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2015届高考调研文科选修4-4-2

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 2 课时 参 数 方 程

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2015?考纲下载
<

br />1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 3.了解圆的平摆线、渐开线的形成过程,并能推导出它们 的参数方程.

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请注意!

对本部分的考查,主要是参数方程与普通方程的互化,常见 曲线的参数方程及参数方程的简单应用, 题目难度的设置以中档 题型为主,预测 2015 年高考中,在难度,知识点方面变化不大.

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1.参 数 方 程 的 概 念 如 果 曲 线 变 量 t的 函 数 C上 任 意 一 点
? ?x=f?t?, ? ? ?y=g?t?.

P的 坐 标

x和y都 可 以 表 示 为 某 个

反 过 来 , 对 于

t的 每 个 允 许 值 , 由 函 数 式

? ?x=f?t?, ? ? ?y=g?t?, ? ?x=f?t?, ? ? ?y=g?t?,

所 确 定

的 点 P(x,y)都 在 曲 线 参 数 方 程 , 变 量

C上 , 那 么 方 程

叫 做 曲 线

C的

t是 参 数 .
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2.圆锥曲线的参数方程 1 ( ) 圆心为(a, b), 半 径 为 为参数). r

? o s ?x=a+rc ? i s 的圆的参数方程为? ?y=b+rn

θ θ (θ

x2 y2 2 ( ) 椭圆 2+ 2=1(a>b> 0 ) 的 参 数 方 程 为 a b 数).

? o s ?x=ac ? ? i s ?y=bn

θ θ

(θ 为参

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a ? ?x= o s θ ? c 2 2 x y n t θ ?y=ba 3 ( ) 双曲线 2- 2= 1(a>0 , b> 0 ) 的参数方程为? a b

(t

为参数). 4 ( ) 抛 物 线 数). y2 =2px(p> 0 ) 的 参 数 方 程 为

2 ? x = 2 pt ? ? ? ?y=2pt

(t 为参

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3.直线的参数方程 过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
? o s ?x=x0+tc ? ? i s ?y=y0+tn

α α

(t 为参数),其中 t 表示直线上以定点 M0 为起点,

→ → 任意一点 M(x, y)为终点的有向线段M0M的 数量 . 当 t>0 时, M0 M → 的方向向上;当 t<0 时,M0M的方向向下;当 t=0 时,M 与 M0 重合.

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1. (课本习题改编)直线 l 则 l 的方向向量 d 可能是( A.2 1 ( ) , C.(-1 2 ) ,

?x=1+2t, ? 的参数方程是? ? ?y=2-t

(t∈R),

) B.1 2 ( ) , D.(1,-2)

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答案 C

解析 求出直线方程 x+2y-5=0, 方 向 向 量 1 - ,检验知:(-1 2 ) , 2 满足,故选 C.

b (a,b)满足 = a

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? o s 2 θ, ?x=c 2.参数方程? ? i s θ ?y=n

(θ 为参数)所表示的曲线为( B.一条抛物线 D.一条双曲线

)

A.抛物线的一部分 C.双曲线的一部分
答案 A

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3.若曲线 C

? o 2 s ?x=1+c 的参数方程为? 2 ? y = n i s θ ?

θ,

(θ 为参数),则

曲线 C 上的点的轨迹是( A.直线 x+2 y-2=0 B.以0 2 ( ) ,

)

为端点的射线

C.圆(x-1)2+y2=1 D.以0 2 ( ) , 和1 0 ( ) , 为端点的线段

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答案 D

解析

将 曲 线 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 得

x + 2y - 2 =

0 ( ≤x≤0 2 , ≤y≤1).

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?x=x +at, ? 0 ? 4.已知直线 ? ?y=y0+bt

(t 为参数)上两点 A,B 对应的参 )

数值是 t1,t2,则|AB|等于( A.|t1+t2| C. a +b |t1-t2|
2 2

B.|t1-t2| |t1-t2| D. 2 a +b2

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答案 C

解析 依题意,A(x0+at1,y0+bt1),B(x0+at2,y0+bt2), 则|AB |= [x0+at1-?x0+at2?]2+[y0+bt1-?y0+bt2?]2 = a2+b2· |t1-t2|.

