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广东高三文科数学历年真题(立体几何大题)

时间:2013-11-02


广东文科数学历年真题(立体几何大题)
2011 广东文数 2. (本小题满分 13 分) 图 5 所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一

? ? ? ? 半沿切面向右水平平移后得到的. A, A?, B, B? 分别为 CD , C ?D? , DE , D?E ? 的中点,
O1 , O1? , O2 , O2? 分别为 CD , C ?D? ,

DE , D?E? 的中点.
(1)证明: O1? , A?, O2 , B 四点共面; (2)设 G 为 AA? 中点,延长 A?O1? 到 H ? ,使得 O1? H ? ? A?O1? .证明: BO2? ? 平面

H ?B?G .

A?
C?
O1?

D?

O2?

E?

H?
G

B?

A
C
O1

D
B
图5

O2

E

2012年广州一模 1. (本小题满分14分) 如图 5 所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ?

6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,

PD ? AC 于点 D , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明△ PBC 为直角三角形.

P

A

D B
图5

C

1

2010 年广东文数 3.(本小题满分 14 分) 如图 4, 弧AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为
w_w w. k#s5_u.c o *m

线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.
w_w*w.k_s_ 5 u.c*o*m

2009 年广东文数 4.(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

2

2008 年广东文数 5.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆 的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积.
P

A

D

B C

1. (2012年广州一模) (1)证明:因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC , PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC . 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC , 所以 BE ? AC . 因为 AB ? BC ? 所以 BE ?

6 , AC ? 4 ,

BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .

所以△ ABC 的面积 S?ABC ? 因为 PD ? 2 ,

1 ? AC ? BE ? 2 2 . 2
1 4 2 1 . ? S?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 2 ? 3 3 3

所以三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?

(2)证法 1:因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 2 , CD ? 3 , 所以 PC ?

P

PD ? CD ? 2 ? 3 ? 13 .
2 2 2 2

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中, 因为 ?BED ? 90 , BE ?
o

2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

A
? 12 ? 3 .
3

E D B
C

由(1)知 PD ? 平面 ABC ,又 BD ? 平面 ABC , 所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 ?PDB ? 90o , PD ? 2 , BD ? 3 , 所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ? 22 ?

? 3?

2

? 7.

在 ?PBC 中,因为 BC ? 6 , PB ? 所以 BC ? PB ? PC .
2 2 2

7 , PC ? 13 ,

所以 ?PBC 为直角三角形. 证法 2:连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ?
o

2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .

P

在△ BCD 中, CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 , 所以 BC ? BD ? CD ,所以 BC ? BD .
2 2 2

由(1)知 PD ? 平面 ABC , 因为 BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD . 因为 BD ? PD ? D , 所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . 所以 ?PBC 为直角三角形. 2.(2011 广东文数) 证明: (1)连接 BO2 , O2O2? , 依题意得 O1 , O1? , O2 , O2? 是圆柱底面圆的圆心 ∴ CD, C?D?, DE, D?E? 是圆柱底面圆的直径

A

E D B
C

? ? ? ∵ A?, B, B? 分别为 C ?D? , DE , D?E ? 的中点
∴ ?A?O1? D? ? ?B?O2? D? ? 90 ∴ A?O1? ∥ BO2? ∵ BB? / / O2O2? ,四边形 O2O2? B?B 是平行四边形 ∴ BO2 ∥ BO2? ∴ A?O1? ∥ BO2
4
?

∴ O1? , A?, O2 , B 四点共面 (2)延长 A?O1 到 H ,使得 O1? H ? AO1? ,连接 HH ?, HO1? , HB ∵ O1? H ? ? A?O1? ∴ O1? H ? / / O2? B ? ,四边形 O1?O2? B ?H ? 是平行四边形 ∴ O1?O2? ∥ H ?B? ∵ O1?O2? ? O2O2? , O1?O2? ? B?O2? , O2O2? ? B?O2? ? O2? ∴ O1?O2? ? 面 O2O2? B?B ∴ H ? ? ? 面 O2O2? B?B , BO2? ? 面 O2O2? B?B B ∴ BO2? ? H ?B? 易知四边形 AA?H ?H 是正方形,且边长 AA? ? 2

? ∵ tan ?HO1 H ? ?

HH ? A?G 1 ? 2 , tan ?A?H ?G ? ? O1?H ? A?H ? 2

? ∴ tan ?HO1H ? ? tan ?A?H ?G ? 1
? ∴ ?HO1 H ? ? ?A?H ?G ? 90
∴ HO1? ? H ?G 易知 O1?O2? / / HB ,四边形 O1?O2? BH 是平行四边形 ∴ BO2? ∥ HO1? ∴ BO2? ? H ?G , H ?G ? H ?B? ? H ? ∴ BO2? ? 平面 H ?B?G . 3.(2010 年广东文数) 法一: (1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面
?

FBD
又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h .

5

∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a ) 2 ? a 2 ? 2 a

在 Rt?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ VF ? BDE ?

1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
∴ EF ?

6a, DE ? 5a ,在 Rt?FCD 中, FD ? 5a , ∴ S ?FED ?

21 2 a , 2

∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

法二:向量法,此处略,请同学们动手完成。 4.(2009 年广东文数) 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP ? EFGH ? VABCD ? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF

? cm ?
2

? PO ? HF

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;

6

5.(2008 年广东文数) 解: (1)因为 BD 是园的直径,所以 ?BAD ? 90 又△ADP~△BAD.
?

3 ? 4R2 ? AD DP AD 2 ? BD sin 60 ? 4 ? 3R 所以 ? , DP ? ? ? BA AD BA ? BD sin 30? ? 2 R ? 1 2 ? (2)在 Rt? BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2 R 2 2 2 2 2 因为 PD ? CD ? 9R ? 2R ? 11R ? 所以 PD ? CD 又 ?PDA ? 90 所以 PD ? 底面 ABCD ? 3 1 1 2 1 2? 3? 2 S? ABC ? AB ? BC sin ? 60? ? 45? ? ? R ? 2 R ? ? ? ? R ?? ? 2 2 2 2 2 2 ? 4 ? ? 三棱锥 P ? ABC 体积为
1 1 3 ?1 2 3 ?1 3 VP ? ABC ? ? S? ABC ? PD ? ? R ? 3R ? R 3 3 4 4

7


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