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2018高考数学基础知识训练(9)

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2018 高考数学基础知识训练(9)
一、填空题 1. 已 知 全 集 U ? { 1,2,3,4,5,6,7,8} , M ={1 , 3 , 5 , 7} , N ={5 , 6 , 7} , 则

CU (M ? N ) =_____________.
??? ? ? 1) ,则点 B 的坐标为_____________. 2. 若

AB ? (3 , 4) ,点 A 的坐标为 (?2,

5 1 ? 3. lg ? 2 lg 4 ? ( ) 4 =_____________. 8 81
??? ? ??? ? ??? ? B 4. 已 知 向 量 OA ? (k, 12), OB ? (4,, 5) OC ? (?k, 10) , 且 A, ,
k ? _____________.

3

C 三 点 共 线 , 则

5.函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是_____________. 6.在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 (a ? b ? c) ? (a ? b ? c) ? 3ab , 则∠C=___. 7. 已知向量 a 和 b 的夹角为 120 , | a |? 1,| b |? 3 ,则 | 5a ? b |? _____________.
0

?

?

?

?

? ?
?

8. 已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =_____________. 9. 在△ABC 中,若 a=7,b=8, cos C ?

?

?

?

?

?

13 ,则最大内角的余弦值为_____________. 14

10. 函数 y ? x ? 2 ln x 的单调减区间为_____________. 11. 若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为_____________. 12. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , f (?1) ? 1 , 则

?

?

?

? ?

?

?

?

?

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 0 0)9的值为_____________.
13. 已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m ? ( 3, ?1) ,

n ? (cos A, sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B ? __________.
14. 若 | x ? a | ? 二、解答题

1 1 ? 对一切 x ? 0恒成立,则 a的取值范围是 __________. x 2

1 ? x ? 0, sin x ? cos x ? . 2 5 (1) sin x ? cos x 的值. (2) tan x 的值.
15. 已知 ?

?

16.已知向量 a ? (sin ? , 3) , b ? (1,cos ? ) , ? ? ( ? (1)若 a ? b ,求 ? ;

?

?

? ?

, ). 2 2

?

?

(2)求 | a ? b | 的最大值.

? ?

17.如图,O 是△ABC 外任一点,若 OG ? 三条边上中线的交点) .

????

? ??? ? ???? 1 ??? (OA ? OB ? OC ) ,求证:G 是△ABC 重心(即 3
A

G B O C

18. 已知复数 z1 ? cos? ? i sin ? , z 2 ? cos ? ? i sin ? , | z1 ? z 2 |? 1. (1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 ?

?
2

? ? ? 0?? ?

?

3 , 且 sin ? ? ? , 求 sin ? 的值 2 5

19.已知?ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长分别为 a , b, c ,向量 m ? (sin B,1 ? cos B) 与 向量 n ? (2,0) 夹角 ? 余弦值为 (1)求∠B 的大小;

1 ; 2

(2)?ABC 外接圆半径为 1,求 a ? c 范围

20.已知函数 f ( x) ? x ? 8ln x , g ( x) ? ? x ? 14 x .
2 2

(1) 求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2) 若函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,求 a 的取值范围; (3) 若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,试求实数 m 的值.

参考答案 一、填空题: 1、{2.4.8};

, 3) ; 2、 (1

3、28; 6、60°; 9、 ?

2 4、 ? ; 3
7、7; 10、 (0,2) ; 13、

5、 ? ; 8、 (?4, ?8) ; 11、120°; 14、 a ? 2

1 ; 7

12、 ? 1

? 6

二、解答题: 15. 解: (1)? ?

?
2

? x ? 0 ? cos x ? 0, sin x ? 0

sin x ? cos x ? ? (sin x ? cos x) 2 ? ? 1 ? 2 sin x cos x

? 1 ? [(sin x ? cos x) 2 ? 1] ? ? 1 ?
(2)

24 7 ?? 25 5

sin x ? cos x tan x ? 1 1 3 ? ? ? ? tan x ? ? sin x ? cos x tan x ? 1 7 4

16.解: (1)因为 a ? b ,所以 sin ? ? 3 cos ? ? 0 得 tan ? ? ? 3 (用辅助角得到 sin( ? ? 又 ? ? (?

