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2011届高考数学复习精编单元测试题2

时间:2011-10-26


辽宁名校 2011 届高三数学单元测试—概率、统计初步 概率、 概率
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名.考号.考试科目涂写在答题卡上.考试结束,试题和 答题卡一并收回. 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.要从已编号(1·50)的 50 枚最新研制的某型号导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验,用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 枚导弹的编号可能是( ) A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,8,16,32 2. ①教育局督学组到学校检查工作,需在高三年级的学号为 001·800 的学生中抽调 20 人 参加关于学校管理的综合座谈; ②该校高三年级这 800 名学生期中考试的数学成绩有 160 在 120 分以上(包括 120 分) , 480 人在 120 以下 90 分以上(包括 90 分) ,其余的在 90 分以下,现欲从中抽出 20 人研 讨进一步改进数学教和学的座谈; ③该校高三年级这 800 名学生参加 2010 年元旦聚会,要产生 20 名“幸运之星”. 以上三件事,合适的抽样方法依次为 ( ) A.系统抽样,分层抽样,系统抽样 B.系统抽样,系统抽样,简单随机抽样 C.分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样 D.系统抽样,分层抽样,简单随机抽样 3.在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作为样本, 有以下三种抽样方法: ①采用随机抽样法,将零件编号为 00, 01,L ,99 ,抽签取出 20 个; ②采用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后每组随机抽取 1 个; ③采用分层抽样法,从一级品中随机抽取 4 个,从二级品中随机抽取 6 个,从三级品中随 机抽取 10 个. 则下述判断中正确的是 ( ) A.不论采用何种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的可能性均为 B.①、②两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的可能性均为

1 5

1 ;③并非如此 5

C.①、③两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的可能性均为

1 ;②并非如此 5

D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的可能性是各不相同的 4 . 从 鱼 塘 捕 得 同 时 放 养 的 鲤 鱼 240 尾 , 从 中 任 选 9 尾 , 称 得 每 尾 鱼 的 质 量 分 别 是

1.5,1.6,1.4,1.6, 1.3,1.4,1.2,1.7,1.8 (单位:千克).依此估计这 240 尾鱼的总质量大约是
( A. 300 千克 B. 360 千克 C. 1.5 千克 D. 320 千克 5. 10 件同类产品中, 在 其中 8 件为正品,2 件为次品. 从中任意抽出 3 件的必然事件是 ( B.至少有 1 件是次品 A. 3 件都是正品 C. 3 件都是次品 D.至少有 1 件是正品 )



6.若在同等条件下进行 n 次重复试验得到某个事件 A 发生的频率 f ( n ) ,则随着 n 的逐渐增 加,有 A. f ( n ) 与某个常数相等 B. f ( n ) 与某个常数的差逐渐减小 ( )

D. f ( n ) 在某个常数附近摆动并趋于稳定 ) 7.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为 78% ”,这是指( A.明天该地区有 78% 的地区降水,其他 22% 的地区不降水 B.明天该地区约有 78% 的时间降水,其他时间不降水 C.气象台的专家中,有 78% 的人认为会降水,另外 22% 的专家认为不降水 D.明天该地区的降水的可能性为 78% 8.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) B.至少有 1 个白球;至少有 1 个红球 A.至少有 1 个白球;都是白球 C.恰有 1 个白球;恰有 2 个白球 D.至少有一个白球;都是红球 9.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1, 2,3, 4, 5, 6 的正方体玩具)先后 抛掷 3 次,至少出现一次 5 点向上的概率是 A. ( )

C. f ( n ) 与某个常数差的绝对值逐渐减小

5 25 31 91 B. C. D. 216 216 216 216 10.在长为 60m ,宽为 40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪,在一次大风后,发现该场地内 共落有 300 片树叶,其中落在椭圆外的树叶数为 96 片,以此数据为依据可以估计出草坪
的面积约为 A. 768m
2

( B. 1632m
2



C. 1732m

2

D. 868m

2

11.在区间 [ ?1,1] 上随机取一个数 x , cos

πx
2

的值介于 0 到

1 之间的概率为 2
( ) D.

A.

1 3

B.

2

π

C.

1 2

2 3

12.从数字 1, 2,3, 4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和 等于 9 的概率为 A. ( B. )

13 125

16 125

C.

18 125

D.

