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泰州市高二下学期期末联考(理数)

时间:2015-09-18


江苏省泰州市高二第二学期期末联考 数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 口岸中学) 审题人:周如才(省姜堰中学) 教研室) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 可选用公式:数学期望:E(X)= x1 p1 ? x2 p2 ? ?? ? xn pn 方 差:V(X)= ( x1 ? ? ) 2 p1 ? ( x2 ? ? ) 2 p2 ? ?? ? ( xn ? ? ) 2 pn ,其中 x i 是随机变量 X 的可能取值, pi 是概率, pi ≥0, i =1,2,3,??,n ; ? = E(X) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知 芮 进(泰兴市第一高级中学)窦如强(泰州市 总分 160 分) 李立群(江苏省

命题人:蔡德华(泰兴市第二高级中学) 华增元(姜堰娄庄中学)

2 ? 1 ? ni ,其中 n ? R , i 是虚数单位,则 n = 1? i





2. 曲线 ?

? x ? cost (t为参数) 的普通方程是 ? y ? 2 ? sin t



. ▲ 个.(用

3.用 1,2,3,4,5 这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有 数字作答) 4.在 ( x ?

2 6 ) 的展开式中,常数项是 ▲ . (用数字作答) x 5.若根据 5 名儿童的年龄 x (岁)和体重 y (kg)的数据,用最小二乘法得到用年龄预报体

? ? 2 x ? 7 ,已知这 5 名儿童的年龄分别是 3,4,5,6,7,则这 5 名 重的线性回归方程是 y
儿童的平均体重是 ▲ kg. 6. 通过随机询问 56 名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明书, 得到如下 2 ? 2 列 联表: 女 读营养说明书 不读营养说明书 总计 从调查的结果分析,经计算得 ? ?
2

男 8 16 24

总计 28 28 56

20 12 32

56(20 ?16 ? 8 ?12)2 ? 4.667 ,你认为性别和读营养说 32 ? 24 ? 28 ? 28

明书有关系的把握有 附: ( P( ? 2 ? x0 ) 0.50





0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

x0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

3n?1 n ?6 7.若 C23 ? C23 (n ? N ? )且(3 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn ,则

a0 ? a1 ? a2 ??? (?1)n an ?
2



. ▲ ▲ . .

8.曲线 y= ? x ? 6 x ,则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为 9.已知复数 z ? x ? yi( x, y ? R) ,且 | z ? 2 |? 3 ,则

y 的最大值是 x

10.用反证法证明命题:“如果 a, b ? N , ab 可被 3 整除,那么 a , b 中至少有一个能被 3 整除”时,假设的内容应为 ▲ . 11.给出下面类比推理命题(其中 R 为实数集, C 为复数集) : ①“若 a, b ? R, 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a, b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ②“若 a, b ? R, 则 ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 ”类比推出“若 a, b ? C , 则 ab ? 0 ? a ? 0 或b ? 0” ; ③“若 a, b ? R, 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” 类比推出“若 a, b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ④“若 a, b ? R, 则 a ? b ? 0 ”类比推出“若 a, b ? C , 则 a ? b ? 0 ”
2 2 2 2

所有命题中类比结论正确的序号是





12.对于 R 上的可导函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 2) f '( x) ? 0 ,则 f (0) ? f(3) 与 2 f (2) 的大小 关系为 ▲ . (填“大于” 、 “小于” 、 “不大于” 、 “不小于” )

13.从装有 n ? 1 个球(其中 n 个白球,1 个黑球)的口袋中取出 m 个球 (0 ? m ? n, m, n,
m m ? N ? ) ,共有 Cn ?1 种取法。在这 Cn?1 种取法中,可以分成两类:一类是取出的 m 个球全部 m 1 m?1 m 为白球, 一类是取出的 m ? 1 个白球和 1 个黑球, 共有 C10 ? Cn 即有等式: ? C1 ? Cn ? Cn ?1 , m m?1 m Cn ? Cn ? Cn ?1 成立。试根据上述思想化简下列式子:

* 0 m 1 m ?1 m? 2 m? k = ▲ .( 2 ? k ? m ? n, k , m, n ? N ) Ck ? Cn ? Ck ? Cn ? Ck2 ? Cn ? ? ? Ckk ? Cn

14.已知 x ? (0,1] f ( x) ? (1 ? 2x ? 2t )dt ,则 f ( x) 的值域是 ?
x 0



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分)已知复数 z ? (m ?1) ? (m ? 3m ? 2)i ,求分别满足下列条件的实
2 2

数 m 的值. (1) z 为纯虚数;

(2) 未找到引用源。 . z 在复平面上的对应点在以 (0, ?3m) 为圆心, 17 为半径的圆上错误!

