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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 2.11变化率与导数、导数的计算练习

时间:2016-03-02


第十一节

变化率与导数、导数的计算
时间:45 分钟 分值:100 分 基 础 必 做

一、选择题 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a) 的导数为( A.2(x -a ) C.3(x -a ) 解析 f′(x)=(x-a) +(x+2a)[2(x-a)] =3(x -a ). 答案 C 3 2 2.已知物体的运动方程为

s=t + (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t=2 时的速
2 2 2 2 2 2 2 2

) B.2(x +a ) D.3(x +a )
2 2 2 2

t

度为( A. C. 19 4 15 4

) B. D. 17 4 13 4

3 3 13 解析 ∵s′=2t- 2,∴s′|t=2=4- = . t 4 4 答案 D 3.(2014·大纲全国卷)曲线 y=xe A.2e C.2 解析 ∵y=xe
x-1 x-1

在点(1,1)处切线的斜率等于( B.e D.1

)

,∴y′=e
0

x-1

+xe

x-1

.

∴k=y′|x=1=e +e =2,选 C. 答案 C 1? ? 1 x -x 4.(2015·山东烟台期末)若点 P 是函数 y=e -e -3x?- ≤x≤ ?图象上任意一点, 2? ? 2 且在点 P 处切线的倾斜角为 α ,则 α 的最小值是( A. C. 5π 6 π 4
x
-x

0

) 3π 4 π 6
x
-x

B. D.

解析

由导数的几何意义,k=y′=e +e -3≥2 e ·e -3=-1,当且仅当 x=0

1

3π 时等号成立.即 tanα ≥-1,α ∈[0,π ),所以 α 的最小值是 ,故选 B. 4 答案 B 5. (2014·重庆七校联盟联考)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x +8x-8, 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是( A.2 C.3
2 2

) B.1 D.-2

解析 由 f(x)=2f(2-x)-x +8x-8 两边求导,得

f′(x)=2f′(2-x)×(-1)-2x+8.令 x=1 得 f′(1)=2f′(1)×(-1)-2+8? f′(1)=2,∴k=2.
答案 A 6.已知函数 f(x)=x 的图象在点 A(x1,f(x1))与点 B(x2,f(x2))处的切线互相垂直, 并交于点 P,则点 P 的坐标可能是( ) B.(0,-4) 1? ? D.?1,- ? 4 ? ?
2 2 2

? 3 ? A.?- ,3? ? 2 ?
C.(2,3)

解析 由题,A(x1,x1),B(x2,x2),f′(x)=2x,则过 A,B 两点的切线斜率 k1=2x1,

k2=2x2,又切线互相垂直,所以 k1k2=-1,即 x1x2=- .两条切线方程分别为 l1:y=2x1x
-x1,l2:y=2x2x-x2,联立得(x1-x2)[2x-(x1+x2)]=0,因为 x1≠x2,所以 x= 1 代入 l1,解得 y=x1x2=- ,故选 D. 4 答案 D 二、填空题 3 2 1 7.若曲线 y= x +x- 的某一切线与直线 y=4x+3 平行,则切线方程为________. 2 2 解析 设切点为(x0,y0),切线的斜率 k=y′|x=x0=3x0+1,3x0+1=4? x0=1. 3 2 1 又 y0= x0+x0- =2,则切点为(1,2), 2 2 故切线的方程为 y-2=4(x-1)? y=4x-2. 答案 y=4x-2 8.(2014·陕西五校联考)已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x +ax+b 切于点(1,3),则 b 的值为________. 解析 点(1,3)既在直线 y=kx+1 上,也在曲线 y=x +ax+b 上,代入解得 k=2,a
3 3 2 2

1 4

x1+x2
2



2

+b=2,又 y′|x=1=2,∴3+a=2,解得 a=-1.∴b=3. 答案 3 9.已知函数 f(x)=x
n+1

(n∈N )的图象与直线 x=1 交于点 P,若函数 f(x)的图象在点 P

*

处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn 则 log2 014x1+log2 014x2+?+log2 014x2 013 的值为________. 解析 f′(x)=(n+1)x ,∴f′(1)=n+1. 又 P(1,1),∴切线方程为 y-1=(n+1)(x-1). 令 y=0,得 xn=1- 1 n = , n+1 n+1
n

1 2 3 2 013 1 ∴x1x2x3?x2 013= · · ? = . 2 3 4 2 014 2 014 ∴log2 014x1+log2 014x2+?+log2 014x2 013 =log2 014x1x2x3?x2 013=log2 014 答案 -1 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x -3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程. 解 (1)由 f(x)=x -3x 得 f′(x)=3x -3,
3 2 3