19 125

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在横线上. 13.利用简单随机抽样的方法抽查了某校 500 名学生,其中共青团员有 320 人,戴眼睛的有 365 人,若在这个学校随机抽查一名学生,则他是团员的概率为 ,他戴着眼睛的 概率为 . 14.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, 投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

3号 7 6 .

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =

15.从长度分别为 2,3, 4, 5 的线段中任取三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率 是 。

16.已知一组数据 x1 , x2 ,L , x10 的方差是 2 ,且 ( x1 ? 3) 2 + ( x2 ? 3) 2 + L + ( x10 ? 3) 2 = 120 , 则x=



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件,在他们所加工的零件中各抽取 10 个进行直径检测, 测得数据如下(单位: mm ) :

(1)分别计算上面两个样本的平均数和方差; (2) 若零件规定直径为 20.0 ± 0.5( mm) ,根据两个样本的平均数和方差, 说明谁加工的零 件的质量较稳定。

18.对一批衬衣进行抽检,结果如下表:

(1)完成上面统计表; (2)事件 A 为任取一件衬衣为次品,求 P ( A ) ; (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售 1000 件衬衣,至少需要进货多少件衬 衣?

19.某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得。 1000 张奖券为一个开奖单 位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个。设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖 的事件分别为 A 、 B 、 C ,求: (1) P ( A ) , P ( B ) , P ( C ) ; (2) 1 张奖券的中奖概率; (3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率。

20.如图,一面旗帜由 3 部分构成,这 3 部分必须分别着上不同的颜色,现有红、黄、蓝、黑 四种颜色可供选择,利用树状图列出所有可能结果,并计算下列事件的概率: (1)红色不被选中; (2)第 1 部分是黑色并且第 2 部分是红色. 1 2 3

21.口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1, 2,3, 4,5 ,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果两个编号的和为偶数 算甲赢, 否则算乙赢. (1)求甲赢且编号的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

22.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六段

[40,50) , [50,60) … [90,100] 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下
列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
频频 组组

0.025 0.015 0.01 0.005 分分 40 50 60 70 80 90 100

参考答案
一、选择题 1. 【解析】B 根据系统抽样的规则,1 到 10 一段,11 到 20 一段,如此类推,那么每一段上都 应该有号码. 2. 【解析】D 参加学校管理的综合座谈采用系统抽样较好,具有代表性;研究数学教与学的 问题采用分层抽样较为合适,这样可以使研究更能反映不同层次的学生;“幸运之星”就不 能在用系统抽样,那样就不具有“幸运”之意了,合适的抽样方法就是用简单随机抽样,以 体现“幸运”之意. 3. 【解析】A 三种抽样方法的特点就是保证了每个个体从总体中抽到的可能性都相同,保证 了公平性。 4. 【解析】B 从放养的鲤鱼 240 尾,从中任选 9 尾,这 9 尾鱼具有代表性,由此可由样本估 计总体的情况.任选 9 尾鱼,每尾鱼的平均质量为

x=

1 (1.5+1.6+1.4+1.6+1.6+1.4+1.2+1.7+1.8=1.5)(千克) , 9

240×1.5=360(千克) 。 5. 【解析】D 因次品共 2 件,故抽出的 3 件中至少有 1 件为正品。 6. 【解析】D 频率的稳定性。 7. 【解析】D 概率是指随机事件发生的可能性。 8. 【解析】C 恰有 1 个白球,便不再可能恰有 2 个白球,且恰有 1 个白球与恰有 2 个白球的 事件不可能必有一个发生. 9. 【解析】D 抛掷 3 次,共有 6×6×6=216 个事件总数.一次也不出现 6,则每次抛掷都有 5 种可能,故一次也未出现 6 的事件总数为 5×5×5=125.于是没有出现一次 6 点向上的概

125 . 216 10. 【解析】B 根据随机模拟的思想,可以认为树叶落在该场地上是随机的,这样椭圆草坪 的面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个 矩形场地上的树叶数目之比.
率P=

300 ? 96 = 1632( m 2 ) . 300 πx 1 π πx π π πx π 11. 【解析】A 0 < cos < 时,在区间 [ ?1,1] 上,只有 ? < <? 或 < < , 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 即 x ∈ ( ?1, ? ) U ( ,1) ,根据几何概型的计算方法,这个概率值是 。 3 3 3 60 × 40 ×
12. 【解析】D 从 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复) ,可以组成 5×5×5=125 个不同的三位数,其中各位数字之和等于 9 的三位数可分为以下情形: ①由 1,3,5 三个数字组成的三位数:135,153,315,351,513,531 共 6 个; ②由 1,4,4 三个数字组成的三位数:144,414,441,共 3 个; ③同理由 2,3,4 三个数字可以组成 6 个不同的三位数; ④由 2,2,5 三个数字可以组成 3 个不同的三位数; ⑤由 3,3,3 三个数字可以组成 1 个三位数,即 333. 故满足条件的三位数共有 6+3+6+3+1=19,所求的概率为

