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三角函数培训题[1]


三角函数讲义
一、 三角公式

sin2 ? ? cos 2 ? ? 1 , 1 ? tan 2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot 2 ? ? csc2 ?
1. 同角关系公式: tan ? ?

sin? sin? , cos ? ? , sin? ? tan ? ? cos ? cos ? tan ? tan

? ? cot ? 1 , cos ? ? sec? ? 1 , csc? ? sin? ? 1

1 已知 ? 某一个三角函数,可求出 ? 其他所有三角函数值; 重要作用:○ 2 弦、切互化,注意齐次式的应用; ○ 3 三角代换:将多变量问题转化为 ? 角单变量问题解决。 ○

2. 诱导公式: 2k? ? ? ,? ? ? ,? ? ? , 2? ? ? , ?? 及

?

? 3? 3? ? ? , ? ? , ? ? , ? ? 的各三角函数与 ? 的三角函数关系 2 2 2 2

1 可将任意复杂角的三角函数化为锐角(简单角)的三角函数; 重要作用:○ 2 异名三角函数化为同名三角函数。 ○

sin 2? ? 2 sin? ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin2 ? ? 1 ? 2 sin2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2? 3. 倍角及降次公式: ? sin2 ? ? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? 2 2 tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

1 升角降幂,升幂降角的变化; 重要作用:○ 2 若出现 sin? ? cos ? 及 sin? ? cos ? ,可用变量代换化简, ○ 即设 sin? ? cos? ? t ,求出 sin? ? cos ? 的关于 t 的代数式。

sin
4. 半角公式:

?
2

?? ??

1 ? cos ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? , 2 2 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin? ? ? 1 ? cos ? sin? 1 ? cos ?

tan

?
2

重要作用:同上,并注意角的倍、半的相对性。 5. 万能公式: sin 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ? 2 tan ? , cos 2 ? ? , tan 2? ? 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?

重要作用:用 tan ? 这一个变量表示了 2 ? 的所有三角函数,甚至可表示

sin2 ? , cos 2 ? ,即:消元思想。
6. 和差化积与积化和差公式:
1

sin ? ?s in ? ? 2s i n

???

2 2 ??? ??? sin ? ?s in ? ? 2c o s ?s i n 2 2 ??? ??? cos ? ?cos ? ? 2c o s ?c os 2 2 ??? ??? cos ? ?cos ? ? ?2 s i n ?c os 2 2

?c os

???

1 [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin? ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 sin? ? cos ? ?

重要作用:注意观察两角的和或差是否为定值而消元等 7. 化单式及三倍角公式:
1 ○

a sin? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 (sin? ? cos ? ? cos ? ? sin?) ? a ? b sin (? ? ?)
2 2
3 3

,也可向余弦上去化

2 sin 3? ? 3 sin? ? 4 sin ? , cos 3? ? 4 cos ? ? 3 cos ? ○

注意:公式的形成过程及 180,360,540,720 之间关系及求值 二、 y ? A ? sin (?x ? ?) ? k, y ? A ? cos (?x ? ?) ? k, y ? A ? tan (?x ? ?) ?k 图象、性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性(轴、中心)等) , 尤其是五点法作图及他们图象间的四种变换。 三、利用三角函数图象,会解三角不等式。 四、三角函数与函数、数列、解三角形、不等式、解析几何、立体几何等内容联系。

1.三角函数的图象和性质
1.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.

2

2.设二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论 ? 、β 为何实数恒有 f(sin ? )≥0 和 f(2+cosβ )≤0. (1)求证:b+c=-1; (2)求证 c≥3; (3)若函数 f(sin ? )的最大值为 8,求 b,c 的值.

3.是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+a·cosx+ 在,求出对应的 a 值;若不存在,试说明理由.

5 3 ? a- 在闭区间[0, ]上的最大值是 1?若存 8 2 2

4.用一块长为 a,宽为 b(a>b)的矩形木板,在二面角为 ? 的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试 问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值.

3

5.函数 f(x)=cos2x+sin(

? +x)是( 2

) B.仅有最小值的奇函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数

A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数 6.函数 f(x)=(

1 |cosx| ) 在[-π ,π ]上的单调减区间为_________. 3

7.设ω >0,若函数 f(x)=2sinω x 在[-

]上单调递增,则ω 的取值范围是_________. , , 3 4 8.有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人师傅常让矩 形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问:工人师傅是怎样选择矩形的四点的?并求出 最大面积值.

