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山东省枣庄一中2015届高三上学期1月月考数学试卷(理科)


山东省枣庄一中 2015 届高三上学期 1 月月考数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知全集 M={﹣2,﹣1,0,1,2},N={x| <2 A.{﹣1,0,1} B.{﹣2,﹣1,0,1,2} C.
2 x+1

<8,x∈R},则 M∩N=() {0,1} D.

{﹣1,0}

2. (5 分)已知命题 p:|x|<1,命题 q:x +x﹣6<0,则 q 是 p 成立的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)若 () A.1 B . ﹣4 C. ﹣
2

是夹角为

的单位向量,且



,则

=

D.

4. (5 分)公差不为零的等差数列{an}中,2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7 则 b6b8=() A.2 B. 4 C. 8 D.16 5. (5 分)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排 法种数为() A.192 B.240 C.384 D.480 6. (5 分)已知 f(x) (x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2) ,则 f(3)等于 () A. B. 1 C. D.2
3

7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位:cm )为()

A.π+

B. 2

C . 2π

D.

8. (5 分)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()

A.若 l⊥m,l⊥n,且 m,n?α,则 l⊥α B. 若平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β C. 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥n,n⊥α,则 m⊥α 9. (5 分)函数 的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)直线 l 与圆 x +y +2x﹣4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点 C 为 (﹣2,3) ,则直线 l 的方程为() A.x﹣y+5=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y﹣5=0 D.x+y﹣3=0

2

2

11. (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件

,若函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 1,则 A.

的最小值为() B. C. D.

12. (5 分)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M, 使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={ };

②M={(x,y)|y=sinx+1}; ③M={(x,y)|y=log2x}; x ④M={(x,y)|y=e ﹣2}. 其中是“垂直对点集”的序号是() A.①② B.②③

C.①④

D.②④

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)已知两条直线 y=ax﹣2 和 3x﹣(a+2)y+1=1 互相平行,则 a 等于. 14. (4 分)由直线 x=﹣ ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为.

15. (4 分) 椭圆

+

=1 (a>b>0) 的左、 右顶点分别是 A, B, 左、 右焦点分别是 F1, F2. 若

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为.

16. (4 分)已知 个.

,则函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点的个数为

2

三、解答题: (本大题共有 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 17. (12 分)已知向量 =(cosx,sinx) , =( cosx,cosx) ,若 f(x)= ? + .

(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数 f(x)在区间[﹣ , )上的值域.

18. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N ) ,等差数列{bn}满足 b3=3, b5=9. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 Cn= (n∈N ) ,求证 Cn+1<Cn
*

*



19. (12 分)设命题 p:关于 x 的二次方程 x +(a+1)x+a﹣2=0 的一个根大于零,另一根小 2 于零;命题 q:不等式 2x +x>2+ax 对?x∈(﹣∞,﹣1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题, 命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 20. (12 分)三棱锥 P﹣ABC,底面 ABC 为边长为 的正三角形,平面 PBC⊥平面 ABC, PB=PC=2,D 为 AP 上一点,AD=2DP,O 为底面三角形中心. (Ⅰ)求证 DO∥面 PBC; (Ⅱ)求证:BD⊥AC; (Ⅲ)设 M 为 PC 中点,求二面角 M﹣BD﹣O 的余弦值.

2

21. (12 分) 已知椭圆的中心在原点, 左焦点 F( 0) , 过左焦点且垂直于长轴的弦长为 1 ﹣2,



(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)过(﹣3,0)点的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,若以线段 A,B 为直径的圆过椭圆 的左焦点,求直线 l 的方程. 22. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx 在点(3,f(3) )处的切线方程为 12x+2y﹣27=0,且 对任意的 x∈[0,+∞) ,f′(x)≤kln(x+1)恒成立. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值; (Ⅲ)求证: (n∈N ) .
* 3 2

山东省枣庄一中 2015 届高三上学期 1 月月考数学试卷 (理 科)

参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知全集 M={﹣2,﹣1,0,1,2},N={x| <2 A.{﹣1,0,1} B.{﹣2,﹣1,0,1,2} C.
x+1

