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2014届高三人教A版数学(文)一轮复习课件


3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及简单三角函数模型的应用

考纲点击 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数 y= Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影 响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会 用三角函数解决一些简单实际问题.

说基础
课前

预习读教材

考点梳理 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 振幅 周期 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0), T=① x∈[0, +∞)表示 A ____ 一个振动量时

频率

相位

初相 φ

f=② ______ ωx+φ =③ ______

2π 1 ω ① ω ②T ③2π

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五 个特征点.如下表所示.
π 3π φ π-φ 2π-φ 2-φ 2 -φ x -ω ω ω ω ω ωx+φ ④____ ⑤____ ⑥____ ⑦____ ⑧____ 0 0 0 A y=Asin(ωx+φ) -A

π 3 ④0 ⑤2 ⑥π ⑦2π ⑧2π

3.函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的图象的步骤

⑨|φ|

1 1 φ ⑩ω ?A ?ω ?|ω|

?A

考点自测 1.已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如 下:那么 ω=( )

A.1 1 C.2

B.2 1 D.3

2π 解析:由图象可知,函数周期 T=π,ω= T =2,故选 B. 答案:B

2.要得到函数 图象( )

? π? y=sin?2x-3?的图象,只需将 ? ?

y=sin2x 的

π π A.向右平移6个单位 B.向左平移6个单位 π π C.向右平移3个单位 D.向左平移3个单位 ? ? π? π? 解析:∵y=sin?2x-3?=sin2?x-6? ? ? ? ? π ∴向右平移6个单位.故选 A. 答案:A

3.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象 分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

解析:|MN|=|sinα-cosα|=| ∴|MN|max= 2,故选 B. 答案:B

? π? 2sin?a-4?|, ? ?

4.把函数

? π? π ?2x+ ?的图象向右平移 个单位,再把所 y=sin 4? 8 ?

1 得图象上各点的横坐标缩短到原来的2,则所得图象的解析式 为__________.

? π? π ?2x+ ?的图象向右平移 个单位,得:y= 解析:将 y=sin 4? 8 ? ? ? π? π? sin?2?x-8?+4?,即 y=sin2x 的图象,再将 y=sin2x 的图象上 ? ? ? ?

1 各点的横坐标缩短到原来的2,就得到函数 y=sin4x 的图象. 答案:y=sin4x

5.将函数

?π ? 4π ? <φ<π?的图象,仅向右平移 . y=sin(ωx+φ) 2 3 ? ?

2π 或仅向左平移 3 ,所得到的函数图象均关于原点对称,则 ω= __________.

解析:注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半, 2π 1 T 4π ? 2π? 即有2 = 3 -?- 3 ?=2π,T=4π,即 ω =4π,ω=2. ? ? 1 答案:2

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.作图时应注意的两点 (1)作函数的图象时,首先要确定函数的定义域. (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要 作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.

2.图象变换的两种方法的区别 由 y=sinx 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ) +B(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和 相位变换的先后顺序不同时原图象沿 x 轴的伸缩量的区别.先 平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先 |φ| 周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是 ω 个单位. 为什么会有这个区别呢?其原因是,我们所说的平移多少 (即平移量)是相对于 x 来说的,与 x 的系数 ω 无关,因而应写 ? ? φ ?? |φ| ?ω?x+ ??+B 的形式.故平移量为 个单位. 成 y=Asin ω? ? ω ? ?

题型探究 题型一 作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 ? π? 例 1 已知函数 y=2sin?2x+3?, ? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; ? π? (3)说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样 ? ? 的变换而得到.

解析:
? π? (1)y=2sin?2x+3?的振幅 ? ?

A=2,

2π π 周期 T= 2 =π,初相 φ=3.

? π? π (2)令 x′=2x+3,则 y=2sin?2x+3?=2sinx′. ? ? 列表: π π π 7π 5π x -6 12 3 12 6 π 3π 0 π 2π x′ 2 2 0 1 0 -1 0 y=sinx′ ? π? 2 0 -2 0 y=2sin?2x+3? 0 ? ?

描点连线得函数图象:

π (3)把 y=sinx 的图象上所有的点向左平移3个单位,得到 y ? ? π? π? =sin?x+3?的图象, 再把 y=sin?x+3?的图象上的点的横坐标缩 ? ? ? ? ? π? 1 短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+3?的图象,最后 ? ? ? π? 把 y=sin?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 ? ? ? π? 不变),即可得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ?

