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高中数学【Word版题库】5.2 平面向量的基本定理及坐标表示


5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
一、填空题
1 1.已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a ? 3 b 等于_______. 2 2 1 a ? 3 b ? 1 (1?1) ? 3 (1? ?1) ? (?1? 2). 2 2 2 2 答案 (-1,2) 2.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)

∥c,则 m=

解析

________. 解析 由 a+b=(1,m-1)与 c=(-1,2)平行,得 2+m-1=0,所以 m=-1. 答案 -1 → 则顶点 D 的坐标为________. → → 解析 设 D(x,y),则由BC=2AD,得(4,3)=2(x,y-2), ?2x=4, 得? ?2? y-2? 7? ? 答案 ?2, ? 2? ? 4.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,S 为△ABC 的面积, 若向量 p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足 p∥q,则 C=________. 解析 由 p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)且 p∥q,得 4S=a2+b2-c2, 即 2abcos C=4S=2absin C,所以 tan C=1.又 0<C<π ,所以 C= 答案 π 4 π . 4 → 3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,

=3,

?x=2, 解得? 7 ?y=2.

→ 5.已知点 A(-1,-5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为________. 解析 →=(-1,-5),AB=3a=(6,9),故OB=OA+AB=(5,4),故点 B 坐标 → → → → OA

为(5,4). 答案 (5,4)

6.已知 a=(1,2),b=(-1,1),若 a⊥(a-λ b),则实数 λ =________. 解析 由 a-λ b=(1+λ ,2-λ )与 a=(1,2)垂直,得 1+λ +2(2-λ )=0, 解得 λ =5. 答案 5 7. 设 向 量 a=(1,2),b=(2,3), 若 向 量 ? a+b 与 向 量 c=(-4,-7) 共 线 , 则 . ?? 解析 ? a+b ? (? ? 2? 2? ? 3)? ∵向量 ? a+b 与向量 c=(-4,-7)共线, ∴ (? ? 2) ? (?7) ? (2? ? 3) ? (?4) ? 0? 即 ? ? 2 . 答案 2 8.在△ABC 中,a,b,c 为内角 A,B,C 的对边,向量 m=(1, 3)与 n=(cos A, sin A)平行,且 acos B+bcos A=csin C,则角 B=________. 解析 由 m 与 n 平行,得 所以 tan A= 3,A= π . 3 3cos A-sin A=0,

又由 acos B+bcos A=csin C,得 sin C=1,

C= ,所以 B= .
答案 π 6 π 2π ,∠BAD= , 6 3

π 2

π 6

9.如图,在四边形 ABCD 中,AB=2AD=1,AC= 3,且∠CAB= → → → 设AC=λ AB+μ AD,则 λ +μ =______.





解析 建立直角坐标系如图,则由AC=λ AB+μ AB,

? 3 1? 得( 3,0)=λ ? ,- ?+μ 2? ?2

? 3λ = 3, ?2 1? ? ?0, ?,即? 2? ? 1 1 ?-2λ +2μ =0, ?

解得 λ =μ =2,所以 λ +μ =4. 答案 4 → → 1 10.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2 CB,则实数 2

a=________.
→ → → ?x-7=2? ∵AC=2CB,∴? ?y-1=2? → 解析 设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y), 1-x? , 4-y? , ?x=3, 解得? ?y=3.

1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y= ax 上, 2 1 ∴3= a·3,∴a=2. 2 答案 2 11.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析 由题意,设 e1+e2=ma+nb. 又因为 a=e1+2e2,=-e1+e2, b 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1 +(2m+n)e2.

?m-n=1, 由平面向量基本定理,得? ?2m+n=1,

?m=2, ? 3 所以? 1 ?n=-3. ?

答案

2 3



1 3 → ),OP =(2+sinθ
2

→ 12. 设 0≤θ <2π ,已知两个向量OP1=(cosθ ,sinθ → cosθ ),则向量P P 长度的最大值是________.
1 2

,2-

→ 解析 P1P2=(2+sinθ -cosθ ,2-cosθ -sinθ ), → |P P |= 10-8cosθ ≤ 18=3 2.
1 2

答案 3 2 → → 13.如图,在正六边形 ABCDEF 中,P 是△CDE 内(包括边界)的动点,设AP=α AB

→ +β AF(α ,β ∈R),则 α +β 的取值范围是________.

