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湖南省2014届高三四校联考数学(理)试题


湖南省 2014 届高三四校联考

数学(理)试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中。只有一项是 符合题目要求的。 ) 1.复数 l+ 3i 与复数 ? 3 ? i 在复平面上的对应点分别是 A,B,O 为坐标,则∠AOB

等于 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

2.命题“函数 y ? f ( x)( x ? M ) 是偶函数”的否定是 A. ?x ? M , f (? x) ? f ( x) C. ?x ? M , f (? x) ? f ( x) B. ?x ? M , f (? x) ? f ( x) D. ?x ? M , f (? x) ? f ( x)

3.某车间加工零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如下表

? ?a ? ? bx ? 的值为 1,则据此回归模型可以预测,加工 90 个零件 现已求得上表数据的回归方程 y
所需要的加工时间约为 A.80 分钟 B.90 分钟 4.已知双曲线 C.100 分钟。 D.1l0 分钟

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, B ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线 a 2 b2

渐近线的一个交点为(3,4) ,则此双曲线的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 16 9 x2 y 2 ? ?1 9 16

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4 x2 y 2 ? ?1 4 3

C.

D.

5.已知四棱锥 P—ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥的外接球的表面积为 A.24 ? B.6 ? C. 6

?

D.3 ?

·1 ·

6.某社区四支篮球队参加比赛,现任意将这四支队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛, 则所有可能的比赛情况共有 A.3 种 B.6 种 C.12 种 D.24 种 7.当 0<x≤

1 时,有 4<log2x,则 a 的取值范围是 2
2 ) 2
B. (

A. (0,

2 ,1) 2

C. (1, 2 ) 8. 定义全集 U 的子集 P 的特征函数 f P ( x ) ? ?

D-( 2 ,2)

?1, x ? P, 这里CU P 表示集合 P 在全集 U 的补集. 已 ?0, x ? CU P,

知 P ? U,Q∈U,下列四个命题中,其中的假命题是 A.若 P ? Q,则对于任意 x ? U,都有 f P ( x) ? f Q ( x) B.对于任意 x∈ U,都有 fC ?P ( x) ? 1 ? f P ( x) C.对于任意 x∈U,都有如 f P?Q ( x) ? f P ( x) ? fQ ( x) D.对于任意 x∈U,都有 f P?Q ( x) ? f P ( x) ? fQ ( x) 二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分. ) 9.函数 f ( x) ? sin x ? cos x( x ? R) 的最小正周期为
2 2



10.设某总体是由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个 体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则 选出来的第 5 个个体的编号是 .

11.设某算法流程图如图所示,其输出结果 A= 12.积分



?

2

?1

e|x|dx 的值是



? x ? y ? 0, ? 13.设 z 一 3x+y,其中 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 0, 若 z 的最大值 ?0 ? y ? k , ?
为 8,则 z 的最小值是 . 14.设 G 是△ABC 的重心. (1)若从△ABC 内任取一点 P,则点 P 落在△GBC 内的概率是
·2 ·



(2)若从△GBC 内(不含边界) ,且 AQ ? ? AB ? ? AC , 则? ? ? 的取值范围是

????

??? ?

??? ?



15. 下表中的数阵为 “森德拉姆数筛” , 其特点是每行每列都成等差数列, 记第 i 行第 j 列的数为 ai+j, 。

则(1) an ,n ?

(n ? N*) ;

(2)表中的数 82 共出现 次. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.

a 的值; c tan A (2)若 sin(2A+B)=3sin B,求 的值。 tan C
(1)若 2sin Acos C=sin B,求

17. (本小题满分 12 分) 某高校在招收体育特长生时,须对报名学生进行三个项目的测试,规定三项都合格者才能录 取.假设每项测试相互独立,学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等·且各项测试合格的概率 分别为 , , . (1)求学生甲和乙至少有一人被录取的概率; (2)求学生甲测试合格的项数 X 的分布列和数学期望.

1 1 1 2 2 3

18. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, IN]21Jrr5 ABCD 为平行四边形, ∠ACB=

? , EA⊥平面 ABCD, EF//AB, 2

FO//BC,EG//AC,AB=2EF。 (1)在线段 AD 上是否存在点 M,使 GM//平面 ABFE?并说明理由; (2)若 AC—BC 一 2AE,求二面角 A—BF—C 的大小。
·3 ·

19. (本小题满分 13 分) 在一段笔直的斜坡 AC 上竖立两根高 16 米的电杆 AB,CD,过 B,D 架设一条 10 万伏高压电缆 线。假设电缆线 BD 呈抛物线形状,现以 B 为原点,AB 所在直线为 Y 轴建立如图所示的平面直角坐 标系,经观测发现视线 AD 恰与电缆线相切于点 D(m,n) . (1)求抛物线 BD 的方程; (2)根据国家有关规定,高压电缆周围 1 0 米内为不安全区域,问当有一个身高 1.8 米的人在 这段斜坡上走动时,这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁?

20. (本小题满分 13 分) 如 图 所 示 , 在 直 角 坐 标 平 面 上 的 矩 形 OABC 中 , |OA|=2 , |OC|=

3 ,点 P,Q 满足

???? ??? ? ???? ???? O P ? ? O A? A Q?1(1 ?? ) A B ( ?? R ) ,点 D 是 C 关于原点的对称点,直线 DP 与 CQ 相交于点 M。
(1)求点 M 的轨迹方程; (2)若过点 F(—1,0)且斜率不为零的直线与点 M 的轨迹相交于 G,H 两点,直线 AG 和 AH 与定直线 l:x= 一 4 分别相交于点 R,S,试判断以 RS 为直径的圆是否经过点 F?说明理由.

·4 ·

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x sin x. (1)判断方程 f ( x) ? 1在(0, ? ) 内实根的个数,并说明理由; (2)设函数 f ( x)在(0,+?) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 a1,a2,?an?,求证:

?
2

? an?1 ? an ? ? (n ? N *).

·5 ·

·6 ·

·7 ·

·8 ·

·9 ·

·10·

·11·


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