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椭圆基础试题


双基达标

(限时 20 分钟)

x2 y2 1.设 P 是椭圆25+16=1 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2| 等于( A.4 ). B.5 C.8 D.10

解析 由椭圆的标准方程得 a2=25,a=5.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10. 答案 D 2.已知 F1

,F2 是定点,|F1F2|=8,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的 轨迹是( A.椭圆 ). B.直线 C.圆 D.线段

解析 ∵|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|, ∴点 M 的轨迹是线段 F1F2,故选 D. 答案 D x2 y2 3. 如果方程a2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则实数 a 的取值范围是( a+6 A.a>3 C.a>3 或 a<-2 解析 由于椭圆焦点在 x 轴上,
2 ?a >a+6, ?(a+2)(a-3)>0, ∴? 即? ?a+6>0, ?a>-6.

).

B.a<-2 D.a>3 或-6<a<-2

?a>3 或-6<a<-2.故选 D. 答案 D 4. 已知椭圆的焦点在 y 轴上, 其上任意一点到两焦点的距离和为 8, 焦距为 2 15, 则此椭圆的标准方程为________. 解析 由已知 2a=8,2c=2 15,∴a=4,c= 15, y2 ∴b2=a2-c2=16-15=1,∴椭圆标准方程为16+x2=1. y2 答案 16+x2=1

x2 y2 5.已知椭圆20+ k =1 的焦距为 6,则 k 的值为________. 解析 由已知 2c=6,∴c=3,而 c2=9,∴20-k=9 或 k-20=9,∴k=11 或 k =29. 答案 11 或 29 6.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2); (2)焦距是 10,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 解 (1)由焦距是 4 可得 c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知 2a= 32+(2+2)2+ 32+(2-2)2=8, 所以 a=4,所以 b2=a2-c2=16-4=12. y2 x2 又焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为16+12=1. (2)由题意知 2c=10, 2a=26, 所以 c=5, a=13, 所以 b2=a2-c2=132-52=144, x2 y2 y2 x2 因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为169+144=1 或169+144 =1

综合提高
|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一支 解析 如图,依题意: |PF1|+|PF2|=2a(a>0 是常数). 又∵|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PQ|=2a,

(限时 25 分钟)
). B.椭圆 D.抛物线

7.已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一动点,如果延长 F1P 到 Q,使得

即|QF1|=2a.∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,2a 为半径的圆,故选 A. 答案 A x2 y2 8. 设 F1, F2 是椭圆 9 + 4 =1 的两个焦点, P 是椭圆上的点, 且|PF1|∶|PF2|=2∶1, 则△F1PF2 的面积等于( ).

A.5

B.4

C.3

D.1

解析 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5, ∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2,由 22+42=(2 5)2 可知△F1PF2 是直角三角形,故△F1PF2 1 1 的面积为2|PF1|·|PF2|=2×2×4=4,故选 B. 答案 B π 9.若 α∈(0, 2 ),方程 x2sin α +y2cos α =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范围是________. x2 y2 解析 方程 x sin α+y cos α=1 可化为 1 + 1 =1. sin α cos α
2 2

∵椭圆的焦点在 y 轴上,∴

1 1 >sin α>0. cos α

π π π 又∵α∈(0, 2 ),∴sin α>cos α>0,∴ 4 <α< 2 . π π 答案 ( 4 , 2 ) x2 y2 10.椭圆12+ 3 =1 的两个焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的________倍. 解析 依题意,不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为 F1(-3,0),F2(3,0),设 P x1-3 点的坐标为(x1,y1),由线段 PF1 的中点的横坐标为 0,知 2 =0,∴x1=3.把 x2 y2 3 3 x1=3 代入椭圆方程12+ 3 =1,得 y1=± 2 ,即 P 点的坐标为(3,± 2 ),∴|PF2| 3 =|y1|= 2 . 由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=4 3, 3 7 3 ∴|PF1|=4 3-|PF2|=4 3- 2 = 2 , 即|PF1|=7|PF2|. 答案 7

11.已知椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,且过点 A(-4,3).若 F1A ⊥F2A,求椭圆的标准方程. x2 y2 解 设所求椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 设焦点 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). → → ∵F1A⊥F2A,∴F 1A·F2A=0, → → 而F 1A=(-4+c,3),F2A=(-4-c,3), ∴(-4+c)· (-4-c)+32=0, ∴c2=25,即 c=5.∴F1(-5,0),F2(5,0). ∴2a=|AF1|+|AF2| = (-4+5)2+32+ (-4-5)2+32 = 10+ 90=4 10.∴a=2 10, ∴b2=a2-c2=(2 10)2-52=15. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为40+15=1. 12.(创新拓展)如图,在圆 C:(x+1)2+y2=25 内有一点 A(1,0),Q 为圆 C 上一点,AQ 的垂直 平分线与 C,Q 的连线交于点 M,求点 M 的轨迹方程. 解 由题意知,点 M 在线段 CQ 上, 从而有|CQ|=|MQ|+|MC|. 又点 M 在 AQ 的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|, ∴|MA|+|MC|=|CQ|=5.∵A(1,0),C(-1,0), ∴点 M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆, 5 25 21 且 2a=5,故 a=2,c=1,b2=a2-c2= 4 -1= 4 . x2 y2 4x2 4y2 故点 M 的轨迹方程为25+21=1.即 25 + 21 =1. 4 4


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