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2014年珠海市高中数学竞赛决赛试题及答案


2014 年珠海市高中数学竞赛决赛试题及答案 9.12
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置. ) 4.设 m, n ? R? ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 4 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相切,

则 m ? n 的取值范 围是 A. (0,1 ? 3] B. [1 ? 3,??) C. [2 ? 2 2 ,??) D. (0, 2 ? 2 2 ]

5. 已知正方体 C1 的棱长为 18 2 ,以 C1 的各个面的中心为顶点的凸多面体记为 C2,以 C2 的各个面的中 心为顶点的凸多面体记为 C3,则凸多面体 C3 的棱长为 A.18 B. 9 2 C.9 D. 6 2

6. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x ? 3) ? ? f ( x ), 且 在 区 间 [0,

3 ] 上是增函数,若方程 2

f ( x) ? m (m ? 0) 在区间 ?? 6, 6? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?
A. ? 6 B. 6 C. ? 8 D. 8 2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.请把答案填在答题卡相应题的横线上. ) , 4 ? 1 ln , x ? 0 ? , ? x 7.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? ?1 的解集为 ▲ . 6 1

? ,x?0 ? ?x

10.给出下列四个命题: (1)如果平面 ? 与平面 ? 相交,那么平面 ? 内所有的直线都与平面 ? 相交; (2)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? ; (3)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内与它们的交线不垂直的直线与平面 ? 也不垂直; (4)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? . 其中真命题 的序号是 ▲ . (写出所有真命题的序号) ... 11.若动点 M ( x0 , y0 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上运动,且满足 ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? 2)2 ≤8,则 x02 ? y02 的取值范围是 ▲ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

高中数学竞赛试题

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第 2 页 共 11 页

15. (本题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△ABE 为等腰三角形,AE =BE,平面 ABCD⊥平面 ABE,点 F 在 CE 上,且 BF⊥平面 ACE. (1)判断平面 ADE 与平面 BCE 是否垂直,并说明理由; (2)求点 D 到平面 ACE 的距离. F A B D C

E

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第 3 页 共 11 页

16. (本题满分 13 分) 如图,某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂,其中甲厂每天向河道内排放污 水 2 万 m3,每天流过甲厂的河水流量是 500 万 m3(含甲厂排放的污水) ;乙厂每天向河道内排放污水 1.4 万 m3,每天流过乙厂的河水流量是 700 万 m3(含乙厂排放的污水).由于两厂之间有一条支流的 作用, 使得甲厂排放的污水在流到乙厂时, 有 20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合, 且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求,整个河流中污水含量不能超过 0.2%,为此, 甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水. (1)设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为 x、y 万 m3,试根据环保部门的要求写出 x、y 所满足的所有条件; (2)已知甲厂处理污水的成本是 1200 元/万 m3,乙厂处理污水的成本是 1000 元/万 m3,在满足环保 部门要求的条件下,甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万 m3,才能使这两个工厂处理污 水的总费用最小?最小总费用是多少元? 支流 甲厂

高中数学竞赛试题

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乙厂 500 万 m3/天
3

17. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 4c(a, b, c ? R) . (1)当 a ? 0 时,若函数 f ( x) 的图象与直线 y ? ? x 均无公共点,求证: 4ac ? b 2 ? (2) b ? 4, c ?

1 ; 4

3 时,对于给定的负数 a ? ?8 ,记使不等式 | f ( x) |? 5 成立的 x 的最大值为 M (a) . 4

问 a 为何值时, M (a) 最大,并求出这个最大的 M (a) ,证明你的结论.

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高中数学竞赛决赛参考答案
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. ) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. ) 7. (??,?1) ? (0, e) 8. 78 9.

1 2
3

10.

(3) (4)

11.

[2,8]

12.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.(本小题满分 12 分)

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解: (1)

x π? ? f ( x) ? sin x ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? ? . 2 3? ?


…………………2 分

?
2

3 ? 7? ? 2k? , k ? Z . 得 ? 2k? ? x ? 6 6 ? 7? ? 2k? ] , k ? Z . …………………5 分 ? f ( x) 的单调减区间为 [ ? 2k? , 6 6 ? ? (2) 先把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象向左平移 个单位, 就得到函数 y ? sin( x ? )( x ? R) 的图象; 3 3
再把其纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变,就得到 y ? 2 sin ?x? 象.…………7 分 (3)由 f (? ) ? 因为 ? ? ?

? 2k? ? x ?

?

?

3? ? 2k? , k ? Z . 2

? ?

π? ? ( x ? R) 的 图 3?

6 π 6 π 3 得: 2sin(? ? ) ? , 即 sin(? ? ) ? , 5 3 5 3 5

…………………8 分

π ? ? ? 2π ? , ? ,所以 (? ? 3 ) ? ( 2 , ? ) . ?6 3 ?