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? ?x= ? ? i s ?y=n

5. 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为

5c o s θ, θ

(0≤θ< π ) 和

? 52 ?x= t , ? 4 (t∈R),它们的交点坐标为________. ? ?y=t
2 5 答案 (1, 5 )
? ?x= 把参数方程? ? i s ?y=n

解析

5c o s θ, θ

x2 化为标准方程得 5 +y2=

? 52 ?x= t , 2 4 4 1(y≥0).把? 化为标准方程为 y =5x(x≥0). ? ?y=t
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2 x ? 2 + y =1, ?5 联立方程? ?y2=4x, 5 ? 2

得 x=1 或 x=-5(舍去).

4 2 5 2 5 把 x=1 代入 y =5x,得 y= 5 或 y=- 5 (舍去), 所 以 交 2 5 点坐标为(1, ). 5

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例 1 把下列参数方程化为普通方程. 1 ? ?x=1+2t, 1 ( ) ? ?y=5+ 3t 2 ? 2 ( )
? i s θ, ?x=n ? 2 ? y = c o s θ ?

(t 为参数);

(θ 为参数,θ∈2 0 [ π , ) ]



【思路】 1 ( ) 用代入法消去参数 t; 2 ( ) 利用 n i s
2

θ+c o s

2

θ=1 消参.
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【解析】 1 ( ) 由已知得 t=2x-2, 代 入 3 5+ (2x-2), 2 即它的普通方程为 3x-y+5- 3=0. 2 ( ) ∵n i s 又∵ n i s|
2

3 y=5+ t 中得 y= 2

θ+c o s

2

θ=1,∴x2+y=1,即 y=1-x2.

θ |≤1,

∴其普通方程为 y=1-x2(|x|≤1).
【答案】 1 ( ) 3x-y+5- 3=0 2 ( ) y=1-x2(|x|≤1)

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探究 1

将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中 x,y(它 们 都 是 参 数 的 函 数 )的取值范

的 参 数 , 此 时 要 注 意 其 中 的

围 , 即 在 消 去 参 数 的 过 程 中 一 定 要 注 意 普 通 方 程 与 参 数 方 程 的 等 价 性 . 参 数 方 程 化 普 通 方 程 常 用的消参技巧有:代入消元、加减

消元、平方后相加减消元、整体消元等.

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思考题 1 将下列参数方程化成普通方程. ? ?x=t+1, ? t-1 1 ( ) ? ?y= 2t ; 3 ? ? t -1 ? p 2 x = + pt , ? t2 2 ( ) ? ?y=p-pt. t ?
2t y= 3 , 化 简 t -1

t+1 x+1 【解析】 1 ( ) 由 x= ,得 t= , 代 入 t-1 x-1 ?x+1??x-1?2 得 y= (x≠1). 2 3x +1

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p 2 ( ) 将 y= -pt 的两边平方,得 t
2 p p 2 2 2 2 y = 2 +p t -2p =p( 2+pt2)-2p2, t t

p 以 x= 2+pt2 代入上式,得 y2=p(x-2p). t ?x+1??x-1?2 【答案】 1 ( ) y= (x≠1) 3x2+1
2 ( ) y2=p(x-2p)

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例2 1 ( ) 2 ( 0 1 3 ·
?x=t, ? ? ? ?y=t-a

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湖南)在平面直角坐标系 x O y
?x=3 c o s ? ? C: ? 2 i s ?y=n

中 , 若 直 线

l:

(t 为参数)过 椭 圆

φ, (φ 为参数)的右顶点, φ

则常数 a 的值为________.

【解析】 由题意知在直角坐标系下,直线 l 的 方 程 为 -a, 椭 圆 的 方 程 为 x2 y2 + =1, 所 以 其 右 顶 点 为 9 4 0 3 ( ) ,

y=x

.由题意知

0=3-a,解得 a=3.
【答案】 3
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2 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

重庆)在直角坐标系 x O y

中,以原点 O 为极点,x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ρc o s θ= 4 的
2 ? x = t , ? 直线与曲线? 3 ? y = t ?

