平面向量的数量积PPT课件

刘定勇
2002.5.22

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引 入 新课讲解

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则 有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

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我们学过功的概念，即一个物体在力F的作 用下产生位移s（如图）
F θ S

例题讲解
性质讲解 课堂练习
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

小结回顾

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向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b， 则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a 与b的夹角。
B

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
O

θ
A

特殊情况
θ=0° θ=180°

θ =90°

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已知两个非零向量a与b，它们的夹角 为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a· b

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

a· b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。

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引 入 新课讲解 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。

解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。

例题讲解
性质讲解

解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
课堂练习 小结回顾 ∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2

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OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 θ=0° θ=90° θ=180° θ为钝角时

例题讲解
性质讲解

θ为锐角时

我们得到a· b的几何意义： 课堂练习 小结回顾

数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的 方向上的投影|b|cosθ的乘积。

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重要性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e· a=a· e = |a| cosθ （2）a⊥b a· b=0

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

（3）当a与b同向时，a· b=|a||b|
当a与b反向时，a· b=－|a| |b| 特别地，a· a =|a|2或|a|=√a· a。 （4）cosθ= a· b |a||b|

（5）|a·b|≤|a||b|

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P119
练习 2 ，3
已知△ABC的顶点A（1，1）， B（4，1），C（4，5）。 计算cosA, cosB, cosc.

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

复 习 引 入 新课讲解

1.

a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义 重要性质

2.
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

3.

复 习
引 入 新课讲解

例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾

课本 : 第 3题 P119 第 4题 第 5题

敬请指教

当θ=0°时，a与b同向

O

B

A

返回

当θ=180°时，a与b反向。
O

B

A

返回

B

θ
O A

θ =90°，a与b垂直，记作a⊥b。

返回

当θ=0°时，它是|b|
O

B

A

返回

O

B

A

当θ=180°时，它是－|b|。

返回

B

θ
O

当θ=90°，它是0。

A

返回

B

b

O

θ a
B1

A

当θ为锐角时，它是正值；

返回

B

θ
B1
O A

当θ为钝角时，它是负值；

返回