:对于等比数列,通过类比,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4=a1a2a3a4,T8=a1a2?a8,T12=a1a2?a12,T16=a1a2?a16,因此 =

T8 T4

T12 T16 T8 T12 T16 T8 T12 T16 a5a6a7a8, =a9a10a11?a12, =a13a14a15a16,而 T4, , , 的公比为 q16,因此 T4, , , 成等比数列. T8 T12 T4 T8 T12 T4 T8 T12
答案:

T8 T12 T4 T8

6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度 v1 和在静水中的速度 v2 的大小关系为________.
83

解析: 设甲地到乙地的距离为 s, 船在静水中的速度为 v2, 水流速度为 v(v2>v>0), 则船在流水中在甲、 乙间来回行驶一次的时间 t= + 2v2s 2s v2-v = . 2,平均速度 v1= v2-v v2 t v2 2-v =
2 v2 v2 2-v ∵v1-v2= -v2=- <0, v2 v2

s v2+v

s

2

2

∴v1<v2. 答案:v1<v2 ?x-1? 7.(2015?高考福建卷)已知函数 f(x)=ln x- . 2 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)证明:当 x>1 时,f(x)<x-1; (3)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k(x-1). 1 -x +x+1 解:(1)f′(x)= -x+1= ,x∈(0,+∞).
2 2

x

x

?x>0, ? 由 f′(x)>0,得? 2 ? ?-x +x+1>0,

1+ 5 解得 0<x< . 2

? 1+ 5? 故 f(x)的单调递增区间是?0, ?. 2 ? ?
(2)证明:令 F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞), 1-x 则有 F′(x)= .
2

x

当 x∈(1,+∞)时,F′(x)<0, 所以 F(x)在[1,+∞)上单调递减, 故当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,即当 x>1 时,f(x)<x-1. (3)由(2)知,当 k=1 时,不存在 x0>1 满足题意. 当 k>1 时,对于 x>1,有 f(x)<x-1<k(x-1),则 f(x)<k(x-1),从而不存在 x0>1 满足题意. 当 k<1 时,令 G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞), 1 -x +?1-k?x+1 则有 G′(x)= -x+1-k=
2

x

x

由 G′(x)=0,得-x +(1-k)x+1=0, 1-k- ?1-k? +4 解得 x1= <0, 2
2

2

x2=

1-k+ ?1-k? +4 >1. 2

2

当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在[1,x2)内单调递增.从而当 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,

84

即 f(x)>k(x-1),综上,k 的取值范围是(-∞,1).

第 7 课时

数学归纳法

了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤 1.(归纳奠基)证明当 n 取第一个自然数 n0 时命题成立; 2.(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. [基础自测] 1.数列{an}中,已知 a1=1,当 n≥2 时,an=an-1+2n-1,依次计算 a2,a3,a4 后,猜想 an 的表达式是( A.3n-2 解析:∵?
? ?a1=1 ?an=an-1+2n-1 ?

)

B.n

2

C.3

n-1

D.4n-3

∴当 n=2 时,a2=4. 当 n=3 时,a3=9,当 n=4 时,a4=16. 据此可猜想 an=n . 答案:B 2.(教材习题改编)用数学归纳法证明 1+2+2 +?+2
2 2

n+1

=2

n+2

-1(n∈N+)的过程中,在验证 n=1 时,左端计算所得的项为 ( )

A.1 C.1+2+2
2

B.1+2 D.1+2+2 +2
n+1
2 2 3

解析:观察 2 答案:C

,当 n=1 时为 2 ,所以在验证 n=1 时,左端计算所得项为 1+2+2 .

2

1 1 1 3.用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N,n>1)时,在第二步假设 n=k 时命题成立的前提下,证明 n=k+1 时命题成立时,左 2 3 2 -1 边增加的项数是( A.2
k

) B.2 -1
85
k

C.3

k -1

D.2 +1
k+1

k

解析:项数为 2 答案:A

-2 =2 (项).

k

k

4.已知 An=2+4+6+?+2n,Bn=1+2+4+?+2 解析:当 n=1,2,3,4,5,6 时,

n-1

(n∈N+),试猜想(不要求证明)An 与 Bn 的大小关系是________.