(t 为 参 数 ) 相交于 A ,B 两 点 , 则

|AB|=

________.
【解析】 由极坐标方程 ρc o s θ=4, 化 为 直 角 坐 标 方 程 可 得 x=4,而由曲线参数方程消参,得 x3=y2. ∴y2=43=64,即 y=± 8,∴|AB|=|8-(-8 |) =16.
【答案】 16
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探究 2

同极坐标方程一样,在没有充分理解 参 数 方 程 的 前

提下,可先化成直角坐标方程再去解决相关问题.

思考题 2 已知极坐标系的极点 O 与 直 角 坐 标 系 的 原 点 重 合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1:ρc o ( s 线
2 ? ?x=4t , C2:? ? ?y=4t

π θ +4)=2 2与曲

(t∈R)交于 A,B 两点,求证:OA⊥OB.

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【 解 析 】 的 普 通 方 程 为 曲 线 C1 的 直 角 坐 标 方 程 为 y2=4x.

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x-y-4=0, 曲 线

C2

设 A(x1,y1),B(x2,y2). 联 立
?x-y-4=0, ? ? 2 ? ?y =4x,

得 y2-4y-16=0.

∴y1+y2=4,y1y2= - 16. → +OB → =x x +y y =(y +4 ∴OA ( ) y2+4)+y1y2 1 2 1 2 1 =2y1y2+4(y1+y2)+16=0,∴OA⊥OB.
【答案】 略
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例 3 1 ( ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 3 ? - 2+5t, ?x= ? ?y=2+4t 5 ? B两 点 . ①求|AB |的 长 ; ②在 以 O为 极 点 , P的 极 坐 标 为

x O y

中 , 直 线

l 的 参 数 方 程 为

(t 为 参 数 ), 它 与 曲 线

C: (y-2)2-x2=1 交 于 A、

x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 设 点 P到 线 段
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3π (2 2, ), 求 点 4
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AB 中 点 M的 距 离 .
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3 ? ?x=-2+5t, 【解析】 ①将直线 l 参数方程? ?y=2+4t 5 ? 7 2 12 代入(y-2) -x =1,得 t + t-5=0. 25 5
2 2

(t 为参数)

60 125 ∴t1+t2=- 7 ,t1t2=- 7 . 10 ∴|AB |=|t1-t2|= ?t1+t2? -4t1t2= 7 71.
2

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②P 点直角坐标为(-2 ) ,



t1+t2 线段 AB 中点对应的参数值为 2 , t1+t2 30 ∴点 P 到线段 AB 中点 M 距离为| 2 |= 7 .
10 71 30 【答案】 ① 7 ②7

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2 ( ) 在直角坐标系 x O y

中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴 π θ -3)=1,M,N

建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρc o ( s 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点.

①写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的 极 坐 标 ; ②设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的 极 坐 标 方 程 .

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【解析】 ①由 ρc o ( s

π 1 3 θ- )=1,得 ρ( c o s θ+ n i s θ)=1. 3 2 2

1 3 从而 C 的直角坐标方程为2x+ 2 y=1,即 x+ 3y=2. θ=0 时, ρ=2, 所 以 π 2). M0 2 ( ) , π 2 3 . θ=2时, ρ= 3 , 所 以 2 3 N( 3 ,

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②M 点的直角坐标为0 2 ( ) ,

2 3 ,N 点的直角坐标为(0, 3 ).所

3 2 3 π 以 P 的直角坐标为(1, 3 ),则 P 点的极坐标为( 3 ,6). π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ=6,ρ∈(-∞,+∞).
【 答 案 】 ∈R ①x+ 3y=2,M0 2 ( ) , 2 3 π ,N( , ) 3 2 π ②θ = ,ρ 6

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探究 3

涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方 y-y0=k(x-x0). 其 中 k=a n t α(α≠9 0 ) ° , α, (t 为参数). α

程 . 直 线 的 点 斜 式 方 程 为 α

? o s ?x=x0+tc 为直线的倾斜角,则参数方程为? ? i s ?y=y0+tn

思考题 3 1 ( ) 已知直线 l 过点 P2 3 ( ) , 半轴分别交于 A、B 两 点 . 求 程.

