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高二数学期末小练习教师版


高二数学期末小练习
一、填空题 1.命题: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 的否定是 ▲ .答案: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0
S ?0

2.抛物线 y ?
2

1 x 的焦点坐标为 2

▲ .答案: ( , 0)

1 8

>
For I from 1 to 10 S?S?I End for Print S End

3.根据右图的算法,输出的结果是

▲ .3.55 (第 3 题图)

4.若双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率为 2,则 m 的值为 ▲ 3. m

2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , x ? 3y ? 1 ? 0 , l2 : 5. 已知直线 l1 : 若 l1 ∥ l2 , 则实数 a 的值是 ▲ . . 5

6.将一枚骰子(形状为正方体,六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的玩具)先后抛 掷两次,骰子向上的点数依次为 x, y .则 x ? y 的概率为 ▲ .

5 6

7.在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6)的同 学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 73 2 76 3 76 4 77 5 72

则这 6 位同学成绩的方差是

▲ .8.

10 3

8.若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值 为 ▲ . 10.-1

9.如图 2-4-2 所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽________m.

图 2-4-2 x2 y2 10 10.若椭圆 5 + m=1 的离心率为 e= 5 ,则实数 m 的值等于________. 5-m 10 10 【解析】 若 m<5,则 e= 5 = ,解得 m=3;若 m>5,则 e= 5 = 5

m-5 25 25 ,解得 m= 3 .所以 m=3 或 m= 3 . m
25 【答案】 3 或 3 二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 1.命题 p:?x ? R, x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 , 命题 q:?x ? R, ax2 ? x ? 1 ? 0 恒成立。 若 p或q 为 真命题, p且q 为假命题,求实数 a 的取值范围。
2 解答:命题 p 为真,则 (a ?1) ? 4 ? 0 ,即 a ? 3 或 a ? ?1

命题 q 为真,则 ?

?a ? 0 1 ,即 a ? …………………………4 分 4 ?1 ? 4a ? 0

由题意得,命题 p 和命题 q 一真一假

?a ? 3或a ? ?1 ? ⑴ 命题 p 真,命题 q 假,则 ? 1 a? ? ? 4
??1 ? a ? 3 ? ⑵ 命题 p 假,命题 q 真,则 ? 1 a? ? ? 4
综合得: a ? ?1 或

解得 a ? ?1 …………………………9 分

解得

1 ?a?3 4

1 ? a ? 3 …………………………14 分 4

2. (本题满分 14 分) 某高级中学共有学生 3000 名,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 523 487 高二年级 x 490 高三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.17. (1)问高二年级有多少名女生? (2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取 300 名学生,问应在高三年级抽取多少 名学生? 【解】 (1)由题设可知

x ? 0.17 , 3000

所以 x=510.

………………………6 分

(2)高三年级人数为 y+z=3000-(523+487+490+510)=990,………………9 分 现用分层抽样的方法在全校抽取 300 名学生,应在高三年级抽取的人数为:

300 ? 990 ? 99 名. 3000

………………………12 分

答: (1)高二年级有 510 名女生; (2)在高三年级抽取 99 名学生.……………14 分 3. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系中, 设 ?ABC 的顶点分别为 A(0, 2), B(?1,0), C (2,0) , 圆 M 是 ?ABC 的 外接圆,直线 l 的方程是 (2 ? m) x ? (2m ? 1) y ? 3m ? 1 ? 0(m ? R) (1)求圆 M 的方程; (2)证明:直线 l 与圆 M 相交; (3)若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 3,求 l 的方程.

?4 ? 2 E ? F ?0 ? D ? ?1 ? ? 解(1)设圆 M 的方程为:x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则 ?1 ? D ? F ? 0 解得 ? E ? ?1 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? F ? ?2 ? ?
2 2

?圆 M

的方程为: x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 (答案写成标准方程也可) --------5 分
2 2

(2)直线 l 的方程变为: ( x ? 2 y ? 3)m ? 2 x ? y ? 1 ? 0

令?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 1 得? , ? 直线 l 过定点 P(1,1). ?2 x ? y ? 1 ? 0 ? y ? 1
内,所以直线 l 与圆 M 相交.

12 ? 12 ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 ,
--------10 分

? P 在圆 M

(3)圆 M 的标准方程为: ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

5 ,由题意可以求得圆心 M 到直 2

线 l 的距离

1 ,? 2

1 1 1 ? m ? m ? ? 3m ? 1 2 2 (m ? 2) ? (2m ? 1)
2 2

?

1 ,化简得 2

3 1 ? m? 2 2 5m ? 5
2

?

1 ,解得 2

m1 ? ?2, m2 ?

1 ,? 所求直线 l 的方程为: x ? 1 或 y ? 1 . 2

--------15 分

4.(本题满分 10 分) x2 y2 3 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴长 a b 2 是 2. (1)求 a,b 的值; (2)设椭圆 C 的下顶点为 D,过点 D 作两条互相垂直的直线 l1,l2,这两条直线与椭圆

S C 的另一个交点分别为 M, N. 设 l1 的斜率为 k(k≠0), △DMN 的面积为 S, 当 ∣k∣ 16 > 时,求 k 的取值范围. 9
y l2 N O D (第 20 题图) x

l1 M

? ?c= 3, .解(1)设椭圆 C 的半焦距为 c,则由题意得?a 2 又 a2=b2+c2, ?b=1, ?
解得 a=2,b=1. x2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y2=1, 4 所以椭圆 C 与 y 轴负半轴交点为 D(0,-1). 因为 l1 的斜率存在,所以设 l1 的方程为 y=kx-1. 4k2-1 x2 8k 代入 +y2=1,得 M( ), 2, 4 1+4k 1+4k2 从而 DM= ……………… 4 分

(

2 8∣k∣ 1+k2 8k 2 4k -1 2 . 2) +( 2+1) = 1+4k 1+4k 1+4k2

……………… 6 分

8 1+k2 1 用- 代 k 得 DN= . k 4+k2
2 2 1 8∣k∣ 1+k 8 1+k 所以△DMN 的面积 S= ? ? 2 2 2 1+4k 4+k

= 则

32(1+k2)∣k∣ . (1+4k2)(4+k2)

……………… 8 分

32(1+k2) S = , ∣k∣ (1+4k2)(4+k2)

32(1+k2) S 16 16 因为 > ,即 > , ∣k∣ 9 (1+4k2)(4+k2) 9 7 整理得 4k4-k2-14<0,解得- <k2<2 4 所以 0<k2<2,即- 2<k<0 或 0<k< 2 . 从而 k 的取值范围为(- 2,0)∪(0, 2).


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