A1=2,A2=6,A3=12,A4=20,A5=30,A6=42, B1=1,B2=3,B3=7,B4=15,B5=31,B6=63,
∴1≤n≤4 时,An>Bn,当 n≥5 时,An<Bn. 答案:1≤n≤4 时,An>Bn,当 n≥5 时,An<Bn 5.用数学归纳法证明“当 n 为正偶数时,x -y 能被 x+y 整除”的过程中,第一步应验证 n=________时,命题成立;第二步归纳假设成 立应写成________. 解析:因为 n 为正偶数,故第一步应验证 n=2 时命题成立,第二步假设 n 取第 k 个正偶数成立,即 n=2k,故应假设成 x -y 能被 x+y 整除. 答案:2
2k 2k

n

n

x2k-y2k 能被 x+y 整除

考点一 证明等式 [例 1] 用数学归纳法证明: tan nα tan α ?tan 2α +tan 2α ?tan 3α +?+tan(n-1)α ?tan nα = -n(n∈N+,n≥2). tan α 审题视点 注意第一步验证的值,在第二步推理证明时要注意把假设作为已知. tan 2α 2 2tan α 证明 (1)当 n=2 时,右边= -2= -2= =tan α ?tan 2α =左边,等式成立. 2 2 tan α 1-tan α 1-tan α (2)假设当 n=k(k∈N+且 k≥2)时,等式成立,即 tan kα tan α ?tan 2α +tan 2α ?tan 3α +?+tan(k-1)α ?tan kα = -k,那么当 n=k+1 时, tan α tan α ?tan 2α +tan 2α ?tan 3α +?+tan(k-1)α ?tan kα +tan kα ?tan(k+1)α tan kα = -k+tan kα ?tan(k+1)α tan α tan kα = +1+tan kα ?tan(k+1)α -(k+1) tan α tan kα tan?k+1?α -tan kα = + -(k+1) tan α tan[?k+1?α -kα ]
2

86

tan?k+1?α = -(k+1). tan α 这就是说,当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)知,对任何 n∈N+且 n≥2,原等式成立.

用数学归纳法证明恒等式应注意: (1)明确初始值 n0 的取值并验证 n=n0 时命题成立. (2)由 n=k 证明 n=k+1 时,弄清左边增加的项,且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法.

1 1 1 1 1 1 1 1 已知 n∈N+,证明 1- + - +?+ - = + +?+ . 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 1 右边= ,等式成立; 2 (2)假设当 n=k(k∈N+)时等式成立,即有: 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - 2 3 4 2k-1 2k = 1 1 1 + +?+ , k+1 k+2 2k

那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 左边=1- + - +?+ - + - 2 3 4 2k-1 2k 2?k+1?-1 2?k+1? =? = = 1 ? 1 + 1 +?+ 1 ?+ 1 - ? 2k? 2k+1 2?k+1? ?k+1 k+2 1 1 1 1 1 ? 1 - ? + +?+ + +? k + 1 2 ? k +1?? k+2 k+3 2k 2k+1 ? ? 1 1 1 1 + +?+ + =右边, ?k+1?+1 ?k+1?+2 ?k+1?+k ?k+1?+?k+1?

所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合(1)、(2)知对一切 n∈N+,等式都成立. 考点二 用数学归纳法证明不等式

87

[例 2] 已知函数 f(x)=x ,g(x)=x+ x. (1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由; (2)设数列{an}(n∈N+)满足 a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数 M,使得对于任意的 n∈N+,都有 an≤M. 审题视点 (1)由函数零点的判定方法进行判断即可;对于零点的个数,可根据函数的单调性判断;(2)根据“观察——归纳——猜想—— 数学归纳法证明”的思路解题. 解 (1)由 h(x)=x -x- x知,x∈[0,+∞),而 h(0)=0,且 h(1)=-1<0,h(2)=6- 2>0,则 x=0 为 h(x)的一个零点,且 h(x)
3

3

在(1,2)内有零点,因此 h(x)至少有两个零点. 1 1 2 法一:h′(x)=3x -1- x- , 2 2 1 1 2 记 φ (x)=3x -1- x- , 2 2 1 3 则 φ ′(x)=6x+ x- . 4 2 当 x∈(0, +∞)时, φ ′(x)>0, 因此 φ (x)在(0, +∞)上单调递增, 则 φ (x)在(0, +∞)内至多只有一个零点. 又因为 φ (1)>0, φ? <0,则 φ (x)在?