? ?

9.设-

? ? ≤x≤ ,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值. 6 4

2. 三角函数式的化简与求值 1.不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值.

4

2.设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 时的 a 值求 y 的最大值.

1 的 a 值,并对此 2

3.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

? )- 3 sin2x+sinxcosx 3

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[

? 7? - - , ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值. 12 12

4.已知 cos ? +sinβ = 3 ,sin ? +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x ? 3 的最小值, 4 x ? 10

并求取得最小值时 x 的值.

5

5.已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tan ? 、tanβ ,且 ? ,β ∈(- 值是( A. )

? ?
2 2 ,

),则 tan

???
2



1 2

B.-2

C.

4 3

D.

1 或-2 2

3 1 ? , ? ∈( ,π ),tan(π -β )= ,则 tan( ? -2β )=_________. 5 2 2 ? 3? 3? 5 ? ? 3 7.设 ? ∈( , ),β ∈(0, ),cos( ? - )= ,sin( +β )= ,则 sin( ? +β )=_________. 4 4 4 13 4 4 5 3 3? 12 ? 8.已知 <β < ? < ,cos( ? -β )= ,sin( ? +β )=- ,求 sin2 ? 的值_________. 5 4 13 2
6.已知 sin ? = 9.不查表求值:

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

10.已知 cos(

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x 17? 7? ? +x)= , ( <x< =,求 的值. 1 ? tan x 5 12 4 4

11.已知 ? -β =

8 1 ? cos(? ? ? ) ? ? π ,且 ? ≠kπ (k∈Z).求 ? 4 sin 2 ( ? ) 的最大值及最大值时的条件. ? ? 4 4 3 csc ? sin 2 2

12.如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接 矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积.

3.三角形中的三角函数式 1.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B.

1 1 2 A?C ,求 cos 的值. ? ?? cos A cos C cos B 2

2.在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时, 测得一轮船在岛北 30°东,俯角为 60°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛 北 60°西、俯角为 30°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有 多远?
6

3.已知△ABC 的三内角 A、B、C 满足 A+C=2B,设 x=cos (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域.

A?C 1 1 ,f(x)=cosB( ). ? 2 cos A cos C

4.给出四个命题:(1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB,则△ABC 为直角 三角形;(3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC 为钝角三角形;(4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值为__________. 2 2 2 2 4 4 6. 在△ABC 中, A 为最小角, C 为最大角, 已知 cos(2A+C)=- , sinB= , 则 cos2(B+C)=__________. 3 5 7.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积.

8.如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照 度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ 的正弦成正比,角和这一点到光源的 sin ? 距离 r 的平方成反比,即 I=k· 2 ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么 r 怎样选择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮?

7

9.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4 sin 2 (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2

10.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 a、b、3c 成等比数列,又∠A-∠ C=

? ,试求∠A、∠B、∠C 的值. 2

11.在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落 在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶AB 的值.

4.三角函数综合训练 1.如图:一根木棒 AB 长 2 米,斜靠在墙壁 AC 上,? ABC= 60 ,
0

A A1 D D1 C

如果棒的两端 A、B 分别沿 AC、CB 方向滑动至 A1 、 B1 , 且 AA1 = ( 3 ? 2) 米,则棒的中点 D 随之运动至

D1 所经过的路程是(
A.

)米? C.

B

? ? D. 24 12 ??? ? ???? ???? ??? ? ? AB AC ??? 2.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( ??? ? ? ???? ).BC ? 0 且 AB AC
? 3
B.

? 4

B1

??? ? AB ??? ? AB

???? AC 1 . ???? ? . 则 ?ABC 为( ) AC 2

(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形
o

(B)直角三角形 (D)三边均不相等的三角形

3.设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 ? a2 ? a3 ? 0 。如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,满足 bi ? 2 ai ,且 ai 顺时 针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则 A. ?b1 ? b2 ? b3 ? 0 C. b1 ? b2 ? b3 ? 0 ) A.[0, B. b1 ? b2 ? b3 ? 0 D. b1 ? b2 ? b3 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? | 0, 且关于 x 的方程 x 2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根 , 则 a 与 b 的夹角的取值范围是 4. 已知 | a |? 2 |b ? (

,? ] 6 5.如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则(
B. [

? ] 6

?

