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3.2.3直线的一般式方程的教学设计


沧源民族中学

高一年级

数学教学设计

第十九周

2013 年 12 月 25 日

3.2.3
一、内容及解析

第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 直线的一般式方程(2 课时) 主备教师:李劲东

本节课要学的内容直线

的一般式方程指的是由直线的点斜式方程、 斜截式方程、 两点式 方程、截距式方程转化成统一的直线方程形式,其核心是直线的四种方程,理解它关键就是 要理解二元一次方程,即直线的方程。学生已经学过直线的四种方程及二元一次方程,本节 课的内容直线的一般方程就是在此基础上的延伸。 由于它还与线性规划知识、 曲线与方程有 紧密的联系,所以在本学科有重要的地位, 并有着基础的作用,是本章的重点内容。 教学的重 点是理解并掌握直线的一般方程, 解决重点的关键是理解直线的一般方程, 即在平面直角坐 标系中,任何一条直线的方程,都可以写成关于 x,y 的一二元次二元一次方程;反过来,任何 一个关于 x,y 的一次方程都表示一条直线。

二、目标及解析 目标定位:1、理解直线方程和二元一次方程的关系; 2、会求直线的一般式方程。 目标解析:1、 理解直线方程和二元一次方程的关系,初步认识直线与二元一次方 程之间的联系; 2、会求直线的一般式方程就是能够由直线的方程转化为直线的一般方程。 三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的困难是在讨论直线与方程的关系和直线是否存在 斜率时的分类讨论思想, 产生这一困难的原因是学生缺乏分类讨论的思想、 考虑问题不够全 面。要解决这一困难,就要让学生理解二元一次方程方程,其中关键是熟练应用、转化直线 的方程,全面系统的进行讨论。 四、教学支持条件分析 在本节课的教学中,可以使用多媒体教学,使用多媒体可以增加教学容量,提高教学效 率。

五、教学过程设计 (一)复习直线方程的四种形式: 1 、 点 斜 式 : 当 直 线 斜 率 存 在 时 , 过 点 P0 ( x0 , y0 ) , 斜 率 为 k 的 直 线 方 程 为 y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) 2、斜截式:当直线斜率存在时,设在 y 轴上的截距为 b,则直线方程为 y=kx+b. 3、两点式:过点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 其中 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 的直线方程为 1
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
4、截距式:当直线在 x 轴、y 轴上的截距存在(分别为 a、b)且不为零时,直线方程为

x y ? ?1 a b
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(二)探究直线的一般式方程 问题一:平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x、y 的二元一次方 程表示吗? 【设计意图】使学生理解直线和二元一次方程的关系。引导学生对字母 A、B、C 去讨论,从而也明确 A、B 的限定条件 思考:每一个关于 x、y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)都 表示一条直线吗?
【设计意图】给出定义:把关于 x、y 的二元一次方程 Ax+By+c=0(A,B 不同时为 0)叫做 直线的一般式方程,简称一般式.

说明:任何一条直线都可以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示;同时, 任何一个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。 独立思考后小组讨论:方程 Ax+By+C=0 中,A,B,C 为何值时,方程表示直线:
(1)平行于 x 轴; (2)平行于 y 轴; (3)与 x 轴重合; (4)与 y 轴重合。 4 例 1.已知直线经过点 (6,?4) ,斜率为 ? ,求直线的点斜式和一般式方程. 3 分析:直接用点斜式写出,然后化简。 解:所求的直线方程为: y+4=-

4 (x-6) ,化为一般式: 4x+3y-12=0。 3

变式练习:求经过 A(3,-2)B(5,-4)的直线方程,化为一般式。

问题二:直线的一般式方程可以转化为斜截式、点斜式、截距式方程吗?
师生活动: 例 2、把直线 l 的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率以及它 在 x 轴与 y 轴上的截距,并画出图形。 分析:对式子变形,考察对截距的理解。 解:将直线 l 的一般式方程化成斜截式: y=

1 x+3 2 1 ,它在 y 轴上的截距为 3。 2

因此,直线的斜率为 k=

在直线方程 x-2y+6=0 中,令 y=0,得 x=-6 过两点可以画一条直线,就是直线 l 的图形。 直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(-6,0) ,B(0,3) 直线在 x 轴上的截距为-6。 变式练习:1、已知直线 l 经过点(-2,2)且与两坐标轴围成单位面积的三角形,求该 直线的方程。

2、求经过 A(3,1)与 B(6,-2)两点的直线的两点式方程,并把它们化为一般式、
点斜式、截距式和斜截式. 3、求满足下列条件的直线方程: (1) 、求经过点 A(3,2) 且与直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 平行的直线方程;
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(2) 、求经过点 B(3,0) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直的直线方程.