? 3? ? ?3?

? 3 ? ,1?内有零点,所以 φ (x)在(0,+∞)内有且只有一个零点.记此零点为 x1,则当 x∈(0,x1)时,φ (x)<φ (x1)=0;当 ?3 ?

x∈(x1,+∞)时,φ (x)>φ (x1)=0;
所以,当 x∈(0,x1)时,h(x)单调递减,而 h(0)=0,则 h(x)在(0,x1]内无零点; 当 x∈(x1,+∞)时,h(x)单调递增,则 h(x)在(x1,+∞)内至多只有一个零点; 从而 h(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.综上所述,h(x)有且只有两个零点. 1 2 法二:h(x)=x(x -1-x- ), 2 1 1 3 2 记 φ (x)=x -1-x- ,则 φ ′(x)=2x+ x- . 2 2 2 当 x∈(0,+∞)时,φ ′(x)>0,因此 φ (x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ (x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.因此 h(x)在(0,+∞) 内也至多只有一个零点, 综上所述,h(x)有且只有两个零点. (2)证明:记 h(x)的正零点为 x0,即 x0=x0+ x0. ①当 a<x0 时,由 a1=a,即 a1<x0. 而 a2=a1+ a1<x0+ x0=x0, 因此 a2<x0,由此猜测:an<x0. 下面用数学归纳法证明: (i)当 n=1 时,a1<x0 显然成立; (ii)假设当 n=k(k∈N+)时,有 ak<x0 成立,则当 n=k+1 时,由 ak+1=ak+ ak<x0+ x0=x0知,ak+1<x0,因此,当 n=k+1 时,ak+1<
3 3 3 3 3

88

x0 成立.
故对任意的 n∈N+,an<x0 成立. ②当 a≥x0 时,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上单调递增. 则 h(a)≥h(x0)=0,即 a ≥a+ a.从而 a2=a1+ a1=a+ a≤a ,即 a2≤a,由此猜测:an≤a.下面用数学归纳法证明: (i)当 n=1 时,a1≤a 显然成立; (ii)假设当 n=k(k∈N+)时,有 ak≤a 成立,则当 n=k+1 时,由 ak+1=ak+ ak≤a+ a≤a ,知 ak+1≤a,因此,当 n=k+1 时,ak+1≤a 成立. 故对任意的 n∈N+,an≤a 成立. 综上所述,存在常数 M=max{x0,a},使得对于任意的 n∈N+,都有 an≤M.
3 3 3 3 3

在由 n=k 到 n=k+1 的推证过程中,应用放缩技巧,使问题得以简化,用数学归纳法证明不等式问题时,从 n=k 到 n=k+1 的推证过程 中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.

1 1 1 127 1.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N+)成立,其初始值至少应取( 2 4 2 64 A.7 C.9 1 1- n 2 1 1 1 1 解析:左边=1+ + +?+ n-1= =2- n-1 2 4 2 1 2 1- 2 代入验证可知 n 的最小值为 8. 答案:B B.8 D.10

)

1 ? 2n+1 ? 1?? 1? ? 2.用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式?1+ ??1+ ???1+ ?> 2 均成立. ? 3?? 5? ? 2n-1? 1 4 5 证明:(1)当 n=2 时,左边=1+ = ;右边= . 3 3 2 ∵左边>右边,∴不等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N )时不等式成立, 1 ? 2k+1 ? 1?? 1? ? 即?1+ ??1+ ????1+ ?> 2 . ? 3?? 5? ? 2k-1? 则当 n=k+1 时,
*

89

1 ?1+1??1+1????1+ 1 ??1+ ? ? 3?? 5? ? 2k-1?? 2?k+1?-1? ? ?? ? ? ?? ? > 2k+1 2k+2 2k+2 4k +8k+4 ? = = 2 2k+1 2 2k+1 2 2k+1 4k +8k+3 2k+3 2k+1 2?k+1?+1 = = . 2 2 2k+1 2 2k+1
2 2

