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中山市2012—2013高二第二学期期末统一考试(理)


中山市高二级 2012-2013 学年第二学期期末统一考试理科
注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用

黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上. 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改 液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 5、不可以使用计算器.
? 参考公式:回归直线 y ? bx ? a ,其中 b ?
n n

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

? ( xi ? x )2
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i i ?1

i

? nx y , a ? y ? bx
2

? xi2 ? nx

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.)

1 的共轭复数是 1? i 1 1 1 1 A. B. ? i ? i 2 2 2 2
1、复数 z ?



) D. 1 ? i

C. 1 ? i

2、由直线与圆相切时,圆心到切点的连线与直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点 连线与平面垂直,这种思维方式是( ) A.归纳推理 B. 演绎推理 C. 类比推理 D.其他推理 3、已知平面内 A、B、C、D 四点,任意三点不在同一直线上,则连接任意两点的所有向量 的个数为( ) A.6 B.12 C.24 D.48 4、在独立性检验中,统计量 K 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 K ? 3.841 时,有 95%
2
2

的把握说明这两个事件有关,当 K ? 6.635 时,有 99%的把握说明这两个事件有关,当
2

K 2 ? 3.841 时, 认为这两个事件无关。 在一项打鼾与患心脏病的调查中, 共调查了 2000 人,
经计算, K ? 20.87 ,根据这一数据分析,认为打鼾与患心脏病之间(
2

)

A. 有 95%的把握认为两者有关 C. 有 95%的把握认为两者有关 5、用火材棒摆“金鱼” ,如图所示:

B.约有 95%的打鼾者患心脏病 D.约有 99%的打鼾者患心脏病

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火材棒的根数为( A.8n-2 B.8n+2 C.6n-2 6、函数 y ? x ? ln x ? 2 的单调增区间是( A. (0, )
1 1

) D.6n+2

) C. ( ,??)

1 e

B. (0, e)

1 e

D. (e,??)

7、设 (3 x 3 ? x 2 ) n 展开式的各项系数之和为 t,其二项式系数之和为 h,若 t+h=272,则展开 式中 x 的系数是( A.
2

) B.1 C.12 D.81

1 2

8、 设一汽车在前进途中经过 4 个路口, 汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 止通行)的概率为

3 , 遇到红灯 (禁 4

1 。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进, ? 表示停车时已 4
) D. B.

经通过的路口数。则停车时最多已经通过 2 个路口的概率是( A.

9 64

37 64

C.

27 256

175 256

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题 卡相应横线上) (一)必做题(9~13 题) 9 、 设

f 0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f 0 ( x), f 2 ( x) ? f1 ( x),..., f n ?1 ( x) ? f n ( x)(n ? N ) , 则
' ' '

f 2013( x) ? ______。
10、一物体在力 F ( x) ? 2 x ? 1 (力的单位:N)的作 用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:m) ,则力 F (x) 所作的功为______。 11、若 X ~ B ( n, ) ,且 E ( x) ? 8, 则 D (x) =_______。 12、教材上一例问题如下: 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关,现收集了 7 组 观测数据如下表,试建立 y 与 x 之间的回归方程。

1 3

温度 x/℃ 产卵数 y/个

21 7

23 11

25 21

27 24

29 66

32 115

35 325

某同学利用智能手机上的 Mathstudio 软件研究它时(如上图所示) ,分别采用四种模型,所 得结果如下: ① 模型 计算 结果 ② ③ ④ ⑤

y ? ax ? b

y ? ae bx
?a ? 0.015 ? ?b ? 0.284 ?r ? 0.993 ?

y ? ax 2 ? c
?a ? 0.367 ? ?c ? ?202.543 ?r ? 0.896 ?

y ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d

?a ? 19.87 ? ?b ? ?463.731 ?r ? 0.864 ?

?a ? 0.271 ?b ? ?20.171 ? ? ?c ? 501.638 ?r ? 0.995 ?

根据上表,易知当选择序号为________的模型是,拟合效果较好。 13、有一块边长为 6m 的正方形钢板,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形,然后焊 接成一个无盖的蓄水池,截去的小正方形的边长 x 为_____m 时,蓄水池的容积最大。 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,若两题都做,取 14 题得分为最后得分) 14、( 极 坐 标 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ? , ? )(0 ? ? ? 2? ) 中 , 曲 线

? (cos? ? sin ? ) ? 1与? (cos? ? sin ? ) ? ?1 的 交点的极 坐标为
_______。 15、(几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,BD=8,则圆 O 的半径等于________。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16、 (13 分)通过市场调查,得到某产品的资金投入 x(万元)与获得的利润 y(万元)的 数据,如下表所示: 资金投入 x 2 3 4 5 6 2 3 5 6 9 利润 y ? (1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程 y ? bx ? a ; (2)计算 x=-6 时的残差 e ; (残差公式 e i ? yi ? y i ) (3)现投入资金 10 万元,求估计获得的利润为多少万元。
?