点评:①作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注 意在作出一个周期上的简图后,应向两端伸展一下,以示整个 定义域上的图象;②变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移 ? φ? 后伸缩还是先伸缩后平移, 对于后者可利用 ωx+φ=ω?x+ω?来 ? ? 确定平移单位.

变式探究 1

已知函数

?1 π? y=3sin?2x-4?. ? ?

(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到 的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

解析:(1)列表: x π 3 5 2 2π 2π π 0 π 2 3 0 7 2π 3 2π -3 9 2π 2π 0

1 π 2x-4 ?1 π? 3sin?2x-4? 0 ? ?

描点、连线,如图所示:

(2)方法一:“先平移,后伸缩”. π 先把 y=sinx 的图象上所有点向右平移4个单位,得到 y= ? ? π? π? sin?x-4?的图象; 再把 y=sin?x-4?的图象上所有点的横坐标伸 ? ? ? ? ?1 π? 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x-4?的图象,最 ? ? ?1 π? 后将 y=sin?2x-4?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 ? ? ?1 π? (横坐标不变),就得到 y=3sin?2x-4?的图象. ? ?

方法二:“先伸缩,后平移” 先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 1 1 (纵坐标不变),得到 y=sin2x 的图象;再把 y=sin2x 图象上所 π 有的点向右平移2个单位, ? x π? ? x π? 1? π ? 得到 y=sin2?x-2?=sin?2-4?的图象, 最后将 y=sin?2-4? ? ? ? ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就 ?1 π? 得到 y=3sin?2x-4?的图象. ? ?

2π 2π π (3)周期 T= ω = 1 =4π,振幅 A=3,初相 φ=-4. 2 1 π π (4)令2x-4=2+kπ(k∈Z), 3 得 x=2kπ+2π(k∈Z),此为对称轴方程. 1 π π 令2x-4=kπ(k∈Z)得 x=2+2kπ(k∈Z). ? ? π 对称中心为?2kπ+2,0?(k∈Z). ? ?

题型二

由图象确定解析式

例 2 如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.

解析: 方法一:以 N 为第一个零点, ?5π π? 则 A=- 3,T=2? 6 -3?=π, ? ? ∴ω=2,此时解析式为 y=- 3sin(2x+φ). ? π ? π π ?- ,0?,∴- ×2+φ=0,∴φ= , ∵点 N 6 6 3 ? ? ? π? 所求解析式为 y=- 3sin?2x+3?.① ? ?

方法二:由图象知 A= 3, ?π ? ?5π ? 以 M?3,0?为第一个零点,P? 6 ,0?为第二个零点. ? ? ? ? ? π ?ω=2, ?ω·+φ=0, ? 3 列方程组? 解之得? 2π . 5π ?φ=- 3 ?ω· +φ=π, ? ? 6 ? 2π? ∴所求解析式为 y= 3sin?2x- 3 ?.② ? ?

点评: (1)首先确定 A.若以 N 为五点法作图中的第一个零点,由 于此时曲线是先下降后上升(类似于 y=-sinx 的图象), 所以 A <0;若以 M 点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降 2π (类似于 y=sinx 的图象),所以 A>0.而 ω= T ,φ 可由相位来 确定.

(2)根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主 要从以下四个方面来考虑: ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 最高点-最低点 A= ; 2 ②k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 最高点+最低点 k= ; 2

2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= ω (ω >0)来确定 ω; ④φ 的确定: 由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交 φ φ 点(最靠近原点)的横坐标为-ω(即令 ωx+φ=0,x=-ω)确定 φ.

π 变式探究 2 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(|φ|<2,ω>0)的图 象的一部分如图所示. (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

解析:(1)观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上,∴1= 1 2sin(ω· 0+φ),即 sinφ=2. π π ∵|φ|<2,∴φ=6, 11 又∵12π 是函数的一个零点,且是图象递增穿过 x 轴形成 的零点, 11π π ∴ 12 ω+6=2π,∴ω=2. ? π? ∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

π π (2)设 2x+6=A, 则函数 y=2sinA 的对称轴方程为 A=2+ π π kπ,k∈Z,即 2x+6=2+kπ(k∈Z), kπ π 解上式得 x= 2 +6(k∈Z), ? π? kπ π ?2x+ ?的对称轴方程为 x= + (k∈Z). ∴f(x)=2sin 6? 2 6 ?

