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§5.2正弦函数的性质与图像(一)

时间:2013-03-09


3月11日

5.1 从单位圆看正弦函数的性质
函数 y=sinx y 1
正弦函数y=sinx有以下 性质: (1)定义域:R (2)值域:[-1,1] (3)是周期函数,最 小正周期是2? (4)在[ 0, ? ]上的单 2 调性是:

sinα=v

P(u,v)
o α M 1 x

-1

? [ 0,2 ]上增加;[ 2, ] 3? 上减少;[ ? ,2 ]上减少; 3? 2? [ , 2]上增加。

?

?

-1

5.2 正弦函数的图象

1. sinα的几何意义.

y
想一想?
P

o

M

1

x

设任意角α的终边与 单位圆交于点P,过 点P做x轴的垂线,垂 足为M,我们称MP为 角α的正弦线,P叫正 弦线的终点。

注:MP看成是带方向的线段,其中M为起点,P 为终点,我们称线段MP为角α的正弦线。

5.2 正弦函数的图象

1.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? (1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
6
1 2

x
y

0

?
3
3 2

?
2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1

?1 2

?

3 2

?1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点

y

10

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

(3) 连线

?1 -

5.2 正弦函数的图象
2. 函数 y ? sin x, x ? 0,2? 图象的几何作法
y

?

?

作法: (1) 将圆12等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

-

-

-

o1

M1 -1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

5.2 正弦函数的图象
3.正弦曲线
y
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o-1

2?
-

4?
-

-

6?
-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

y ?sin x, x ?[0,2?]

y ? sin x, x ? R

5.2 正弦函数的图象
4.五点作图法
y
1-

图象的最高点 ( 与x轴的交点
?
6

?
2

,1)

(0,0) (? ,0) (2? ,0)
-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

图象的最低点

? ( 32 ,?1)

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

五点 :

?0 , 0?

?? ? ? , 1? ?2 ?

??

, 0?

? 3? ? , ? 1? ? ? 2 ?

?2?

, 0?

例1.作出 y= -sinx, x? [0, 2? ] 的图象。
解:(1)

x y=sinx
y 1

0 0

π 2

π
0 0

3π 2

2?
0 0

1 -1

-1 1

y=-sinx 0

.
.
? 2

y= -sinx,
2?

x? [0,2? ]
x

-1

.

. ?

3? 2

.

y ? sinx, ?[0,2π] x

例2.画出y=1+sinx , x∈[0, ]的简图
x
sinx
1 ? sinx

0

0
1

π 2 1

π
0
1

3π 2

2?
0
1

-1
0

2

2 y
1. o -1

.
π 2

y ? 1 ? sinx, ?[0,2π] x

.
?

.

. 3π
2

2?

x

y ? sinx, ?[0,2π] x

1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0, ]的简图

. . 2
1 o -1
π 2

y

y=sinx+2, x∈[0, ]

.

.

.
?
3π 2

2?

x

y ? sinx, ?[0,2π] x

2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0, ]的简图

2 y
1 o -1.
y ? sinx, ?[0,2π] x

. π
2

?

.

3π 2

2?

.

x

y=sinx-1, x∈[0, ]

.

作出下列函数的图象
x

y ? 3 si n x ? 0
0

x ? [0 , 2? ]

sinx
3Sinx

2 1
3

?
0
0

3? 2

2?
0
0

-1
-3

y

3? o

0

? 1? ?
?
2

?

3? 2

2?

y ? sinx, x ? [0,2?]

作业: P29

2 、3

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