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2014年北京市各区高三一模试题分类汇编01三角函数(理科)


2014 年北京市各区高三一模试题分类汇编 01 三角函数(理科)
1 (2014 年东城一模理科)

7 (2014 年东城一模理科)

8 (2014 年西城一模理科)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ )求

A 的大小; (Ⅱ )如果 cos B ? 2 (2014 年西城一模理科 ) 下列函数中,对于任意 x ? R ,同时满足条件 f ( x) ? f (? x) 和

6 , b ? 2 ,求△ ABC 的面积. 3

f ( x ? π) ? f ( x) 的函数是( D )
(A) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? cos x (B) f ( x) ? sin x cos x (D) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x

π π x cos x ,过两点 A(t , f (t )), B(t ? 1, f (t ? 1)) 的直线 6 6 3 3 的斜率记为 g (t ) . (Ⅰ)求 g (0) 的值; (II)写出函数 g (t ) 的解析式,求 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范 2 2
9 (2014 年海淀一模理科)已知函数 f ( x) ? 2sin 围.
2 2 10 (2014 年朝阳一模理科)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) ? cos x ? sin x ? cos x , x ? R .

π π 3 (2014 年朝阳一模理科) 在 △ ABC 中, A ? , BC ? 2 ,则“ AC ? 3 ”是“ B ? ”的(B) 4 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条

4 (2014 年丰台一模理科)已知 tan ? ? 2 ,则 5 (2014 年顺义一模理科)已知函数

sin ? ? cos ? 的值为_______________. sin ? ? cos ?

? (Ⅰ)求 f ( ) 的值及函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? 0, π ? 上的单调减区间 2

11 (2014 年丰台一模理科)已知函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
3

) ? 2sin 2 x ? 1 .

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? cos 2 x 3

?

,其中 x ? R ,给出下列四个结论

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

①.函数 f ( x) 是最小正周期为 ? 的奇函数; ③.函数 f ( x) 图象的一个对称中心为 ( 5? , 0) ; ④.函数 f ( x) 的递增区间为 ? k? ? ?
12

②.函数 f ( x) 图象的一条对称轴是 x ? 2? ; 3

B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? b ? c , 12 (2014 年石景山一模理科)在△ ABC 中,角 A ,
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 7 ,求 c 边的长和△ ABC 的面积 3a ? 2b sin A . 13 (2014 年顺义一模理科)已知 ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别 为 a , b , c ,且满足

?
6

?

, k? ?

2? ? ,k ?Z . 3 ? ?
( D) 4 个

则正确结论的个数是(C) (A) 1 个 (B) 2 个

(C) 3 个

sin A( 3 cos A ? sin A) ?

3 (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 2 , S 2

ABC

? 2 3 ,求 b , c 的值.

6 (2014 年延庆一模理科)同时具有性质“①最小正周期是 ? , ②图像关于 x ?

C? 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且a ? 2, 14 (2014 年延庆一模理科)在三角形 ABC 中,

?
4



?

3 x ? ? ? ? A. y ? sin( ? ) B. y ? cos( 2 x ? ) C. y ? sin( 2 x ? ) D. y ? cos( 2 x ? ) 3 6 6 2 6

对称,③在 [ ?

? ?

, ] 上是增函数”的一个函数是(C) 6 3

cos B ?

3 . (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积 5

1

2014 年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科)
1 答案:1.D;2.D;3.B;4. ;5.C;6.C; 3
7.

故△ ABC 的面积 S ? 9.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin

1 3 2? 3 . bc sin A ? 2 2

……………13 分

π x ———————————————2 分 3

g (0) ?

f (1) ? f (0) ——————3 分 1

? sin

π 3 .————5 分 ? sin 0 ? 3 2

(Ⅱ) g (t ) ?

f (t ? 1) ? f (t ) ? ? π ? sin( t ? ) ? sin t ——————————6 分 t ?1? t 3 3 3

? sin

?

