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2014年高中数学(入门答疑+思维启迪+状元随笔)3.2.2函数模型的应用实例同步课堂讲义课件 新人教A版必修1


3.2.2 函数模型的应用实例

某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件, 每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减 少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现, 如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2 件.于是商场经理决定每件衬衫降价15元. [问题] 经理的决定,正确吗? [提示] 设降价x元,利润为y元,则由题意可知: y=(20+

2x)(40-x)=-2x2+60x+800. ∴当x=15时,ymax=1 250元, 即经理的决定是正确的.

1.了解函数模型的广泛应用. 2.能利用已知函数模型求解实际问题.(重点) 3.通过对数据的合理分析,能自建函数模型解决 实际问题.(难点) 4.能归纳掌握求解函数应用题的步骤.(重点、难 点)

解模型确定的函数应用题的基本步骤

解函数应用题应注意的问题 (1)读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背 景,领悟从背景中概括出来的数学实质.尤其是理 解叙述中的新名词、新概念,进而把握住新信息. 在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些 知识,确定自变量与函数值的意义,尝试问题的函 数化. (2)审题时要抓住题目中的关键量,要勇于尝试、探 索,敢于发现、归纳,善于联想、化归,实现应用 问题向数学问题的转化.

拟合函数模型的应用题求解步骤

选择函数模型时应注意的问题 在选择函数模型时,要让函数的性质与所要解决的 问题的变化基本吻合,通常用待定系数法求模拟函 数的解析式,由于函数模型的局限性,所求数据往 往只是在一定的范围内与实际问题基本相符.

1. 某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如 下表: ? x 1 2 3 ? y 1 3 8 下面的函数关系式中,能表达这种关系的是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x2-1 C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2

解析: 画散点图或代入数值,选择拟合效果最好 的函数,故选D. 答案: D

2.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量 为 2 000 辆次,其中变速车存车费是每辆一次 0.8 元,普通车存车费是每辆一次 0.5 元,若普通车存 车数为 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系式是( ) * A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000,x∈N ) B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000,x∈N*) C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000,x∈N*) D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000,x∈N*)

解析: 由题意知,变速车存车数为(2 000- x)辆 次, 则总收入 y=0.5x+ (2 000-x)×0.8 =0.5x+1 600- 0.8x =-0.3x+ 1 600(0≤x≤2 000,x∈N*). 答案: D

3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,
?4 x , ?1≤x<10,x∈N*? ? * ? 2 x + 10 , ? 10 ≤ x <100 , x ∈ N ? 计算公式为:y= ? * 1.5 x , ? x ≥ 100 , x ∈ N ? ?

其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数.若应聘的面 试人数为 60,则该公司拟录用人数为________.

解析: 令y=60, 若4x=60,则x=15>10,不合题意; 若2x+10=60,则x=25,满足题意; 若1.5x=60,则x=40<100,不合题意. 故拟录用人数为25人. 答案: 25

4.某学校准备购买一批电脑,在购买前进行的 市场调查显示:在相同品牌、质量与售后服务的 条件下,甲、乙两公司的报价都是每台6 000 元.甲公司的优惠条件是购买10台以上的,从第 11台开始按报价的七折计算,乙公司的优惠条件 是均按八五折计算. (1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲、y乙 与购买台数x之间的函数关系式; (2)根据购买的台数,你认为学校应选择哪家公司 更合算?

解析:

?6 000x ?0≤ x≤ 10?, (1)y 甲=? ?60 000+ 4 200?x- 10??x≥ 11?,

?6 000x ?0≤x≤10?, =? ?4 200x+18 000 ?x≥ 11?,

y 乙=5 100x(x∈ N), (2)当 x≤10 时,显然 y 甲 >y 乙; 当 x>10 时,令 y 甲>y 乙, 即 4 200x+18 000>5 100x, 解得 x<20. 答: 当购买的台数不超过 20 台时, 应选择乙公司, 当购买台数超过 20 台时,应选择甲公司.