六、课堂小结:
1.直线的一般式方程为:________________________________________________ 2.方程 Ax ? By ? C ? 0( B ? 0) 化为斜截式方程为:_______________________________, 它的斜率为______________________,在 y 轴上的截距为__________________________ 3.直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围: 直线的方程 1.点斜式 2.斜截式 3.截距式 特殊点 过(x0, y0)点 过(0,b)点 过(a,0)和 (0,b)点 局限性 表斜线或水平线 表斜线或水平线 表不过原点斜线

y-y0=k (x-x0) (k 存在) y=kx+b (k 存在)
x y ? ? 1 (ab ? 0) a b

4.两点式

y ? y1 x ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ? ? y2 ? y1 x2 ? x1 ? y1 ? y2 ?

过(x1, y1)和 (x2, y2)点

表斜线

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ?
5.一般式 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)

可表示任何直线 可表示任何直线

七、目标检测
1. 在直角坐标系中,点(x,-4)位于点(0,8)和(-4,0)所在的直线上,则 x 等于( (A)-2 (B)2 (C)-8 (D)-6 2.直线 3x-2y=4 的截距式方程是 ( ) (A) )

3x y ? ?1 4 2

(B)

x y ? ?4 1 1 3 2 x y ? ?1 4 ?2 3
( (D) 第四象限 )

(C)

3x y ? ?1 4 ?2

(D)

3.如果 pr<0, qr<0,那么直线 px+qy+r=0 不通过 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限

4.直线 ax+3y-5=0 过以(-1,-2)、(2,4)为端点的线段中点,则 a=_______. 5. 已知

1 1 1 ? ? ,过点(a,0)和(0,b)的直线都经过点 A,那么 A 的坐标是 a 2b 5

.

八、配餐作业 A组
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1.直线 Ax ? By ? C ? 0 的倾斜角为 45 ,则有关系式 ( )
0

A.A=B

B.A+B=0

C.AB=1

D.以上都不可能 )

2. 若 a ? b ? c ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 一定会经过的定点是( A. (1,1) B. (?1,1) C. (1,?1) D. (?1,?1)

3. 若 A>0,B>0,C<0,那么直线 Ax+By+C = 0 必经过 (A)一、三象限 (B)一、二、四象限 (C)二、三象限 4.直线 2 x ? y ? m ? 0 和 x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系为 ( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直

( ) (D)二、三、四象限 )

D.不能确定,与 m,n 的取值有关

B组
5. 已知点 P (6, 在过两点 A a) (-1, ,(5, 3) B -2) 的直线上, a 的值等于____________。 则 6.通过点(2,1)且与直线 3x-y-6=0 垂直的直线方程为________________ 7.以 A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是____. 8.过点(1,2)且与直线 2x+y=1 平行的直线方程是____. 9.经过 P(5,-3),Q(-7,3)两点的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是________.

C组 10.已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l 2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求 m 的值,使得: (1) l1 与 l 2 相交; (2) l1 ? l 2 (3) l1 ∥ l 2 (4) l1 与 l 2 重合

11、若方程 x ? my ? 2 x ? 2 y ? 0 表示两条直线,求 m 的值
2 2

九、授后反思

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3.2.3 答案
例 1 变式 y ? x ? 1 ? 0

例 2 变式 1、 x ? y ? 1或 x ? y ? 1 ;2、 y ? x ? 4 ? 0 ;
2 2

3、(1) y ? ? 4 x ? 6 ; (2) y ? ? 2 x ? 2
3 3

目标检测 1、A;2、D;3、C;4、a=4 A组 1、A;2、C;3、B;4、C B组 5、 y ? x ? 3 ? 0 ;6、 y ? ? C组 10、(1)m=0;(2)m=1;(3)m=-1;(4)m=3 11、M=1
1 5 x ? ;7、 y ? ?3x ? 4 ;8、 y ? ?2 x ? 4 ;9、4 3 3

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