3

,? ]

C. [

? 2?
3 , 3

]

D. [

?



A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形

B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形
8

C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 6. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? 7. cot 20? cos10? ? 3 sin 10? tan 70? ? 2 cos 40? = 8.如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分别是 边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中心 G, 设?MGA=?(

?
3

?? ?

2? ) 3
A

(1) 试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2) 表示为?的函数 (2) 求 y=

1 1 + 2 的最大值与最小值 2 S1 S2
M B

N G

C

9.如图 3,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明 sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值. α β B 图3 D C A

10.已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? <
2

? 函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相邻两对称 2

轴间的距离为 2,并过点(1,2). 29. (2006 年湖北卷)设函数

f ?x ? ? a ? ?b ? c ? ,其中向量
9

a ? ?sin x,? cos x ?, b ? ?sin x,?3 cos x ? c ? ?? c o s x, s i n x ?, x ? R .

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期; 度最小的 d .

(Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长

三角函数(答案) 1.三角函数的图象和性质
1.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.

解:(1)由图示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃); (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象.

1 1 1 2? ? ? =14-6,解得ω = ,由图示 A= (30-10)=10, b= (30+10)=20, 这时 y=10sin( x+φ )+20, ? 2 2 2 ? 8 8 3 ? 将 x=6,y=10 代入上式可取φ = π .综上所求的解析式为 y=10sin( x+ 4 8 3 π )+20,x∈[6,14]. 4 2.设二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论 ? 、β 为何实数恒有 f(sin ? )≥0 和 f(2+cosβ )≤0. (1)求证:b+c=-1;(2)求证 c≥3; (3)若函数 f(sin ? )的最大值为 8,求 b,c 的值. 解:(1)∵-1≤sin ? ≤1 且 f(sin ? )≥0 恒成立,∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ ≤3,且 f(2+cosβ )≤0 恒成立.∴f(1)≤0. 从而知 f(1)=0∴b+c+1=0.

10

(2)由 f(2+cosβ )≤0,知 f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为 b+c=-1,∴c≥3. (3)∵f(sin ? )=sin2 ? +(-1-c)sin ? +c=(sin ? -

1? c 2 1? c 2 ) +c-( ( )), 2 2

?1 ? b ? c ? 8 当 sin ? =-1 时, [f(sin ? )]max=8,由 ? 解得 b=-4,c=3. ?1 ? b ? c ? 0
3.是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+a·cosx+ 在,求出对应的 a 值;若不存在,试说明理由.

5 3 ? a- 在闭区间[0, ]上的最大值是 1?若存 8 2 2

5 3 a a2 5 1 解 : y ? 1 ? cos2 x ? a cos x ? a ? ? ?(cos x ? ) 2 ? ? a? . 8 2 2 4 8 2 当0 ? x ? 若

?
2

时,0 ? cos x ? 1.

a 5 3 20 ? 1时, 即a ? 2, 则当 cos x ? 1时, y max ? a ? a ? ? 1 ? a ? ? 2(舍去), 2 8 2 13

a a a2 5 1 ? 1, 即0 ? a ? 2, 则当cos x ? 时, y max ? ? a ? ?1 2 2 4 8 2 3 ? a ? 或a ? ?4 ? 0(舍去). 2 a 5 1 12 若 ? 0, 即a ? 0, 则当cos x ? 0时, y max ? a ? ? 1 ? a ? ? (舍去). 2 8 2 5 若0 ?
3 符合题设. 2 4.用一块长为 a,宽为 b(a>b)的矩形木板,在二面角为 ? 的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试 问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值. 解:如图,设矩形木板的长边 AB 着地,并设 OA=x , OB=y ,则 a2=x2+y2 - 2xycos ? ≥ 2xy - 2xycos ? =2xy(1-cos ? ).
综合上述知,存在 a ?

∵0< ? <π ,∴1-cos ? >0,∴xy≤

a2 (当且仅当 x=y 时取“=”号),故此时谷仓的容积 2(1 ? cos ?)