分段函数模型
通过研究学生的学习行为,专家发现,学生注意力 随着老师讲课时间的变化而变化, 设 f(t)表示学生注 意力随时间 t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生

注 意 力 越 集 中 ) , 经 过 实 验 分 析 得 知 f ( t) =
?-t2+24t+100, 0<t≤10, ? ?240, 10<t<20, ? ?-7t+380, 20≤t≤45.

(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较,何时学生的注 意力更集中? (2)讲课开始后多少分钟,学生注意力最集中?能 持续多少分钟? (3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学 生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老 师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目? [思路点拨] 由于f(t)是关于t的分段函数,计算时 应分清f(t)所满足的关系式.

(1)f(5)=-52+24×5+100=195, f(25)=-7×25+380=205. ∴上课开始后 25 分钟比 5 分钟时学生的注意力 更集中. (2)当 0<t≤10 时,f(t)=- (t- 12)2+ 244, 此时,当 t=10 时,f(t)max= 240, 当 10<t<20 时, f(t)= 240, 当 20≤t≤45 时, f(t)max= f(20)=240, ∴上课开始后 10 分钟到 20 分钟,学生注意力最 集中,能持续 10 分钟.

?0<t≤ 10, (3)由? 2 得 4≤t≤10, ?- t + 24t+ 100≥ 180 ?20≤ t≤45, 4 由? 得 20≤t≤28 , 7 ?- 7t+ 380≥180

又∵10<t<20 时,f(t)= 240>180, 4 4 ∴注意力达到 180 的时间共有 28 -4=24 >24, 7 7 ∴老师能在学生达到所需状态下讲授完这道题目.

由于分段函数与日常生活紧密联系,故常成为考 查的热点,分段函数一定要注意对各个定义区间 内的表达式进行分析,特别是区间的端点问题, 以保证在各区间端点的“不重不漏”.

1.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和 服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小 时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30 小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台 每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租 一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也 不超过40小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x) 元(15≤x≤40),乙家租一张球台开展活动x小时的收 费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x). (2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?

(1)f(x)=5x,15≤x≤40, ?90,?15≤x≤30? g(x)=? ?2x+30.?30<x≤40? (2)由 f(x)=g(x)得, ?15≤x≤30, ?30<x≤40, ? 或? ?5x=90 ?5x=2x+30,
解析:

即 x=18 或 x=10(舍). 当 15≤x<18 时,f(x)-g(x)=5x-90<0, ∴f(x)<g(x),即选甲家; 当 x=18 时,f(x)=g(x),既可以选甲家,也可以选乙家; 当 18<x≤30 时,f(x)-g(x)=5x-90>0, ∴f(x)>g(x),即选乙家; 当 30<x≤40 时,f(x)-g(x)=5x-(2x+30)=3x-30>0, ∴f(x)>g(x),即选乙家. 综上所述,当 15≤x<18 时,选甲家;当 x=18 时,可 以选甲家,也可以选乙家;当 18<x≤40 时,选乙家.

数据拟合型函数的应用
某工厂今年1月份、2月份、3月份分别生产某种产 品1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月 的产量,以这三个月的产品数据为依据,用一个函 数模拟产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可 选用二次函数f(x)=ax2+bx+c或函数g(x)=abx+ c(其中a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1),已知4月 份该产品的产量为1.37万件,请问用上述哪个函数 作为模拟函数较好?并说明理由. [思路点拨] 分别依据1,2,3月份的产量确定出两种 函数模型的解析式,再分别预测当x=4时对应的函 数值,选择与1.37差的绝对值较小的函数模型.

对于函数 f(x)= ax2+bx+ c, ?a+ b+ c=1 ?a=-0.05 ? ? 由已知得?4a+ 2b+ c=1.2 ,解得? b= 0.35 ? ? ?9a+ 3b+ c=1.3 ? c= 0.7 即 f(x)=- 0.05x2+0.35x+ 0.7,4 分 所以 f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.5 分



对于函数 g(x)= abx+ c, ?ab+ c= 1 ?a=-0.8 ? 2 ? 由已知得?ab + c= 1.2, 解得?b= 0.5 ? 3 ? ?ab + c= 1.3 ?c= 1.4



即 g(x)=-0.8×0.5x+1.4, 所以 g(4)=-0.8×0.54+ 1.4=1.35.10 分 又 |1.37-1.35|<|1.37-1.3|, 11 分 所以用函数 g(x)=-0.8×0.5x+1.4 作为模拟函数较 好 .12 分

根据几组数据,从所给的几种函数模型中选择较 好的函数模型时,通常是先根据所给的数据确定 各个函数模型中的各个参数,即确定解析式,然 后再分别验证、估计,选出较好的函数模型.

