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安徽省六安市舒城中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年安徽省六安市舒城中学高一(上)期中数学试卷
一.选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.设集合 M={x|x=2k﹣1,k∈Z},m=2015,则有( A.m∈M B.﹣m?M C.{m}∈M D.{m }?M ) )

2.若集合 A={y|y=2x},B={x|x2﹣2x﹣3>0,x∈R},那么 A

∩(?UB)=( A.(0,3] B.[﹣1,3] C.(3,+∞) D.(0,﹣1)∪(3,+∞) )

3.设 a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 4.幂函数 f(x)的图象过点 A. (0,+∞)

,则 f(x)的一个单调递减区间是( D.(﹣∞,0)

)

B.[0,+∞) C.(﹣∞,0]

5.函数 f(x)=ax2+bx﹣2 是定义在[1+a,2]上的偶函数,则 f(x)在区间[1,2]上是( A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数 D.先减后增函数 )

)

6.若 x+x﹣1=3,那么 x2﹣x﹣ 2 的值为( A. B. C. D.

7.已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(3)?g(3)<0,那么 f(x)与 g(x) 在同一坐标系内的图象可能是下图中的( )

A.

B.

C.

D.

8.若函数 f(x)=﹣x2+2x,则对任意实数 x1,x2,下列不等式总成立的是( A. B.

)

C.

D. )

9.设 f:x→x2 是从集合 A 到集合 B 的映射,如果 B={1,2},则 A∩B 为( A.? B.{1} C.?或{2} D.?或{1}

10.对函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)作 x=h(t)的代换,则一定不改变函数 f(x)值域的代 换是( )

A.h(t)=10t

B.h(t)=log2t

C.h(t)=t2 D. ,

11. f x) f x) f x+1) 0) 定义在 R 上的函数 ( , 且( , ( 都是偶函数, 当 x∈[﹣1, 时 则 f(log28)等于( A.3 B. )

C.﹣2 D.2 )

12.若函数 f(x)=loga(x2﹣ax+3)在区间(﹣∞, )上是减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1, ] D.(1, )

二.填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是__________. 14.若 xlog32=1,则 4x+4﹣x 的值为__________. 15.若函数 f(x)=|2x﹣2|﹣b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是__________. 16.已知函数 f(x)=x|x|.若对任意的 x≥1 有 f(x+m)+mf(x)<0,则实数 m 的取值范围 是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞), ﹣1<x<2a+1},若 A∩B=?,求实数 a 的取值集合. 18.设函数 (1)求 a 与 b 的值; (2)求不等式 f(x)>0 的解集. 19.我国是世界上人口最多的国家,1982 年十二大,计划生育被确定为基本国策.实行计划 生育,严格控制人口增长,坚持少生优生,这是直接关系到人民生活水平的进一步提高,也 是造福子孙后代的百年大计. (1) 据统计 1995 年底, 我国人口总数约 12 亿, 如果人口的自然年增长率控制在 1%, 到 2020 年底我国人口总数大约为多少亿(精确到亿)? (2)当前,我国人口发展已经出现转折性变化.2015 年 10 月 26 日至 10 月 29 日召开的党的 十八届五中于全会决定,坚持计划生育的基本国策,完善人口发展战略,全面 实施一对夫妇 可生育两个孩子政策,积极开展应对人口老龄化行动.这是继 2013 年,十八届三中全会决定 启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计 2015 年中国人口实际数量大约 ,已知当 时,f(x)有最小值﹣8. 的定义域为集合 B;集合 A={x|a

14 亿,若实行全面两孩政策后,预计人口年增长率实际可达 1%,那么需经过多少年我国人口 可达 16 亿? (参考数字:1.0125≈1.2824,lg2≈0.3010,lg7≈0.8451,lg1.01≈0.0043) 20.已知函数 f(x)=λ?2x﹣4x,定义域为[1,3]. (1)若 λ=6 求函数 f(x)的值域; (2)若函数 f(x)在区间[1,3]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 21.(13 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)(0<a<1)函数 y=g(x)图象与函数 f(x)的图 象关于原点对称. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)﹣g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 x∈[0,1)时,总有 f(x)+g(x)≤m 成立,求实数 m 的取值范围. 22.(13 分)已知函数 ,实数 a≠0.

(1)设 mn>0,判断函数 f(x)在区间[m,n]上的单调性,并说明理由; (2)设 n>m>0 且 a>0 时,f(x)的定义域和值域都是[m,n],求 n﹣m 的最大值.

