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山东省济宁市2016届高考数学一模试卷 理(含解析)


2016 年山东省济宁市高考数学一模试卷(理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出四个选项,只有一个 选项符合题目要求. 1.设集合 A={x| <x<3},B={x|(x+1)(x﹣2)<0},则 A∩B=( A.{x| <x<2} B.{x|﹣1<x<3} 2.已知 i 为虚数单位,则 z= )

/>C.{x| <x<1} D.{x|1<x<2} )

在复平面内对应的点位于(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 f(x)= + 的定义域为( )

A.{x|x<1} B.{x|0<x<1} C.{x|0<x≤1} D.{x|x>1} 4.某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料 如表所示: x y 16 50 = x+ 17 34 中的 18 41 19 31

由表可得回归直线方程 售量为 ( )

=﹣4,据此模型预测零售价为 20 元时,每天的销

A.26 个 B.27 个 C.28 个 D.29 个 5.有下列三个结论: ①命题“? x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“? x0∈R,x0﹣lnx0≤0”; ②“a=1”是“直线 x﹣ay+1=0 与直线 x+ay﹣2=0 互相垂直”的充要条件; ③若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ 2),且 P(ξ <2)=0.8,则 P(0<ξ <1)=0.2; 其中正确结论的个数是( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.执行如图所示的程序框图,若输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值为( )

1

A.0

B.1

C.2

D.3 sin2x﹣2cos2x,下面结论中错误的是( )

7.已知函数 f(x)=

A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)的图象关于 x= 对称 个单位得到

C.函数 f(x)的图象可由 g(x)=2sin2x﹣1 的图象向右平移 D.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 )

8.一个几何体的三视图如所示,则该几何体的体积是(

A. π +4

B.2π +4

C.π +4 D.π +2

9.将 4 名大学生分配到 A,B,C 三个不同的学校实习,每个学校至少分配一人,若甲要求 不到 A 学校,则不同的分配方案共有( A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.20 种 10.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 + =1,双曲线 C2 的方程为 ﹣ =1,C1 与 C2 的离 )

心率之积为

,则 C2 的渐近线方程为(



2

A.

x±y=0

B.x±

y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图, 已知图中从左到右的前 3 个小组的频 率依次成等差数列,第 2 小组的频数为 10,则抽取的学生人数为 .

12.在△ABC 中,| = .

+

|=|



|,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点,则

?

13.若(x+ )n 的展开式中各项的系数之和为 81,且常数项为 a,则直线 y= x 与曲线 y=x2 所围成的封闭区域面积为 . .

14. 已知 α , β ∈ (0, ) , 满足 tan (α +β ) =9tanβ , 则 tanα 的最大值为

15.若函数 f(x)=x2+ln(x+a)与 g(x)=x2+ex﹣ (x<0)的图象上存在关于 y 轴对称的 点,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< 一周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表: ω x+φ x y 0 x1 0 π x2 0 ﹣ 2π x3 0 )在某

(Ⅰ)根据如表求出函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)设△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A)= 的面积,求 S+3 cosBcosC 的最大值. ,a=3,S 为△ABC

17.甲、乙两人进行定点投篮比赛,在距篮筐 3 米线内设一点 A,在点 A 处投中一球得 2 分, 不中得 0 分,在距篮筐 3 米线段外设一点 B,在点 B 处投中一球得 3 分,不中得 0 分,已知
3

甲乙两人在 A 点投中的概率都是 ,在 B 点投中的概率都是 ,且在 A,B 两点处投中与否相 互独立,设定甲乙两人现在 A 处各投篮一次,然后在 B 处各投篮一次,总得分高者获胜. (Ⅰ)求甲投篮总得分 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲获胜的概率. 18.如图甲:⊙O 的直径 AB=2,圆上两点 C,D 在直径 AB 的两侧,使∠CAB= ,∠DAB= ,

沿直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F 为 BC 的中点,根据图乙解 答下列各题: (Ⅰ)若点 G 是 的中点,证明:FG∥平面 ACD;

(Ⅱ)求平面 ACD 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值.