2.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的 对应值,可用一个函数模拟刹车后的停车距离y与 车速x的关系,模拟函数可用y=axn或y=ax2+bx +c(其中a,b,c为常数,且a≠0),试从中选择模 拟较好的函数模型,并根据此函数模型预测车速 为120 km/h时的停车距离. x(km/h) 10 15 30 40 50 60 70 80 90 100 y(m) 4 7 12 18 25 34 43 54 66 80

解析: 若以 y= ax 为模拟函数, 将(10,4), (40,18) ?a· 10n= 4 分别代入函数解析式,得? ,解得 n 40 = 18 ?a·
?n≈1.085 ? ,故 y=0.329x1.085,由此函数解析式计 ?a≈0.329

n

算车速分别为 90 km/h,100 km/h 时,停车距离分 别约为 43.406 m,48.663 m, 与实际情况相差较大.

若以 y=ax2+bx+ c 为模拟函数,将(10,4),(40,18), (60,34)分别代入函数解析式,得 ?a · 102+ b· 10+ c=4 ? ?a · 402+ b· 40+ c=18 , ? 602+ b· 60+ c=34 ?a ·
? ?a= 1 ? 150 解得? 2 ? b= ? ? 15

1 2 2 ,故 y= x + x+2. 150 15

由此函数解析式计算车速分别为 90 km/h,100 km/h,停车距离分别为 68 m,82 m,所得数据比较 符合实际情况. 1 2 2 因此用函数 y= x + x+ 2 模拟较好. 150 15 当 x=120 时, y=114. 即当车速为 120 km/h 时,停车距离为 114 m.

◎“依法纳税是每个公民应尽的义务”,国家征 收个人工资、薪金所得税是分段计算的,月收入 不超过2 000元的免征个人工资、薪金所得税;超 过2 000元的部分需征税,设全月计税金额为:x =全月总收入-2 000,税率见下表:

级数 1 2
3 ? 9

全月应纳税金额 不超过500元部分 超过500元至2 000元部分
超过2 000元至5 000元部分 ? 超过100 000部分

税率 5% 10%
15% ? 45%

(1)若应征税额为f(x),试用分段函数表示1~3级 纳税额f(x)的计算公式; (2)王老师2011年3月份工资收入为3 200元,试计 算王老师3月份应缴纳个人所得税多少元?

【错解】 (1)依题意 1~3 级纳税金额 f(x)的计算 公式为 ?5% , 0<x≤500 ? f(x)=?10%x, 500<x≤2 000 . ? ? 15% x, 2 000<x≤ 5 000 (2)因为 x=3 200∈ (2 000,5 000], 所以 f(x)= 15%×3 200=480(元 ). 所以王老师 3 月份应缴纳个人所得税 480 元.

【错因】 错解的原因是没有理解题意,不明确 税率表表示的含义. 求解数学应用题必须突破三关:(1)理解关:一般 数学应用题的文字阅读量比较大,要通过阅读审 题,找出关键词、句,理解其意义;(2)建模关: 即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问 题;(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建 立的数学模型.

【正解】 式为:

(1)依题意1~3级纳税金额f(x)的计算公

?5%x,0<x≤500 ? f(x)=?10%?x-500?+500×5%,500<x≤2 000 ? ?15%?x-2 000?+1 500×10%+500×5%,2 000<x≤5 000

.

(2)因为x=3 200-2 000=1 200,所以f(x)=10%×(1 200-500)+500×5%=95(元). 所以王老师3月份应缴纳个人所得税95元.


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