<8,x∈R},则 M∩N=() {0,1} D. {﹣1,0}

考点: 交集及其运算. 分析: 由题意集合 M={﹣2,﹣1,0,1,2},N= M,N,然后根据交集的定义和运算法则进行计算. 解答: 解:由 <2
﹣1

,解出集合

x+1

<8

得 2 <2 <2 , ∴﹣1<x+1<3, ∴﹣2<x<2, ∴M∩N={﹣1,0,1}. 故选 A. 点评: 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,概念不清会导致部分同学失分. 2. (5 分)已知命题 p:|x|<1,命题 q:x +x﹣6<0,则 q 是 p 成立的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 先用含有绝对值不等式的解法,将 p 化简得到﹣1<x<1,再用一元二次不等式的解 法,将 q 化简得到﹣3<x<2,然后再对充分性和必要性分别加以论证,可得正确答案. 解答: 解:对于 p,|x|<1 即﹣1<x<1; 2 对于 q,x +x﹣6<0 即﹣3<x<2. 接下来看充分性: 当 q 成立时,x∈(﹣3,2) ,不一定有﹣1<x<1, 比如 x=﹣2,满足 q 但不满足 p,充分性不成立 再看必要性: 当 p 成立时,x∈(﹣1,1) ,而(﹣1,1)?(﹣3,2) , 所以有 x∈(﹣2,3) ,即﹣3<x<2,q 成立,因此必要性成立 综上所述,q 是 p 成立的必要不充分条件 故选 B 点评: 本题以必要条件和充分条件为载体,考查了含有绝对值不等式的解法和一元二次不 等式的解法,属于基础题.
2

x+1

3

3. (5 分)若 ()

是夹角为

的单位向量,且



,则

=

A.1

B . ﹣4

C. ﹣

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算和向量的运算法则即可得出. 解答: 解:由题意得 ∴ = = . =﹣6+ +2= .

故选 C. 点评: 熟练掌握数量积运算和向量的运算法则是解题的关键. 4. (5 分)公差不为零的等差数列{an}中,2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7 则 b6b8=() A.2 B. 4 C. 8 D.16 考点: 等比数列. 2 分析: 由 2a3﹣a7 +2a11=0 结合性质求得 a7,再求得 b7,由等比数列的性质求得 b6b8. 2 解答: 解:由等差数列的性质:2a3﹣a7 +2a11=0 得 2 ∵a7 =2(a3+a11)=4a7 ∴a7=4 或 a7=0 ∴b7=4 2 ∴b6b8=b7 =16 故选 D 点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的性质. 5. (5 分)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排 法种数为() A.192 B.240 C.384 D.480 考点: 排列及排列数公式. 专题: 概率与统计. 分析: 分类讨论,考虑 C 排在左边第一、二、三个位置的情况,再利用对称性可得结论. 解答: 解:第一类,字母 C 排在左边第一个位置,有 第二类,字母 C 排在左边第二个位置,有 第三类,字母 C 排在左边第三个位置,有 由对称性可知共有 2( 故选 D. + + 种; 种, )=480 种. 种;
2

点评: 本题考查利用排列知识解决实际问题,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算 能力,属于中档题. 6. (5 分)已知 f(x) (x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2) ,则 f(3)等于 () A. B. 1 C. D.2

考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性好条件进行求值. 解答: 解:因为 f(x+2)=f(x)+f(2) ,f(2)=1, 所以 f(x+2)=f(x)+1, 所以当 x=﹣1 时,f(﹣1+2)=f(﹣1)+1=﹣f(1)+1, 所以 f(1)= , 所以 f(3)=f(1+2)=f(1)+1= ,

故选 C. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,比较基础. 7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位:cm )为()
3

A.π+

B. 2

C . 2π

D.

考点: 由三视图还原实物图;组合几何体的面积、体积问题. 专题: 计算题;数形结合法. 分析: 由三视图可以看出,该几何体下部是一个圆柱,上部是一三棱锥,圆柱半径为 1 高 也是 1,三棱锥底面是一等腰直角三角形,过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角 形,边长是 2,由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和. 解答: 解:由三视图,该组合体上部是一三棱锥,下部是一圆柱由图中数据知 V 圆柱=π×1 ×1=π 三棱锥垂直于底面的侧面是边长为 2 的等边三角形,且边长是 2,故其高即为三棱锥的高, 高为 故棱锥高为 由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为 2,故两直角边长度都是
2