19.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,S5=30,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn=2 ﹣1. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=(﹣1) (anbn+lnSn),求数列{cn}的前 n 项和. 20.已知曲线 E 上的任意点到点 F(1,0)的距离比它到直线 x=﹣2 的距离小 1. (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)点 D 的坐标为(2,0),若 P 为曲线 E 上的动点,求 ? 的最小值;
n

n

(Ⅲ)设点 A 为 y 轴上异于原点的任意一点,过点 A 作曲线 E 的切线 l,直线 x=3 分别与直 线 l 及 x 轴交于点 M,N,以 MN 为直径作圆 C,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B,试探究: 当点 A 在 y 轴上运动(点 A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?请证明你的 结论. 21.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=e2x+x2﹣ax,函数 g(x)=f( )﹣ x2+(1﹣b) x+b(其中 a,b 为常数),若函数 f(x)在 x=0 处的切线与 y 轴垂直. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g(x)的单调区间;

4

(Ⅲ)若 s,t,r 满足|s﹣r|<|t﹣r|恒成立,则称 s 比 t 更靠近,在函数 g(x)有极值 的前提下,当 x≥1 时, 比 ex﹣1+b 更靠近,试求 b 的取值范围.

5

2016 年山东省济宁市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出四个选项,只有一个 选项符合题目要求. 1.设集合 A={x| <x<3},B={x|(x+1)(x﹣2)<0},则 A∩B=( A.{x| <x<2} B.{x|﹣1<x<3} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;综合法;集合. 【分析】求出集合 B,从而求出其和 A 的交集即可. 【解答】解:∵集合 A={x| <x<3}, B={x|(x+1)(x﹣2)<0}={x|﹣1<x<2}, 则 A∩B={x| <x<2}, 故选:A. 【点评】本题考查了集合的运算,考查解不等式问题,是一道基础题. )

C.{x| <x<1} D.{x|1<x<2}

2.已知 i 为虚数单位,则 z=

在复平面内对应的点位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】虚数单位 i 及其性质;复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】对应思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】对复数 z 进行化简,从而求出其所在的象限即可. 【解答】解:z= = = ,

故 z 在复平面内对应的点位于第二象限, 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算,考查复数的几何意义,是一道基础题.

6

3.函数 f(x)=

+

的定义域为(



A.{x|x<1} B.{x|0<x<1} C.{x|0<x≤1} D.{x|x>1} 【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域.

【解答】解:要使函数有意义,则





,得 0<x<1,

即函数的定义域为{x|0<x<1}, 故选:B 【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解, 要求熟练掌握常见函数成立的条件, 比较基础.

4.某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料 如表所示: x y 16 50 = x+ 17 34 中的 18 41 19 31

由表可得回归直线方程 售量为 ( )

=﹣4,据此模型预测零售价为 20 元时,每天的销

A.26 个 B.27 个 C.28 个 D.29 个 【考点】线性回归方程. 【专题】函数思想;综合法;概率与统计. 【分析】求出数据中心代入回归方程得出 【解答】解: 将( , ,解得 ,从而得出回归方程,再令 x=20 求出 =39. =109. .

)代入回归方程得 39=﹣4×17.5+ =﹣4x+109.

∴回归方程为

7

当 x=20 时, 故选:D.

=﹣4×20+109=29.

【点评】本题考查了线性回归方程过数据中心的性质,属于基础题.

