高二数学期末小练习教师版

高二数学期末小练习
一、填空题 1．命题： ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 的否定是 ▲ ．答案： ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0
S ?0

2．抛物线 y ?
2

1 x 的焦点坐标为 2

▲ ．答案： ( , 0)

1 8

>
For I from 1 to 10 S?S?I End for Print S End

3．根据右图的算法，输出的结果是

▲ ．3．55 （第 3 题图）

4．若双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率为 2，则 m 的值为 ▲ 3． m

2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ， x ? 3y ? 1 ? 0 ， l2 ： 5． 已知直线 l1 ： 若 l1 ∥ l2 ， 则实数 a 的值是 ▲ ． ． 5

6．将一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的玩具）先后抛 掷两次，骰子向上的点数依次为 x, y ．则 x ? y 的概率为 ▲ ．

5 6

7．在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分．用 xn 表示编号为 n（n=1,2,…,6）的同 学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下： 编号 n 成绩 xn 1 73 2 76 3 76 4 77 5 72

则这 6 位同学成绩的方差是

▲ ．8．

10 3

8．若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件，则 a 的最大值 为 ▲ ． 10．-1

9.如图 2－4－2 所示是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m．水位下降 1 m 后，水面宽________m.

图 2－4－2 x2 y2 10 10．若椭圆 5 ＋ m＝1 的离心率为 e＝ 5 ，则实数 m 的值等于________． 5－m 10 10 【解析】 若 m<5，则 e＝ 5 ＝ ，解得 m＝3；若 m>5，则 e＝ 5 ＝ 5

m－5 25 25 ，解得 m＝ 3 .所以 m＝3 或 m＝ 3 . m
25 【答案】 3 或 3 二、解答题： （本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 1.命题 p：?x ? R, x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ， 命题 q：?x ? R, ax2 ? x ? 1 ? 0 恒成立。 若 p或q 为 真命题， p且q 为假命题，求实数 a 的取值范围。
2 解答：命题 p 为真，则 (a ?1) ? 4 ? 0 ，即 a ? 3 或 a ? ?1

命题 q 为真，则 ?

?a ? 0 1 ，即 a ? …………………………4 分 4 ?1 ? 4a ? 0

由题意得，命题 p 和命题 q 一真一假

?a ? 3或a ? ?1 ? ⑴ 命题 p 真，命题 q 假，则 ? 1 a? ? ? 4
??1 ? a ? 3 ? ⑵ 命题 p 假，命题 q 真，则 ? 1 a? ? ? 4
综合得： a ? ?1 或

解得 a ? ?1 …………………………9 分

解得

1 ?a?3 4

1 ? a ? 3 …………………………14 分 4

2. （本题满分 14 分） 某高级中学共有学生 3000 名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级 女生 男生 523 487 高二年级 x 490 高三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.17. （1）问高二年级有多少名女生？ （2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取 300 名学生，问应在高三年级抽取多少 名学生？ 【解】 （1）由题设可知

x ? 0.17 ， 3000

所以 x=510.

………………………6 分

（2）高三年级人数为 y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9 分 现用分层抽样的方法在全校抽取 300 名学生，应在高三年级抽取的人数为：

300 ? 990 ? 99 名. 3000

………………………12 分

答： （1）高二年级有 510 名女生； （2）在高三年级抽取 99 名学生．……………14 分 3． （本小题满分 15 分） 在平面直角坐标系中， 设 ?ABC 的顶点分别为 A(0, 2), B(?1,0), C (2,0) ， 圆 M 是 ?ABC 的 外接圆，直线 l 的方程是 (2 ? m) x ? (2m ? 1) y ? 3m ? 1 ? 0(m ? R) （1）求圆 M 的方程； （2）证明：直线 l 与圆 M 相交； （3）若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 3,求 l 的方程．

?4 ? 2 E ? F ?0 ? D ? ?1 ? ? 解（1）设圆 M 的方程为：x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ，则 ?1 ? D ? F ? 0 解得 ? E ? ?1 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? F ? ?2 ? ?
2 2

?圆 M

的方程为： x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 （答案写成标准方程也可） --------5 分
2 2

（2）直线 l 的方程变为： ( x ? 2 y ? 3)m ? 2 x ? y ? 1 ? 0

令?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 1 得? ， ? 直线 l 过定点 P(1,1). ?2 x ? y ? 1 ? 0 ? y ? 1
内，所以直线 l 与圆 M 相交.

12 ? 12 ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ，
--------10 分

? P 在圆 M

（3）圆 M 的标准方程为： ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

5 ，由题意可以求得圆心 M 到直 2

线 l 的距离

1 ，? 2

1 1 1 ? m ? m ? ? 3m ? 1 2 2 (m ? 2) ? (2m ? 1)
2 2

?

1 ，化简得 2

3 1 ? m? 2 2 5m ? 5
2

?

1 ，解得 2

m1 ? ?2, m2 ?

1 ，? 所求直线 l 的方程为： x ? 1 或 y ? 1 . 2

--------15 分

4.（本题满分 10 分） x2 y2 3 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，短轴长 a b 2 是 2． （1）求 a，b 的值； （2）设椭圆 C 的下顶点为 D，过点 D 作两条互相垂直的直线 l1，l2，这两条直线与椭圆

S C 的另一个交点分别为 M， N． 设 l1 的斜率为 k(k≠0)， △DMN 的面积为 S， 当 ∣k∣ 16 ＞ 时，求 k 的取值范围． 9
y l2 N O D （第 20 题图） x

l1 M

? ?c＝ 3， ．解（1）设椭圆 C 的半焦距为 c，则由题意得?a 2 又 a2＝b2＋c2， ?b＝1， ?
解得 a＝2，b＝1． x2 （2）由（1）知，椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1， 4 所以椭圆 C 与 y 轴负半轴交点为 D(0，－1)． 因为 l1 的斜率存在，所以设 l1 的方程为 y＝kx－1． 4k2－1 x2 8k 代入 ＋y2＝1，得 M( )， 2， 4 1＋4k 1＋4k2 从而 DM＝ ……………… 4 分

(

2 8∣k∣ 1＋k2 8k 2 4k －1 2 ． 2) ＋( 2＋1) ＝ 1＋4k 1＋4k 1＋4k2

……………… 6 分

8 1＋k2 1 用－ 代 k 得 DN＝ ． k 4＋k2
2 2 1 8∣k∣ 1＋k 8 1＋k 所以△DMN 的面积 S＝ ? ? 2 2 2 1＋4k 4＋k

＝ 则

32(1＋k2)∣k∣ ． (1＋4k2)(4＋k2)

……………… 8 分

32(1＋k2) S ＝ ， ∣k∣ (1＋4k2)(4＋k2)

32(1＋k2) S 16 16 因为 ＞ ，即 ＞ ， ∣k∣ 9 (1＋4k2)(4＋k2) 9 7 整理得 4k4－k2－14＜0，解得－ ＜k2＜2 4 所以 0＜k2＜2，即－ 2＜k＜0 或 0＜k＜ 2 ． 从而 k 的取值范围为(－ 2，0)∪(0， 2)．