解析 不妨以点 A 为原点,AD 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,结合正六边 形的特殊结构,当点 P 在 CE 上时 β =3,当 P 在 D 点时,α +β =4. 答案 [3,4] 【点评】 小题小做,特殊化解决问题. 二、解答题 14.已知三点 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式; ???? ??? ? (2)若 AC ? 2 AB? 求点 C 的坐标. 解析 (1)∵A(1,1),B(3,-1),C(a,b), ??? ? ???? ∴ AB ? (2? ?2)? AC ? (a ? 1? b ? 1), 又∵A,B,C 三点共线, ??? ? ???? ∴ AB ∥ AC? ∴2(b-1)-(a-1) (?2) ? 0 ? a ? b ? 2 .
???? ??? ? (2)若 AC ? 2 AB? 则(a-1,b-1)=2(2,-2)

? a ?1 ? 4 ? a ? 5? ?? ?? ?b ? 1 ? ? 4 ?b ? ? 3 ?

∴点 C 的坐标为(5,-3). → → → → 1 1 15.已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC= AB,DA=- BA,求点 C,D 的坐标和CD 3 3 的坐标. 解析 设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), → → DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). →

→ → → → 1 1 因为AC= AB,DA=- BA,所以有 3 3 ?x1+1=1, ? ?y1-2=2, ?-1-x2=1, 和? ?2-y2=2.

?x1=0, 解得? ?y1=4,

?x2=-2, 和? ?y2=0. →

所以点 C,D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0),从而CD=(-2,-4). → → → 16.如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点,OP=x·OA+y·OB.

→ →

→ → → → → → → → → → → → → → →

(1)若BP=PA,求 x,y 的值; (2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA与OB的夹角为 60°时,求OP·AB的值. 解析 (1)因为BP=PA,所以BO+OP=PO+OA, → → 1 1 即 2OP=OB+OA,所以OP= OA+ OB, 2 2 1 1 所以 x= ,y= . 2 2 → → → → → → (2)因为BP=3PA,所以BO+OP=3PO+3OA, → → → 3 1 3 1 即OP= OA+ OB,所以 x= ,y= . 4 4 4 4 → → ? → → → →? ?3 1 ?·(OB-OA) 故OP·AB=? OA+ OB? 4 ? ?4 → → → → → → 1 3 1 = OB·OB- OA·OA+ OA·OB 4 4 2 → → →

1 3 1 1 2 2 = ×2 - ×4 + ×4×2× =-9. 4 4 2 2 17.已知 a=ksin θ ·e1+(2-cos θ )·e2,b=e1+e2,且 a∥b,e1,e2 分别 是 x 轴与 y 轴上的单位向量,θ ∈(0,π ). (1)求 k 与 θ 的关系式: (2)求 k=f(θ )的最小值. 解析 (1)由 a∥b,得 a=λ b,即 ksin θ e1+(2-cos θ )·e2=λ (e1+e2). ?ksin θ =λ , 因为 e1=(1,0),e2=(0,1),所以? ?2-cos θ =λ , 即 ksin θ =2-cos θ ,所以 k= 2-cos θ ,θ ∈(0,π ). sin θ

? 2θ ? 2θ 2θ 2-?1-2sin ? 3sin +cos 2? 2 2 2-cos θ ? (2)k= = = sin θ θ θ θ θ 2sin cos 2sin cos 2 2 2 2 θ 1+3tan2 2 3 θ 1 = = tan + ≥ 3, θ 2 2 θ 2tan 2tan 2 2 当且仅当 tan θ 3 π = ,即 θ = 时等号成立,所以 k 的最小值为 3. 2 3 3

18.已知向量 v=(x,y)与向量 d=(y,2y-x)的对应关系用 d=f(v)表示. (1)设 a=(1,1),b=(1,0),求向量 f(a)与 f(b)的坐标; (2)求使 f(c)=(p,q)(p,q 为常数)的向量 c 的坐标; (3)证明:对任意的向量 a,b 及常数 m,n 恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b). 解析(1)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),

f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).
?y=p, (2)设 c=(x,y),则由 f(c)=(y,2y-x)=(p,q),得? ?2y-x=q ?x=2p-q, 所以? ?y=p, (3)证明 所以 c=(2p-q,p). ,

设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),

所以 f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1) 又 mf(a)=m(a2,2a2-a1),nf(b)=n(b2,2b2-b1), 所以 mf(a)+nf(b)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1) 故 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).


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