?

?

17、(13 分)已知复数 z 满足 z ? (1)求 z ;

2 , z 2 的虚部为 2,。

(2)设 z , z , z ? z 在复平面对应的点分别为 A,B,C,求∠ABC 的余弦值。
2 2

18、(13 分)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个,标 号为 5 的球 3 个。先从盒子中任取 2 个球(假设取到每个球的可能性相同) ,设取到两个球的 编号之和为 ? 。 (1)求随机变量 ? 的分布列; (2)求两个球编号之和大于 6 的概率。

19、(14 分) 已知直线 l : y ? x ? 2 , 与抛物线 x ? y 交于 A( x A , y A ), B ( xB , y B ) 两点,l与x
2

轴交于点 C ( xC ,0), (1)求证:

1 1 1 ; ? ? x A xB xC

(2)求直线 l 与抛物线所围平面图形的面积; (3)某同学利用 TI-Nspire 图形计算器作图验证结果时 (如图 1 所示) 尝试拖动改变直线 l 与 , 抛物线的方程,发现

1 1 1 ,你能由此发现出 ? 与 的结果依然相等(如图 2、图 3 所示) x A xB xC

关于抛物线的一般结论,并进行证明吗?

(4)

20、(13 分)若 a1 ? 0, a1 ? 1, an ?1 ? (1)求证: an ?1 ? an ; (2)令 a1 ?

2an (n ? 1,2,..., ) 。 1 ? an

1 ,写出 a2 、 a3 、 a4 、 a5 的值,观察并归纳出这个数列的通项公式 an ; 2
an ? p } 是等比数列,求出公比 q 的值。 an

(3)证明:存在不等于零的常数 p,使 {

21、(14 分)设函数 f ( x ) ? ax ? ( a ? b) x ? bx ? c ,其中 a ? 0, b, c ? R 。
3 2

(1)计算 f ( ) ; (2)若 x ?

'

1 3

1 为函数 f (x) 的一个极值点,求 f (x) 的单调区间; 3
' '
'

(3)设 M 表示 f (0) 与 f (1) 两个数中的最大值,求证:当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? M 。

中山市高二级 2012—2013 学年度第二学期期末统一考试

数学试卷(理科)答案
一、选择题:ACBCD CBB 二、填空题:9. ? sin x ; 13. 1 ; (4)解答题: 21、(1) x ? 4, y ? 5 ...........2 分
? ? ? ?

10. 20J ; 11. 15.5

14. (1, ? ) .

16 ; 12. ④ ; 3

2

x ? 4, y ? 5 b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? ? nx
2

?x
i ?1

2 i

4 ? 9 ? 20 ? 30 ? 54 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.7 ,.....5 分 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 5 ? 42

a ? 5 ? 1.7 ? 4 ? ?1.8 。..........6 分
回归直线方程为 y ? 1.7 x ? 1.8 。........7 分 20、 x ? 6, y ? 1.7 ? 6 ? 1.8 ? 8.4 ,.........8 分
?

e ? y ? y ? 9 ? 8.4 ? 0.6 。...............9 分
(3) y ? 1.7 ? 10 ? 1.8 ? 15.2 (万元) 。............13 分 17、 (1)设 z ? a ? bi , z ? ( a ? bi ) ? a ? b ? 2abi 。..........1 分
2 2 2 2

?

?

则 a ? b ? 2 , 2ab ? 2 .........2 分
2 2

所以 a ? b ? ?1或a ? b ? 1 。..........3 分 z ? 1 ? i或 ? 1 ? i .........4 分 (2)当 z ? 1 ? i 时, z ? 2i , z ? z ? 1 ? i 。.......5 分
2 2

则 A(1,1) ,B(0,2) ,C(1,-1) 。AB= 2 ,AC=2,BC= 10 , Cos∠ABC ?

2 ? 10 ? 4 2 ? 5 ,............9 分 2 2 10 5
2 2

当 z ? ?1 ? i , z ? 2i , z ? z ? ?1 ? 3i ,.......10 分 则 A(-1,-1) ,B(0,2) ,C(-1,-3) 。AB= 10 ,AC=2,BC= 26 , Cos∠ABC ?

26 ? 10 ? 4 8 ? 65 。................13 分 2 26 10 65

B. ? 的取值为 2,3,4,6,7,10...........1 分

p (? ? 2) ?

C32 C 1C 1 4 1 C2 2 ? , p (? ? 3) ? 3 2 4 ? , p (? ? 4) ? 4 ? , 2 2 C10 15 C10 15 C10 15

1 1 1 1 C3 C3 1 C 4 C3 4 C32 1 p (? ? 6) ? 2 ? , p (? ? 7) ? 2 ? , p (? ? 10) ? 2 ? ........7 分 C10 5 C10 15 C10 15

? 的分布列为 ?
P 2
1 15

3
4 15

4
2 15

6
1 5

7
4 15

10
1 15

....................9 分 (2) p (? ? 6) ? p (? ? 7) ? p (? ? 10) ? 5、(1) ?