底面三角形的面积是 故 =

=1

故该几何体的体积是 π+ 故选 A. 点评: 本题考点是由三视图还原实物图,考查由在视图给出几何体的度量,由公式求体积, 本题是三视图考查中常出现的题型,关键是正确地还原出几何体的特征. 8. (5 分)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A.若 l⊥m,l⊥n,且 m,n?α,则 l⊥α B. 若平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β C. 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥n,n⊥α,则 m⊥α 考点: 命题的真假判断与应用;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线面垂直的判定定理判断 A 是否正确; 借助图象,根据三点是否在平面的同侧来判断 B 是否正确; 根据直线在平面内的情况,来判断 C 是否正确; 根据平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,来判断 D 是否正确. 解答: 解:A、若 m∥n 时,l 与 α 不一定垂直,故 A 错误; B、若三点不在平面 β 的同侧,则 α 与 β 相交,故 B 错误; C、m⊥α,m⊥n,有可能 n?α,故 C 错误; D、根据平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于平面,故 D 正确. 故选:D. 点评: 本题借助考查命题的真假判断,考查线面垂直的判定.

9. (5 分)函数

的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 通过特值法逐步排除选项即可得到结果. 解答: 解:当 x=1 时,函数 x=﹣1 时,函数 x= 时,函数 故选:C. = =1,所以选项 B 不正确; =1,所以选项 A 不正确, ﹣e<0,所以选项 D 不正确;

点评: 本题考查函数的图象的判断,一般利用函数的奇偶性与函数的单调性,函数经过的 特殊点以及函数的对称性判断解答,例如本题采用特值排除法也是常用方法. 10. (5 分)直线 l 与圆 x +y +2x﹣4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点 C 为 (﹣2,3) ,则直线 l 的方程为() A.x﹣y+5=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y﹣5=0 D.x+y﹣3=0 考点: 直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 由圆的方程求出圆心坐标,连接 OC 得到 OC⊥AB,所以 kOC?kAB=﹣1,圆心坐标和 C 的坐标求出直线 OC 的斜率即可得到直线 l 的斜率,写出直线 l 的方程即可. 解答: 解:由圆的一般方程可得圆心 O(﹣1,2) , 由圆的性质易知 O(﹣1,2) ,C(﹣2,3)的连线与弦 AB 垂直,故有 kABkOC=﹣1?kAB=1, 故直线 AB 的方程为:y﹣3=x+2 整理得:x﹣y+5=0 故选 A 点评: 考查学生利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 这个性质解决数学问题, 掌握直线与圆 的方程的综合应用,会根据条件求直线的一般式方程.
2 2

11. (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件

,若函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 1,则 A.

的最小值为() B. C. D.

考点: 基本不等式;简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由已知利用线性规划可得 3a+4b=1,而 =(3a+4b) ( )展开后利用基本不

等式即可求解. 解答: 解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 由直线 ax+by=z(a>0,b>0)可得 y=﹣ x+ ,则 由 a>0,b>0 可得﹣ <0 ∴直线 ax+by=z 过点 B 时,目标函数有最大值 由 可得 B(3,4) 表示直线在 y 轴截距,截距越大 z 越大

此时目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 1, 即 3a+4b=1,而 =( ) (3a+4b)=7+ + ≥7+4

当且仅当 ∴

=

时取等号 .

的最小值 7+4

故选:A.

点评: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地 画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值. 12. (5 分)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M, 使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={ };

②M={(x,y)|y=sinx+1}; ③M={(x,y)|y=log2x}; x ④M={(x,y)|y=e ﹣2}. 其中是“垂直对点集”的序号是() A.①② B.②③

C.①④

D.②④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义. 分析: 对于①利用渐近线互相垂直,判断其正误即可.对于②、③、④通过函数的定义 域与函数的值域的范围,画出函数的图象,利用“垂直对点集”的定义,即可判断正误; 解答: 解:对于①y= 是以 x,y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角是 90°,所以在同一 支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足好集合的定义;在另一支上对任意(x1, y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,所以不满足“垂直对点集”的定义, 不是“垂直对点集”. 对于②M={(x,y)|y=sinx+1},对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,例如(0,1) 、 (π,0) ,满足“垂直对点集”的定义,所以 M 是“垂直对点集”;正确. 对于③M={(x,y)|y=log2x},取点(1,0) ,曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连 线互相垂直,所以不是“垂直对点集”. x 对于④M={(x,y)|y=e ﹣2},如下图红线的直角始终存在,对于任意(x1,y1)∈M,存在 (x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,例如取 M(0,﹣1) ,则 N(ln2,0) ,满足“垂直对 点集”的定义,所以是“垂直对点集”;正确.