的最大值 V1=(

a 2 b sin? 1 ? 1 ? a 2 b cos .同理,若木板短边着地时,谷仓的容积 V 的最大 xysin ? )b= 4(1 ? cos? ) 4 2 2

值 V2=

1 2 ? ab cos , 4 2 ∵a>b,∴V1>V2 从而当木板的长边着地,并且谷仓的底面是以 a 为底边的等腰三角形时,谷仓的容积最大,其最大
11

值为

1 2 ? a bcos . 4 2

5.函数 f(x)=cos2x+sin(

? +x)是( 2

)

A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数 1 2 1 ? 解析:f(x)=cos2x+sin( +x)=2cos2x-1+cosx=2[(cosx+ ) ? ]-1. 8 2 2 2 答案:D

1 |cosx| ) 在[-π ,π ]上的单调减区间为_________. 3 ? ? 解:在[-π ,π ]上,y=|cosx|的单调递增区间是[- ,0]及[ ,π ].而 f(x)依|cosx|取值 2 2 ? ? 的递增而递减,故[- ,0]及[ ,π ]为 f(x)的递减区间. 2 2
6.函数 f(x)=( 7.设ω >0,若函数 f(x)=2sinω x 在[- ]上单调递增,则ω 的取值范围是_________. , , 3 4 ? ? ? ? 解:由- ≤ω x≤ ,得 f(x)的递增区间为[- , ] ,由题设得 2 2 2? 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 ? 2? 3 [? , ] ? [? , ],? ? 解得 : ? ? ,? 0 ? ? ? . ? ? 3 4 2? 2? 2 2 ? ? ? 2? 4 ? 8.有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人师傅常让矩 形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问:工人师傅是怎样选择矩形的四点的?并求出 最大面积值. 解:如下图,扇形 AOB 的内接矩形是 MNPQ,连 OP,则 OP=R,设∠AOP=θ ,则 PQ R ∠QOP=45°-θ ,NP=Rsinθ ,在△PQO 中, , ? sin( 45? ? ?) sin 135?

? ?

∴PQ= 2 Rsin(45°-θ ).S -

矩形

MNPQ=QP·NP=

2 R2sinθ sin(45°-θ )=

2 2 R· [cos(2θ -45°) 2

2 ?1 2 2 ]≤ R ,当且仅当 cos(2 θ - 45 ° )=1, 即 θ =22.5°时, S 矩形 MNPQ 的值最大且最大值为 2 2 2 ?1 2 R. 2 工人师傅是这样选点的,记扇形为 AOB,以扇形一半径 OA 为一边,在扇形上作角 AOP 且使∠ AOP=22.5°,P 为边与扇形弧的交点,自 P 作 PN⊥OA 于 N,PQ∥OA 交 OB 于 Q,并作 OM⊥OA 于
M,则矩形 MNPQ 为面积最大的矩形,面积最大值为

2 ?1 2 R. 2
12

? ? ≤x≤ ,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值. 6 4 ? ? 解:∵在[- , ]上,1+sinx>0 和 1-sinx>0 恒成立,∴原函数可化为 y= 6 4 ? ? log2(1-sin2x)=log2cos2x,又 cosx>0 在[- , ]上恒成立,∴原函数即是 y=2log2cosx,在 x∈[ 6 4 2 2 ? ? ? ? - , ] 上, ≤cosx≤1. ∴log2 ≤log2cosx≤log21, 即-1≤y≤0, 也就是在 x∈ [- , ] 2 2 6 4 6 4
9.设- 上,ymax=0, ymin=-1. 2. 三角函数式的化简与求值 1.不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值. 解法一:sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1 - cos40 ° + (cos120 ° cos40 °- sin120 ° sin40 ° )+ 3 sin20 ° (cos60 ° cos20 °- sin60 ° 2 2 sin20°)
=

3 3 1 1 3 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 4 4 2 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
=1- 解法二:设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80° y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°=

1 ,x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° 2

=-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=

1 1 ,即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°= . 4 4 1 的 a 值,并对此 2

2.设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 时的 a 值求 y 的最大值. 解:由 y=2(cosx-

a 2 a 2 ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2

( a ? ?2 ) ?1 ? 2 ? a ? 2 a ? 1 ( ?2 ? a ? 2 ) f(a)= ?? ? 2 1 ? 4a ( a ? 2) ? ?