从而 cos(? ? ) ? ? 1 ? sin (? ? ) ? ? 1 ? ( ) ? ?
2 2

π 3

π 3

3 5

4 5

…………………10 分

于是 f (? ?

?

) ? 2sin[(? ? ) ? ] ? 2[sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin ] 6 3 6 3 6 3 6

?

?

?

?

?

?

3 3 4 1 3 3?4 . ? 2[ ? ? ? ]? 5 2 5 2 5

…………………12 分

14.(本小题满分 12 分) 解: (1)菱形 ABCD 中, AC ? AD ? AB ? (3, 7) ? (6, 0) ? (9, 7) ,且 A(1, 2) ,所以 C (10, 9) .…4 分 (2)设 P ( x, y ) ,则 BP ? AP ? AB ? ( x ? 1, y ? 2) ? (6, 0) ? ( x ? 7, y ? 2) . …………………5 分

又因为点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P ,即点 P 是 ?ABC 的重心,从而有

MC ? 3MP ,所以
AC ? AM ? MC ? 1 1 1 AB ? 3MP ? AB ? 3( AP ? AB) ? 3 AP ? AB 2 2 2
…………………7 分

? 3( x ? 1, y ? 2) ? (6, 0) ? (3x ? 9, 3 y ? 6)
菱形 ABCD 的对角线互相垂直,所以 BP ? AC , 即 ( x ? 7, y ? 2) ? (3x ? 9, 3 y ? 6) ? 0 ,
高中数学竞赛试题 第 7 页 共 11 页

亦即 ( x ? 7) ? (3x ? 9) ? ( y ? 2)(3 y ? 6) ? 0 , 整理得: ( x ? 5) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ( y ? 2 ) , 故 P 点的轨迹是以 (5,2) 为圆心, 2 为半径的圆,除去与 y ? 2 的交点. …………………11 分 …………………12 分

15. (本题满分 13 分) 解: (1)平面 ADE 与平面 BCE 垂直. 证明如下: 因为 BF⊥平面 ACE,所以 BF⊥AE. …………………3 分 D C …………………1 分

因为平面 ABCD⊥平面 ABE,且 ABCD 是正方形,BC⊥AB, 平面 ABCD∩平面 ABE=AB,所以 BC⊥平面 ABE, 从而 BC⊥AE. …………………6 分 A F B

于是 AE⊥平面 BCE,故平面 ADE⊥平面 BCE. ………………7 分 (2)连结 BD 交 AC 与点 M,则点 M 是 BD 的中点, 所以点 D 与点 B 到平面 ACE 的距离相等. …………………8 分

E D M F G C

因为 BF⊥平面 ACE,所以 BF 为点 B 到平面 ACE 的距离. …9 分 因为 AE⊥平面 BCE,所以 AE⊥BE. 又 AE=BE, 所以△AEB 是等腰直角三角形. …………………10 分 因为 AB=2,所以 BE= 2sin 45? ? 在 Rt△CBE 中,

2.

…………………11 分

A

B

CE ? BC 2 ? BE 2 ? 6
BF ? BC ? BE 2 2 2 3 ? ? CE 3 6
2 3 . 3

E

故点 D 到平面 ACE 的距离是

…………………13 分

16. (本题满分 13 分)

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? 2 ? x 0.2 ? 500 ? 100 ? ? 0.8(2 ? x) ? ?1.4 ? y ? 0.2 ? 解: (1)据题意,x、y 所满足的所有条件是 ? , 700 100 ? ?0 ? x ? 2 ?0 ? y ? 1.4 ?
?4 x ? 5 y ? 8 ? 即? 1? x ? 2 . ? 0 ? y ? 1.4 ?
(2)设甲、乙两厂处理污水的总费用为 z 元,则 目标函数 z=1200x+1000y=200(6x+5y).…………7 分 作可行域,如图. ……………10 分 1.4 A o l y

…………………4 分

…………………5 分

平移直线 l:6x+5y=0,当直线经过点 A(1,0.8)时, z 取最大值,此时 z=1200×1+1000×0.8=2000(元). ……………12 分

2 1

x

4x+5y=8

故甲、乙两厂每天应分别处理 1 万 m3、0.8 万 m3 污水,才能使两厂处理污水的总费用最小,且 最小总费用是 2000 元. 17. (本题满分 14 分) 解:(1)由 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 4c(a, b, c ? R) 与直线 y ? ? x 均无公共点( a ? 0 ) , 可知 ax ? 2bx ? 4c ? ? x 无解,
2

…………………13 分

………………1 分

由 ax2 ? (2b ? 1) x ? 4c ? 0 无解,得: ? ? (2b ? 1) 2 ? 16ac ? 0 , 整理得:4ac ? b 2 ?

