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2016届《创新设计》数学一轮(理科)人教A版 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质

时间:2015-07-07


第4讲
? 夯基释疑

三角函数的图象与性质

考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结

例1 例2 例3

训练1

训练2
训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)由

sin(30° +120° )=sin 30° 知,120° 是正弦函数 y=sin x(x∈R)的一个周期.( ) ? π? (2)y=sin x 在 x∈?0,2 ?上是增函数.( ) ? ? (3)y=cos x 在第一、二象限上是减函数.( ) (4)y=tan x 在整个定义域上是增函数.( )

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考点突破 考点一 三角函数的定义域、值域
1 例 1 (1)函数 y= 的定义域为______. tan x-1 ?πx π? (2)函数 y=2sin? 6 -3 ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ? ? A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3
tan x-1≠0 ? ? 解 (1)要使函数有意义,必须有? π , x≠ +kπ,k∈Z ? ? 2 ? π ?x≠4+kπ,k∈Z 即? ?x≠π+kπ,k∈Z. ? 2 π π 故函数的定义域为{x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z}. 4 2
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)

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考点突破 考点一 三角函数的定义域、值域
1 例 1 (1)函数 y= 的定义域为______. tan x-1 ?πx π? (2)函数 y=2sin? 6 -3 ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ? ? A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3

)

π π π 7π 解 (2)∵0≤x≤9,∴-3≤6x-3≤ 6 ,
?π π? ? ∴sin?6x-3 ?∈?- ? ? ?
? ? ?

? 3 , 1 ?. 2 ?

? ?,∴y - 3 , 2 ∴y∈ max+ymin=2- 3. ?

答案

π π (1){x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z} 4 2
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(2)A
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考点突破 考点一 三角函数的定义域、值域

规律方法
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助 三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ) +k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化 为关于 t 的二次函数求值域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值).

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考点突破 考点一 三角函数的定义域、值域
【训练 1】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. (2)函数 y=sin x-cos x+sin xcos x 的值域为________.
解析 (1)法一
y y=sinx y=cosx

要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0. 1 利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 0 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , , 4 4
再结合正弦、余弦函数的周期是 2π, 所以原函数的定义域为
? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ? ?. ,k∈Z ?
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π 4

5π 4
π

x 2π

-1

易看出当x在 ? ? 5? ? 区间 ? , ? 上 ?4 4 ? 变化时sinx ? cosx
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考点突破 考点一 三角函数的定义域、值域
【训练 1】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. (2)函数 y=sin x-cos x+sin xcos x 的值域为________.
解析 (1)法二 利用三角函数线,画出满足条件

的终边范围(如图阴影部分所示). ? ? ? π 5π ∴定义域为?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z?. ? ? ? ? π? 法三 sin x-cos x= 2sin?x-4 ?≥0, ? ? π 将 x- 视为一个整体, 4 由正弦函数 y=sin x 的图象和性质可知 π 2kπ≤x- ≤π+2kπ,k∈Z, 4 π 5π 解得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 4 4 ? ? ? π 5π 所以定义域为?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z?. ? ? ?
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? π? y= 2sin?x-4? ? ?

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考点突破 考点一 三角函数的定义域、值域
【训练 1】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. (2)函数 y=sin x-cos x+sin xcos x 的值域为________.
解析 (2) 设 t=sin x-cos x,

答案

则 t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x 1-t2 = ,且- 2≤t≤ 2. 2 2 t 1 1 ∴y=- +t+ =- (t-1)2+1. 2 2 2 1 当 t=- 2时,ymin=- - 2. 当 t=1 时,ymax=1; 2 ? 1 ? ∴函数的值域为?-2- 2,1?. ? ? ? 1 ? ? ? ? π 5π (1)?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z? (2)?-2- 2,1? ? ? ? ? ?
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考点突破 考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
π 5π 【例题 2】 (1)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 4 4 f(x)=sin(ωx+φ)的图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( ) π π π 3π A. B. C. D. 4 3 2 4
解析(1)2π
?5π π? =2? 4 -4 ?, ω ? ?

即 ω=1,

∴f(x)=sin(x+φ),
?π? ?π ? ∴f?4 ?=sin?4+φ?=± 1. ? ? ? ?

∵0<φ<π,
π π 5π π π π ∴ <φ+ < ,∴φ+ = ,∴φ= . 4 4 4 4 2 4
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考点突破 考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例题 2】 (2)函数 y=2cos
2

? π? ?x- ? - 1 是 ( 4? ?

)

A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2

B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2

解析(2)

? π? π? y=2cos x-4 ?-1=cos?2x-2 ? ? ? ? ?
2?

?

=sin 2x 为奇函数,
2π 最小正周期 T= =π. 2 (1)D (2)A

答案

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考点突破 考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性

规律方法
(1) 求 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令 π ωx+φ= +kπ(k∈Z),求 x;求 f(x)的对称中心的横坐标,只需 2 令 ωx+φ=kπ(k∈Z)即可. (2) 求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)的形式,则最小正周期为 2π T= ;奇偶性的判断关键是解析式是否为 y=Asin ωx 或 |ω| y=Acos ωx+b 的形式.