>

∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 考点三 归纳、猜想、证明 [例 3] 已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1. (1)写出 a1,a2,a3,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论. 审题视点 (1)利用 Sn=a1+a2+?+an,且 Sn+an=2n+1,代入 n=1,2,3 得 a1,a2,a3,从而猜想 an. (2)应用数学归纳法证明时,要利用 n=k 的假设去推证 n=k+1 时成立. 解 (1)将 n=1,2,3 分别代入可得 3 2 7 4 15 8 1 2

a1= ,a2= ,a3= ,猜想 an=2- n.
(2)证明:①由(1)得 n=1 时,命题成立; 1 ②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2- k, 2 那么当 n=k+1 时,a1+a2+?+ak+ak+1+ak+1 =2(k+1)+1,且 a1+a2+?+ak=2k+1-ak, ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 1 1 ∴2ak+1=2+2- k,ak+1=2- k+1, 2 2 即当 n=k+1 时,命题也成立. 1 根据①、②得,对一切 n∈N+,an=2- n都成立. 2

“归纳——猜想——证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着 重要作用,它的模式是先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理证明结论的正确性.这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.

90

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1. (2016?襄阳模拟)由下列不等式: 1> , 1+ + >1,1+ + +?+ > , 1+ + +?+ >2, ?, 你能得到一个怎样的一般不等式? 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 并加以证明. 证明:根据给出的几个不等式可以猜想第 n 个不等式,即一般不等式为: 1 1 1 n 1+ + +?+ n > (n∈N+). 2 3 2 -1 2 用数学归纳法证明如下: 1 (1)当 n=1 时,1> ,猜想成立; 2 1 1 1 k (2)假设当 n=k 时,猜想成立,即 1+ + +?+ k > . 2 3 2 -1 2 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 k 1 1 1 k 2 k+1 1+ + +?+ k + k+ k +?+ k+1 > + k+ k +?+ k+1 > + k+1= ,即当 n=k+1 时,猜想也正确,所以对任意的 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 2 2 2 +1 2 -1 2 2 2
k

n∈N+,不等式都成立.
2.设 f(n)=n
n+1

,g(n)=(n+1) ,n∈N+.

n

(1)当 n=1,2,3,4 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小; (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明. 解:(1)∵f(1)=1 =1,g(1)=2 =2, ∴f(1)<g(1). ∵f(2)=2 =8,g(2)=3 =9, ∴f(2)<g(2). ∵f(3)=3 =81,g(3)=4 =64, ∴f(3)>g(3). ∵f(4)=4 =1 024,g(4)=5 =625, ∴f(4)>g(4). (2)猜想:当 n≥3,n∈N+时,有 n 证明:①当 n=3 时,猜想成立. ②假设当 n=k(k≥3,n∈N+)时猜想成立, 即k
k+1 n+1
5 4 4 3 3 2 2 1

>(n+1) .

n

>(k+1) ,也即 k>1. ?k+1?
2 2

k

kk+1

∵(k+1) =k +2k+1>k(k+2), ∴

k+1 k > , k+2 k+1

∴?

?k+1?k>? k ?k, ? ? ? ?k+2? ?k+1?
91

k+2 2 k+1 ?k+1? ?k+1?k??k+1? >? k ?k?k= k ∴ ? ? ? k+1=? k>1. ?k+2? k+2 ?k+1? ?k+2? ?k+1?

即当 n=k+1 时也成立.由①②知,当 n≥3,n∈N+时, 有n
n+1

>(n+1) .

n

数学归纳法解答题的规范解答 [典例] (2016?九江模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且满足 2Sn=an+n,an>0(n∈N+). (1)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明; (2)设 x>0,y>0,且 x+y=1,证明: anx+1+ any+1≤ 2?n+2?. 解题指南 (1)将 n=1,2,3 代入已知等式得 a1,a2,a3,从而可猜想 an,并用数学归纳法证明. (2)利用分析法,结合 x>0,y>0,x+y=1,利用基本不等式可证. 【解】 (1)分别令 n=1,2,3,得 2a1=a1+1, ? ? 2 ?2?a1+a2?=a2+2, ? ?2?a1+a2+a3?=a2 3+3,
2 2

∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.2 分

猜想:an=n.3 分 由 2Sn=an+n① 可知,当 n≥2 时,2Sn-1=an-1+(n-1)② ①-②,得 2an=an-an-1+1, 即 an=2an+an-1-1. (i)当 n=2 时,a2=2a2+1 -1,
2 2 2 2 2 2 2 2

∵a2>0,∴a2=2.5 分 (ii)假设当 n=k(k≥2)时,ak=k,那么当 n=k+1 时,ak+1=2ak+1+ak-1=2ak+1+k -1
2 2 2

92

? [ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0, ∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0, ∴ak+1=k+1.