2015-2016 学年安徽省六安市舒城中学高一(上)期中数 学试卷
一.选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.设集合 M={x|x=2k﹣1,k∈Z},m=2015,则有( A.m∈M B.﹣m?M C.{m}∈M D.{m}?M
[来源:学| 科| 网]

)

【考点】元素与集合关系的判断;集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合思想;定义法;集合.

【分析】根据 M={x|x=2k﹣1,k∈Z}可知,集合 M 是由全体奇数构成的集合,从而得出 m∈M 的结论. 【解答】解:∵M={x|x=2k﹣1,k∈Z}, ∴集合 M 是由全体奇数构成的集合, 因此,2015∈M 且﹣2015∈M, 即 m∈M,﹣m∈M, 同时,{2015}?M, 考查各选项,只有 A 是正确的, 故选:A. 【点评】本题主要考查了元素与集合间关系的判断,以及集合与集合间的关系,属于基础题. 2.若集合 A={y|y=2x},B={x|x2﹣2x﹣3>0,x∈R},那么 A∩(?UB)=( A.(0,3] B.[﹣1,3] C.(3,+∞) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】求出集合 A,B,然后求解交集即可. 【解答】解:集合 A={y|y=2x}={y|y>0}, B={x|x2﹣ 2x﹣3>0,x∈R}, ?UB={x|x2﹣2x﹣3≤0,x∈R}={x|﹣1≤x≤3}, A∩(?UB)=(0,+∞)∩[﹣1,3]=(0,3]. 故选:A. D.(0,﹣1)∪(3,+∞) )

【点评】本题 考查集合的交集,并集,补集的运算,函数的值域以及不等式的解法,考查计 算能力. 3.设 a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题. 【分析】要比较三个数字的大小,可将 a,b,c 与中间值 0,1 进行比较,从而确定大小关系. 【解答】解:∵0<0.32<1 log20.3<0 20.3>1 ∴log20.3<0.32<20.3,即 c<b<a 故选 B. 【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较,常常与中间值进行比较,属于基础题. 4.幂函数 f(x)的图象过点 A.(0,+∞) ,则 f(x)的一个单调递减区间是( ) )

B.[0,+∞) C.(﹣∞,0]

D.(﹣∞,0)[来源:学§科§网]

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】由题意设幂函数 y=f(x)=xa,代入点的坐标可求得 a=﹣2;从而写出单调区间. 【解答】解:设幂函数 y=f(x)=xa, 则 2a= ,则 a=﹣2; 则 y=f(x)=x﹣2, 函数的单调递减区间是(0,+∞); 故选:A. 【点评】本题考查了幂函数的基本性质,属于基础题. 5.函数 f(x)=ax2+bx﹣2 是定义在[1+a,2]上的偶函数,则 f(x)在区间[1,2]上是( A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数 D.先减后增函数 )

【考点】偶函数;函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题.

【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出 a 的值,由偶函数的定义 f(x)=f(﹣x),求 出 b 的值后,最后由函数单调性的定义结合图象判断 f(x)在区间[1,2]上的单调性即可. 【解答】解:∵函数 f(x)=ax2+bx﹣2 是定义在[1+a,2]上的偶函数, ∴1+a+2=0,解得 a=﹣3, 由 f(x)=f(﹣x)得,b=0,即 f(x)=﹣3x2﹣2. 其图象开口向下,对称轴是 y 轴的抛物线, 则 f(x)在区间[1,2]上是减函数. 故选 B. 【点评】本题考查了偶函数定义的应用、函数单调性的判断与证明,利用奇(偶)函数的定 义域一定关于原点对称,这是容易忽视的地方. 6.若 x+x﹣1=3,那么 x2﹣x﹣2 的值为( A. B. C. D. )

【考点】有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;转化思想;分类法;函数的性质及应用. 【分析】由已知的式子两边同时平方得到 x2+x﹣2=7,从而利用完全平方差公式得到 x﹣x﹣
1



,再利用平方差公式能求出 x2﹣x﹣2 的值.

【解答】解:∵x+x﹣1=3, ∴(x+x﹣1)2=x2+x﹣2+2=9, ∴x2+x﹣2=7, ∴(x﹣x﹣1)2=x2+x﹣2﹣2=5, ∴x﹣x﹣1=± 当 x﹣x﹣1=﹣ 当 x﹣x﹣1= 故选:A. 【点评】本题考查代数式求值,是基础题,解题时要认真审题,注意完全平方差(和)公式 和平方差公式的合理运用. 7.已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(3)?g(3)<0,那么 f(x)与 g(x) 在同一坐标系内的图象可能是下图中的( ) , 时,x2﹣x﹣2=(x+x﹣1)(x﹣x﹣1)=﹣3 时,x2﹣x﹣2=(x+x﹣1)(x﹣x﹣1)=3 . ,

A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的图像与性质;函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.