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考点突破 考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
训练 2
?4π ? (1)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对 ? ?

π π 称,那么|φ|的最小值为( C. D. 3 2 x+φ (2)(2014· 杭州模拟)若函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π])是偶函 3 π 2π 3π 5π 数,则 φ=( )A. B. C. D. 2 3 2 3

π )A. 6

π B. 4

解析

? 4π ? ?2π ? (1)由题意得 3cos?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? ? ? ? ? ?2π ? 2π π =3cos? 3 +φ?=0,∴ +φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2 ? ?

π π ∴φ=kπ- ,k∈Z,取 k=0, 得|φ|的最小值为 . 6 6
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考点突破 考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
训练 2
?4π ? (1)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对 ? ?

π π 称,那么|φ|的最小值为( C. D. 3 2 x+φ (2)(2014· 杭州模拟)若函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π])是偶函 3 π 2π 3π 5π 数,则 φ=( )A. B. C. D. 2 3 2 3

π )A. 6

π B. 4

解析 (2)由已知 f(x)=sin x+φ是偶函数, 3 3π φ π 可得 =kπ+ ,即 φ=3kπ+ 2 (k∈Z), 3 2 3π 又 φ∈[0,2π],所以 φ= . 2 答案 (1)A (2)C
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考点突破

考点三

三角函数的单调性
? π? 2sin?x+4 ?,x∈[0,π],则 ? ?

例 3 (1)已知 f(x)= 增区间为________. (2)已知 ω>0,函数 ω 的取值范围是(

f(x)的单调递

? ? π? ?π f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?上单调递减,则 ? ? ? ? ?1 3? B.?2,4? ? ? ? 1? C.?0,2? ? ?

?1 5? )A.?2,4? ? ?

D.(0,2]

π π π 解析(1) 由-2+2kπ≤x+4≤2+2kπ,k∈Z,
3π π 得- +2kπ≤x≤ +2kπ, k∈Z.又 x∈[0, π], 4 4 ? π? 所以 f(x)的单调递增区间为?0,4 ?. ? ?
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考点突破

考点三

三角函数的单调性
? π? 2sin?x+4 ?,x∈[0,π],则 ? ?

例 3 (1)已知 f(x)= 增区间为________. (2)已知 ω>0,函数 ω 的取值范围是(

f(x)的单调递

? ? π? ?π f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?上单调递减,则 ? ? ? ? ?1 3? B.?2,4? ? ? ? 1? C.?0,2? ? ?

?1 5? )A.?2,4? ? ?

D.(0,2]

解析(2) 由π<x<π 得πω+π<ωx+π<πω+π, 2 2 4 4 4 π π ?π ω + ≥ , ? 2 4 2 ?π π π? ?π 3π? 由题意知?2ω+4,πω+4???2, 2 ?,∴? ? ? ? ? ?πω+π≤3π, ? 4 2 ? π? 1 5 ∴ ≤ω≤ ,故选 A. 答案 (1)?0,4 ? (2)A 2 4 ? ?
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考点突破

考点三

三角函数的单调性

规律方法
(1) 求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形式,再求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可, 注意 要先把 ω 化为正数. (2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围 的问题, 首先, 明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集, 其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可 求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

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考点突破

考点三

三角函数的单调性
? π ? (ω>0)在区间?0, 3 ? ? ? ?上单调递增, ?

训练 3 (1)若函数 f(x)=sin ω x
?π 在区间? ?3 ?

π? ? ) , ?上单调递减,则 ω 等于( 2? 2 3 A. B. C.2 D.3(第(2)小题见下一页) 3 2

解析 (1)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点, π π ∴当 0≤ωx≤ ,即 0≤x≤ 时,y=sin ωx 是增函数; 2 2ω π 3π π 3π 当 ≤ωx≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ωx 是减函数. 2 2 2ω 2ω ? π? 由 f(x)=sin ωx (ω>0)在?0,3 ?上单调递增, ? ?
?π π? π π 3 ? ? 在 3,2 上单调递减知, = ,∴ω= . 2ω 3 2 ? ?
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考点突破
(2)函数

考点三

三角函数的单调性

? π? f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为________. ? ?

(2)由已知函数为

? π? y=-sin?2x-3 ?, ? ?

欲求函数的单调减区间, ? π? 只需求 y=sin?2x-3 ?的增区间. ? ? 3? ? x ? ? ? 2 k ? ? ? ? ? ? 2k? π π π 2 3 2 2 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 (k ? Z ) π 5π 得出结论,整理看得到的 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 结论相同吗? 12 12 故所给函数的减区间为 ? π 5π? 易理解y=sint ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 12 12 ? ? 与y=-sint单调 ? π 5π ? 3 增减区间对调 答案 (1)2 (2)?kπ-12,kπ+12 ?(k∈Z) ? ?
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x的系数必须变形为正,我 们知到复合函数y=f(g(x)),只 有f(t)与g(x)同增同减时y才 为增函数于是由

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课堂小结

思想方法

1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ) ( φ>0)的形式.

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课堂小结

易错防范

1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析 单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.

2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号, 尽量化成 ω>0 时情况.避免出现增减区间的混淆。

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(见教辅)

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