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江苏省淮州中学2012年高一数学暑假作业(7)


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高一数学暑假作业七
1.已知集合
U ? ??3, ?1,0,1,3?



A ? ??3, 0,1?

,则

? A? U




/>y ? sin(3x ? ) 4 的最小正周期为 2.函数

?

??? ? ???? ? ? ???? 3.在平行四边形 ABCD 中,若向量 AB ? a, AC ? b ,则向量 AD ?

? ? a, b 表示) . (用

? x ? 2    ,x ? 10 f ( x) ? ? ? f ( f ( x ? 6))  ,x<10 ,则 f(5)的值等于 4.若 . ? ? ? ? ? ? ? ,? 5.已知向量 a =(2, 3), b =(1, 1), c =(3, 7),若存在一对实数 1 2 ,使 c ? ?1 a ? ?2 b ,
则 ?1 ? ?2 ? .

6 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 4 )? f ( x ), 且 当 2 ? x ? 6 时 , f ( x) ? 3? x , 则
f (1)?



7. 已知向量 a = ( 3,1) , 且单位向量 b 与 a 的夹角为 30? , b 的坐标为 则

?

?

?

?



f ( x) ?
8.函数 9.若
sin ? ?

1 log3 ( x ? 3) 的定义域是
4 ? cos(? ? ) ? 5 ,且 cos(? ? ? ) ? 0 ,则 3

. .

s 10. 已 知 关 于 x 的 方 程 s i nx ? c ox ? a的 解 集 是 空 集 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
______________.
? ? 7 1 2 ? ? ? ? ? ? | a ? b |? 5 , a ? ( 2 , 2 ) , | b |? 2 ,则 a 与 b 的数量积为 a, b 满足: 11.若向量



12.已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? sin x ,其图象与

y?
直线 于

1 2

P , P ? ,则 P P ? P P 等 y 1 3 2 4 在 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 1 2
.

???? ???? ? ?

a ? b ? a 2 ? b 2 , a ? b ? ( a ? b) 2 , 则 函 数 ( x ) ? f
13. 定 义 运 算 为 .

2? x ( x ? 2) ? 2 的 奇 偶 性

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?a b ? ?e ? ?ae ? bf ? ?1 2 ? ?4? ?14? ? ? ?? ? ?c d ? ? ? f ? ? ?ce ? df ? ?0 3? ? ?5? ? ?15? ? ?? ?? , 2, ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ?。 14. 定义运算 ? 如 已知 ?sin ? cos? ? ?cos ? ? ?cos? sin ? ? ? ?sin ? ? ? ? ? ? 则?
? ?


f( )?4 3 .

x ?[ , ] 2 4 2 ,且 15.已知函数 f ( x) ? 2sin x ? 2 3 sin x cos x ? a ,

?

(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的值域.

a x ? a?x 2 16.已知函数 f(x)= (a>0,a≠1,a 为常数,x∈R).
1 f( ) (1)若 f(m)=6,求 f(-m)的值; (2)若 f(1)=3,求 f(2)及 2 的值.

17.已知集合

A ? x log 2 ? 2 x ? ? log 2 x ? 0
2 x ?1

?

?
( x ? A) 的值域

(1)求集合 A; (2)求函数 y ? 4

? 4x

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? 3 OB ? 2 OA , OB 的夹角为 ? ( ? 为定值) 18.已知两个不共线的向量 ,且 , .
??? ??? ? ? 3 ,求 OA ? AB 的值; ??? ???? ? ? 3 OA ? OM (2)若点 M 在直线 OB 上,且 的最小值为 2 ,试求 ? 的值.

(1)若

??

?

19 . 已 知 三 点 A(cos? , sin ? ) , B(cos? , sin ? ) , C (cos? , sin ? ) , 若 向 量

OA? k OB? (2 ? k ) OC ? 0 (k 为常数且 0<k<2,O 为坐标原点 , S ?BOC 表示△BOC 的面
积) (1)求 cos(? ? ? ) 的最值及相应的 k 的值;

?

?

?

?

S :S :S (2)求 cos(? ? ? ) 取得最大值时, ?BOC ?AOC ?AOB .

1 f(x)=| -1| x 20. 已知函数
(1)判断 f(x)在 [1, ? ?) 上的单调性,并证明你的结论;
1 ≤x≤2 (2)若集合 A={y | y=f(x), 2 },B=[0,1], 试判断 A 与 B 的关系;

(3)若存在实数 a、b(a<b),使得集合{y | y=f(x),a≤x≤b}=[ma,mb],求非零实数 m 的取值范围.
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高一数学暑假作业七 参考答案

2 ? {?1,3} 2. 3 1.