1 ?b 4

(1)

………………3 分

由 ax2 ? (2b ? 1) x ? 4c ? 0 无解,得: ? ? (2b ? 1) 2 ? 16ac ? 0 , 整理得:4ac ? b 2 ?

1 ?b 4 1 . 4

(2)

………………5 分 ………………6 分 ………………7 分 ………………9 分

由(1),(2)得: 4ac ? b 2 ? (2) 由 b ? 4, c ?

3 2 , 所以 f ( x) ? ax ? 8x ? 3 4 4 16 4 16 ?5 因为 f ( ? ) ? 3 ? , 由 a ? ?8 得, f ( ? ) ? 3 ? a a a a
所以 f ( x) ? 5 恒成立,

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第 9 页 共 11 页

故不等式 | f ( x) |? 5 成立的 x 的最大值也就是不等式 f ( x) ? ?5 成立的 x 的最大值,…………10 分 因此 M (a) 为方程 ax ? 8 x ? 3 ? ?5 的较大根,
2

即 M (a) ?

? 4 ? 2 4 ? 2a ( a ? ?8 ) a

………………11 分

当 a ? ?8 时, M (a) ?

?4 ? 2 4 ? 2a 4 是关于 a 的增函数, ? a 4 ? 2a ? 2
1? 5 . 2

………………13 分

所以,当 a ? ?8 时, M (a) 取得最大值,其最大值为 M (a) ?

………………14 分

18. (本题满分 14 分) 解: (1)由条件可得 xn ? 3n , yn ? 4n ? 5 ,根据题意知, cn ? 32n . 由 ck 为数列 { yn } 中的第 m 项,则有 3
2k

…………………1 分 …………………2 分 …………………4 分 …………………5 分

? 4m ? 5 ,

那么 ck ?1 ? 32( k ?1) ? 9 ? 32k ? 9 ? (4m ? 5) ? 36m ? 45 ? 4(9m ? 10) ? 5 , 因 9m ? 10 ? N ,所以 ck ?1 是数列 { yn } 中的第 9m ? 10 项. (2)设在区间 [1, 2] 上存在实数 b 使得数列 {xn } 和 { yn } 有公共项,
s 即存在正整数 s,t 使 a ? (a ? 1)t ? b ,∴ t ?
?

as ? b , a ?1
…………………6 分

因自然数 a ≥ 2 ,s,t 为正整数,∴ a ? b 能被 a ? 1 整除.
s

①当 s ? 1 时, t ?

a as ? b ? N? . ? a ?1 a ?1

②当 s ? 2n (n ? N? ) 时, 若 b ? 1,

a s ? b a 2n ? 1 1 ? a 2n ? ?? ? ?[1 ? (?a) ? (?a)2 ? a ?1 a ?1 1 ? ( ?a )

? (?a)2 n?1 ]

? (a ?1)[1 ? a2 ? a4
即a
s

? a2n?2 ] ? N? ,
…………………8 分
2n

? b 能被 a ? 1 整除,

此时数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } ,通项公式为 zn ? a 若b ? 2 ,

(n ? N? ) ;

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a s ? b a 2n ? 2 a 2n ? 1 1 s 显然, ? ? ? ? N? ,即 a ? b 不能被 a ? 1 整除. ………………9 分 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

as ? b ③当 s ? 2n ? 1 (n ? N? ) 时, t ? ? a ?1

b a(a 2 n ? ) a , a ?1

…………………10 分

b 2n a ( a ? ) b 2n ? a a ? 2 a ? 1 a ? ? N 若 ,则 ,又 a 与 互质,故此时 t ? ? N? . ………………11 分 a a ?1 b b 2n ? 2n 2n 若 a ? 2 ,要 a ? ? N ,则要 b ? 2 ,此时 a ? ? a ? 1 , …………………12 分 a a b a(a 2 n ? ) 2n a ? N? ,即 a s ? b 能被 a ? 1 整除. 由②知, a ? 1 能被 a ? 1 整除, 故 t ? a ?1
当且仅当 b ? a ? 2 时, a ? b 能被 a ? 1 整除.
S

…………………13 分

此时数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } ,通项公式为 zn ? 22n?1 (n ? N? ) . 综上所述,存在 b ?{1, 2} ,使得数列 {xn } 和 { yn } 有公共项组成的数列 {zn } , 且当 b ? 1 时,数列 zn ? a2n (n ? N? ) ;当 b ? a ? 2 时,数列 zn ? 22n?1 (n ? N? ) . ……………14 分

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