16. (本小题满分 14 分) 已知在 f ( x) ? ( x ? 1)n 的展开式中, 只有第 6 项的二项式系数最大. (1)求 n ; (2)求 f (96) 被 10 除所得的余数。

17. (本小题满分 14 分)已知直线 l : ?

? x ? 1 ? 3t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴 ? y ? ?1 ? 4t
2 cos( ? ?

正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? (1)将曲线 C 的方程化成直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

?
4

).

18. (本小题满分 14 分)试求使不等式

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 5 ? 2t 对一切正整数 n 都成立的最小自然数 t 的值, n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1
并用数学归纳法加以证明.

19. (本小题满分 16 分)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这 3 个景点的概 率分别为 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时

游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1)求 ? 的分布; (2)求 ? 的数学期望及方差; (3)记“函数 f ( x) ? x2 ? 2? x ? ln x 是单调增函数”为事件 A ,求事件 A 的概率. (可能用到的数据: 0.76 ? 0.58 , 0.48 ? 0.23 , 1.52 ? 2.31, 0.24 ? 0.06 )
2 2 2 2

20. (本小题满分 18 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x?t x ? 2tx ? 3ln x ,g ( x) ? 2 ,函数 f ( x ) 在 2 x ?3

x ? a, x ? b 处取得极值,其中 0 ? a ? b .
(1)求实数 t 的范围; (2)判断 g ( x) 在 [?b, ?a] 上单调性; (3) 已知 g ( x) 在 [?b, ?a] 上的最大值比最小值大 求 m 的范围.

1 , 若方程 f ( x) ? m 有 3 个不同的解, 3

参考答案 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1. 1 6.95% 11.①② 2. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

3.36

4.-160 9. 3
m

5.17

7.256

8. y ? 6 x

10.假设 a , b 都不能被 3 整除 14. [0, ]

12.不小于

13. Cn?k

1 4

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分. )

15. (本小题满分 14 分) (本小题满分 14 分) 解: (1)由 ?

?

m2 ? 1 ? 0

2 ?m ? 3m ? 2 ? 0

得 m ? ?1

??????????6 分

(2) (m2 ? 1)2 ? (m2 ? 2)2 ? 17

(m2 ? 3)(m2 ? 2) ? 0
∴m?? 2 16. (本小题满分 14 分) 解: (1) n ? 10 (2) f (96) ? (96 ? 1)
10

?????????14 分 ??????????????4 分

? 9710 ? (100 ? 3)10

C10100

0

10

? C10 100 ? 3 ? C10 100 ? 3 ? ?? ? C10 100 ? 3 ? C10 3
10

1

9

2

8

2

9

9

10 10

∴ f (96) 被 10 除得的余数与3 除得的余数相同??????????10 分 又 310 ? 95 ? (10 ? 1) 5

?
10

C 510 ? C 510 ? C 5 10 ? C 510 ? C 5 10 ? C 5

0

5

1

4

2

3

3

2

4

1

5

∴3 被 10 除得的余数为 9, ∴ f (96) 被 10 除得的余数为 9??????????14 分

17. (本小题满分 14 分) 解:(1) 把 ? ? (2) 把 ?

2 cos(? ? ) 化为直角坐标系中的方程为 x2 ? y2 ? x ? y ? 0 ???6 分 4

?

? x ? 1 ? 3t 化为普通方程为 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ???????????8 分 ? y ? ?1 ? 4t
1 ,???????????10 分 10
?????????????14 分

∴圆心到直线的距离为

∴弦长为 2

1 1 7 ? ? ; 2 100 5

18. (本小题满分 14 分) 解:设 f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? )?( ? ??? ) ∵ f (n ? 1) ? f (n) ? ( n?2 n?3 3n ? 4 n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 4 n ? 1 3n ? 2 3n ? 4 3n ? 3

