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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第5届)无答案

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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 5 届) 1. 找出下列方程的所有实数根(其中 p 是实参数) : ( x 2 ? p ) ? 2 ( x 2 ? 1) ? x . 2. 给定一点 A 及线断 BC, 设空间中一点 P 使得存在线段 BC 上有一点 X 满足 角 APX 是直角,试求出所有这样的点 P 的轨迹. 3. 在一个 n 边形中,所有内角都相等,边长依次是 a1 ≥ a2≥ ... ≥ an, 求证:所有边长都相等. 4. 设 y 是一个参数,试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, ... , 5)的所有解 x1, ..., x5. 5. 求证 cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2. 6. 五个同学 A、 B、 C、 D、 E 参加竞赛, 一种猜测说比赛结果的名次依然是 ABCDE. 但 是实际上没有一位同学的名次被猜中,而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻(例 如,C、D 两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种) .还有一种 猜测说结果会是 DAECB 的顺序.实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样; 而且有两对同学(4 个不同的同学)的名次像预测中的一样是相连.试讨论最后的名次 如何? 1

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