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 ? 1 1 ?π 2 例 3 已知函数 f(x)=2sin2xsinφ+cos xcosφ-2sin?2+φ?(0 ? ? ?π 1? <φ<π),其图象过点?6,2?. ? ? (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2, ? π? 纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在?0,4?上 ? ? 的最大值和最小值.

题型三

解析:
?π 1? (1)∵f(x)的图象过点?6,2?, ? ?

? 1 1 π 1 ?π 2π ∴2=2sin3sinφ+cos 6cosφ-2sin?2+φ?. ? ? ? π? 3 1 化简 2 sinφ+2cosφ=1,即 sin?φ+6?=1. ? ? π π 7π π ∵0<φ<π,∴6<φ+6< 6 ,因此 φ=3.

3 1 2 1 (2)由(1)知 f(x)= 4 sin2x+2cos x-4 π? 3 1 1 ? = 4 sin2x+4cos2x=2sin?2x+6?. ? ? 1 将 f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的2,得函数 y= g(x)的图象.

π? 1 ? ∴g(x)=2sin?4x+6?. ? ? π π π 7 ∵0≤x≤4,∴6≤4x+6≤6π. π π 1 因此当 4x+6=2时,g(x)有最大值2; π 7 1 当 4x+6=6π 时,g(x)有最小值-4. 1 1 故 g(x)的最大、最小值分别为2与-4.

点评:①解决此类问题时,一般先将函数解析式化为 f(x) =Asin(ωx+φ)的形式,然后在此基础上把 ωx+φ 看作一个整 体,结合题目要求进行求解.②解决图象变换问题时,要分清 变换的对象及平移(伸缩)的大小,避免出现错误.

x x 2x 变式探究 3 已知函数 f(x)=sin2cos2+cos 2-2. (1)将函数 f(x)化简成 Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈ [0,2π))的形式,并指出 f(x)的周期; ? 17π? (2)求函数 f(x)在?π, 12 ?上的最大值和最小值. ? ?

解析: 1+cosx 1 (1)f(x)=2sinx+ 2 -2 1 3 =2(sinx+cosx)-2 2 ? π? 3 = 2 sin?x+4?-2, ? ? 故 f(x)的周期为 2kπ(k∈Z 且 k≠0).

17 5 π 5 (2)由 π≤x≤12π,得4π≤x+4≤3π, 5π? 2 ? π? 3 ? 因 为 f(x) = 2 sin ?x+4? - 2 在 ?π, 4 ? 上 是 减 函 数 , 在 ? ? ? ? ?5π 17π? ? , ? 4 12 ?上是增函数, ? 3+ 2 5π 故当 x= 4 时,f(x)有最小值- 2 ; ?17 ? 6+ 6 ? π?=- 而 f(π)=-2,f 12 4 <-2, ? ? 所以当 x=π 时 x 有最大值-2.

题型四 函数 y=Asin(ωx+φ)模型的应用 例 4 如图为一个观光缆车示意图,该 缆车半径为 4.8 米,圆上最低点与地面距 离为 0.8 米,每 60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面的距离是 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间 的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的时间.

解析:(1)过 O 作地面平行线 ON,过点 B 作 ON 的垂线 π π BM 交 ON 于 M 点(如图),当 θ>2,∠BOM=θ-2, ? π? h=|OA|+|BM|+0.8=5.6+4.8 sin?θ-2?. ? ? π 当 0≤θ≤2时,上式也成立.

π (2)点 A 在圆上转动的角速度是30, π 所以 t 秒转过的弧度数为30t, ?π π? ∴h=5.6+4.8sin?30t-2?,t∈[0,+∞). ? ? 到达最高点时,h=10.4 米, ?π π? π π π 即 sin?30t-2?=1,30t-2=2, ? ? 即 t=30 秒时,缆车到达最高点.

点评:结合所学知识,抽象出具体函数,建立精确的三角 函数模型,再用模型去解释、分析问题,要明确各个实际量的 含义,写出函数的定义域.