1 3 ? ? (1, 0)或( , ) 2 2 8.(3, 4)? (4, ??) 3. b ? a 4.11 5.-1 6.-2 7.

?0? 4 3 ?3 ?0? 9. 10 10. (??, ? 2) ? ( 2, ??) 11.-6 12.4 13.奇函数 14. ? ?
15.解: (1)由题意,得

? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? a f ( x) ? 2sin x ? 2 3 sin x cos x ? a = 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a 6 …4 分
2

?

f ( ) ? 2sin ? 1 ? a ? 4 2 由 3 ,得 a ? 1 ………………………………7 分

?

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6 (2)由(1)得

?

? ? ? ? 5 ? 1 x ?[ , ] 2 x ? ? [ , ? ] sin(2 x ? ) ? [ ,1] 4 2 时, 6 3 6 , 6 2 ……12 分 当
? f ( x) ?[3, 4] 故函数 f ( x) 的值域为 [3, 4] .……………………………………14 分

16.解: (1)? f ( x) 的定义域为 R,关于数 0 对称,且

f (? x) ?

a? x ? a x ? f ( x) 2

? f ( x) 为 R 上的偶函数.…………………5 分? f (?m) ? f (m) ? 6 .…………………7 分
(2)由 f (1) ? 3 得

a?

1 1 1 1 1 ? 6 f (2) ? (a 2 ? 2 ) ? [(a ? ) 2 ? 2] ? 17 a 2 a 2 a ……………10 分

1 1 1 1 f 2 ( ) ? (a ? ? 2) ? 2 ?f( )? 2 2 4 a 2 ………12 分 又 f ( x) ? 0 ………14 分
17.解: (1) 由

log2 (2x) ? log2 x ? log22 x ? log2 x ? 0 ,得 ?1 ? log2 x ? 0 ……3 分

1 1 ? x ? 1 ? A ? [ ,1] 2 …………………………………6 分 解得 2

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(2)令 4 ? t ,则 t ? [2, 4] y ? g (t ) ? 4t ? t ,对称轴为
x

2

t??

1 8 …………8 分

? g (t ) 在 [2, 4] 上单调递增………9 分,故 ymin ? g (2) ? 18, ymax ? g (4) ? 68 …12 分

? y ? 42 x?1 ? 4x 的值域为 [18, 68] .…………………14 分
??? ??? ??? ? ? ? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? OA ? AB = OA ? (OB ? OA) ? ?OA ? OA ? OB 18.解:法一: (1)

??? 2 ??? ??? ? ? ? 1 ? ? OA ? OA OB cos ? ? ?9 ? 3 ? 2 ? ? ?6 2 ………………6 分

???? ? ??? ? OM ? ?OB ,则显然 ? ? 0 (2)设

??? ???? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ???? ???? 2 ? ? ? OA ? OM ? OA ? 2OA ? OM ? OM
①当 ? ? 0 时

??? ???? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ???? ? ? ???? 2 ? OA ? OM ? OA ? 2 OA ? OM cos? ? OM

? 9 ? 12cos? ? ? ? 4? 2 (*)………8 分

? ? ? cos ? ? 0
要使得(*)有最小值,其对称轴

3 2

,即 cos ? ? 0

??? ???? 2 ? ? OA ? OM


min

?

144 ? 144cos 2 ? 9 3 ? cos ? ? ? 16 4 ,解得 2 ………………10 分

又 0? ? ? ? 180? ?? ? 150? …………………………………………12 分 ②当 ? ? 0 时

??? ???? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ???? ? ? ???? 2 ? OA ? OM ? OA ? 2 OA ? OM cos? ? OM
? 9 ? 12cos? ? ? ? 4? 2 (#)

? ? ? cos ? ? 0
要使得(#)有最小值,其对称轴

3 2

,即 cos ? ? 0

??? ???? 2 ? ? OA ? OM


min

144 ? 144cos 2 ? 9 3 ? ? cos ? ? 16 4 ,解得 2

又 0? ? ? ? 180? ?? ? 30? ……………………………………15 分 综上所述, ? ? 30?或150? ……………………………………………………16 分 法二:如图建立平面直角坐标系,则 A(3cos ? ,3sin ? ), B(2,0)

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??
(1)当

?