13

1 1 1 1 a2 ,∴1-4a= ? a= ? [2,+∞ ) ;故- -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 2 8 2 1 1 y=2(cosx+ )2+ ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5. 2 2
∵f(a)= 3.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

? )- 3 sin2x+sinxcosx 3

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[

解:(1)f(x)=2cosxsin(x+ =2cosx(sinxcos

? 7? - - , ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值. 12 12 ? 2
3
)- 3 sin x+sinxcosx

? ? +cosxsin )- 3 sin2x+sinxcosx 3 3 ? =2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ) ∴f(x)的最小正周期 T=π 3 5? ? ? (2)当 2x+ =2kπ - ,即 x=kπ - (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. 12 3 2 ? 7? ? (3)令 2sin(2x+ )=1,又 x∈[ , ], 2 2 3 ? ? 3? ? 5? ? ? - ∴2x+ ∈[ , ],∴2x+ = ,则 x= ,故 f- 1(1)= . 3 3 2 3 6 4 4
4.已知 cos ? +sinβ = 3 ,sin ? +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x ? 3 的最小值, 4 x ? 10

并求取得最小值时 x 的值. 解: 设 u=sinα +cosβ .则 u2+( 3 )2=(sinα +cosβ )2+(cosα +sinβ )2=2+2sin(α +β )≤4.∴u2≤1,-1≤u ≤1.即 D=[-1,1],设 t= 2 x ? 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 .x=

t2 ? 3 . 2

?M ?

2x ? 3 t 1 1 2 ? 2 ? ? ? . 4 4 x ? 10 2t ? 4 2t ? 8 4 2 t

4 2 当且仅当2t ? ,即t ? 2时, M max ? .? y ? log 0.5 M在M ? 0时是减函数, t 8 2 5 1 ? log 0.5 2 ? log 0.5 8 ? 时, 此时t ? 2 , 2 x ? 3 ? 2 , x ? ? . 8 2 2 2 5.已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tan ? 、tanβ ,且 ? ,β ∈ ? ? ??? (- , ),则 tan 的值是( ) 2 2 2 1 4 1 A. B.-2 C. D. 或-2 2 3 2 解析:∵a>1,tanα +tanβ =-4a<0. ??? ? ? ? ? tan ? +tanβ =3a+1>0,又 ? 、β ∈(- , )∴ ? 、β ∈(- ,θ ),则 ∈(- ,0),又 tan( ? + 2 2 2 2 2 ? y min ? log 0.5
14

tan ? ? tan ? ? 4a 4 ? ? , 又 tan(? ? ?) ? β )= 1 ? tan ? tan ? 1 ? (3a ? 1) 3
整理得 2tan2 6.已知 sin ? =

??? ??? ? 3 tan ? 2 =0.解得 tan ? ? ? =-2. 答案:B 2 2 2

??? 4 2 ? , ??? 3 1 ? tan 2 2 2 tan

3 1 ? , ? ∈( ,π ),tan(π -β )= ,则 tan( ? -2β )=_________. 5 2 2 3 4 ? 解析:∵sinα = ,α ∈( ,π ),∴cosα =- 5 5 2 3 1 1 则 tanα =- ,又 tan(π -β )= 可得 tanβ =- , 4 2 2
1 2 ? (? ) 2 tan ? 2 ? ? 4. tan 2? ? ? 2 3 1 ? tan ? 1 ? (? 1 ) 2 2 tan ? ? tan 2 ? tan(? ? 2?) ? ? 1 ? tan ? ? tan 2? 3 4 ? (? ) 7 4 3 ? 3 4 24 1 ? (? ) ? (? ) 4 3 ?

答案:

7 24

3? 5 ? ? 3 ),cos( ? - )= ,sin( +β )= ,则 sin( ? +β )=_________. 4 4 4 13 4 4 5 ? 3? ? ? ? 3 解析:α ∈( , ),α - ∈(0, ),又 cos(α - )= . 4 4 4 2 4 5
7.设 ? ∈(

? 3?
,

),β ∈(0,

? 4 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 ? sin(? ? ) ? , ? ? (0, ).? ? ? ? ( , ?).sin( ? ?) ? ,? cos( ? ?) ? ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ? ? sin(? ? ?) ? sin[(? ? ) ? ( ? ?) ? ] 4 4 2 ? 3? ? ? cos[(? ? ) ? ( ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? 3 12 4 5 56 ? ? cos(? ? ) ? cos( ? ?) ? sin(? ? ) ? sin( ? ?) ? ? ? (? ) ? ? ? . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(? ? ?) ? 65
答案: 8.已知