5.有下列三个结论: ①命题“? x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“? x0∈R,x0﹣lnx0≤0”; ②“a=1”是“直线 x﹣ay+1=0 与直线 x+ay﹣2=0 互相垂直”的充要条件; ③若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ),且 P(ξ <2)=0.8,则 P(0<ξ <1)=0.2; 其中正确结论的个数是( )
2

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题;对应思想;定义法;简易逻辑. 【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断. ②根据直线垂直的等价条件进行判断. ③格局正态分布的性质进行判断. 【解答】解:①命题“? x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“? x0∈R,x0﹣lnx0≤0”正确,故① 正确; ②当 a=1 时,两直线分别为 x﹣y+1=0 和 x+y﹣2=0,满足两直线垂直, 当 a=﹣1 时,两直线分别为 x+y+1=0 和 x﹣y﹣2=0,满足两直线垂直,但 a=1 不成立, 即“a=1”是“直线 x﹣ay+1=0 与直线 x+ay﹣2=0 互相垂直”的充分不必要条件; 故②错误, ③若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ 2),则函数关于 x=1 对称, ∵P(ξ <2)=0.8,∴P(ξ ≥2)=1﹣0.8=0,2, 则 P(ξ ≥2)=P(ξ <0)=0.2, 即 P(0<ξ <1)= 故正确的仅有①, 故选:B 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及含有量词的命题的否定,充分条件和必要条件 以及正态分布的性质,涉及的知识点较多,综合性较强,但难度不大. [1﹣P(ξ ≥2)﹣P(ξ <0)]= (1﹣0.2﹣0.2)=0.3;故③错误,

8

6.执行如图所示的程序框图,若输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值为(



A.0

B.1

C.2

D.3

【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用;简单线性规划. 【专题】算法和程序框图. 【分析】算法的功能是求可行域 得取得最大值的点的坐标,得出最大值. 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域 值, 画出可行域如图: 内,目标还是 S=2x+y 的最大 内,目标函数 S=2x+y 的最大值,画出可行域,求



时,S=2x+y 的值最大,且最大值为 2.

故选:C.

9

【点评】 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法, 根据框图的流程判断算 法的功能是解题的关键.

7.已知函数 f(x)=

sin2x﹣2cos2x,下面结论中错误的是(



A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)的图象关于 x= 对称 个单位得到

C.函数 f(x)的图象可由 g(x)=2sin2x﹣1 的图象向右平移 D.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】函数思想;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由三角函数公式化简可得 f(x)=2sin(2x﹣ 逐个选项验证可得. 【解答】解:f(x)= = sin2x﹣2cos x )﹣1,
2

)﹣1,由三角函数的图象和性质,

sin2x﹣1﹣cos2x=2sin(2x﹣

由周期公式可得 T= 由 2x﹣ =kπ +

=π ,选项 A 正确; 可得 x= + ,k∈Z, ,选项 B 正确; )﹣1=2sin(2x﹣ )

故当 k=0 时,可得函数一条对称轴为 x= g(x)=2sin2x﹣1 的图象向右平移 ﹣1 的图象, 而不是 f(x)=2sin(2x﹣ 由 kπ ﹣ ≤2x﹣ ≤kπ +

个单位得到 y=2sin2(x﹣

)﹣1 的图象,选项 C 错误; 可得 kπ ﹣ , ≤x≤ kπ + ], ,k∈Z,

∴函数的单调递增区间为[ kπ ﹣ 显然 f(x)在区间[0, 故选:C.

kπ +

]上是增函数,选项 D 正确.

【点评】本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的图象和性质,属中档题.

10

8.一个几何体的三视图如所示,则该几何体的体积是(



A. π +4

B.2π +4

C.π +4 D.π +2

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】几何体为半圆柱与长方体的组合体. 【解答】解:由三视图可知几何体为半圆柱与长方体的组合体. 半圆柱的底面半径为 1,高为 2,长方体的棱长分别为 1,2,2. 所以几何体的体积 V= 故选:C. 【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题. +1×2×2=π +4.