所以②④正确. 故选 D. 点评: 本题考查“垂直对点集”的定义,利用对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M, 使得 x1x2+y1y2=0 成立, 是本题解答的关键, 函数的基本性质的考查, 注意存在与任意的区别. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)已知两条直线 y=ax﹣2 和 3x﹣(a+2)y+1=1 互相平行,则 a 等于 1 或﹣3. 考点: 专题: 分析: 解答: 所以 = 直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 应用两直线平行关系的判定方法,列式直接求解即可. 解:两条直线 y=ax﹣2 和 3x﹣(a+2)y+1=0 互相平行, ≠

解得 a=﹣3,或 a=1. 故答案为:1 或﹣3. 点评: 本题考查两条直线平行的判定,是基础题.

14. (4 分)由直线 x=﹣

,x=

,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为



考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据余弦函数的对称性,用定积分表示出封闭图形的面积,再进行计算即可. 解答: 解:根据余弦函数的对称性可得,直线 的封闭图形的面积为 2 =2sinx = , ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成

故答案为: 点评: 本题考查利用定积分求面积,解题的关键是确定被积区间与被积函数,属于中档题.

15. (4 分) 椭圆

+

=1 (a>b>0) 的左、 右顶点分别是 A, B, 左、 右焦点分别是 F1, F2. 若

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为



考点: 椭圆的简单性质;等比数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 直接利用椭圆的定义,结合|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,即可求出椭圆的离心率. 解答: 解:因为椭圆 + =1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是

F1,F2. 若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 2 2 2 所以(a﹣c) (a+c)=4c ,即 a =5c , 所以 e= . .

故答案为:

点评: 本题考查椭圆的基本性质的应用,离心率的求法,考查计算能力.

16. (4 分)已知 个.

,则函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点的个数为 5

2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 原问题可转化为求方程 2f (x)﹣3f(x)+1=0 的解的个数,根据题意作出 f(x)的 简图,结合图象分析即可以得出答案. 2 解答: 解:根据题意,令 2f (x)﹣3f(x)+1=0, 解得得 f(x)=1 或 f(x)= ,作出 f(x)的简图: 由图象可得当 f(x)=1 或 f(x)= 时,分别有 3 个和 2 个交点, 若关于 x 的函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点的个数为 5. 故答案为:5.
2

点评: 本题考查函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,采用数形结合的方法是解决 问题的关键,属中档题, 三、解答题: (本大题共有 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 17. (12 分)已知向量 =(cosx,sinx) , =( cosx,cosx) ,若 f(x)= ? + .

(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数 f(x)在区间[﹣ , )上的值域.

考点: 平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式、对称轴方程即 可得出; (2)利用正弦函数的单调性即可得出. 解答: 解: (1) = ∴ , Z) . ) ,∴ ∈ , ,最大值 . , . = =

图象的对称轴方程为 (2)∵x∈[﹣ 又 f(x)在 ∴函数 f(x)在区间 ,

处分别取到函数的最小值 上的值域为

点评: 本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质, 考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

18. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N ) ,等差数列{bn}满足 b3=3, b5=9. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 Cn= (n∈N ) ,求证 Cn+1<Cn
*

*



考点: 数列递推式;等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)①利用

,及等比数列的通项公式即可得出 an;

②利用等差数列的通项公式即可得出 bn; (2)由 即可得到 cn+1<cn;利用二项式定理可得 3 =(1+2) ≥3n,即可证明
n n



解答: 解: (1)①当 n≥2 时,由 an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,得 an+1﹣an=2an,即 an+1=3an. 由 a1=1,∴a2=2a1+1=3=3a1. ∵a1=1≠0,∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列. ∴ .

②等差数列{bn}满足 b3=3,b5=9.设公差为 d,则 ∴bn=﹣3+(n﹣1)×3=3n﹣6. (2)由(1)可得 = .