6n ? 6 2(3n ? 3) 6n ? 6 2(3n ? 3) ? ? 2 ? 2 ?0 2 (3n ? 2)(3n ? 4) (3n ? 3) 9n ? 18n ? 8 9n ? 18n ? 9 1 1 1 13 ∴ f ( n) 递增,∴ f ( n) 最小为 f (1) ? ? ? ? 2 3 4 12 13 ∵ f (n) ? 5 ? 2t 对一切正整数 n 都成立,∴ 5 ? 2t ? ,∴自然数 t ? 2 12 ∴自然数 t 的最小值为 2 ????????????????7 分 1 1 1 1 ? ? ??? ?1 下面用数学归纳法证明 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 13 ? 1 ,∴ n ? 1 时成立 (1)当 n ? 1 时,左边 ? ? ? ? 2 3 4 12 1 1 1 1 ? ? ?? ? ?1 (2)假设当 n ? k 时成立,即 k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 1 1 1 1 ? ? ??? 那么当 n ? k ? 1 时,左边 ? k ?2 k ?3 k ?4 3k ? 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 2 ? 1? ?1 (3k ? 2)(3k ? 4)(3k ? 3) ∴ n ? k ? 1 时也成立 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 成立 ??????14 分 根据(1) (2)可知 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 注:第(1)小题也可归纳猜想得出自然数 t 的最小值为 2 ?
19. (本小题满分 16 分) 解: (1)∵ ? ? 1 表示客人游览了 1 个景点或 2 个景点 ∴ P(? ? 1) ? 1 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.76 ????2 分 ∵ ? ? 3 表示客人游览了 0 个景点或 3 个景点 ∴ P(? ? 3) ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.24 故 ? 的分布为: ????5 分

?
P

1 0.76

3 0.24

(2) E (? ) ? 1? 0.76 ? 3 ? 0.24 ? 1.48

???????????????8 分

V (? ) ? (1 ?1.48)2 ? 0.76 ? (3 ?1.48)2 ? 0.24 ? 0.23 ? 0.76 ? 2.31? 0.24 ? 0.7292
????????????????11 分 (3)∵函数 f ( x) ? x ? 2? x ? ln x 是单调增函数
2

∴ f '( x) ? 2 x ? 2? ?

1 ?0 x

∴? ? x ? ∵x?

1 ( x ? 0) 2x

1 ? 2 ∴? ? 2 ????????????????14 分 2x ∴ P( A) ? P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? 0.76 ??????????????16 分
20. (本小题满分 18 分)

3 2 ? 0 有两个不等正根, 即方程 x ? 2tx ? 3 ? 0 有两个不等正根 a , b x 2 ∴ ? ? 4t ? 12 ? 0 且 f '( x) 的对称轴 x ? t ? 0 及 f '(0) ? 3 ? 0
解: (1)f '( x) ? x ? 2t ? 解得: t ? 3 (2) g '( x) ?
2 2

????????????????3 分

( x ? 3) ? ( x ? t )2 x ? x ? 2tx ? 3 ?????????????5 分 ? ( x 2 ? 3)2 ( x 2 ? 3)2 根据题设得: a ? b ? 2t , ab ? 3
令 h( x) ? ? x2 ? 2tx ? 3 ? ?( x ? t )2 ? 3 ? t 2 ∵ h( x) 的对称轴为 x ? ?t ? ?

∴ h( x) 在 [?b, ?a] 上的最小值为

a?b 2

h(?a) ? h(?b) ? ?a2 ? 2at ? 3 ? ?a2 ? a(a ? b) ? 3 ? 6 ? 0 ∴ g '( x) ? 0 ∴ g ( x) 在 [?b, ?a] 上单调递增 ????????????????9 分 (3)由(2)可知 g ( x) 在 [?b, ?a] 上单调递增 ?a ? t ?b ? t 1 g ( x)max ? g ( x) min ? g (?a) ? g (?b) ? 2 ? ? a ? 3 b2 ? 3 3 (b ? a)(3 ? ab ? t (b ? a)) 1 ? ,∵ a ? b ? 2t , ab ? 3 , 0 ? a ? b ∴ (a 2 ? 3)(b 2 ? 3) 3 解得: a ? 1, b ? 3 ????????????????14 分 1 2 3 ( x ? 1)( x ? 3) ∴ f ( x) ? x ? 4 x ? 3ln x ,∴ f '( x) ? x ? 4 ? ? , 2 x x ∴ f ( x ) 在 (0,1), (3, ??) 上递增,在 (1,3) 上递减 7 15 ? 3ln 3 ∵ f (1) ? ? , f (3) ? ? 2 2 15 7 ∴当 ? ? 3ln 3 ? m ? ? 时,方程 f ( x) ? m 有 3 解 2 2 15 7 ? 3ln 3, ? ) ∴ m 的范围为 ( ? ???????????????18 分 2 2


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