[来源:学科网 ZXXK ]

【分析】根据条件 f(3)?g(3)<0,确定 a 的取值范 围,然后利用指数函数和对数函数的 单调性进行判断. 【解答】解:∵f(3)=a3>0, ∴由 f(3)?g(3)<0,得 g(3)<0, 即 g(3)=loga3<0, ∴0<a<1, ∴f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),都为单调递减函数, 故选:C. 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用指数函数的性质先判断 f(3)>0 是解决 本题的关键. 8.若函数 f(x)=﹣x2+2x,则对任意实数 x1,x2,下列不等式总成立的是( A. B. )

C. 【考点】二次函数的性质;函数的值. 【专题】计算题. 【分析】欲比较 f( ),

D.

的大小 ,利用作差法,即比较差

与 0 的大小关系,通过变形即可得出结论.

【解答】解:作 差

=

=

即 故选 C. 【点评】本小题主要考查二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识,考查计算能 力、化归与转化思想.属于基础题. 9.设 f:x→x2 是从集合 A 到集合 B 的映射,如果 B={1,2},则 A∩B 为( A.? B.{1} C.?或{2} D.?或{1} )

【考点】映射;交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】根据映射的定义,先求出集合 A 中的像,再求 A∩B. 【解答】解:由已知 x2=1 或 x2=2, 解之得,x=±1 或 x=± 若 1∈A,则 A∩B={1}, 若 1?A,则 A∩B=?. 故 A∩B=?或{1}, 故选 D. 【点评】要注意,根据映射的定义,集合 A 中的像是 A={x=±1 或 x=± 容易选 B 造成错误. 10.对函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)作 x=h(t)的代换,则一定不改变函数 f(x)值域的代 换是( ) B.h(t)=log2t C.h(t)=t2 D. },它有多种情况, .

A.h(t)=10t

【考点】二次函数的性质. 【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】求出二次函数的定义域和值域,对选项分析,求出它们的值域,与 R 比较,即可判 断 B 正确,A,C,D 不正确.

【解答】解:函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为 R, a>0 时,函数的值域为[ ,+∞);

a<0 时,函数的值域为(﹣∞,

].

对于 A,h(t)=10t>0,可能改变 f(x)的值域; 对于 B,h(t)=log2t 的值域为 R,与 f(x)的定义域相同,不改变 f(x)的值域; 对于 C,h(t)=t2 的值域为[0,+∞),可能改变 f(x)的值域; 对于 D,h(t)= 的值域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),可能改变 f(x)的值域. 故选:B. 【点评】本题考查函数的性质和运用,主要考查二次函数、指数函数和对数函数和幂函数的 值域,属于基础题. 11. f x) f x) f x+1) 0) 定义在 R 上的函数 ( , 且( , ( 都是偶函数, 当 x∈[﹣1, 时 则 f(log28)等于( A.3 B. ) ,

C.﹣2 D.2

【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由函数 f(x+1)是偶函数,可得 f(﹣x+1)=f(x+1 变形得到函数的周期,然后利 用函数的周期性把 f(log28)转化为求给出的函数解析式范围内的值,从而得到答案. 【解答】解:由 f(x+1)是偶函数,可得 f(﹣x+1)=f(x+1), 则函数 f(x)为周期为 2 的周期函数, ∴f(log28)=f(3log22)=f(3)=f(3﹣4)=f(﹣1). 又当 x∈[﹣1,0]时, ∴f(log28)=f(﹣1)=2. 故选:D. 【点评】本题考查了函数的周期性,考查了函数奇偶性的性质,考查了学生灵活分析问题和 解决问题的能力,是中档题. 12.若函数 f(x)=loga(x2﹣ax+3)在区间(﹣∞, )上是减函数,则 a 的取值范围是( ) ,

A.(0,1) B.(1,+∞) 【考点】复合函数的单调性. 【专题】 函数的性质及应用.

