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《等差数列的前n项和》教学课件1


数列{an}前n项和的定义: Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an

叫做数列 ?an ? 的前n项和。

当n ? 1时, an ? Sn ; 当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1.

?等差数列: an+1-an=d(常数) ?公 差 : d ?通项公式:an=a1+(n-

1)d ?等差中项: 2A=a+b

1+2+3+…+98+99+100=?
高斯10岁时曾很快算出 这一结果,如何算的呢? 我们先看下面 高斯,(17771855) 的问题。
德国著名数学家。

怎样才能快速计算出一 堆钢管有多少根呢?

一 二 三 四 五 六 七

4+10=14 5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14 10+4=14

(1)先算出各层的根数, 每层都是14根;
(2)再算出钢管的层数,共7层
1 (4 ? 10) ? 7 ? 49(根) 所以钢管总根数是: 2

?下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法。
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 + + + + + + + 反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2+ 1 // // // // // \\ \\ 2S100=101+101+101+…101+101+101 多少个 100个 101 101 ?
作 作 加 加 法



1 所以S100= (1+100)×100 =5050 2
总 ? 和

这就是等差数列 前n项和的公式!

1 首 尾 项 + ) ? ( ? ? ? 项 项 数 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(a1 ? an ) 以下证明 {an}是等差数列,Sn是前n项和,则 S n ? 2

证:Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an ?

即Sn= an +an-1+an-2 +…+ a3 + a2 + a1 ? 把?+?得: 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) ? 由等差数列的性质:当m+n=p+q时, am+an=ap+aq 知: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,所以?式可化为:
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an) 共有 n (a 个1(a ) 多少个 +a1n+a ) n?
这种求和 的方法叫倒 序相加法!

因此,

n(a1 ? an ) Sn ? 2

等差数列的前n项和公式的其它形式
n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) ???? ?? S n ? na1 ? d 2 n(n ? 1) a1 ? an ?( n ?1) d ???? ?? S n ? nan ? d 2
an ? a1 ? ( n ?1) d

等差数列的前n项和例题
105 1 ( 2 ) (1)已知a1 ? 3, a 50 ? 101, 求S50;(2)已知a1 ? 3, d ? , 求S10; 2 2 1 3 15 (3)已知d ? , a n ? ,Sn =- ,求a1及n;(4)已知a 2 ? a 99 ? 100, 求S100; 2 2 2 (5)已知a 51 ? 100, 求S101. (3)n=10,a1 ? ?3 (4)S ? 5000

例1.在等差数列{a n }中,

(1)2600

(5)S100 ? 10100

100

反思:等差数列{a n }中, (1)通项公式和前n项和公式中涉及a1、d、
a n、n、Sn五个量,知三求二(解方程组);
(2)设出首项和公差,设而不求整体代入;

(3)在求和时注意利用等差数列的定义和性质可简化运算.

在等差数列 {an} 中,如果已知五个元素 a1,

想 两个量 ? n(n ? 1) 一 S ? na ? 2 d 想 a ? a ? (n ? 1)d
n 1
n 1

an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余

结论:知 三 求 二

解题思路一般是:建立方程(组)求解

等差数列的前n项和例题
1. 根据下列条件,求相应的等差数列 ?an ? 的 S n n(a1 ? an ) Sn ? (1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10; 2

? S10 ?

10 ? (5 ? 95) ? 500 . 2

50 (50 ? 1) S50 ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2 3 2 n(a1 ? an ) (3) a1 ? , an ? ? , n ? 14; Sn ? 3 2 2 14 ? [2 / 3 ? (?3 / 2)] 35 ? S14 ? ?? . 2 6 a ? a ? (n ?1)d n 1 (4)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32. 32 ? 14.5 26 ? (14 .5 ? 32 ) n? ? 1 ? 26, ? S 26 ? ? 604 .5. 0.7 2

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

练习1 根据下列各题中的条件,求相应的等差 数列{an}的Sn: (1)a1=5, an=95,n=20;

S10=1000
(2)a1=100, d=-2,n=50; S50=2550 (3)在等差数列中S10=120,求 a3+a8的值。 由已知得a1+a10=24,故a3+a8=24

练习2 等差数列-10,-6,-2,2,· · · 前多 少项的和是54? 解: 设题中的等差数列为{an},前n项和是Sn, 则a1=-10,d=-6-(-10)=4令Sn=54,根据等 差数列前项和公式,得: n(n-1) ×4 =54 -10n + 2

-6n-27=0 整理得: n 2 (舍去) 解得: n1=9, n2=-3
答: 等差数列-10,-6,-2,2,· · · 前9项的和是54



例4 在等差数列{an}中,已知第1项到第10项的
和为310,第11项到第20项的和为910,求第 21项到第30项的和。 思考:在例4中,我们发现S10,S20 - S10, S30- S20也成等差数列,你能得到更一般的结 论吗?

例5 某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径 40mm,满盘时直径120mm,已知卫生纸的厚度无 0.1mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米? (精确到1m)

例6 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受

整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校小学
四年级(含四年级)以上的学生。假设零存整取3年

期储蓄的月利率为2.1‰
(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,每月大约 存入多少元? (2)零存整取3年期教育储蓄每月至少存入多少元? 此时3年后本息合计约为多少元?(精确到1元)

.
练习3 : 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔, 往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支. 这个V形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔, 且自下而上各层的铅笔数组成等差数 列,记为 a

? a1 ? 1, a120 ? 120, n ? 120
? S120 120 ? (1 ? 120 ) ? ? 7260 . 2

? n?

n(a1 ? an ) Sn ? 2

答:V形架上共放着7260支铅笔.

小结
1. 等差数列前n和公式的推导方法:倒序相加法; 2.等差数列前n和公式及其变型; 3. 应用等差数列前n和公式解题时注意整体代入 的思想,并注意借助定义、性质简化运算.


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