刘定勇
2002.5.22
复 习
引 入 新课讲解
一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作 λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则 有: ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
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引 入 新课讲解
我们学过功的概念,即一个物体在力F的作 用下产生位移s(如图)
F θ S
例题讲解
性质讲解 课堂练习
从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
小结回顾
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引 入 新课讲解
向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b, 则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量a 与b的夹角。
B
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
O
θ
A
特殊情况
θ=0° θ=180°
θ =90°
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引 入 新课讲解
已知两个非零向量a与b,它们的夹角 为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的 数量积(或内积),记作a· b
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
a· b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
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引 入 新课讲解 例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求a· b。
解:a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×(-1/2)= -10。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。
例题讲解
性质讲解
解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
课堂练习 小结回顾 ∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
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引 入 新课讲解
OA=a, OB=b,过点B作BB1垂直于直线 OA,垂足为B1,则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 θ=0° θ=90° θ=180° θ为钝角时
例题讲解
性质讲解
θ为锐角时
我们得到a· b的几何意义: 课堂练习 小结回顾
数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的 方向上的投影|b|cosθ的乘积。
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引 入 新课讲解
重要性质:
设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单 位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e· a=a· e = |a| cosθ (2)a⊥b a· b=0
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
(3)当a与b同向时,a· b=|a||b|
当a与b反向时,a· b=-|a| |b| 特别地,a· a =|a|2或|a|=√a· a。 (4)cosθ= a· b |a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|
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引 入 新课讲解
P119
练习 2 ,3
已知△ABC的顶点A(1,1), B(4,1),C(4,5)。 计算cosA, cosB, cosc.
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
复 习 引 入 新课讲解
1.
a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义 重要性质
2.
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
3.
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引 入 新课讲解
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
课本 : 第 3题 P119 第 4题 第 5题
敬请指教
当θ=0°时,a与b同向
O
B
A
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当θ=180°时,a与b反向。
O
B
A
返回
B
θ
O A
θ =90°,a与b垂直,记作a⊥b。
返回
当θ=0°时,它是|b|
O
B
A
返回
O
B
A
当θ=180°时,它是-|b|。
返回
B
θ
O
当θ=90°,它是0。
A
返回
B
b
O
θ a
B1
A
当θ为锐角时,它是正值;
返回
B
θ
B1
O A
当θ为钝角时,它是负值;
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