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2013届高二下学期期中考试文科数学


2013 届高二下学期期中考试文科数学
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.下列结论正确的是

y ? x?
A、若

1 1 y? ? 1 ? 2 x ,则 x

B、若 y= cos x ,则 y? ? sin x D、若 y ? x ,则

y?
C、若

2.若 p ? A、

1? x x y? ? x x e e ,则

y? ?

1 x 2

2 ? 5 , q ? 3 ? 4 ,则
B、

p, q 的大小关系是(
p?q



p?q

p?q

C、

D、无法确定

3、有一串彩旗,▼代表蓝色,▽代表黄色。两种彩旗排成一行如下所示: ▽▼▽▼▼▽▼▽▼▼▽▼▽▼▼… 那么在前 200 个彩旗中有( )个黄旗。 A、80 B、82

4、在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i 对应的点位于( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 5.点 (?1,1) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点( ) A. (?1,1) 6.给出以下四个说法: ① 残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 B. (1, ?1) C. (?2, 2)

C、84

D、78 D、第四象限 D. (2, ?2)

② 在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数 R 的值越大,说明拟合的效果越好;

2

? ? ③ 在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增加 0.2 个单
位; ④ 对分类变量 X 与 Y ,若它们的随机变量 K 的观测值 k 越小,则判断“ X 与 Y 有关系”的把握程度越 大。其中正确的说法是( ) A、① ④ B、② ④ C、① ③ D、② ③
2

? x ? y ? 10 ? 7、设实数 x 和 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( ) ? x?4 ?
A. 26 B. 24 C. 16 D. 14

x2 y2 ? ?1 9 8、若双曲线 36 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( )

1

A. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? 13y ? 14 ? 0

B. x ? 2 y ? 4 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0

x2 y 2 3a x? ? F1 , F2 是椭圆 E : a 2 b 2 =1( a > b >0)的左、右焦点, P 为直线 2 上一点, 9.设


F2 PF1 是底角为 30 0 的等腰三角形,则 E 的离心率为( )
1 A. 2
f ?( x)
)

2 B. 3

3 C. 4

4 D. 5
y ? f ?( x)
的图象如右图所示,则 y ? f (x) 的图象最有可能的是

10. 设 (

是函数

f ( x)

的导函数,

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.复数 z=i(i+1)(i 为虚数单位)的共轭复数是 12、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨 标准煤)的几组对应数据﹒
x

3 2.5

4 m

5 4

6 4.5

y

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? 0.7 x ? 0.35 ,

?

那么表中 m 的值为 13、若圆心在 是
2

x 轴上、半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? y ? 0 相切,则圆 O 的方程
. .

14.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M 到焦点 F 的距离 MF ? 2p. 则 M 的坐标是

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 12 分) 已知数列 的充要条件是 q ? ?1.
2

{an } 的前 n 项和 S n ? p n ? q( p ? 0, p ? 1) ,求证数列 {an } 是等比数列

16. (本小题满分 12 分)
3 2 2 设 x1、x2( x1 ? x2 )是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x ( a ? 0 )的两个极值点. (1) 若 x1 ? ?1 , x2 ? 2 ,求函数 f ( x) 的解析式;

(2) 在(1)的条件下,求函数 f (x) 的单调区间,并确定其极值.

17. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 等 边 三 角 形 OAB 的 边 长 为 8 3 , 且 其 三 个 顶 点 均 在 抛 物 线

C:x 2 ? 2 py( p ? 0) 上.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)设圆 M 过 D(0,2) ,且圆心 M 在抛物线 C 上,EG 是圆 M 在 x 轴上截得的弦, 试探究当 M 运动时,弦长

EG

是否为定值?为什么?

18. (本小题满分 14 分) 一动圆与圆

O1 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1外切,与圆 O2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 9 内切.

(1)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程; (2)设过圆心

O1 的直线 l : x ? my ? 1与轨迹 L 相交于 A 、 B 两点,请问 ?ABO2 ( O2 为圆 O2 的圆心)

的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

3

19、 (本小题 12 分)为了了解秃顶与患心脏病是否有关,某校学生随机调查了医院中因患心脏病而住院 45 名男性病人;另外不是因患心脏病而住院 55 名男性病人,得到相应的 2× 列联表如下图: 2 (1)根据 2× 列联表补全相应的等高条形图(用阴影表示)(2)根据列联表的独立性检验,能否在 2 ; 犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为秃顶与患心脏病有关?

20. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ( a ? R ) . (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率; (2)若函数 f(x)在 x ? ?0, e? 上的最大值为-3;求 a 的值;
2 x ? (0, ??) ,均存在 x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范 (3)设 g (x) ? x ? 2x ? 2 ,若对任意 1

围。

4

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 D 7 D 8 A 9 C 10 C

二、填空题: 11. 13. -1-i 12. 14 3

( x ? 2)2 ? y2 ? 2

(

3p ,? 3 p ) 2

三、解答题

② 充分性 当 q=-1 时,∴ n=pn-1(p≠0,p≠1),a1=S1=p-1…………7 分 S - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-pn 1=pn 1(p-1) - ∴ n=(p-1)pn 1 (p≠0,p≠1) …………9 分 a

an ( p ? 1) p n ?1 =p 为常数…………11 分 ? a n ?1 ( p ? 1) p n ?2
∴ q=-1 时,数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为 q=-1. …12 分 16. 解: (1)∵ f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) , ∴ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0)
3 2 2 2 2
2 2 依题意有-1 和 2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两根

2b ? ?1 ? ? 3a ? ∴ , ? a ?? 2 ? ? ? 3 ?

解得 ?

?a ? 6 , ?b ? ?9
3分

∴ f ( x) ? 6x 3 ? 9x 2 ? 36x . (经检验,适合) (2)增区间: (??,?1), (2,??) ;减区间: (?1,2)

当 x ? ?1 时, f (x) 取得极大值 21, 当 x ? 2 时, f (x) 取得极小值-60.
5

令 y ? 0 得: x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0
2

y x 2 =4y

设圆与 x 轴的两交点分别为 ( x1 ,0) , ( x2 ,0) 方法 1:不妨设 x1 ? x2 ,由求根公式得
2

M E

A

x

x1 ?

2a ? 4a ? 16b ? 16 2a ? 4a ? 16b ? 16 , x2 ? ………9 分 2 2
2

G o

∴ x1 ? x2 ?

4a 2 ? 16b ? 16
2

又∵点 M (a, b) 在抛物线 x2 ? 4 y 上,∴ a ? 4b ,………10 分 ∴

x1 ? x2 ? 16 ? 4 ,即 EG =4---------------------------------13 分

18. .解: (1)设动圆圆心为 M ( x,y ) ,半径为 R . 由题意,得 MO1 ? R ?1 , MO2 ? 3 ? R , ∴ MO1 ? MO2 ? 4 . 由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,且 a ? 2,c ? 1 , y A 1 O2 11 O 1 B
6

…………3 分

∴b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 .
O1 11

x

∴ 动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……6 分 4 3

(2) 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ( y1 ? 0, y2 ? 0 ), 则 S△ ABO2 ?

1 1 O1O2 ? y1 ? O1O2 ? y2 ? y1 ? y2 , ……8 分 2 2

? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ,得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? f (t 2 ) ? f (t1 )

? f (t ) 在 [1, ??) 上单调递增,有 f (t ) ? f (1) ? 4 , S△ ABO2 ?

12 ? 3, 4

此时 t ? 1 , m ? 0 ∴存在直线 l : x ? 1 , ?ABO2 的面积最大值为 3.

…………14 分

19. (1)补全等高条形图如图(4 分) 1 0.875 0.75 0.625 0.5 0.375 0.25 0.125 0

秃顶 (2)解,根据列联表可知:

不秃顶

k2 ?

100 ? (15 ? 50 ? 30 ? 5) 2 45 ? 55 ? 80 ? 20

………………………………(7 分)

7

?

100 ? 9.090 ? ????? 11

…………………………………(10 分)

又∵P(k?≥6.635)≈0.010 ∴能在犯错误不低于 0.01 的前提交认为秃顶与患心脏痛有关…………(12 分)

20. 解: (I)由已知得 f′(x)=2+

1 x

(x>0) …………………………………(1 分)

f′(x)=2+1=3,故曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的斜率为 3 …………(3 分) (II)f′(x)=a+

1 ax ? 1 = (x>0)……………………………………… (4 分) x x ?4 e
(舍去)…………………………… (5 分)

① a≥0 时,f′(x)>0,f′(x)在(0,e]上单调递增 当 f(x)=f(e)=ae+1=-3, a ?

(III)由已知转化为 fmax ( x) < gmax ( x) …………………………(10 分 ) 又 x∈ (0,1)时 gmax ( x) =2………………………………………(11 分) 由 (2) 当 a≥0 时, 知, f(x)在 (0, +∞) 上单调递增, 值域为 R, 不合题意 (或举出反例: 存在 f(e? )=ae? +3 >2,不合题意,舍去)

8

当 a<0 时,f(x)在(0, ? ∴ fmax ( x) =f( ?

1 1 )上单调递增,在( ? ,+∞)上单调递减 a a

1 )=-1-ln(-a)…………………………………………(13 分) a 1 ∴ -1-ln(-a)<2 解得 a<- 3 e 1 答 a 的取值范围是(-∞,- 3 )………………………………(14 分) e

9


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