C.(1,

]

D.(1,



【分析】内层函数 g(x)=x2﹣ax+3 在区间(﹣∞, )上是减函数,由复合函数的单调性知, 外层函数 y=logag(x)为增函数,得到 a 的初步范围,再由 g(x)=x2﹣ax+3 在区间(﹣∞, )上大于 0 恒成立求出 a 的范围,取交集后求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:由对数式的底数大于 0 且不等于 1 知,a>0 且 a≠1. 令 g(x)=x2﹣ax+3,函数的对称轴方程为 x= , 函数 g(x)=x2﹣ax+3 在(﹣∞, )上为减函数,在( ,+∞)上为增函数, 要使复合函数 f(x)=loga(x2﹣ax+3)在区间(﹣∞, )上是减函数, 则外层函数 y=logag(x)为增函数,且同时满足内层函数 g(x)=x2﹣ax+3 在(﹣∞, )上 大于 0 恒成立, 即 解得:1<a . ]. ,

∴使函数 f(x)=loga(x2﹣ax+3)在区间(﹣∞, )上是减函数的 a 的取值范围是(1, 故选:C.

【点评】本题考查复合函数的单调性,复合的两个函数同增则增,同减则减,一增一减则减, 注意对数函数的定义域是求解的前提,考查学生发现问题解决问题的能力,是中档题. 二.填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是 4. 【考点】子集与真子集. 【专题】计算题. 【分析】由题意判断出 3 是集合 B 的元素,且是{1,2,3,4}的子集,再由 B 中元素的个数 一一列出集合 B 的所有情况. 【解答】解:∵A={1,2},且 A∪B={1,2,3}, ∴3∈B,B?{1,2,3},

∴B={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 故答案为:4. 【点评】本题考察了并集的运算和子集定义的应用,找已知集合的子集时,应按照一定的顺 序,做到不重不漏,这是易错的地方. 14.若 xlog32=1,则 4x+4﹣x 的值为 【考点】对数的运算性质. 【分析】若 xlog32=1,解方程易得 x 的值,代入即可求出 4x+4﹣x 的值. 【解答】解:∵xlog32=1 ∴x=log23 则 4x+4﹣x= =9+ = 故答案为: 【点评】对数式的性质是解决本题的关键:如 logab?logba=1, 希望大家熟练掌握 15.若函数 f(x)=|2x﹣2|﹣b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 0<b<2. 【考点】函数的零点. 【专题】计算题;函数的性质及应用. =|2x﹣2|﹣b 有两个零点, 【分析】 由函数 f (x) 可得|2x﹣2|=b 有两个零点, 从而可得函数 y=|2x ﹣2|函数 y=b 的图象有两个交点,结合函数的图象可求 b 的范围 【解答】解:由函数 f(x)=|2x﹣2|﹣b 有两个零点,可得|2x﹣2|=b 有两个零点, 从而可得函数 y=|2x﹣2|函数 y=b 的图象有两个交点, 结合函数的图象可得,0<b<2 时符合条件, 故答案为:0<b<2 ,loga(aN)=N 等, .

【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法,数形结合是数学解题中常用的思想方 法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质. 16.已知函数 f(x)=x|x|.若对任意的 x≥1 有 f(x+m)+mf(x)<0,则实数 m 的取值范围 是(﹣∞,﹣1]. 【考点】其他不等式的解法. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;函数的性质及应用.[来源:Zxxk.Com] 【分析】讨论当 m≥0 时,不等式显然不成立;当 m=﹣1 时,恒成立;当 m<﹣1 时,去绝对 值,由二次函数的对称轴和区间的关系,运用单调性可得恒成立;当﹣1<m<0 时,不等式 不恒成立. 【解答】解:由 f(m+x)+mf(x)<0 得: (x+m)|x+m|+mx2<0,x≥1, 当 m≥0 时,即有(x+m)2+mx2>0,在 x≥1 恒成立. 当 m=﹣1 时,即有(x﹣1)2﹣x2=1﹣2x<﹣1<0 恒成立; 当 m<﹣1 时,﹣m>1,当 x≥﹣m>1, 即有(x+m)2+mx2=(1+m)x2+2mx+m2, 由 1+m<0,对称轴为 x= ﹣<1,则区间[﹣m,+∞)为减区间,

即有(1+m)x2+2mx+m2≤m3<0 恒成立; 当﹣1<m<0 时,由 x+m>0,可得(x+m)2+mx2<0 不恒成立. 综上可得当 m≤﹣1 时,对任意的 x≥1 有 f(x+m)+mf(x)<0 恒成立. 故答案为:(﹣∞,﹣1].