19 . 125

二、填空题 13. 【解析】0.64,0.73 是团员的概率为 14. 【解析】

320 365 = 0.64 ,戴着眼睛的概率为 = 0.73 。 500 500

2 甲班的方差较小,数据的平均值为 7, 5
2

故方差 s =

(6 ? 7) 2 + 02 + 0 2 + (8 ? 7) 2 + 02 2 = 。 5 5

15. 【解析】

3 基本事件总数为 4,其中只有 2,3,5 一组不能构成三角形,故这个概率是 4 1 3 1? = 。 4 4
由条件可得:
2

16. 【解析】 3 ± 10

2 2 ( x12 + x2 + L + x10 ) + 10 x ? 2 x( x1 + x2 + L + x10 ) = 20 ,
2 2 ( x12 + x2 + L + x10 ) + 10 × 9 ? 6 × ( x1 + x2 + L + x10 ) = 120 2 2





将②-①得 90 ? 10 x + (2 x ? 6) × 10 x = 100 ,即 x ? 6 x ? 1 = 0 , 解得 x = 3 + 10 或 3 ? 10 . 三、解答题 17. 【解析】 (1)因为样本数据在 20.0 上下波动, 所以 x甲 =

0 .2 0 .2 + 20.0 = 20.02, x乙 = + 20.0 = 20.02 ; ……4 分 10 10

s甲 =
2

1 ? 0 .2 ? × ?0.34 ? 10 × ( ) 2 ? = 0.0336(mm 2 ) ,……7 分 10 ? 10 ? 1 ? 0 .2 ? × ?0.52 ? 10 × ( ) 2 ? = 0.0516(mm 2 ) 。……10 分 10 ? 10 ?

s乙 =
2

(2)由于甲的方差小,故甲工人加工零件的质量比较稳定。……12 分 18. 【解析】 (1)后三格中分别填入 0.045,0.05,0.05;……4 分 (2)P(A)≈0.05;……8 分 (3)设进货衬衣 x 件,则 x (1 ? 0.05 ) ≥ 1000 ,解得 x≥1053,需要进货至少 1053 件衬 衣。……12 分。 19. 【解析】 (1) P ( A) =

1 10 1 1 , P ( B) = = , P (C ) = .……4 分 1000 1000 100 20 (2)∵A,B,C 两两互斥,

P ( A + B + C ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C ) =

1 + 10 + 50 61 = .……8 分 1000 1000

1 1 989 + )= .……12 分 1000 100 1000 20. 【解析】如图所有可能结果共有 24 种.
(3) P ( A + B ) = 1 ? P ( A + B ) = 1 ? (

(1)红色不被选中的有 6 种结果,故概率为

1 ;……6 分 4

1 .……12 分 12 21. 【解析】 (1)设“甲胜且两数字之和为 6”为事件 A,事件 A 包含的基本事件为 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共 5 个.……………………2 分 又甲、乙二人取出的数字共有 5×5=25( 个 ) 等 可 能 的 结 果 , ………4 分
(2)第 1 部分是黑色并且第 2 部分是红色的结果有 2 种,故概率为 所以 P ( A) =

5 1 = . ……………………………………………………………5 分 25 5

1 答:编号的和为 6 的概率为 .………………………………………6 分 5

(2)这种游戏规则不公平.………7 分设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C,…8 分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为 13 个: (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (5,1) 所以甲胜的概率 P ( B ) =

13 13 12 ,从而乙胜的概率 P (C ) = 1 ? P ( B ) = 1 ? = .…11 分 25 25 25

由于 P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. ………………………………12 分 22. (理) 【解析】 (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: f4=1-(0.025+0.15*2+0.01+0.005)*10=0.032 分 直方图如右所示……………………………….4 分 (2)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% 6分 利用组中值估算抽样学生的平均分 45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6………………….8 分 =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分………………………………………….10 分 (3)[70,80),[80,90) ,[90,100]的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)

的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。

P=

2 2 C18 + C15 + C32 87 = ……………………14 分 2 C36 210


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