,解得



∴ ∵3 =(1+2) = ∴ .
n n

=cn. …+2 ≥3n,
n

点评: 熟练掌握数列通项公式 an 与其前 n 项和 Sn 之间的关系、 等差与等比数列的通项公式、 不等式的基本性质、二项式定理是解题的关键. 19. (12 分)设命题 p:关于 x 的二次方程 x +(a+1)x+a﹣2=0 的一个根大于零,另一根小 2 于零;命题 q:不等式 2x +x>2+ax 对?x∈(﹣∞,﹣1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题, 命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑.
2

分析: 对于命题 P:令 f(x)=x +(a+1)x+a﹣2,由于关于 x 的二次方程 x +(a+1)x+a ﹣2=0 的一个根大于零,另一根小于零,可得 f(0)<0;对于命题 q:由于 x∈(﹣∞,﹣1) , 由不等式 2x +x>2+ax 可得:
2

2

2

,利用函数的单调性即可得出 a 的取值范围;由

于命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,可得 P 与 q 必然一真一假. 2 解答: 解:对于命题 P:令 f(x)=x +(a+1)x+a﹣2, 2 ∵关于 x 的二次方程 x +(a+1)x+a﹣2=0 的一个根大于零,另一根小于零, ∴f(0)<0,即:a﹣2<0,解得:命题 p 为真时 a<2; 对于命题 q:∵x∈(﹣∞,﹣1) ,由不等式 2x +x>2+ax 可得: 令
2 2



,由 g(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,故 g(x)∈(﹣∞,1) .

又不等式 2x +x>2+ax 对?x∈(﹣∞,﹣1)上恒成立,∴命题 q 为真时 a≥1. ∵命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,∴P 与 q 必然一真一假. 若 p 真 q 假,得 a<1; 若 p 假 q 真,得 a≥2. 综上可得:a<1 或 a≥2. 点评: 本题考查了函数的零点、恒成立问题等价转化方法、函数的单调性、复合命题的真 假判断方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 20. (12 分)三棱锥 P﹣ABC,底面 ABC 为边长为 的正三角形,平面 PBC⊥平面 ABC, PB=PC=2,D 为 AP 上一点,AD=2DP,O 为底面三角形中心. (Ⅰ)求证 DO∥面 PBC; (Ⅱ)求证:BD⊥AC; (Ⅲ)设 M 为 PC 中点,求二面角 M﹣BD﹣O 的余弦值.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)连接 AO 交 BC 于点 E,连接 PE,通过 DO∥PE,利用直线与平面平行的判定 定理,证明求证 DO∥面 PBC; (Ⅱ)通过证明 AC⊥平面 DOB,利用直线与平面垂直的性质定理证明 BD⊥AC;

(Ⅲ)设 M 为 PC 中点,以 EA,EB,EP 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,求 出 A、 B、 P、 C、 D、 M 的坐标, 求出向量 , , 设出平面 BDM 的法向量为 , 利用 ,

求出 ,利用

求二面角 M﹣BD﹣O 的余弦值.

解答: (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连接 AO 交 BC 于点 E,连接 PE. ∵O 为正三角形 ABC 的中心,∴AO=2OE, 且 E 为 BC 中点.又 AD=2DP, ∴DO∥PE,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∵DO?平面 PBC,PE?平面 PBC ∴DO∥面 PBC.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (Ⅱ)∵PB=PC,且 E 为 BC 中点,∴PE⊥BC, 又平面 PBC⊥平面 ABC, ∴PE⊥平面 ABC,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 由(Ⅰ)知,DO∥PE, ∴DO⊥平面 PBC, ∴DO⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 连接 BO,则 AC⊥BO,又 DO∩BO=O, ∴AC⊥平面 DOB,∴AC⊥BD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)知,EA,EB,EP 两两互相垂直,且 E 为 BC 中点, 所以分别以 EA,EB,EP 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴

设平面 BDM 的法向量为

,则



令 y=1,则 由(Ⅱ)知 AC⊥平面 DBO, ∴

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

为平面 DBO 的法向量,





由图可知,二面角 M﹣BD﹣O 的余弦值为

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查直线与平面的平行的判断,在与平面垂直的性质定理的应用,二面角的求 法,考查空间想象能力与计算能力,以及逻辑推理能力.

21. (12 分) 已知椭圆的中心在原点, 左焦点 F( 0) , 过左焦点且垂直于长轴的弦长为 1 ﹣2,



(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)过(﹣3,0)点的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,若以线段 A,B 为直径的圆过椭圆 的左焦点,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设出椭圆方程,表示出通径,由其长等于 ,联立 c=2 及 a =b +c 求解 a,
2 2 2

b 的值,所以椭圆的标准方程可求; (Ⅱ)设出直线 l 的方程,和椭圆方程联立后化为关于 y 的一元二次方程,由根与系数的关系 得到两交点 A,B 的纵坐标的和与积,代入向量数量积等于 0 求解答案. 解答: 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 .