56 65

3 3? 12 ? <β < ? < ,cos( ? -β )= ,sin( ? +β )=- ,求 sin2 ? 的值_________. 5 4 13 2 ? ? 3? 3? 解法一:∵ <β < ? < ,∴0< ? -β < .π < ? +β < , 2 4 4 4 5 4 ∴sin( ? -β )= 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? . 13 5
∴sin2 ? =sin[( ? -β )+(

? +β )]

15

=sin( ? -β )cos( ? +β )+cos( ? -β )sin( ? +β )

5 4 12 3 56 ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65 4 5 解法二:∵sin(α -β )= ,cos(α +β )=- , 5 13 72 ∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=- 65 40 sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=- 65 1 72 40 56 ∴sin2α = (? ? )?? 2 65 65 65 ?
9.不查表求值: 答案:2

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

10.已知 cos(

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x 17? 7? ? +x)= , ( <x< =,求 的值. 1 ? tan x 5 12 4 4

? 3 ? 7 解: ? cos( ? x) ? ,? sin 2 x ? ? cos 2( ? x) ? . 4 5 4 25 17? 7 5? ? ? 4 又 ? x ? ? ,? ? x ? ? 2? ,? sin(x ? ) ? ? 12 4 3 4 4 5 2 2 sin 2 x ? 2 sin x 2 sin x cos x ? 2 sin x 2 sin x(sin x ? cos x) cos x ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 ? ? (? ) sin 2 x sin( ? x) 5 ? 28 4 ? ? 25 ? 3 75 cos( ? x) 4 5
11.已知 ? -β =

8 1 ? cos(? ? ? ) ? ? π ,且 ? ≠kπ (k∈Z).求 ? 4 sin 2 ( ? ) 的最大值及最大值时的 ? ? 4 4 3 csc ? sin 2 2

条件.

16

解 : 令t ?

1 ? cos(? ? ? ) csc

?
2

? sin

?
2

? 4 sin 2 (

?
4

?

?
4

)

1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos2 2 2 2 ? 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin ? ) ? ?4 ? ? 2 2 2 2 1 ? sin 2 cos2 2 2 ? ? ??? ? ?? ? 2(sin ? sin ) ? 2 ? 4 sin cos ?2 2 2 2 2 8 2? ? ? 8 ? ?? 3 ? ? ? 2? . ? ? ? ? ? ? ,? ? 3 4 4 2 3 ? 2 1 ? 2? ? t ? 4 sin( ? ? ) ? (? ) ? 2 ? ?2 sin( ? )?2 2 3 2 2 3 sin
? 2 k? 2? (k∈Z) ? ?? ? 2 3 2 3 ? 2? ? ? ? 2 ∴当 ? ? 2k? ? , 即 ? ? 4k? ? (k∈Z)时, sin( ? ?) 的最小值为-1. 2 3 2 3 2 3

?

(1 ? cos? )

?

?

?

?

?? ? k? (k∈Z),?

12.如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接 矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积. 解:以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设 P 的坐标为(cosθ ,sin θ ),则 |PS|=sinθ .直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ .联立解之得 Q(

3 3 sinθ ;sinθ ),所以|PQ|=cosθ - sinθ . 3 3 3 3 3 3 于 是 SPQRS=sin θ (cos θ - sin θ )= ( 3 sin θ cos θ - sin2 θ )= ( sin2 θ - 3 3 3 2 3 3 3 3 1 1 1 ? cos 2? ? )= ( sin2θ + cos2θ - )= sin(2θ + )- . 3 2 3 6 2 2 2 6 5 1 ? ? ? ? ∵0<θ < ,∴ <2θ + < π .∴ <sin(2θ + )≤1. 6 2 3 6 6 6
∴sin(2θ +

3 ? ? )=1 时, PQRS 面积最大, 且最大面积是 , 此时, θ = , 点P为 6 6 6 3.三角形中的三角函数式

的中点, P(

3 1 , ). 2 2

1.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B. 解法一:由题设条件知 B=60°,A+C=120°. 设? =

1 1 2 A?C ,求 cos 的值. ? ?? cos A cos C cos B 2

A?C ,则 A-C=2 ? ,可得 A=60°+ ? ,C=60°- ? , 2

17

所以

1 1 1 1 ? ? ? cos A cos C cos(60? ? ?) cos(60? ? ?) 1 1 cos ? cos ? ? ? ? ? , 1 3 2 3 2 2 1 3 1 3 cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 4 4 4 2 2 2 2

依题设条件有

? 2 ? , 3 cos B 2 cos ? ? 4 1 cos ? ? cos B ? ,? ? ?2 2. 2 cos 2 ? ? 3 4

cos ?