9.将 4 名大学生分配到 A,B,C 三个不同的学校实习,每个学校至少分配一人,若甲要求 不到 A 学校,则不同的分配方案共有( A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.20 种 【考点】计数原理的应用. 【专题】计算题;整体思想;数学模型法;排列组合. 【分析】根据题意中甲要求不到 A 学校,分析可得对甲有 2 种不同的分配方法,进而对剩余 的三人分情况讨论,①其中有一个人与甲在同一个学校,②没有人与甲在同一个学校,易得 其情况数目,最后由分步计数原理计算可得答案. 【解答】解:根据题意,首先分配甲,有 2 种方法, 再分配其余的三人:分两种情况,①其中有一个人与甲在同一个学校,有 A3 =6 种情况, ②没有人与甲在同一个学校,则有 C32?A22=6 种情况; 则若甲要求不到 A 学校,则不同的分配方案有 2×(6+6)=24 种;
11
3



故选:C. 【点评】 本题考查排列、 组合的综合运用, 注意题意中“每个学校至少分配一人”这一条件, 再分配甲之后,需要对其余的三人分情况讨论.

10.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与 C2 的离

心率之积为 A.

,则 C2 的渐近线方程为( B.x±



x±y=0

y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率,化简即得结论. 【解答】解:∵椭圆 C1 的方程为 + =1,

∴椭圆 C1 的离心率 e1=



∵双曲线 C2 的方程为



=1,

∴双曲线 C2 的离心率 e2=



∵C1 与 C2 的离心率之积为





?

=



∴ = 又∵a>b>0,∴ 故选:B. = ,

=1﹣



【点评】本题考查求椭圆的离心率问题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题.

12

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图, 已知图中从左到右的前 3 个小组的频 率依次成等差数列,第 2 小组的频数为 10,则抽取的学生人数为 40 .

【考点】频率分布直方图. 【专题】对应思想;数学模型法;等差数列与等比数列;概率与统计. 【分析】根据题意求出前 3 个小组的频率和,再求第 2 小组的频率,从而求出样本容量. 【解答】解:前 3 个小组的频率和为 1﹣(0.0375+0.0125)×5=0.75, 所以第 2 小组的频率为 ×0.75=0.25; 所以抽取的学生人数为: 故答案为:40. 【点评】 本题考查了利用频率分布直方图中的数据求对应的频率和样本容量的应用问题, 也 考查了等差中项的应用问题,是基础题. =40.

12.在△ABC 中,| .

+

|=|



|,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点,则

?

=

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】根据题意,得到三角形为直角三角形,由 值. 【解答】解:由于在△ABC 中,| 则∠BAC=90°, 由于 E,F 为 BC 的三等分点, 则 又有 = = ﹣ , , = = , , , + |=| ﹣ |, 、 求出 , ,即可求出 ? 的

13



=



=



又由 AB=2,AC=1, 故 ? = . =

故答案为:

【点评】 本题考查平面向量数量积的运算, 熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的 关键.

13.若(x+ )n 的展开式中各项的系数之和为 81,且常数项为 a,则直线 y= x 与曲线 y=x2 所围成的封闭区域面积为 .

【考点】二项式定理的应用;定积分. 【专题】综合题;转化思想;综合法;导数的概念及应用;二项式定理. 【分析】依据二项式系数和为 3 ,列出方程求出 n,利用二项展开式的通项公式求出常数项 a 的值,再利用积分求直线 y= x 与曲线 y=x 围成的封闭图形的面积. 【解答】解:∵(x+ ) 的展开式中各项的系数之和为 81, ∴3 =81, 解得 n=4, (x+ )4 的展开式的通项公式为:Tr+1=C4r?2r?x4﹣2r, 令 4﹣2r=0,解得 r=2, ∴展开式中常数项为 a=C42?22=24; ∴直线 y=4x 与曲线 y=x2 所围成的封闭区域面积为: S= (4x﹣x2) dx= (2x2﹣ x3) = .
n n 2 n

14

故答案为:



【点评】本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了利用积分求封闭图形的面积问题,是 综合性题目.