4 1 1 ? ? 。.............13 分 15 15 3

?y ? x ? 2
2 ?x ? y

,解得 ?

? x ? ?1 ? x ? 2 ............2 分 ,? ?y ?1 ?y ? 4

不妨设 x A ? ?1, xB ? 2 , 对于直线 l,令 y=0,得 xC ? ?2 ............3 分 左边=

1 1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ,右边= ?? , x A xB 2 2 xC 2

左边=右边,原命题得证。.............4 分 (2) S ? ? ?1 ( x ? 2 ? x ) dx ?
2 2

x2 x3 8 1 1 9 ? 2 x ? |21 ? (2 ? 4 ? ) ? ( ? 2 ? ) ? ........7 分 ? 2 3 3 2 3 2
2

(3)结论:已知直线 l : y ? kx ? b ,与抛物线 x ? y 交于 A( x A , y A ), B ( xB , y B ) 两点,l与x 轴交于点 C ( xC ,0), 则

1 1 1 ? ? 。.......9 分 x A xB xC
2

证明: ?

? y ? kx ? b ?x ? y
2

, x ? kx ? b ? 0 , x A ? xB ? k , x A xB ? ?b. ..........11 分

对于直线 l,令 y=0,得 xC ? ?

b 。.......12 分 k

左边=

1 1 x A ? xB k k 1 1 k ? ? ? ? ? ,右边= ? ?? , x A xB x A xB ?b b xC ? b b k 2an 2 , an ? 2an ? 1 ? 0, an ? 1, .............1 分 1 ? an

左边=右边,原命题得证。.................14 分 20、(1)假设 an ?1 ? an ,则 an ?

这显然与条件 a1 ? 1, 产生矛盾,假设不成立。 所以 an ?1 ? an 。......................2 分 18、 a2 ?

2 4 8 16 , a3 ? , a4 ? , a5 ? 。..................6 分 3 5 9 17

an ?

2 n ?1 。...................7 分 2 n ?1 ? 1

an ? p 2 n ?1 ? p (2 n ?1 ? 1) (3) ? an 2 n ?1 an ?1 ? p 2 n ? p (2 n ? 1) ....................7 分 ? an ?1 2n
an ?1 ? p 2 n ? p (2 n ? 1) n an ?1 2 n ? p (2 n ? 1) ? n ?1 2 n ?1 ? n ? k (k 是常数)............9 分 an ? p 2 ? p (2 ? 1) 2 ? p (2 n ? 2) an 2 n ?1
整理得: ( k ? kp ? 1 ? p ) 2 ? p ? 2kp ................10 分
n

? p ? ?1 ?k ? kp ? 1 ? p ? 0 ? ,? ? 1 所以 ? p ? 2kp ? 0 ?k ? 2 ................12 分 ?
所以存在 p=-1,公比 q= 21、 (1)

1 。...................13 分 2

1 b?a f ?( x) ? 3ax 2 ? 2(a ? b) x ? b, f ?( ) ? 3 3 ....................2 分 1 (2)由 f ?( ) =0,得 a=b. ??????????????????????3 分 3

故 f(x)= ax3-2ax2+ax+c. 由 f ?( x) =a(3x2-4x+1)=0,得 x1= ,x2=1.?????????4 分 列表:
1 3 1 3 1 3 1 3

x

(-∞, )

( , 1)

1

(1, +∞)

f ?( x)

+ 增

f(x)

0 极大 值



0 极小 值

+ 增

由表可得,函数 f(x)的单调增区间是(-∞, )及(1,+∞) .??6 分

1 3 2 a ? b 2 a ? b2 ? ab (2) f ?( x) =3ax2-2(a+b)x+b=3 a( x ? . ) ? 3a 3a

①当

a?b a?b ≥1, 或 ≤ 0 时,则 f ?( x) 在 [0,1] 上是单调函数, 3a 3a

所以 f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或 f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ,且 f ?(0) + f ?(1) =a>0. 所以| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .???????????????8 分 ②当 0< a ? b <1,即-a<b<2a,则 ?
3a

a 2 ? b2 ? ab ≤ f ?( x) ≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 3a

(i) 当-a<b≤ 时,则 0<a+b≤ 所以
f ?(1) ?

a 2

3a . 2

a 2 ? b2 ? ab 2a 2 ? b2 ? 2ab 3a 2 ? (a ? b)2 1 = = ≥ a2 >0. 3a 3a 3a 4

所以 | f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . ????????????11 分 (ii) 当 <b<2a 时,则 (b ? )(b ? 2a) <0,即 a2+b2- ab <0.
5 ab ? a 2 ? b 2 a 2 ? b2 ? ab 4ab ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? ab 2 所以 b ? = > >0,即 f ?(0) > . 3a 3a 3a 3a

a 2

a 2

5 2

所以

| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .

综上所述:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .?????14 分


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