【点评】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,考查二次函数的图形和性 质,去绝对值和分类讨论是解题的关键,属于难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞), ﹣1<x<2a+1},若 A∩B=?,求实数 a 的取值集合. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题. 【分析】利用复合函数定义域列出关于 x 的不等式求出集合 B 是解决该问题的关键.集合 A 中两个端点含有字母,对字母的讨论又是解决该题的另一个关键,对集合 A 分是否为空集进 行讨论. 【解答】解:由 ∵A∩B=? ①当 A=?时,有 2a+1≤a﹣1?a≤﹣2 ②当 A≠?时,有 2a+1>a﹣1?a>﹣2[来源:学科网] 又∵A∩B=?,则有 2a+1≤0 或 a﹣1≥1 ∴ 由①②可知 a 的取值集合为 . 得出 B={x|0<x<1}, 的定义域为集合 B;集合 A={x|a

【点评】本题考查复合函数求定义域的思想,考查分类讨论思想,考查求取值范围的列不等 式求解的思想,注意数轴分析法在求解中的运用. 18.设函数 (1)求 a 与 b 的值; (2)求不等式 f(x)>0 的解集. 【考点】对数函数的图像与性质;指、对数不等式的解法. 【专题】计算题;转化思想;换元法;函数的性质及应用. 【分析】(1)令 t=log2x,则 y=2t2﹣2at+b,结合二次函数的图象和性质,可得 a 与 b 的值; (2)由 2t2+4t﹣6>0 得:t<﹣3,或 t>1,结合对数函数的图象和性质,可得原不等式 f(x) >0 的解集. ,已知当 时,f(x)有最小值﹣8.

【解答】解:(1)令 t=log2x,则 y=2t2﹣2at+b 的图象是开口朝上,且以直线 t= 为对称轴的 抛物线,[来源:学,科,网] 故当 t= 时,函数取最小值 ∵当 时,t=log2x=﹣1, ,

故 =﹣1,即 a=﹣2, =﹣8,即 b=﹣6; (2)由(1)得:t=log2x,则 y=2t2+4t﹣6, 由 2t2+4t﹣6>0 得:t<﹣3,或 t>1,即 0<x< ,或 x>2; 故不等式 f(x)>0 的解集为:(0, )∪(2,+∞) 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,对数函数的图象和性质,换元法的应 用,难度中档.[来源:Z+xx+k.Com] 19.我国是世界上人口最多的国家,1982 年十二大,计划生育被确定为基本国策.实行计划 生育,严格控制人口增长,坚持少生优生,这是直接关系到人民生活水平的进一步提高,也 是造福子孙后代的百年大计. (1) 据统计 1995 年底, 我国人口总数约 12 亿, 如果人口的自然年增长率控制在 1%, 到 2020 年底我国人口总数大约为多少亿(精确到亿)? (2)当前,我国人口发展已经出现转折性变化.2015 年 10 月 26 日至 10 月 29 日召 开的党的 十八届五中于全会决定,坚持计划生育的基本国策,完善人口发展战略,全面实施一对夫妇 可生育两个孩子政策,积极开展应对人口老龄化行动.这是继 2013 年,十八届三中全会决定 启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计 2015 年中国人口实际数量大约 14 亿,若实行全面两孩政策后,预计人口年增长率实际可达 1%,那么需经过多少年我国人口 可达 16 亿? (参考数字:1.0125≈1.2824,lg2≈0.3010,lg7≈0.8451,lg1.01≈0.0043) 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】方程思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】(1)由指数函数的模型,可得到 2020 年底我国人口总数为 12×(1+1%)25,近似即 可得到所求;[来源:Z_xx_k.Com]

(2)设需经过 x 年我国人口可达 16 亿,由指数函数的模型,可得 14×(1+1%)x=16,两边 取常用对数,运用近似计算即可得到所求值. 【解答】解:(1)由 1995 年底到 2020 年底,经过 25 年, 由题意可得 2020 年底我国人口总数大约为 12×(1+1%)25≈12×1.2824≈15(亿); (2)设需经过 x 年我国人口可达 16 亿, 由题意可得 14×(1+1%)x=16, 两边取常用对数,可得 lg14+xlg1.01=lg16, 即有 x= ≈ = ≈14.