1 =-1. 2 014

过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 f′(1)=0, ∴所求的直线方程为 y=-2. (2)设过 P(1,-2)的直线 l 与 y=f(x)切于另一点(x0,y0), 则 f′(x0)=3x0-3. 又直线过(x0,y0),P(1,-2). 故其斜率可表示为 又
2

y0-?-2? x3 0-3x0+2 = . x0-1 x0-1

x3 0-3x0+2 2 =3x0-3, x0-1
3 2

即 x0-3x0+2=3(x0-1)(x0-1), 1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- , 2 9 ?1 ? 故所求直线的斜率为 k=3×? -1?=- . 4 ?4 ? 9 ∴y-(-2)=- (x-1),即 9x+4y-1=0. 4 11.已知函数 f(x)=x +(1-a)x -a(a+2)x+b(a,b∈R).
3 2

3

(1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值. (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 解

f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
?f?0?=b=0, ? ? ?f′?0?=-a?a+2?=-3,

(1)由题意得?

解得 b=0,a=-3 或 1. (2)∵曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, ∴关于 x 的方程 f′(x)=3x +2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ =4(1-a) +12a(a+2)>0, 1 2 即 4a +4a+1>0.∴a≠- . 2 1? ? 1 ? ? ∴a 的取值范围是?-∞,- ?∪?- ,+∞?. 2? ? 2 ? ? 培 优 演 练
2 2

1. 设函数 f(x)=xsinx+cosx 的图象在点(t, f(t))处切线的斜率为 k, 则函数 k=g(t) 的部分图象为( )

解析 ∵f(x)=xsinx+cosx,∴f′(x)=xcosx, ∴k=g(t)=tcost.g(t)为奇函数且当 0<t<π 时,g(t)>0,故选 B. 答案 B 2.函数 y=x (x>0)的图象在点(ak,ak)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k ∈N ,若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. 解析 由 y=x (x>0)得,y′=2x,所以函数 y=x (x>0)在点(ak,ak)处的切线方程为 y
2 2 2 * 2 2

ak ak 1 2 -ak=2ak(x-ak),当 y=0 时,解得 x= ,所以 ak+1= ,所以{ak}是首项为 16,公比为 的 2 2 2

?1?2 ?1?4 等比数列,所以 a1+a3+a5=16+16×? ? +16×? ? =21. ?2? ?2?
答案 21 3. (2015·汉城国际学校调研)已知函数 f(x)=mx +nx 的图象在点(-1,2)处的切线恰 好与直线 3x+y=0 平行,若 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是 ________.
4
3 2

解析 ∵f(x)=mx +nx ,f′(x)=3mx +2nx, 则?
?f?-1?=-m+n=2, ? ?f′?-1?=3m-2n=-3, ?
2

3

2

2

∴m=1,n=3.

∴f′(x)=3x +6x=3x(x+2). 由 f′(x)<0,得-2<x<0. 由题意,得[t,t+1]? [-2,0]. ∴?
?t≥-2, ? ?t+1≤0, ?

∴-2≤t≤-1.

答案 [-2,-1] 4.(2014·北京卷)已知函数 f(x)=2x -3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切?(只需 写出结论) 解 (1)由 f(x)=2x -3x 得 f′(x)=6x -3. 2 2 或 x= . 2 2 2? ? = 2, 2?
3 2 3

令 f′(x)=0,得 x=-

因为 f(-2)=-10,f?-

? ?

f?

? 2? ?=- 2,f(1)=-1. ?2? ? ?
2? ?= 2. 2?

所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为

f?-

(2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0). 则 y0=2x0-3x0,且切线斜率为 k=6x0-3, 所以切线方程为 y-y0=(6x0-3)(x-x0). 因此 t-y0=(6x0-3)(1-x0). 整理得 4x0-6x0+t+3=0. 设 g(x)=4x -6x +t+3, 则“过点 P(1, t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”.
3 2 3 2 2 2 3 2

g′(x)=12x2-12x=12x(x-1), g(x)与 g′(x)的情况如下:

5

所以 g(0)=t+3 是 g(x)的极大值,g(1)=t+1 是 g(x)的极小值. 当 g(0)=t+3≤0,即 t≤-3 时,此时 g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多 有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(1)=t+1≥0,即 t≥-1 时,此时 g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多 有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(0)>0 且 g(1)<0,即-3<t<-1 时,因为 g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以

g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有 1 个零点,由于 g(x)在区间(-∞,0)和(1,
+∞)上单调,所以 g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3, -1). (3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切.

6


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