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平面向量的数量积PPT课件


刘定勇
2002.5.22

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引 入 新课讲解

一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作 λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0

/>例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则 有: ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

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我们学过功的概念,即一个物体在力F的作 用下产生位移s(如图)
F θ S

例题讲解
性质讲解 课堂练习
从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

小结回顾

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向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b, 则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量a 与b的夹角。
B

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
O

θ
A

特殊情况
θ=0° θ=180°

θ =90°

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已知两个非零向量a与b,它们的夹角 为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的 数量积(或内积),记作a· b

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

a· b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。

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引 入 新课讲解 例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求a· b。

解:a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×(-1/2)= -10。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。

例题讲解
性质讲解

解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
课堂练习 小结回顾 ∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2

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引 入 新课讲解

OA=a, OB=b,过点B作BB1垂直于直线 OA,垂足为B1,则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 θ=0° θ=90° θ=180° θ为钝角时

例题讲解
性质讲解

θ为锐角时

我们得到a· b的几何意义: 课堂练习 小结回顾

数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的 方向上的投影|b|cosθ的乘积。

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重要性质:
设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单 位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e· a=a· e = |a| cosθ (2)a⊥b a· b=0

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

(3)当a与b同向时,a· b=|a||b|
当a与b反向时,a· b=-|a| |b| 特别地,a· a =|a|2或|a|=√a· a。 (4)cosθ= a· b |a||b|

(5)|a·b|≤|a||b|

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P119
练习 2 ,3
已知△ABC的顶点A(1,1), B(4,1),C(4,5)。 计算cosA, cosB, cosc.

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

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1.

a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义 重要性质

2.
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

3.

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引 入 新课讲解

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

课本 : 第 3题 P119 第 4题 第 5题

敬请指教

当θ=0°时,a与b同向

O

B

A

返回

当θ=180°时,a与b反向。
O

B

A

返回

B

θ
O A

θ =90°,a与b垂直,记作a⊥b。

返回

当θ=0°时,它是|b|
O

B

A

返回

O

B

A

当θ=180°时,它是-|b|。

返回

B

θ
O

当θ=90°,它是0。

A

返回

B

b

O

θ a
B1

A

当θ为锐角时,它是正值;

返回

B

θ
B1
O A

当θ为钝角时,它是负值;

返回


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