整理得 4 2 cos2 ? +2cos ? -3 2 =0(M) (2cos ? - 2 )(2 2 cos ? +3)=0,∵2 2 cos ? +3≠0,

A?C 2 . ? 2 2 解法二:由题设条件知 B=60°,A+C=120°
∴2cos ? - 2 =0.从而得 cos

?

? 2 1 1 ? ?2 2 ,? ? ? ?2 2 cos 60? cos A cos C
②,

①, 把①式化为

cosA+cosC=-2 2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为

A?C A?C cos ? ? 2[cos( A ? C ) ? cos( A ? C )] 2 2 1 1 A?C 将 cos =cos60°= ,cos(A+C)=- 代入③式得: 2 2 2 2 cos
cos

③,

A?C 2 ④ ? ? 2 cos( A ? C ) 2 2 A?C A?C A?C 将 cos(A - C)=2cos2( ) - 1 代 入 ④ : 4 2 cos2( )+2cos - 3 2 =0 , (*) , 2 2 2 A?C A?C (2 cos ? 2 2 )(2 2 cos ? 3) ? 0, 2 2

A?C A?C A?C 2 ? 3 ? 0,? 2 cos ? 2 ? 0, 从而得 : cos ? . 2 2 2 2 2.在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时, 测得一轮船在岛北 30°东,俯角为 60°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛 北 60°西、俯角为 30°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有 多远? ? 2 2 cos
解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米) 在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°
18

3 (千米) 3

? BC ?

AC 2 ? AB 2 ? (

3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3

30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6
(2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=

AB ? BC

3 30 3

?

3 10 10

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30° ?

3 10 . 10

3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? 2 2 10 20
在△ACD 中,据正弦定理得

AD AC , ? sin DCA sin CDA

3 3 10 ? AC ? sin DCA 9? 3 10 ∴ AD ? ? 3 ? sin CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20
答:此时船距岛 A 为

9? 3 千米. 13

3.已知△ABC 的三内角 A、B、C 满足 A+C=2B,设 x=cos (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域. 解:(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°

A?C 1 1 ,f(x)=cosB( ). ? 2 cos A cos C

A?C A?C 2 cos cos 1 cos A ? cos C 2 2 f ( x) ? ? ? 2 cos A ? cos C cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) x 2x ? ? 2 , 1 4 x ? 3 2 ? ? 2x ?1 2

1 A?C A?C |<60°,∴x=cos ∈( ,1 ] 2 2 2 3 3 3 1 又 4x2-3≠0,∴x≠ ,∴定义域为( , )∪( ,1]. 2 2 2 2
∵0°≤| (2)设 x1<x2,∴f(x2)-f(x1)=

2 x2 4 x2 ? 3
2

?

2 x1 4 x1 ? 3
2

=

2( x1 ? x 2 )( 4 x1 x 2 ? 3) ( 4 x1 ? 3)( 4 x 2
2 2

1 3 ,若 x1,x2∈( , ),则 4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0, 2 2 ? 3)

∴f(x2)-f(x1)<0
19

3 ,1] ,则 4x12-3>0. 2 4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0.
即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈(

3 1 3 , )和( ,1 ] 上都是减函数. 2 2 2 1 1 (3)由(2)知,f(x)<f( )=- 或 f(x)≥f(1)=2. 2 2 1 故 f(x)的值域为(-∞,- )∪[2,+∞ ) . 2 4.给出四个命题:(1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB,则△ABC 为直角 三角形;(3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC 为钝角三角形;(4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:其中(3)(4)正确. 答案: B A C A C 5.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan ? tan ? 3 tan tan 的值为__________. 2 2 2 2 解析:∵A+B+C=π ,A+C=2B,
即 f(x2)<f(x1),∴f(x)在(

?A?C ?