即当 n=k+1 时也成立.8 分 ∴an=n(n≥2). 显然 n=1 时,也成立,故对于一切 n∈N+,

均有 an=n.9 分 (2)证明:要证 nx+1+ ny+1≤ 2?n+2?, 只要证 nx+1+2 ?nx+1??ny+1?+ny+1≤2(n+2). 即 n(x+y)+2+2 n xy+n?x+y?+1≤2(n+2),
2

11 分 将 x+y=1 代入, 得 2 n xy+n+1≤n+2, 即只要证 4(n xy+n+1)≤(n+2) ,即 4xy≤1. ∵x>0,y>0,且 x+y=1, ∴ xy≤
2 2 2

x+y 1
2

= , 2

1 即 xy≤ ,故 4xy≤1 成立,所以原不等式成立.13 分 4 【思维流程】

赋值,列方程组求 a1,a2,a3.

猜想出 an.

证明当 n=2 时,猜想正确.

归纳假设 n=k 时猜想正确,证明当 n=k+1 时,猜想正确.

:验证当 n=1 时,猜想正确.

93

:用分析法证明第(2)问.

:代入已知条件 x+y=1 化简不等式. 阅卷点评 步骤缺一不可. 失分警示 在解答本题时有两点容易造成失分: 熟知数学归纳法证题的两个步骤,并明确两个步骤的作用,其中第一个步骤是归纳的基础;第二个步骤是归纳的依据,两个

(1)在代入 n=1,2,3 时,不能准确求得 a1,a2,a3,从而猜想不出 an. (2)数学归纳法的解题步骤掌握不好,如忽视对初始值的验证、不能很好的应用归纳假设等. (3)证明不等式时,不会应用 x+y=1 这一条件代换,导致无法证明不等式成立. 备考建议 解决数学归纳法中“归纳—猜想——证明”问题及不等式证明时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:

(1)归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成困难. (2)证明 n=k 到 n=k+1 这一步时,忽略了假设条件去证明,造成不是纯正的数学归纳法. (3)不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧,只有这样,才能快速正确地解决问题.

◆数学归纳法的应用 (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,它们的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第 二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在 n=k+1 时一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一 凑假设,二凑结论”. (2)在用数学归纳法证明问题的过程中,要注意从 k 到 k+1 时命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误.

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.(2016?银川模拟)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”的第二步是( A.假使 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 正确(k∈N+) B.假使 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 正确(k∈N+) C.假使 n=k 时正确,再推 n=k+1 正确(k∈N+) D.假使 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(k∈N+) 解析:因为 n 为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第 k 个正奇数也成立,即假设 n=2k-1 时正确,再推第 k+1 个正 奇数,即 n=2k+1 时正确.
n n

)

94

答案:B 1 1 1 1 2.(2016?广州模拟)已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 解析:将 f(n)变形得 f(n)= + +?+ ,故项数为 n -n+1;当 n=2 时,f(2)= + + . 2 n n+1 n+?n -n? 2 3 4 答案:D ?n+3??n+4? 3.(2016?襄阳模拟)用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= (n∈N+)时,第一步验证 n=1 时,左边应取的项是 4 ( ) A.1 C.1+2+3 B.1+2 D.1+2+3+4 )

解析:当 n=1 时,左边是 1+2+3+4,是由 1 加到 n+3,故选 D. 答案:D 4. 用数学归纳法证明当 n∈N+时 1+2+2 +2 +?+2 解析:把 n=k,n=k+1 相比较即可得出. 答案:1+2+2 +2 +2
2 3 4 2 3 5n-1

是 31 的倍数时, 当 n=1 时原式为________, 从 k→k+1 时需增添的项是________.