14.已知 α ,β ∈(0,

),满足 tan(α +β )=9tanβ ,则 tanα 的最大值为



【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值. 【分析】利用两角和的正切将 tan(α +β )=9tanβ 转化,整理为关于 tanβ 的一元二次方 程,利用题意,结合韦达定理即可求得答案. 【解答】解:∵tan(α +β )=9tanβ , ∴
2

=9tanβ ,

∴9tanα tan β ﹣8tanβ +tanα =0,① ∴α ,β ∈(0, ),

∴方程①有两正根,tanα >0, ∴△=64﹣36tan α ≥0, ∴0<tanα ≤ . ∴tanα 的最大值是 . 故答案为: . 【点评】本题考查两角和与差的正切函数,考查一元二次方程中韦达定理的应用,考查转化 思想与方程思想,也可以先求得 tanα ,再利用基本不等式予以解决,属于中档题.
2

15.若函数 f(x)=x2+ln(x+a)与 g(x)=x2+ex﹣ (x<0)的图象上存在关于 y 轴对称的 点,则实数 a 的取值范围是 【考点】函数的图象. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. (﹣∞, ) .

15

【分析】由题意可得,存在 x<0 使 f(﹣x)﹣g(x)=0,即 e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 在(﹣ ∞,0)上有解,从而化为函数 m(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)在(﹣∞,0)上有零点,从而 求解. 【解答】解:若函数 f(x)=x2+ln(x+a)与 g(x)=x2+ex﹣ (x<0)图象上存在关于 y 轴对称的点, 则等价为 g(x)=f(﹣x),在 x<0 时,方程有解, 即 x2+ex﹣ =x2+ln(﹣x+a), 即 ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 在(﹣∞,0)上有解, 令 m(x)=e ﹣ ﹣ln(﹣x+a), 则 m(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)在其定义域上是增函数, 且 x→﹣∞时,m(x)<0, 若 a≤0 时,x→a 时,m(x)>0, 故 ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 在(﹣∞,0)上有解, 若 a>0 时, 则 e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 在(﹣∞,0)上有解可化为: e0﹣ ﹣ln(a)>0, 即 lna< , 故 0<a< . ).
x x

x

综上所述,a∈(﹣∞, 故答案为:(﹣∞,

).

【点评】 本题考查函数与方程的应用, 根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系, 进行转化是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< 一周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
16

)在某

ω x+φ x y

0 x1 0

π x2 0 ﹣

2π x3 0

(Ⅰ)根据如表求出函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)设△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A)= 的面积,求 S+3 cosBcosC 的最大值. ,a=3,S 为△ABC

【考点】由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;正弦定理. 【专题】计算题;图表型;转化思想;分析法;三角函数的图像与性质. 【分析】(Ⅰ)由表中数据列关于 ω 、φ 的二元一次方程组,求得 A、ω 、φ 的值,从而 可求函数解析式. (Ⅱ)由 f(A)= 及正弦函数的图象和性质可求 A,再由正弦定理可得外接圆的半径,再

由三角形的面积公式和两角差的余弦公式,结合余弦函数的值域,即可得到最大值. 【解答】解: (Ⅰ)根据表中已知数据,得 A= ω = ,φ = , sin( x+ )= , ). ,解得:sin( A+ ),可得 A+ = )=1, ,解得:A= . , φ= , +φ = ,解得:

函数表达式为 f(x)= (Ⅱ)∵f(A)=

sin( A+ ∈(

∵A∈(0,π ), A+

设△ABC 外接圆的半径为 R,则 2R= 解得 R= ∴S+3 =3 , cosBcosC= bcsinA+3 cosBcosC=3

=

=2



cosBcosC=

bc+3

cosBcosC

sinBsinC+3

cos(B﹣C), .

故 S+3

cosBcosC 的最大值为 3

【点评】本题考查了由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象求解函数解析式,考查了正弦定理和 余弦定理和三角形的面积公式的运用, 同时考查两角和差的余弦公式和余弦函数的值域, 属 于中档题.