π ? π π t cos ? cos t sin ? sin t —————————————————7 分 3 3 3 3 3

1 π 3 π ? ? sin t ? cos t ————————————————8 分 2 3 2 3

π π ? ? sin( t ? ) ————————————————10 分 3 3
因为 t ? [ ? 8.(Ⅰ)解:因为 b ? c ? a ? bc ,所以 cos A ?
2 2 2

3 3 π π 5π π , ] ,所以 t ? ? [? , ] ,————————————————11 分 2 2 3 3 6 6

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,…………… 3 分 2bc 2
……………… 5 分

所以 sin(

?

又因为 A ? (0, π) ,所以 A ? (Ⅱ)解:因为 cos B ?

π . 3

π 1 t ? ) ? [?1, ] ,———————————————12 分 3 3 2

6 3 2 , B ? (0, π) ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? .…………7 分 3 3
……………9 分 ………………10 分
2

1 3 3 所以 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围是 [ ? ,1] ————————————————13 分 2 2 2
? 10.解: f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) . 4
? ? ? 2 ? 1 .显然,函数 f ( x) 的最小正周期为 π ……… 8 分 (Ⅰ) f ( ) ? 2 sin(2 ? ? ) ? 2 ? 2 2 4 2 π π 3π 3 7 (Ⅱ)令 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? 得 kπ ? π ≤ x ≤ kπ ? π , k ? Z . 2 4 2 8 8 ? 3π 7π ? ? 3π 7 π ? 又因为 x ? ?0, π? ,所以 x ? ? , ? .函数 f ( x) 在 ? 0, π ? 上的单调减区间为 ? , ? …13 分 ?8 8? ?8 8 ?

a b ? 由正弦定理 , sin A sin B b sin A ? 3. 得 a? sin B
因为 b ? c ? a ? bc , 所以 c ? 2c ? 5 ? 0 ,
2 2 2

解得 c ? 1 ? 6 , ………………11 分

因为 c ? 0 ,所以 c ? 6 ? 1.

11.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x cos

?
3

? sin 2 x sin

?
3

? cos 2 x

2

1 3 3 3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 2 2 2 2
? 3(sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) ? 3 sin(2 x ? ) ----------------------------------------------5 分 3 3 3

?

?

所以 f ( x ) 的最小正周期为 π.----------------------------------------------7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?
3

)
14.解: (Ⅰ)? cos B ?

π ? π π 4π π π 因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , ] ,当 2 x ? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x ) 取最大值 3 , 2 3 3 3 3 2 12 π 3 π 4π 当 2x ? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x ) 取最小值 ? . 3 3 2 2 3 ? 所以,函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 ,最小值为 ? .--------------13 分 2 2
12.解: (Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A , 所以 3sin A ? 2sin Bsin A ,……………2 分

3 4 ,? sin B ? ……………………1 分 5 5

? sin A ? sin(B ? C ) ……………………2 分
? sin B cos C ? cos B sin C ……………………4 分

4 2 3 2 7 2 ……………………6 分 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
(Ⅱ)?

3 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 ,所以 sin B ? , …………………… 4 分 2 因为 0 ? B ? ? ,且 a ? b ? c ,所以 B ? 60 .…………………………6 分 1 2 2 2 (Ⅱ) 因为 a ? 2 ,b ? 7 , 所以由余弦定理得 ( 7) ? 2 ? c ? 2 ? 2 ? c ? , 即 c 2 ? 2c ?3 ? 0 , 2 解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍) ,所以 c 边的长为 3 .…………………………10 分

b a ? ……………………8 分 sin B sin A

?

b 2 ? 4 7 2 ,? b ? 8 2 ……………………10 分 7 5 10

1 1 3 3 3 .…………………………13 分 S?ABC = ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2
13.

1 ? S ?ABC ? ab sin C ,……………………11 分 ? 1 ? 2 ? 8 2 ? 2 2 2 7 2 8 ? ………………………………13 分 7

3


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