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向量的运算法则


(1)实数与向量的运算法则:设 ? 、 ? 为实数,则有: 1)结合律: ? (?a) ? (?? )a 。 2)分配律: (? ? ? ) ? ?a ? ?a , ? (a ? b) ? ?a ? ?b 。 (2)向量的数量积运算法则: 1) a ? b ? b ? a 。 2) (?a) ? b ? ? (a ? b) ? ?a ? b ? a(?b) 。 3) (a ? b

) ? c ? a ? c ? b ? c 。 (3)平面向量的基本定理。
e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任何一向量 a , 有且仅有一

对实数 ?1, ?2 ,满足 a ? ?1e1 ? ?2e2 。 (4) a 与 b 的数量积的计算公式及几何意义: a ? b ?| a || b | cos? ,数量积 a ? b 等于 a 的 长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos? 的乘积。 (5)平面向量的运算法则。 1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。 2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。

??? ??? ??? ? ? ? 3)设点 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 。
4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y) 。 5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) 。 (6)两向量的夹角公式:
cos ? ? x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ) 。

(7)平面两点间的距离公式: ??? ? ??? ??? ? ? 。 d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ) (8)向量的平行与垂直:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则有: 1) a || b ? b = ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 2) a ? b ( a ? 0) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 。 (9)线段的定比分公式:

??? ? ???? 设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是线段 P1 P2 的分点, ? 是实数,且 PP ? ? PP2 ,则 1 1

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 ???? ???? ? ??? OP ? ? OP2 ? ??? ? ???? ???? ? 1 1? ? 1 ) 。 ? OP ? ? OP ? tOP ? (1 ? t )OP2 ( t ? 1 1? ? y1 ? ? y2 1? ? 1? ?

(10)三角形的重心公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 C ( x3 , y3 ) ,则△ABC 的重心的坐 标为 G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , )。 3 3 (11)平移公式:
???? ??? ???? ? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ? OP' ? OP ? PP' 。 ?? ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?

(12)关于向量平移的结论。 1)点 P( x, y ) 按向量 a = (h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) 。 2)函数 y ? f ( x) 的图像 C 按向量 a = (h, k ) 平移后得到图像 C ' : y ? f ( x ? h) ? k 。 3)图像 C ' 按向量 a = (h, k ) 平移后得到图像 C : y ? f ( x) ,则 C ' 为 y ? f ( x ? h) ? k 。 4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a = (h, k ) 平移后得到图像 C ' : f ( x ? h, y ? k ) ? 0 。

设 a=(x,y),b=(x',y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法 OB+OA=OC。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 [1] 2、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被

向量的减法 减” a=(x,y)b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 如图:c=a-b 以 b 的结束为起点,a 的结束为终点。

3、向量的数乘 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量, 记作 λ a, 且∣λ a∣=∣λ ∣·∣a∣。 当 λ >0 时,λ a 与 a 同方向 当 λ <0 时,λ a 与 a 反方向;

向量的数乘 当 λ =0 时,λ a=0,方向任意。 当 a=0 时,对于任意实数 λ ,都有 λ a=0。 注:按定义知,如果 λ a=0,那么 λ =0 或 a=0。 实数 λ 叫做向量 a 的系数,乘数向量 λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的 有向线段伸长或压缩。 当 λ >1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向(λ >0)或反方向(λ <0)上 伸长为原来的∣λ ∣倍 当 λ <1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向(λ >0)或××反方向(λ <0) 上缩短为原来的∣λ ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λ a)·b=λ (a·b)=(a·λ b)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ +μ )a=λ a+μ a. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ (a+b)=λ a+λ b. 数乘向量的消去律: 如果实数 λ ≠0 且 λ a=λ b, ① 那么 a=b。 如果 a≠0 ② [2] 且 λ a=μ a,那么 λ =μ 。 4、向量的数量积 定义:已知两个非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角,记作〈a,b〉并规定 0≤〈a,b〉≤π

定义: 两个向量的数量积 (内积、 点积) 是一个数量 (没有方向) 记作 a·b。 , 若 a、b 不共线,则 a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉(依定义有:cos〈a,b〉 =a·b / |a|·|b|);若 a、b 共线,则 a·b=±∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λ a)·b=λ (a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα | 因为 0≤|cosα |≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|) 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1.向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如: (a·b)^2≠a^2·b^2。 2.向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。 3.|a·b|与|a|·|b|不等价 4.由 |a|=|b| ,推不出 a=b 或 a=-b。 5、向量的向量积 定义:两个向量 a 和 b 的向量积

向量的几何表示 (外积、叉积)是一个向量,记作 a×b(这里“×”并不是乘号,只是一 种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若 a、b 不共线,则 a×b 的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b 的方向是:垂直于 a 和 b, 且 a、b 和 a×b 按这个次序构成右手系。若 a、b 垂直,则 a×b=0。

向量的向量积性质: ∣a×b∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a 垂直 b〈=〉a×b=0 向量的向量积运算律 a×b=-b×a (λ a)×b=λ (a×b)=a×(λ b) a×(b+c)=a×b+a×c. 注:向量没有除法,“向量 AB/向量 CD”是没有意义的。 6、三向量的混合积 定义:给定空间三向量 a、b、c,向量 a、b 的向量积 a×b,再和向量 c 作 数量积(a×b)·c,

向量的混合积 所得的数叫做三向量 a、b、c 的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即 (abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 混合积具有下列性质: 1.三个不共面向量 a、b、c 的混合积的绝对值等于以 a、b、c 为棱的平行 六面体的体积 V,并且当 a、b、c 构成右手系时混合积是正数;当 a、b、c 构成左手系时, 混合积是负数, 即(abc)=ε V (当 a、 c 构成右手系时 ε =1; b、 当 a、b、c 构成左手系时 ε =-1) 2.上性质的推论:三向量 a、b、c 共面的充要条件是(abc)=0 3.(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4.(a×b)·c=a·(b×c)

7.例题

正方形 ABCD,EFGA,CHIK 首尾相连,L 是 EH 中点,求证 LB⊥GK? 设 AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc' ﹙*﹚FH=-a+c+c'+b LB=FH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从 ﹙*﹚:﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=??=0. ∴LB⊥GK
8、三向量二重向量积 由于二重向量叉乘的计算较为复杂,于是直接给出了下列化简公式以及证 明过程:

二重向量叉乘化简公式及证明


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