, 且 与

x 轴、y 轴的正 l 的方

|PA |· | PB |的 值 为 最 小 时 的 直 线

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【思路】 本题可以使用直线的普通方程来解,也可以使用 参 数 方 程 来 解 , 但 是 使 用 普 通 方 程 解 , 运 算 较 为 麻 烦 . 如 果 设 出 直 线 的 倾 斜 角 , 写 出 直 线 的 参 数 方 程 来 解 , 就 可 以 把 问 题 转 化 为 三角函数的最小值问题,便于计算.
【解析】 设直线的倾斜角为 α, 显 然
?x=3+tc o s ? 方程为? ? i s ?y=2+tn

9 0 < ° α< 1 8 0 °

, 则 它 的

α, (t 为参数). α

由 A、B 是坐标轴上的点知 yA=0,xB=0,
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∴ 0 =2 + tn i s α ,即|PA |= |t|= ,0=3 +tc o s α ,即 |PB|= |t | n i s α =- .故|PA |· | PB |= · (- )=- c o s α n i s α c o s α n 2 i s ∵90 < ° α< 1 8 0 ° 最小值. ? ?x=3- ? ∴直线方程为? ? y=2+ ? ? 2 t, 2 2 2t 3 2 3 12 α .

2

,∴当 2α=270° ,即 α=135° 时,|PA |· | PB |有

(t 为参数), 化 为 普 通 方 程 即

x

+y-5=0. 【答案】 x+y-5=0
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10 2 ( ) 过点 P( , 0)作倾斜角为 α 的直线与曲线 x2+2y2=1 交 2 于点 M、N,求|PM |· | PN|的最小值及相应的 α 值.

【 解 析 】

设 直 线 方 程 为

? 10 ?x= +tc o s α, 2 ? ? i s α ?y=tn

(t 为 参 数 ),将

其 代 入

x2+2y2=1, 并 整 理 , 得
2

(1+n i s

3 α)t + 10tc o s α+2=0,
2 2

3 则|PM |· | PN|= |t1t2|= 2?1+n i s
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α?

.
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又 直 线 与 曲 线 相 交 , 则 n i s
2

Δ =1 0 c o s

2

3 α-4·1 ( · +n i s 2

2

α)≥0,得

1 α≤ . 4 1 π 5π 而当 n i s α=2(0≤α≤π),即 α=6或 α= 6 时, 6 |PM |· | PN|有最小值5.

π 5π 6 【答案】 α= 或 时,|PM |· | PN|最小值为 6 6 5

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?x-1?2 ?y+2?2 例 4 实数 x,y 满足 16 + 9 =1, 试 求 值与最小值,并指出何时取得最大值与最小值.

x-y 的最大

【思路】 转化为椭圆的参数方程, 应用三角函数知识求解.

? ?x-1=c o s θ, ? 4 【解析】 由已知可设? ?y+2 =n i s θ, ? 3 ?
? c o s ?x=4 即? ? 3 i s ?y=n

θ+1, θ-2

(θ 为参数).
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则 x - y =4 ( c o s 5 c o ( s θ+α)+3, 其 中 当c o ( s

θ + 1) - n 3 ( i s

θ - 2) = 4 ( c o s

θ -n 3 i s

θ) + 3 =

4 3 c o s α= ,n i s α= . 5 5

θ+α)=1, 即 θ+α=2kπ,k∈Z 时 , 4 kπ-α)=c o s α= , 5 3 kπ-α)= -n i s α= - 5,

c o s θ=c o 2 ( s n i s θ=n 2 ( i s

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4 21 3 19 当 x=4× +1= ,y=3×(- )-2=- 时,x-y 的 最 大 5 5 5 5 值为 8. 11 1 同理,当 x=- ,y=- 时,x-y 的最小值为-2. 5 5 21 19 【答案】x= 5 ,y=- 5 时,x-y 的最大值为 8;
11 1 x=- 5 ,y=-5时,x-y 的最小值为-2

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探究 4

本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问

题的优越性.运用参数方程显得很简单,运算更简便. 本题易错点主要有两点: ①对于椭圆的参数方程不会转化而 直接使用普通方程; ②在使用参数方程运算时不考虑 α 的实际取 值.

