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10章3课时空间点、线、面之间的位置关系训练

时间:2010-11-15


1.给出下列命题: ①若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线,直线 c 是 α 与 β 的交线,那么 c 至多与 a、b 中的一条相交;②若直线 a 与 b 异面,直线 b 与 c 异面,则直线 a 与 c 异面;③一定存在平面 α 同时 和异面直线 a、b 都平行.其中正确的命题为( ) A.① B.② C.③ D.①③ 解析:选 C.①错,c 可与 a、b 都相交; ②错,因为 a、c 可能相交也可能平行; ③正确, 例如过异面直线 a、 的公垂线段的中点且与公垂线垂直 b 的平面即可满足条件.故选 C. 2.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、 G、H 四点,如果 EF 与 HG 交于点 M,那么( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在直线 AC 上,也可能在直线 BD 上 D.M 既不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上 解析:选 A.平面 ABC∩平面 ACD=AC,M∈平面 ABC,M∈平面 ACD,从而 M∈AC. 3. 如图所示, 平面 α∩平面 β=l, A∈α, B∈α, AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面 ABC 与平面 β 的交线是( ) A.直线 AC B.直线 AB C.直线 CD D.直线 BC 解析:选 C.由题意,D∈l,l?β,∴D∈β. 又 D∈AB,∴D∈平面 ABC, 即 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上. 又 C∈平面 ABC,C∈β, ∴点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上. 从而有平面 ABC∩平面 β=CD. 4.下列命题中正确的有几个( ) ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于 P、

Q、R,则 P、Q、R 三点共线; ②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点, 则这四条直线共面; ③空间中不共面五个点一定能确定 10 个平面. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 C.在①中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 上,又在 平面 α 上,所以这三点必在平面 ABC 与 α 的交线上,即 P、Q、R 三 点共线,故①正确;在②中,因为 a∥b,所以 a 与 b 确定一个平面 α, 而 l 上有 A、B 两点在该平面上,所以 l?α,即 a、b、l 三线共面于 α; 同理 a、c、l 三线也共面,不妨设为 β,而 α、β 有两条公共的直线 a、 l,∴α 与 β 重合,故这些直线共面,故②正确;在③中,不妨设其中 四点共面,则它们最多只能确定 7 个平面,故③错. 5.已知平面外一点 P 和平面内不共线三点 A、B、C,A′、B′、 C′分别在 PA、PB、PC 上,若延长 A′B′、B′C′、A′C′与平 面分别交于 D、E、F 三点,则 D、E、F 三点( ) A.成钝角三角形 B.成锐角三角形 C.成直角三角形 D.在一条直线上 解析:选 D.D、E、F 为已知平面与平面 A′B′C′的公共点, 由公理 2 知,D、E、F 共线. 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,F 分别是 AA1,CC1 的中点,P 是 CC1 上的动点(包括端点),过点 E、D、P 作正方体的截面,若截面 为四边形,则 P 的轨迹是( ) B.线段 CF A.线段 C1F C.线段 CF 和一点 C1 D.线段 C1F 和一点 C 解析:选 C.如图, DE∥平面 BB1C1C, ∴平面 DEP 与平面 BB1C1C 的交 线 PM∥ED,连结 EM, 易证 MP=ED, ∴MP 綊 ED,则 M 到达 B1 时仍 可构成四边形,即 P 到 F.而 P 在 C1F 之间,不满足要求.P 到点 C1 仍可构 成四边形.

7.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为 (注: 把你 认为正确的结论的序号都填上). 解析:直线 AM 与 CC1 是异面直线,直 线 AM 与 BN 也是异面直线,故①①错误. 答案:③④ 8.在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,过 对角线 BD′的一个平面交 AA′于 E, CC′ 交 于 F,则 ①四边形 BFD′E 一定是平行四边形; ②四边形 BFD′E 有可能是正方形; ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投 影一定是正方形; ④平面 BFD′E 有可能垂直于平面 BB′ D. 以上结论正确的为 .(写出所有正确结论的编号) 解析:由平行平面的性质可得①,当 E、F 为棱中点时,四边形 为菱形,但不可能为正方形.③③显然正确. 答案:①③④ 9.空间四边形 ABCD 中,各边长均为 1,若 BD=1,则 AC 的取 值范围是__________. 解析:如图①所示,△ABD 与△BCD 均为边长为 1 的正三角形, 当△ABD 与△CBD 重合时,AC=0,将△ABD 以 BD 为轴转动,到 A, B,C,D 四点再共面时,AC= 3,如图②,故 AC 的取值范围是 0<AC< 3.

答案:(0, 3)

10. 如 图 所 示 , 空 间 四 边 形 ABCD 中,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 上的点,请回 答下列问题: (1)满足什么条件时,四边形 EFGH 为平行四边形? (2)满足什么条件时,四边形 EFGH 为矩形? (3)满足什么条件时,四边形 EFGH 为正方形? 解:(1)当 E,F,G,H 分别为所在边的中点时,四边形 EFGH 为平行四边形,证明如下: ∵E,H 分别是 AB,AD 的中点, 1 1 ∴EH 綊2BD,同理,FG 綊2BD. 从而 EH 綊 FG,所以四边形 EFGH 为平行四边形. (2)当 E,F,G,H 分别为所在边的中点且 BD⊥AC 时,四边形 EFGH 为矩形. (3)当 E,F,G,H 分别为所在边的中点且 BD⊥AC,AC=BD 时, 四边形 EFGH 为正方形. 11. 如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD, 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, 1 1 ∠BAD=∠FAB=90°,BC 綊2AD,BE 綊2 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边 形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什 么? 解:(1)证明:由题设知,FG=GA, FH=HD, 1 所以 GH 綊2AD. 1 又 BC 綊2AD,故 GH 綊 BC. 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点共面.理由如下:

1 由 BE 綊2AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF,所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面.又点 D 在直 线 FH 上,所以 C、D、F、E 四点共面. 12.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1C1 上有一点 P(如图所示, 其中 P 点不 在对角线 B1D1 上). (1)过 P 点在空间中作一直线 l,使 l∥直线 BD,应该如何作图?并说明理 由; (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,使 m 与直线 BD 成 α 角, π 其中 α∈(0,2],这样的直线有几条,应该如何作图? 解:(1)连结 B1D1,在平面 A1C1 内过 P 作直线 l, 使 l∥B1D1,则 l 即为所求作的直线. ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线 BD. (2)在平面 A1C1 内作直线 m, 使直线 m 与 B1D1 相交成 α 角, ∵BD∥B1D1,∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角, 即直线 m 为所求作的直线. 由图知 m 与 BD 是异面直线, π 且 m 与 BD 所成的角 α∈(0,2]. π 当 α=2时,这样的直线 m 有且只有一条, π 当 α≠2时,这样的直线 m 有两条.


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