17

17.甲、乙两人进行定点投篮比赛,在距篮筐 3 米线内设一点 A,在点 A 处投中一球得 2 分, 不中得 0 分,在距篮筐 3 米线段外设一点 B,在点 B 处投中一球得 3 分,不中得 0 分,已知 甲乙两人在 A 点投中的概率都是 ,在 B 点投中的概率都是 ,且在 A,B 两点处投中与否相 互独立,设定甲乙两人现在 A 处各投篮一次,然后在 B 处各投篮一次,总得分高者获胜. (Ⅰ)求甲投篮总得分 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲获胜的概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分 布列. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(Ⅰ)由已知得 ξ 的可能取值为 0,2,3,5,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ . (Ⅱ)由(Ⅰ)得乙投篮总得分 X 的分布列,由此能求出甲获胜的概率. 【解答】解:(Ⅰ)由已知得 ξ 的可能取值为 0,2,3,5, P(ξ =0)= P(ξ =2)= P(ξ =3)= P(ξ =5)= = = , = = , = , = ,

∴ξ 的分布列为: ξ P Eξ = =2. 0 2 3 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)得乙投篮总得分 X 的分布列为: X P ∴甲获胜的概率 p= + + = . 0 2 3 5

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.
18

18.如图甲:⊙O 的直径 AB=2,圆上两点 C,D 在直径 AB 的两侧,使∠CAB=

,∠DAB=



沿直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F 为 BC 的中点,根据图乙解 答下列各题: (Ⅰ)若点 G 是 的中点,证明:FG∥平面 ACD;

(Ⅱ)求平面 ACD 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【专题】向量法;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)根据线面平行的判定定理进行证明即可; (2)建立空间直角坐标系,利用向量法表示出 E 的坐标,求出平面的法向量,利用向量法 进行求解即可. 【解答】(Ⅰ)证明:连接 OF,FG,OG, ∵F,O 是 BC,AB 的中点, ∴FO∥AC, ∵FO?平面 ACD,AC? 平面 ACD, ∴FO∥平面 ACD, ∵∠DAB= ∴∠BOG= ,且 G 是 BD 弧的中点, ,则 AD∥OG,

∵OG?平面 ACD,AD? 平面 ACD, ∴OG∥平面 ACD, ∵FO∩OG=O,FO,OG? 平面 FOG, ∴面 FOG∥面 ACD, 又 FG? 平面 FOG, ∴FG∥平面 ACD

19

(Ⅱ)如图,设 H 为弧 DG 的中点,建立以 O 为坐标原点,OH,OB,OC 分别为 x,y,z 轴的 空间直角坐标系如图: 则 A(0,﹣1,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D( 设平面 ACD 的法向量为 =(x,y,z),则 ,﹣ ,0),G( =( , ,0),

=(0,1,1),

, ,0),

则由 ?

=y+z=0,

?

=

x+ y=0,得



令 y=﹣

,则 =(1,﹣



), ,1,1), = ,

同理可得平面 BCD 的法向量为 =( 则 cos< , >= =

即平面 ACD 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值是



【点评】本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解,建立空间直角坐标系,利用向量 法进行求解,综合性较强,运算量较大.

19.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,S5=30,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn=2 ﹣1. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=(﹣1)n(anbn+lnSn),求数列{cn}的前 n 项和. 【考点】数列的求和. 【专题】整体思想;综合法;等差数列与等比数列.

n

【分析】(Ⅰ)通过记等差数列{an}的公差为 d,利用等差数列的求和公式及 a1=2 可知公差 d=2,进而可知 an=2n;通过 Tn=2n﹣1 与 Tn﹣1=2n﹣1﹣1(n≥2)作差,进而可知 bn=2n﹣1;

20

(Ⅱ) 通过 (I) 可知 anbn=n?2 , Sn=n (n+1) , 进而可知 cn=n (﹣2)+ (﹣1)[lnn+ln (n+1) ], 利用错位相减法计算可知数列{(﹣1)nanbn}的前 n 项和 An=﹣ ﹣
n

n

n

n

?(﹣2)n+1;通过分
n

类讨论,结合并项相加法可知数列{(﹣1) lnSn}的前 n 项和 Bn=(﹣1) ln(n+1),进而 可得结论. 【解答】解:(Ⅰ)记等差数列{an}的公差为 d, 依题意,S5=5a1+ 又∵a1=2, ∴d= =2, d=30,