令 x=﹣c,代入椭圆方程得,



所以

,又 a =b +c ,解得

2

2

2



∴椭圆的标准方程为



(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x=my﹣3,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立直线与椭圆的方程 ,得(m +3)y ﹣6my+3=0,
2 2

, 由题意可知 AF1⊥BF1,即 ,

∴ 整理得: (m +1)y1y2﹣m(y1+y2)+1=0. ∴
2 2 2

=

,解得 m=



代入△ =36m ﹣12(m +3)=24×3﹣36=36>0. 所以直线 l 的方程为 或 x﹣ +3=0. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和椭圆的关系,直线和圆锥曲线的关系问 题,常采用根与系数的关系来解决,考查了学生的计算能力,属有一定难度题目. 22. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx 在点(3,f(3) )处的切线方程为 12x+2y﹣27=0,且 对任意的 x∈[0,+∞) ,f′(x)≤kln(x+1)恒成立. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值; (Ⅲ)求证: (n∈N ) .
* 3 2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法;不等式的证明. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由点(3,f(3) )在切线上,可求点的纵坐标,又在曲线上,把求得的点的坐 标代入曲线方程可得一个关于 a,b 的方程,再根据函数在点(3,f(3) )处的切线的斜率列 关于 a,b 的第二个方程,联立后即可求得 a,b 的值,则函数解析式可求; (Ⅱ)求出函数的导函数后代入 f′(x)≤kln(x+1) ,把对任意的 x∈[0,+∞) ,f′(x)≤kln(x+1) 2 2 恒成立转化为 x ﹣x+klnx≥0 在 x∈[0,+∞)恒成立,引入辅助函数 g(x)=x ﹣x+kln(x+1) , 2 而 g(0)=0,则问题转化为函数 g(x)=x ﹣x+kln(x+1)在[0,+∞)上为增函数,求 k 的 值.把函数 g(x)求导后,通过满足导函数在[0,+∞)上恒大于等于 0 可求实数 k 的取值范 围. 2 2 (Ⅲ)当 k=1 时, (Ⅱ)中的结论变为﹣x +x≤ln(x+1) ,也就是 x≤x +ln(x+1)在 x∈[0,+∞) 恒成立,取 后利用对数式的性质展开,作和后先放缩再裂项,整理即可得到结论. , ①

解答: (Ⅰ)解:将 x=3 代入直线方程得
3 2

∵点(3,f(3) )在函数 f(x)=ax +bx 的图象上,∴ 由 f'(x)=3ax +2bx,f'(3)=﹣6,∴27a+6b=﹣6② 联立①②,解得 .
2




2

(Ⅱ)解:由 f'(x)=﹣x +x,∴对任意的 x∈[0,+∞) ,f'(x)≤kln(x+1)恒成立, 2 即﹣x +x≤kln(x+1)在 x∈[0,+∞)上恒成立; 2 也就是 x ﹣x+kln(x+1)≥0 在 x∈[0,+∞)恒成立; 2 设 g(x)=x ﹣x+kln(x+1) ,g(0)=0, ∴只需对于任意的 x∈[0,+∞)有 g(x)≥g(0)即可.

设 h(x)=2x +x+k﹣1, (1)当△ =1﹣8(k﹣1)≤0,即 调递增, ∴g(x)≥g(0) (2)当△ =1﹣8(k﹣1)>0,即 由 ,可知 x1<﹣ , , 时,设 是方程 2x +x+k﹣1=0 的两根且 x1<x2
2

2

时,h(x)≥0,∴g'(x)≥0,∴g(x)在[0,+∞)单

要使对任意 x∈[0,+∞)有 g(x)≥g(0) ,只需 即 k﹣1≥0,∴k≥1,∴ 综上分析,实数 k 的最小值为 1.

(Ⅲ) 证明:因为当 k=1 时,有 f' (x)≤kln(x+1) 恒成立,即﹣x +x≤ln(x+1) , 也就是 x≤x +ln (x+1)在 x∈[0,+∞)恒成立; 令 ∴ ,得 ≤ .

2

2

=

=



∴原不等式得证. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的切线方程问题,在曲线上某点处的切线的斜率就是 该点的导数值, 考查了导数在最大值和最小值中的应用, 体现了数学转化思想和分类讨论的数 学思想.特别是(Ⅲ)的证明,用到了放缩法和裂项相消,此题属难度较大的题目.


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