2 +2

5k

5k+1

+2

5k+2

+2

5k+3

+2

5k+4

5.夏天吃西瓜,把西瓜横切一刀竖切一刀,吃完后就剩下 4 块皮,依次类推,如果西瓜被横切 n 刀竖切 n 刀(横切 n 刀切面互相平行,竖 切 n 刀切面互相平行),剩下的西瓜皮数记为 f(n),则 f(3)=________;f(n)=________.(答案用 n 表示) 解析:归纳猜想,寻找递推关系 显然 f(1)=4,f(2)=9+1,f(3)=16+4=20,

f(4)=25+9,?,f(n)=(n+1)2+(n-1)2=2(n2+1).
答案:20 2(n +1) 6.f(n+1)= 解析:f(2)= 2f?n? ,f(1)=1(n∈N+),猜想 f(n)的表达式为________. f?n?+2 2f?1? 2 = ; f?1?+2 3
2

95

2 2? 3 2 2f?2? f(3)= = = ; f?2?+2 2 4 +2 3 2 2? 4 2 2f?3? 2 f(4)= = = ;?;猜想 f(n)= . f?3?+2 2 5 n+1 +2 4 答案:f(n)= 2 n+1

an 1 7.(2016?东北三校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= + -1,且 an>0,n∈N+. 2 an
(1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性. 解:(1)当 n=1 时,

a1 1 2 由已知得 a1= + -1,a1+2a1-2=0. 2 a1
∴a1= 3-1 或 a1=- 3-1(舍去).

a2 1 当 n=2 时,由已知得 a1+a2= + -1, 2 a2
将 a1= 3-1 代入并整理得 a2+2 3a2-2=0. ∴a2= 5- 3或 a2=- 5- 3(舍去). 同理可得 a3= 7- 5. 由 a1,a2,a3,猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N+). (2)证明:①由(1)的计算过程知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N+)时,通项公式成立,即 ak= 2k+1- 2k-1. 那么由 ak+1=Sk+1-Sk=
2

ak+1
2



ak 1 - - , ak+1 2 ak
1
2

将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式并整理得 ak+1+2 2k+1ak+1-2=0, 解得:ak+1= 2k+3- 2k+1 或 ak+1=- 2k+3- 2k+1(舍去). 即当 n=k+1 时,通项公式也成立. 由①和②,可知对所有 n∈N+,an= 2n+1- 2n-1都成立. 8.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],且同时满足:①f(1)=3;②f(x)≥2 对一切 x∈[0,1]恒成立;③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则 f(x1 +x2)≥f(x1)+f(x2)-2. (1)求函数 f(x)的最大值和最小值;

96

?1? 1 (2)试比较 f? n?与 n+2(n∈N)的大小; ?2 ? 2
1 (3)某同学发现:当 x= n(n∈N),有 f(x)<2x+2,由此他提出猜想:对一切 x∈(0,1],都有 f(x)<2x+2,请你判断此猜想是否正确, 2 并说明理由. 解:(1)设 x1,x2∈[0,1],x1<x2, 则 x2-x1∈(0,1]. ∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)-2, ∴f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)-2≥0, ∴f(x1)≤f(x2),故当 0≤x≤1 时, ∴f(0)≤f(x)≤f(1), ∴当 x=1 时,f(x)取得最大值 f(1)=3; 又 f(0)=f(0+0)≥2f(0)-2? f(0)≤2 而 f(0)≥2, ∴f(0)=2, ∴当 x=0 时,f(x)取得最小值 f(0)=2. 1 ? 1 ? ?1? (2)令 x1=x2= n,得 f? n-1?≥2f? n?-2, 2 2 ? ? ?2 ? 1? ? 1 ? ? 1? ?1? ? ?1? ∴f? n?-2≤ ?f? n-1?-2?≤?≤ n?f? 0?-2? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? 1 = n, 2

?1? 1 ∴f? n?≤ n+2. ?2 ? 2
1 1 (3)对 x∈(0,1],总存在 n∈N,满足 n+1≤x≤ n, 2 2

?1? 1 由(1)(2)得:f(x)≤f? n?≤ n+2, ?2 ? 2
1 1 则有 2x+2>2? n+1+2= n+2, 2 2

?1? 1 又 f(x)≤f? n?≤ n+2, ?2 ? 2
1 ?1? ∴2x+2> n+2≥f? n?≥f(x), 2 ?2 ? ∴f(x)<2x+2, 综上所述,对任意 x∈(0,1],f(x)<2x+2 恒成立. [B 级 能力突破] 1.下列代数式(其中 k∈N+)能被 9 整除的是( )
97