思考题 4 1 ( ) 已知点 P(x,y)是圆 x2+y2=2y 上 的 动 点 , ①求 2x+y 的取值范围; ②若 x+y+a≥0 恒成立,求实数 a 的 取 值 范 围 .
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【解析】 2x+y=2 c o s

? o s θ, ?x=c ①设圆的参数方程为? ? i s θ. ?y=1+n

θ+n i s θ+1= 5s n ( i

θ+φ)+1,

∴- 5+1≤2x+y≤ 5+1. ②x+y+a=c o s θ+n i s θ+1+a≥0, ∴a≥-c o ( s θ+n i s θ)-1=- 2s n ( i π θ+4)-1.

∴a≥ 2-1.
【答案】 ①[- 5+1, 5+1]
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②[ 2-1,+∞)
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2 ( ) 在圆 x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B,使它们到 直线 4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长.
【思路】 利用圆的参数方程求解.

【解析】

将 圆 的 方 程 化 为 参 数 方 程 :

? c o s ?x=2+5 ? ? 5 i s ?y=1+n

θ, θ



为参数),则圆上点 P 坐标为(2+5 c o s 线的距离

θ,1+n 5 i s

θ ),它到所给直

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2 0 c | d= 3 n i s φ= . 5 故当 c o ( s 当c o ( s 为(-2 ) ,

osθ+1 n 5 i s θ+3 0 | = 5 c o |( s 2 2 4 +3

4 φ-θ)+6|,其中 c o s φ=5,

φ-θ)=1, 即 θ=φ 时, d最 长 , 这 时 点

A坐 标 为 4 6 ( ) ,



φ-θ)=-1,即 θ=φ-π 时,d 最 短 , 这 时 点 .
,B(-2 ) ,

B 坐标

【答案】 A4 6 ( ) ,

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例5 2 ( 0 1 3

· 福建)在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点,

x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为( 2, π o ( s 4),直线 l 的极坐标方程为 ρc π θ-4)=a,且点 A 在直线 l 上.

1 ( ) 求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; 2 ( ) 圆C
? o s ?x=1+c 的参数方程为? ? i s α ? y=n

α,

(α 为参数), 试 判 断 直

线 l 与圆 C 的位置关系.
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π 【解析】 1 ( ) 由点 A( 2,4)在直线 ρc o ( s a= 2.

π θ-4)=a 上 , 可 得

所以直线 l 的方程可化为 ρc o s θ+ρn i s θ=2. 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0.

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2 ( ) 由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为0 1 ( ) , ,半径 r=1.

1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 2 <1, 2 所以直线 l 与圆 C 相交.
【答案】 1 ( ) a= 2,x+y-2=0 2 ( ) 相交

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探究 5 本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程,然 后 去 解 决 问 题 , 这 是 考 生 在 解 决 参 数 方 程 和 极 坐 标 方 程 相 互 交 织 问题时的一个重要的思路.
思考题 5 2 ( 0 1 3 ·
?x=4+5 c o s ? ? ? 5 i s ?y=5+n

课标全国Ⅰ)已 知 曲 线

C1 的参数方程为 x 轴的正半轴为 θ.

t, t

(t 为参数), 以 坐 标 原 点 为 极 点 ,

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=n 2 i s 1 ( ) 把 C1 的参数方程化为极坐标方程; 2 ( ) 求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0 , ≤θ< 2 π )
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?x=4+5 c o s ? 将? ? 5 i s ?y=5+n

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【解析】 1 ( )

t, 消去参数 t, 化 为 普 通 方 程 t

(x-4)2+(y-5)2=25, 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
? o s ?x=ρc 将? ? i s ?y=ρn

θ, 代入 x2+y2-8x-10y+16=0, θ

得 ρ2-8ρc o s θ-10ρn i s θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρc o s θ-10ρn i s θ+16=0.

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2 ( ) C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
?x2+y2-8x-10y+16=0, ? 由? 2 2 ? ?x +y -2y=0, ?x=1, ? 解得? ? ?y=1 ?x=0, ? 或? ? ?y=2.