则需经过 14 年我国人口可达 16 亿. 【点评】本题考查指数函数模型的运用,考查指数和对数的运算以及近似运算的能力,属于 基础题. 20.已知函数 f(x)=λ?2x﹣4x,定义域为[1,3]. (1)若 λ=6 求函数 f(x)的值域; (2)若函数 f(x)在区间[1,3]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 【考点】复合函数的单调性;函数的值域;函数单调性的性质. 【专题】综合题;函数的性质及应用. f x) [来源:Zxxk.Com] 【分析】 (1) 利用换元法, 转化为二次函数, 利用配方法可求函数 ( 的值域; (2)求导函数,转化为 f′(x)=λ2x?ln2﹣4x?ln4≥0 在[1,3]上恒成立,即可求得结论. 【解答】解:(1)设 t=2x,∵x∈[1,3],∴t∈[2,8] ∴λ=6 时,y=﹣t2+6t=﹣(t﹣3)2+9,2≤t≤8 ∴t=3,即 x=log23 时,y 取最大值 9;t=8,即 x=3 时,y 取最小值﹣16, ∴函数 f(x)的值域是[﹣16,9]; (2)由题意,f′(x)=λ2x?ln2﹣4x?ln4≥0 在[1,3]上恒成立,即 λ≥2x+1 在[1,3]上恒成立 ∴λ≥16. 【点评】本题考查复合函数,考查函数的值域,考查恒成立问题,考查导数知识的运用,属 于中档题.

21.(13 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)(0<a<1)函数 y=g(x)图象与函数 f(x)的图 象关于原点对称. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)﹣g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 x∈[0,1)时, 总有 f(x)+g(x)≤m 成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】对数函数的图像与性质;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;数形结合;构造法;函数的性质及应用. 【分析】(1)根据图象关于原点对称求出解析式 g(x)=﹣f(﹣x); (2)利用奇偶性定义确定函数 f(x)﹣g(x)为偶函数; (3)将问题转化为求函数 f(x)+g(x)的最大值. 【解答】解:(1)∵g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点中心对称, ∴g(x)=﹣f(﹣x)=﹣loga(﹣x+1), 即,g(x)=loga ,x<1;

(2)记 h(x)=f(x)﹣g(x)=loga(1+x)﹣loga 即 h(x)=loga(1+x)(1﹣x)=loga(1﹣x2),x∈(﹣1,1), 而 h(﹣x)=loga[1﹣(﹣x)2]=loga(1﹣x2)=h(x) , 所以,h(x)为偶函数,即 f(x)﹣g(x)为偶函数; (3)记 u(x)=f(x)+g(x)=loga(1+x)+loga ∵f(x)+g(x)≤m 恒成立,∴m≥[loga 而 u(x)=loga =loga(﹣1+ ), ]max, =loga ,x∈[0,1),

当 a∈(0,1),x∈[0,1)时,u(x)单调递减, 所以,u(x)max=u(0)=loga1=0, 因此,m≥0. 【点评】本题主要考查了函数的图象与性质,函数奇偶性的判断与证明,以及运用单调性求 函数最值,属于中档题. 22.(13 分)已知函数 ,实数 a≠0.

(1)设 mn>0,判断函数 f(x)在区间[m,n]上的单调性,并说明理由; (2)设 n>m>0 且 a>0 时,f(x)的定义域和值域都是[m,n],求 n﹣m 的最大值.

【考点】函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 【专题】综合题;转化思想;配方法;函数的性质及应用. 【分析】(1)分类讨论 m,n 的符号,先下结论,再证明; (2)问题转化为方程 f(x)=x 有两个相异的正实数根 m,n,再由一元二次方程根与系数关 系和配方法求 n﹣m 的最大值. 【解答】解:(1)根据题意,由于 mn>0,需分类讨论如下: 当 m>0 时,n>0,函数 f(x)在[m,n]上单调递增, 当 m<0 时,n<0,函数 f(x)在[m,n]上单调递增, 不妨设,0<m≤x1<x2≤n, 则 f(x1)﹣f(x2)= ( ﹣ )= ? <0,

所以,f(x1)<f(x2), 因此,f(x)在[m,n]上单调递增; (2)f(x)的定义域和值域都是[m,n],且函数 f(x)递增, 所以, ,即方程 f(x)=x 有两个相异的正实数根 m,n, =x,整理得,a2x2﹣(2a+1)ax+1=0,﹣﹣﹣①

因此,2+ ﹣

根据一元二次方程根与系数的关系得, |m﹣n|= = ,

当 a= 时,|m﹣n|max=



经检验,当 a= 时,方程①有两相异正实根,符合题意,[来源:学_科_网] 因此,n﹣m 的最大值为 .

【点评】本题主要考查了函数单调性的判断和证明,以及一元二次方程根与系数关系,二次 函数最值,属于中档题.


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