变式探究 4 青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔, 拥有长 580 米,宽 40 余米的沙滩,是亚洲较大的海水浴场.这里三面环 山,绿树葱茏,现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合 在一起,景色非常秀丽.海湾内水清浪小,滩平坡缓,沙质细 软,自然条件极为优越. 已知海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小 时)的函数,记作 y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据: 3 6 9 12 15 18 21 24 t 0 y 1.5 1.0 1.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

经长期观测, y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosωt +b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acosωt+b 的最小正周期 T, 振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开 放, 请依据(1)的结论, 判断一天内的上午 8∶00 时至晚上 20∶ 00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

解析: (1)由表中数据,知周期 T=12, 2π 2π π ∴ω= T =12=6, 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5; 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0, 1 1 π ∴A=0.5,b=1,∴振幅为2,∴y=2cos6t+1.

(2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π π ∴2cos6t+1>1,∴cos6t>0, π π π ∴2kπ-2<6t<2kπ+2,k∈Z, 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z① ∵0≤t≤24,故可令①中的 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3,或 9<t<15,或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有 6 个小 时的时间可供冲浪者运动:上午 9∶00 至下午 3∶00.

归纳总结 ?方法与技巧 1.五点法作函数图象及函数图象变换问题 (1)当明确了函数图象基本特征后, “描点法”是作函数图 象的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图象时,应 取好五个特殊点,并注意曲线的凹凸方向. (2)在进行三角函数图象变换时, 提倡“先平移, 后伸缩”, 但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练 掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多 少.

2.由图象确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A、ω、φ 的题型,常常 ? φ ? 以“五点法”中的第一零点?-ω,0?作为突破口,要从图象的 ? ? 升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

3.对称问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对 称中心, 经过该图象上坐标为(x, A)的点与 x 轴垂直的每一条 ± 直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝 对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

?失误与防范 1.由函数 y=sinx(x∈R)的图象经过变换得到函数 y= Asin(ωx+φ)的图象, 在具体问题中, 可先平移变换后伸缩变换, 也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩,后平移时 要把 x 前面的系数提取出来. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质是本节考查的重点, 也是高考热点,复习时尽可能使用数形结合的思想方法,如求 解对称轴、对称中心和单调区间等.

3.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y =Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体.在单调性应用方面,比较大小是一类常 见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.

新题速递 1.(2012· 天津卷)将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右 ?3π ? π 平移4个单位长度,所得图象经过点? 4 ,0?,则 ω 的最小值是 ? ? ( ) 1 5 A.3 B.1 C.3 D.2

解析:平移后的图象的函数表达式为
?3π ? 将点? 4 ,0?的坐标代入得 ? ?

? ? π ?? f(x)=sin?ω?x-4??, ?? ? ?

ω=2k,

∵w>0,k∈Z,故 ω 的最小值为 2. 答案:D

2.(2012· 浙江卷)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单 位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

A

B

C

D

解析:函数 y=cos 2x+1 图象上所有点的横坐标伸长到原 来的 2 倍,得到函数 y=cos x+1 的图象;再将函数向左平移 一个长度,得到函数 y=cos(x+1)+1 的图象;最后把函数向 下平移 1 个单位得到函数 y=cos(x+1)的图象,可以看成由函 数 g(x)=cos x 的图象向左平移一个单位得到的,只有 A 符合. 答案:A

3.(2012· 湖南卷) 已知函数
? π? f(x)=Asin(ωx+φ) ?x∈R,ω>0,0<φ<2? 的部分 ? ?

图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

解析: (1)由题设图象知,周期
?11π 5π? T=2? 12 -12?=π, ? ?

2π 所以 ω= T =2. ?5π ? 因为点?12,0?在函数图象上, ? ? ? ? ?5π ? 5π 所以 Asin?2×12+φ?=0,即 sin? 6 +φ?=0. ? ? ? ?

π 5π 5π 4π 又因为 0<φ<2,所以 6 < 6 +φ< 3 . 5π π 从而 6 +φ=π,即 φ=6. π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin6=1,得 A=2. ? π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

? ? ? ? π ? π? π ? π? (2)g(x)=2sin?2?x-12?+6?-2sin?2?x+12?+6? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? π? 3 ?2x+ ?=2sin 2x-2? sin 2x+ =2sin 2x-2sin ?2 3? 2 cos ? ? ? π? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?. ? ?

? ? 2x? ?

π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,得 π 5π kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. 所以函数

? π 5π? g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ?


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