π π 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2, ),(2, ). 4 2 【答案】 1 ( ) ρ2-8ρc o s θ-10ρn i s θ+16=0
2 ( ) π π 2,4),(2,2)
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直线与圆锥曲线的参数方程的应用 1 ( ) 根据直线的参数方程的标准式中 t 的 几 何 意 义 , 有 如 下 常 用结论: ①直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则 弦长 l=|t1-t2|;

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②定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; ③设弦 M1M2 中点为 M, 则 点 此可求|M2M |及中点坐标). 2 ( ) 圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程 主 要 应 用 于 设 圆 锥 曲 线 上 的 点 , 从 而讨论最值或距离等问题. t1+t2 M 对应的参数值 tM= 2 (由

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? 7 i s 0 ° ?x=1+tn 1.直线? ? o 7 s 0 ° ?y=2+tc

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(t 为参数)的倾斜角为( B.20° D.1 0 °

)

A.7 0 ° C.1 6 0 °
答案 B

解析

?x=1+tc o 2 s 0 ° ? 将直线参数方程化为标准形式:? ? 2 i s 0 ° ?y=2+tn



(t 为参数),则倾斜角为 20° ,故选 B.

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2. 直 线
?x=-2+4t, ? ? ? ?y=-1-3t

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(t

?x=2+5 c o s ? 为参数)被圆? ? 5 i s ?y=1+n

θ, θ

(θ 为

参数)所截得的弦长为________.
答案 6

解 析

直 线

?x= ? - ? ? - ?y=

2+4t, (t 为 参 数 )化 为 普 通 方 程 1-3t θ, θ (θ 为 参 数 )化 为 普 通 方 程

3x+4y

?x=2+5 c o s ? +10=0, 圆? ? 5 i s ?y=1+n

(x-2)2+(y

- 1)2 = 25 ,则圆心1 2 ( ) , |6+4+1 0 | =4, 因 此 弦 长 为 5

到直线 3x + 4y + 10 = 0 的距离 d = 2 52-42=6, 故 填
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6.
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3.把方程 xy=1 化为以 t 为参数的参数方程是( 1 ? ?x=t2, A. ? ?y=t-1 2 ? ?x=c s t, ? o C.? 1 y= ? o s t ? c
答案 D

)

?x=n s t, ? i B.? 1 y= ? i s t ? n ?x=a t t, ? n D.? 1 y= ? n t t ? a

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4. 2 ( 0 1 4 ·

黄冈中学)设曲线 C l 的方 程 为

? c o s ?x=2+3 的参数方程为? ? 3 i s ?y=-1+n

θ, θ

(θ 为参数), 直 线

x-3y+2=0,则曲线 C 上到直线 l ) B.2 D.4

7 10 距离为 的点的个数为( 10 A.1 C.3

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答案 B

解析 曲线 C 表示以(2,-1)为 圆 心 , 以

3为 半 径 的 圆 , 则

7 7 10 圆心 C(2,-1)到直线 l 的距离 d= = <3, 所 以 直 线 与 圆 10 10 相交,所以过圆心(2,-1)与 l 平 行 的 直 线 与 圆 的 2 个交点满足

7 10 题意.又 3-d< ,故满足题意的点有 2 个.故选 B. 10

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5.2 ( 0 1 3 ·
?x=2 c o s ? ? ? 2 i s ?y=n

课标全国Ⅱ)已知动点 P,Q 都在曲线 C: (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=

t, t

2α0 ( < α< 2 π )

,M 为 PQ 的中点.

1 ( ) 求 M 的轨迹的参数方程; 2 ( ) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的 函 数 , 并 判 断 轨迹是否过坐标原点. M的

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答案 1 ( )
?x=c o s ? ? ? i s ?y=n

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α+c o 2 s α+n 2 i s

α, α

(α 为参数,0<α< 2 π )

2 ( ) 过原点

解析 1 ( ) 依题意有 P2 ( c o s 因此 Mc o ( s α+c o 2 s

α,2 n i s
? o s ?x=c ? ? i s ?y=n

α),Q2 ( c o 2 s α) .

α,n 2 i s

α) ,

α,n i s α+n 2 i s

M 的 轨 迹 的 参 数 方 程 为

α+c o 2 s α, (α 为参数, α+n 2 i s α

0<α< 2 π ) . 2 ( ) M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2 c o s α0 ( < α< 2 π ) . 当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.
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课时作业(七十七)

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