∴数列{an}的通项公式 an=2n; ∵Tn=2 ﹣1, ∴Tn﹣1=2
n﹣1 n

﹣1(n≥2),
n﹣1

两式相减得:bn=2



又∵b1=T1=21﹣1=1 满足上式, ∴数列{bn}的通项公式 bn=2
n﹣1

; =n(n+1),

(Ⅱ)由(I)可知 anbn=n?2n,Sn=2?

∴cn=(﹣1)n(anbn+lnSn)=n(﹣2)n+(﹣1)n[lnn+ln(n+1)], 记数列{(﹣1) anbn}的前 n 项和为 An,数列{(﹣1) lnSn}的前 n 项和为 Bn, 则 An=1?(﹣2) +2?(﹣2) +3?(﹣2) +?+n?(﹣2) , ﹣2An=1?(﹣2) +2?(﹣2) +?+(n﹣1)?(﹣2) +n?(﹣2) , 错位相减得:3An=(﹣2)1+(﹣2)2+(﹣2)3+?+(﹣2)n﹣n?(﹣2)n+1 = ﹣n?(﹣2)
n+1 2 3 n n+1 1 2 3 n n n

=﹣ ﹣ ∴An=﹣ ﹣

?(﹣2)n+1, ?(﹣2)n+1;

当 n 为偶数时,Bn=﹣(ln1+ln2)+(ln2+ln3)﹣(ln3+ln4)+?+[lnn+ln(n+1)] =ln(n+1)﹣ln1 =ln(n+1), 当 n 为奇数时,Bn=﹣(ln1+ln2)+(ln2+ln3)﹣(ln3+ln4)+?﹣[lnn+ln(n+1)]
21

=﹣ln(n+1)﹣ln1 =﹣ln(n+1); 综上可知:Bn=(﹣1)nln(n+1), ∴数列{cn}的前 n 项和 An+Bn=(﹣1)nln(n+1)﹣ ﹣ ?(﹣2)n+1.

【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想,考查 错位相减法,注意解题方法的积累,属于中档题.

20.已知曲线 E 上的任意点到点 F(1,0)的距离比它到直线 x=﹣2 的距离小 1. (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)点 D 的坐标为(2,0),若 P 为曲线 E 上的动点,求 ? 的最小值;

(Ⅲ)设点 A 为 y 轴上异于原点的任意一点,过点 A 作曲线 E 的切线 l,直线 x=3 分别与直 线 l 及 x 轴交于点 M,N,以 MN 为直径作圆 C,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B,试探究: 当点 A 在 y 轴上运动(点 A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?请证明你的 结论. 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】方程思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】(1)根据抛物线的定义得出轨迹方程; (2)设出 P 点坐标(x,y),将 ? 表示为 x(或 y)的函数,根据函数性质求出最小值;

(3)设 A 坐标(0,b)和直线 l 的斜率 k,根据相切得出 k,b 的关系,求出 M,N 坐标得 出圆 C 的圆心和半径,利用切线的性质得出 AB 的长. 【解答】解:(I)由题意可知曲线 E 为以 F 为焦点,以直线 x=﹣1 为准线的抛物线, ∴曲线 E 的方程为 y2=4x. (II)设 P( ,y),则 , ,

∴ ∵y2≥0,

=(2﹣

)(1﹣

)+y =

2

(y +2) + .

2

2

∴当 y2=0 时,

取得最小值 2.