?

?

, ) ,所以 ? = ? 3 2 2 ? ?2 ? (2)因为 | a ? b | ? (sin ? ? 1)2 ? (cos? ? 3)2 = 5 ? 4sin(? ? ) 3 ? ?2 ? ? ? 所以当 ? = 时, | a ? b | 的最大值为 5+4=9 故 | a ? b | 的最大值为 3 6
17.证明:略 18、解: (1) z1 ? z 2 ? (cos? ? cos ? ) ? i(sin? ? sin ? ),| z1 ? z 2 |? 1,

? ?

?

? ) ? 0 同样给分) 3

? (cos ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2 ? 1,? cos(? ? ? ) ?
(2)? ?

?
2

? ? ? 0 ?? ? 1 , 2

?
2

2 ?1 1 ? . 2 2

, 所以0 ? ? ? ? ? ? ,

由(1)得 cos(? ? ? ) ?

3 3 4 .又 sin ? ? ? ,? cos ? ? . 2 5 5 ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? sin(? ? ? ) ? ? 3 4 1 3 4 3 ?3 ? ? (? ) ? . 2 5 2 5 10
?? ?

19、解:(1) ? m ? 2sin

?? ? ?? ? ?? ? ? B B B m?n B m ? n ? 4sin cos ? , | m |? 2sin , | n |? 2 ,? cos ? ? ?? ? ? cos 2 2 2 2 | m|?| n |
B ? B 1 2? ? , 0 ? ? ? ? 得 ? ,即 B ? 2 3 2 2 3 2? ? (2)? B ? ,? A ? C ? 3 3
由 cos

? B B B (cos ,sin ) , n ? 2(1,0) , 2 2 2

? sin A ? sin C ? sin A ? sin( ? A) 3 ? sin A ? sin sin A 3 3 1 3 ? ? sin A ? cos A ? sin( ? A) 2 2 3
又0 ? A ?

?

?

cos A ? cos

?

?
3

,?

?
3

?

?
3

? A?

2? 3 ? ? sin( ? A) ? 1 ,? 3 2 3

所以 sin A ? sin C ? (

3 ,1] 2

又 a ? c = 2 R sin A ? 2 R sin C = 2

?sin A ? sin C ? ,所以 a ? c ? ?

3, 2? ?.

20、解:(1)因为 f ?( x ) ? 2 x ?

8 ,所以切线的斜率 k ? f ?(1) ? ?6 x

又 f (1) ? 1 ,故所求切线方程为 y ? 1 ? ?6( x ? 1) ,即 y ? ?6 x ? 7 (2)因为 f ?( x) ?

2( x ? 2)( x ? 2) ,又 x>0,所以当 x>2 时, f ?( x) ? 0 ; x

当 0<x<2 时, f ?( x) ? 0 . 即 f ( x ) 在 (2, ??) 上递增,在(0,2)上递减 又 g ( x) ? ?( x ? 7) ? 49 ,所以 g ( x) 在 (??, 7) 上递增,在 (7, ??) 上递减
2

欲 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,则 ?
2

? a?2 ,解得 2 ? a ? 6 ?a ? 1 ? 7

(3) 原方程等价于 2 x ? 8ln x ? 14 x ? m , 令 h( x) ? 2x2 ? 8ln x ?14x , 则原方程即为

h( x ) ? m .
因为当 x ? 0 时原方程有唯一解,所以函数 y ? h( x) 与 y ? m 的图象在 y 轴右侧有唯一的交 点 又 h?( x) ? 4 x ?

8 2( x ? 4)(2 x ? 1) ? 14 ? ,且 x>0,所以当 x>4 时, h?( x) ? 0 ;当 0<x<4 时, x x

h?( x) ? 0 .
即 h( x) 在 (4, ??) 上递增,在(0,4)上递减.故 h(x)在 x=4 处取得最小值 从而当 x ? 0 时原方程有唯一解的充要条件是 m ? h(4) ? ?16ln 2 ? 24


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