2? A?C A C A C , tan( ) ? 3, tan ? tan ? 3 (1 ? tan tan ) 3 2 2 2 2 2 A C A C 故 tan ? tan ? 3 tan tan ? 3. 2 2 2 2

答案: 3 6. 在△ABC 中, A 为最小角, C 为最大角, 已知 cos(2A+C)=- 解析:∵A 为最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°. ∵cos(2A+C)=-

4 4 , sinB= , 则 cos2(B+C)=__________. 3 5

4 3 ,∴sin(2A+C)= . 5 5 4 3 .故 cosB= . 5 5

∵C 为最大角,∴B 为锐角,又 sinB= 即 sin(A+C)=

4 3 ,cos(A+C)=- . 5 5
24 , 25

∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=- ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1= 答案:

527 . 625

527 625 7.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积. .解:如图:连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积:

20

1 1 ·AB·ADsinA+ ·BC·CD·sinC 2 2 ∵A+C=180°,∴sinA=sinC 1 1 故 S= (AB·AD+BC·CD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA 2 2 由余弦定理,在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA=20-16cosA 在△CDB 中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC=52-48cosC ∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA, 1 ∴64cosA=-32,cosA=- ,又 0°<A<180°,∴A=120°故 S=16sin120°=8 3 . 2
S=S△ABD+S△CDB= 8.如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照 度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ 的正弦成正比,角和这一点到光源的 sin ? 距离 r 的平方成反比,即 I=k· 2 ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么 r 怎样选择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮? 解:R=rcosθ ,由此得:

1 cos ? ? ? ,0 ? ? ? , r R 2 2 sin ? sin ? ? cos ? k I ?k? 2 ?k? ? 2 ? (sin ? ? cos 2 ?) r R2 R k k 2 2 I 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ?)(1 ? sin 2 ?) ? ( 2 ) 2 ? ( ) 3 3 R R k 2 3 2 由此得I ? 2 ? 3 , 等号在sin ? ? 时成立, 此时h ? R tan ? ? R 3 2 R 9 B?C 7 9.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4 sin 2 ? cos 2 A ? . 2 2 (1)求角 A 的度数;
(2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

21

B?C 7 ? cos 2 A ? 及A ? B ? C ? 180 ?, 得 : 2 2 7 2[1 ? cos(B ? C )] ? 2 cos2 A ? 1 ? ,4(1 ? cos A) ? 4 cos2 A ? 5 2 1 即4 cos2 A ? 4 cos A ? 1 ? 0,? cos A ? , 2 ? 0? ? A ? 180 ?,? A ? 60 ? 解 : (1)由4 sin 2 b2 ? c2 ? a2 2bc 2 2 2 1 b ?c ?a 1 ? cos A ? ? ? ? (b ? c) 2 ? a 2 ? 3bc. 2 2bc 2 ?b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 将a ? 3 , b ? c ? 3代入上式得 : bc ? 2 由? 得:? 或? . ?bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1 (2)由余弦定理得 : cos A ?
10.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 a、b、3c 成等比数列,又∠A-∠ C=

? ,试求∠A、∠B、∠C 的值. 2
解:由 a、b、3c 成等比数列,得:b2=3ac ∴sin2B=3sinC·sinA=3(-

1 )[cos(A+C)-cos(A-C)] 2 3 ? ∵B=π -(A+C).∴sin2(A+C)=- [cos(A+C)-cos ] 2 2 3 1 即 1-cos2(A+C)=- cos(A+C),解得 cos(A+C)=- . 2 2 2 ? 7 ? ? ∵0<A+C<π ,∴A+C= π .又 A-C= ∴A= π ,B= ,C= . 3 2 12 3 12 11.在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落 在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶AB 的值. 解:按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A、P 两点关于折线 DE 对称,又设∠BAP= θ ,∴∠DPA=θ ,∠BDP=2θ ,再设 AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC 中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ ,? a sin? BP AB 由正弦定理知: .∴BP= ? sin(120? ? ? ) sin BAP sin APB DP BP x ? sin? a sin? x sin 2? 在△PBD 中, , ? , 所以BP ? , 从而 ? sin DBP sin BDP sin 60? sin(120? ? ? ) sin 60?
?x ? a sin? ? sin 60? 3a ? . sin 2? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(60? ? 2? ) ? 3

∵0°≤θ ≤60°,∴60°≤60°+2θ ≤180°,∴当 60°+2θ =90°,即θ =15°时, sin(60°+2θ )=1,此时 x 取得最小值

3a 2? 3

? ( 2 3 ? 3) a,即 AD 最小,∴AD∶DB=2 3 -3.

22


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