(III)设 A(0,b),切线 l 的方程为 y=kx+b,

22

联立方程组

,消元得 k2x2+(2kb﹣4)x+b2=0,

∵直线 l 与曲线 C 相切, ∴△=(2kb﹣4)2﹣4k2b2=0,即 kb=1.∴k=﹣ . ∴直线 l 的方程为 y=﹣ x+b. 令 x=3 得 y=b﹣ . ∴M(3,b﹣ ),N(3,0). ∴圆 M 的圆心为 C(3, ∴AC =9+(
2

),半径 r=|

|,

).
2 2 2 2 2

2

∵AB 是圆 C 的切线,∴AB =AC ﹣BC =AC ﹣r =9. ∴AB=3. 即点 A 在 y 轴上运动(点 A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不发生变化. 【点评】本题考查了抛物线的定义,向量的数量积运算,直线与圆锥曲线的关系,属于中档 题.

21.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=e +x ﹣ax,函数 g(x)=f( )﹣ x +(1﹣b) x+b(其中 a,b 为常数),若函数 f(x)在 x=0 处的切线与 y 轴垂直. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g(x)的单调区间; (Ⅲ)若 s,t,r 满足|s﹣r|<|t﹣r|恒成立,则称 s 比 t 更靠近,在函数 g(x)有极值 的前提下,当 x≥1 时, 比 ex﹣1+b 更靠近,试求 b 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)求函数的导数,利用导数的几何意义即可求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数 g(x)的单调区间; (Ⅲ) 根据更靠近的定义, 构造函数, 求函数的导数, 利用最值和导数的关系进行求解即可. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=e2x+x2﹣ax,∴f′(x)=2e2x+2x﹣a,
23

2x

2

2

∵函数 f(x)在 x=0 处的切线与 y 轴垂直. ∴f′(0)=2﹣a=0,得 a=2, ∴f(x)=e2x+x2﹣2x; (Ⅱ)g(x)=f( )﹣ x2+(1﹣b)x+b=ex﹣b(x﹣1), 则 g′(x)=ex﹣b, ①若 b≤0,g′(x)>0,则 g(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数, ②若 b>0,由 g′(x)>0 得 x>lnb,由 g′(x)<0 得 x<lnb, 即 g(x)在(﹣∞,lnb)上为减函数,则(lnb,+∞)上为增函数; (Ⅲ)∵函数 g(x)有极值,∴b>0, 由题意知| ﹣lnx|<|ex﹣1+b﹣lnx|,(※), 设 p(x)= ﹣lnx,x≥1,q(x)=ex﹣1+b﹣lnx,(x≥1), ∵p(x)在[1,+∞)上是减函数,p(e)=0, ∴当 1≤x≤e 时,p(x)= ﹣lnx≥0, 当 x>e 时,p(x)= ﹣lnx<0, ∵q′(x)=e
x﹣1

﹣ ,∴q′(x)在[1,+∞)上为增函数,

∴q′(x)≥q′(1)=0,即 q(x)在[1,+∞)上为增函数, 则 q(x)≥q(1)=b+1>0,则 q(x)=ex﹣1+b﹣lnx>0, ①当 1≤x≤e 时, ﹣lnx<ex﹣1+b﹣lnx,即 b> ﹣ex﹣1, 设 m(x)= ﹣e ∵m(x)= ﹣e
x﹣1



x﹣1

,在[1,e]上为减函数,

∴b>m(1),即 b>e﹣1, ②当 x>e 时,(※)即 lnx﹣ <ex﹣1+b﹣lnx,即 b>﹣ +2lnx﹣ex﹣1, 设 n(x)=>﹣ +2lnx﹣e 则 n′(x)=>﹣
x﹣1

,x>e,

+ ﹣ex﹣1,x>e,

则 n′(x)在(e,+∞)上为减函数, ∴n′(x)<n′(e),
24

∵n′(e)= ﹣e

e﹣1

<0,

∴n(x)在(e,+∞)上为减函数, n(x)<n(e)=1﹣e 则 b≥1﹣e
e﹣1 e﹣1





综上 b>e﹣1. 【点评】本题主要考查不等式恒成立,利用函数单调性最值和导数之间的关系,是解决本题 的关键.综合性较强,运算量较大,难度比较大.

25


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