A.6+6?7 C.2(2+7

k

B.2+7 )

k-1

k+1

D.3(2+7 )
k

k

解析:(1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7 )能被 9 整除. (2)假设当 k=n(n∈N+)时,命题成立,即 3(2+7 )能被 9 整除,那么 3(2+7 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)知,命题对 k∈N+成立. 答案:D 2.(2016?武汉模拟)用数学归纳法证明 3 A.56?3 B.3 ?3 C.3
4k+1 4 4k+1 4n+1

n

n+1

)=21(2+7 )-36.

n

+5

2n+1

(n∈N+)能被 8 整除时,当 n=k+1 时,对于 3

4(k+1)+1

+5

2(k+1)+1

可变形为(

)

+25(3
2

4k+1

+5

2k+1

)

4k+1

+5 ?5

2k

+5
4k+1

2k+1

D.25(3

+5

2k+1

)
4k+1

解析:∵当 n=k 时,3 那么当 n=k+1 时,3 A. 答案:A

+5

2k+1

能被 8 整除.
2 4k+1

4k+5

+5

2k+3

=5 (3

+5

2k+1

)-5 ?3

2

4k+1

+34k+5=(3 -5 )?3

4

2

4k+1

+5 (3

2

4k+1

+5

2k+1

)=56?3

4k+1

+25(3

4k+1

+5

2k+1

),故选

3.(2016?上海交大附中模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)=2 ?1?3???(2n-1),从 k 到 k+1,左边需要增乘的代数式 为( ) A.2k+1 2k+1 C. k+1 B.2(2k+1) D. 2k+3 k+1

n

解析:当 n=k 时,左边为(k+1)(k+2)?(k+k),而当 n=k+1 时,左边=(k+2)(k+3)?(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+ 3)?(k+k)(2k+1)(2k+2), ?2k+1??2k+2? ∴左边增乘的式子为 =2(2k+1). k+1 答案:B 1 1 1 4.(2016?山东济南模拟)用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N+,且 n>1),第一步要证的不等式是________. 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 1 解析:当 n=2 时,左边=1+ + 2 =1+ + ,右边=2,故填 1+ + <2. 2 2 -1 2 3 2 3 1 1 答案:1+ + <2 2 3 5.(2015?宜城模拟)利用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 + +?+ > (n>1,n∈N+)的过程中,用 n=k+ n+1 n+2 n+n 2

1 时左边的代数式减去 n=k 时左边的代数式的结果为________.

98

解析:当 n=k 时,左边的代数式为 左边的代数式为 1 + 1

1 1 1 + +?+ ,而当 n=k+1 时, k+1 k+2 k+k 1

k+1+1 k+1+2

+?+

k+1+k-1 k+1+k k+1+k+1 k+2 k+3



1



1



1



1

+?+

1

k+k 2k+1 2k+2



1



1

1 ,∴相减是 + 2k+1

1 1 1 1 - = - . 2k+2 k+1 2k+1 2k+2 答案: 1 1 - 2k+1 2k+2

1 1 1 n n k+1 k 6.已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),用数学归纳法证明 f(2 )> 时,f(2 )-f(2 )=________. 2 3 n 2 解析:∵f(2
k+1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 )=1+ + + +?+ + +?+ k+ k + k +?+ k+1, 2 3 4 k k+1 2 2 +1 2 +2 2 1 1 1 1

f(2k)=1+ + + +?+ + +?+ k, 2 3 4 k k+1 2
∴f(2
k+1

1 1

1 1 1 k )-f(2 )= k + k +?+ k+1. 2 +1 2 +2 2

答案:

1 1 1 + k +?+ k+1 2 +1 2 +2 2
k

n 1 1 1 1 7.用数学归纳法证明:1+ ≤1+ + +?+ n≤ +n(n∈N+). 2 2 3 2 2
1 1 证明:(1)当 n=1 时,左式=1+ 右式= +1, 2 2 3 1 3 ∴ ≤1+ ≤ ,即命题成立. 2 2 2

k 1 1 1 1 (2)假设当 n=k(k∈N+)时命题成立,即 1+ ≤1+ + +?+ k≤ +k, 2 2 3 2 2
则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 k k 1 k+1 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k , k>1+ +2 ? k+1=1+ 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k 又 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k k< +k+2 ? k= +(k+1), 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2 2 2 2 即 n=k+1 时,命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对所有 n∈N+都成立.

99


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