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2014届高三数学 空间几何体的三视图、表面积及体积期末复习测试卷 文

时间:2014-01-24


空间几何体的三视图、表面积及体积
(40 分钟) 一、选择题 1.(2013·成都模拟)已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 2cm 的正方形,则这个四 面体的主视图的面积为 ( )

A. C.4

cm

2

B.2
2

cm D

.8

2

cm

cm

2

2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为( )

A.16+8π C.16+16π

B.8+8π D.8+16π

3.(2013· 广州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是一个正三角形,则该几何 体的外接球 的表面积为( )

-1-

A. C.

π π

B. D.

π π

4.(2013· 大同模拟)如图 1,边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,将△ADE,△CDF,△BEF 折 起,使 A,C,B 三点重合于 G,所得三棱锥 G-DEF 的俯视图如图 2,则该三棱锥正视图 的面积为( )

A. C.

B. D. )

5.(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是(

-2-

A.4 二、填空题

B.

C.

D.6

6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是

.

7.(2013·江苏高考)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中 点 , 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2, 则 V1 ∶ V2= .

8.(2013·重庆模拟)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的 体积是 m.
3

-3-

三、解答题 9.下列三个图中,左边是一个正方体截去一 个角后所得多面体的直观图.右边两个是其正(主)视图和侧(左) 视图.

(1)请在正(主)视图的下方,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程). (2)求该多面体的体积(尺寸如图). 10.已知四面体 ABCD(图 1),将其沿 AB,AC,AD 剪开,展成的平面图形正好是图 2 所示的直角梯形 A1A2A3D(梯 形的顶点 A1,A2,A3 重合于四面体的顶点 A). (1)证明:AB⊥CD. (2)当 A1D=10,A1A2=8 时,求四面体 ABCD 的体积.

-4-

11.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 的中点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图 所示. (1)证明:AD⊥平面 PBC. (2)求三棱锥 D-ABC 的体积. (3)在∠ACB 的平分线上确定一点 Q,使得 PQ∥平面 ABD,并求此时 PQ 的长.

答案解析 1.【解析】选 B.由俯视图可知,该四面体可看作如图所示的正方体中的一个几何体 AMNC,该正方体的棱长 为 2,故四面体的主视图为三角形,其面积为 ×2 ×2=2 (cm ).
2

2.【解题提示】观察三视图,根据三视图确定几何体的构成,利用圆柱及长方体的体积公式求解. 【解析】选 A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为 ×π ×2 ×
-52

4+2×2×4=16+8π .

3.【解析】选 B.由题意知,外接球球心在侧视图的高上,设为 O,半径为 r,则 r =( 从而 S=4π r =
2

2

-r) +1,解得 r=

2

,

. × ×h= × ×1×1×2,得 h= ,

4.【解析】选 B.设正视图的高为 h,VG-DEF=VD-GEF= × × 所以正视图 S= × × = .

5.【解析】选 B.四棱台的上下底面均为正方形,两底面边长和高分别为 1,2,2, V 棱台= (S 上+S 下+ )h= (1+4+ )×2= .

6.【解析】由三视图可知,四棱锥的高 为 2,底面为直角梯形 ABCD.其中 DC=2,AB=3,BC= 体积为 × ×2= .

,所以四棱锥的

答案: 【误区警示】解答本题时易因不能确定四棱锥的底面边长而无法求解. 7.【解析】设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S,三棱柱的高为 h,则其体积为 V2=Sh.因为 D,E 分别为 AB,AC 的 中点,所以△ADE 的面积等于 S,又因为 F 为 AA1 的中点,所以三棱锥 F-ADE 的高等于 h,于是三棱锥 F-ADE 的体积 V1= × S· h= Sh= V2,故 V1∶V2=1∶24.
-6-

答案:1∶2 4 8.【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,高为 2m,底面积为 ×2×2=2(m ). 所以其体积为 ×2×2= (m ). 答案: 9.【解析】(1)作出俯视图如图所示.
3 2

(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱锥 体积 = · 正方体体积
3

·A1E= × =2 =8, .

×1= ,

所以所求多面体的体积 V=8- =

【变式备选】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAD. (2)求三棱锥 E-ABC 的体积 V.

【解析】(1)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,所以 EF∥BC. 又 BC∥AD,所以 EF∥AD, 又因为 A D? 平面 PAD,EF?平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD.
-7-

(2)过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G,

则 EG⊥平面 ABCD,且 EG= PA. 在△PAB 中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2, 所以 AP=AB= ,EG= . ×2= × = . ,

所以 S△ABC= AB·BC= × 所以 V= S△ABC·EG= ×

10.【解析】(1)在四面体 ABCD 中,

? AB⊥平面 A CD? AB⊥CD.

(2)在题图 2 中作 DE⊥A2A3 于 E.

因为 A1A2=8,所以 DE=8. 又因为 A1D=A3D=10, 所以 EA3=6,A2A3=10+6=16. 又 A2C=A3C,所以 A3C=8, 即题图 1 中 AC=8,AD=10, 由 A1A2=8,A1B=A2B 得题图 1 中 AB=4, 所以 S△ACD= = DE·A3C= ×8×8=32.

又因为 AB⊥平面 ACD, 所以 VB-ACD= ×32×4= .
-8-

11.【解析】(1)因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC, 又 AC⊥BC,PA∩AC=C,所以 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥AD.由三视图可得,在△PAC 中,PA=AC=4,且 D 为 PC 中点, 所以 AD⊥PC,又 BC∩PC=C, 所以 AD⊥平面 PBC. (2)由三视图可得 BC=4, 由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面 PAC, 又三棱锥 D-ABC 的体积即为三棱锥 B-ADC 的体积, 所以,所求三棱锥的体积 V= × ×2 ×2 ×4= .

(3)取 AB 的中点 O,连接 CO 并延长至 Q,使得 CQ=2CO,点 Q 即为所 求.

连接 OD,PQ,AQ,BQ, 因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ∥OD, 因为 PQ?平面 ABD,OD? 平面 ABD,所以 PQ∥平面 ABD, 四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 所以 ACBQ 为平行四边形,所以 AQ=4,又 PA⊥平面 ABC, 所以在直角△PAQ 中,PQ= =4 .

-9-


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