??? ? 3 3 3 ??? ? 1 3 3 OA ? ( , ), AB ? ( , ? ) 3 时, 2 2 2 2 ………………………………3 分

??? ??? 3 27 ? ? ? OA ? AB ? ? ? ?6 4 4 ………………………………………………………6 分

???? ? ??? ???? ? ? OM ? (2?,0) ,则 OA ? OM ? (3cos? ? 2?,3sin ? ) …………………8 分 (2)设
??? ???? 2 ? ? OA ? OM ? (3cos? ? 2? )2 ? 9sin 2 ? ? 4? 2 ? 12cos ? ? ? ? 9
…………10 分

? ? ? cos ?
当 时,

3 2

??? ???? 2 ? ? OA ? OM

min

?

144 ? 144cos 2 ? 9 3 ? cos ? ? ? 16 4 解得 2 …14 分

又 0? ? ? ? 180? ?? ? 30?或150? ………………………………16 分
? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA? k OB? (2 ? k ) OC ? 0 得 kOB ? (2 ? k )OC ? ?OA 19.解: (1)由

两边平方,得 k ? (2 ? k ) ? 2k (2 ? k )cos(? ? ? ) ? 1 …………………………2 分
2 2

cos(? ? ? ) ?
整理得

2k 2 ? 4k ? 3 3 ? 1? 2 2 2k ? 4k 2(k ? 2k )

3 3 3 1 ? (??, ? ] 1 ? ? (??, ? ] 2 2 , 2(k ? 2k ) 2 当 k ? (0, 2) 时, k ? 2k ?[?1,0) , 2(k ? 2k )
2
2

1 ? cos( ? ? ? ) ? [?1, ? ] 2 …………………………6 分 又 cos( ? ? ? ) ?[?1,1] , 1 当 k ? 1 时, cos( ? ? ? ) 取得最大值 2 ; ? k?


1 3 或k ? 2 2 时, cos( ? ? ? ) 取得最小值-1.…………………………10 分

1 ? cos( ? ? ? ) 取得最大值 2 时, k ? 1 (2)由(1)得,

? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? OC ? 0 且 OB与OC 的夹角为 120 ? .………………………………12 分 此时,
??? ??? ? ? ???? OA ? OB ? OC



?OA ? OB ? ,

??? ??? ? ?

2

??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 ? OA ? OB ? 2OA ? OB ? 1 ? OA ? OB ? ? 2

??? ??? ? ? ?OA与OB 的夹角为 120 ? .……………………………………………………14 分
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S :S :S 故 ?BOC ?AOC ?AOB =1:1:1.……………………………………16 分
20. (1)证明: f ( x ) 在 [1, ? ?) 上的单调递增.………………………………2 分 设

x1 , x2 为 [1, ? ?) 上任意两个实数,且 1 ? x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0
1 1 1 1 x ?x ) ? (1 ? ) ? ? ? 1 2 ? 0 x1 x2 x2 x1 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?

? f ( x) 在 [1, ? ?) 上的单调递增.……………………………………6 分

1 1 1 1 1 1 ?x?2 ? ? 2 ? ? ?1 ? 1 0 ? ?1 ? 1 x (2)解:当 2 时2 x , 2 x , …………10 分
? A ? [0,1] ? B ………………………………………………………………12 分
(3)解:解:由题意,显然 ab ? 0 且 1? [a, b] . ①当 b ? 0 时, f ( x ) 在 [ a, b] 上为增函数

? 1 ?1 ? a ? ma ? ?? 1 ?1 ? 1 ? mb 1 ? ? mx ? b ? x ,即 a , b 为方程 的两根.

? mx2 ? x ? 1 ? 0 有两个不等的负根.

? m?0 ? ? 1 ? 2m ? 0 ? ,此不等式组无解.

②当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [ a, b] 上为增函数

? 1 ?1 ? a ? ma ? ?? 1 ?1 ? 1 ? mb 1 ? ? mx ? b ? x ,即 a , b 为方程 的两根.
? mx2 ? x ? 1 ? 0 有两个不等的大于 1 的根.

? ? m?0 ? 1 1 ? ?1? m ? ? 2m 2 ? 1 1 ? 0?m? ? ? ? 1 ? 4m ? 0 ? m ? 4 4. ? ,解得
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③当 0 ? a ? b ? 1 时, f ( x ) 在 [ a, b] 上为减函数

? 1 ?1 ? a ? mb ? ?? ?1 ? 1 ? ma 2 ? b ? ,即 ma ? a ? 1 ? 0 , a ? (0,1)
? mx2 ? x ? 1 ? 0 有两个不等的 (0,1) 间的根.

? ? m?0 ? 1 1 ? ?1? m ? ? 0? 2m 2 ? 1 ? ? ? ? 1 ? 4m ? 0 ? m ? 4 ? ,此不等式组无解.
1 (0, ) 4 . 故非零实数 m 的取值范围为

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