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高三数学一轮复习必备精品:平面向量的数量积及应用

时间:2017-08-10


2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第 26 讲
一. 【课标要求】

平面向量的数量积及应用

1.平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义; ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系; ③掌握数量积的坐标表达式,会进

行平面向量数量积的运算; ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2.向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程, 体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。

二. 【命题走向】
本讲以选择题、 填空题考察本章的基本概念和性质, 重点考察平面向量的数量积的概念 及应用。重点体会向量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值 5~9 分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、 圆锥曲线、 三角函数等联系, 解决角度、垂直、共线等问题,以解答题为主 预测 2010 年高考: (1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于 中档题目 (2)一道解答题,可能以三角、数列、解析几何为载体,考察向量的运算和性质;

三. 【要点精讲】
1.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a,作 OA = a , OB = b ,则∠AOA=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹 角; 说明: (1)当 θ=0时, a 与 b 同向; (2)当 θ=π 时, a 与 b 反向; (3)当 θ=

? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

C (2)数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b , 它们的夹角为 ? , 则 a ·b =︱ a ︱· ︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的

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数量积(或内积) 。规定 0 ? a ? 0 ;

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? ? ? ? ? a ?b 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称 |a|
为射影; (3)数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 (4)向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 。 ②乘法公式成立

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? ? ? ? ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ?a ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? 2 a ?b ? b ? a ? ?
2 2 2 2

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?2

2

?2 ?b ; ? ? ?2 ? 2a ? b ? b ;

2

③平面向量数量积的运算律 交换律成立: a ? b ? b ? a ;

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? ? ?? ? R? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 。
对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

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? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b ④向量的夹角:cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 。 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同 时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 (5)两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·b = x1 x2 ? y1 y2 。 (6)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a ? b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,平面向量 数量积的性质。 (7)平面内两点间的距离公式 设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

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x2 ? y2 。

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,那么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)
2.向量的应用 (1)向量在几何中的应用; (2)向量在物理中的应用。

四. 【典例解析】
题型 1:数量积的概念 例 1.判断下列各命题正确与否: ? (1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ; (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; (4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立;
2 (6)对任意向量 a ,有 a ? a 。

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?2

解析: (1)错; (2)对; (3)错; (4)错; (5)错; (6)对。 点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚 0 ? a 为 零向量,而 0 ? a 为零 例 2. 已知△ ABC 中,过重心 G 的直线交边 AB 于 P ,交边 AC 于 Q ,设△ APQ 的面 积为 S1 ,△ ABC 的面积为 S2 , AP ? pPB , AQ ? qQC ,则(ⅰ)

??? ?

??? ?

????

??? ?

pq ? p?q

(ⅱ)

S1 的取值范围是 . S2 ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? 【解析】设 AB ? a , AC ? b , AP ? ?1 a , AQ ? ?2 b ,因为 G 是△ ABC 的重心,故 ???? 1 ? ? ??? ? ???? ??? ? 1 ? 1 ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? AG ? (a ? b) ,又 PG ? AG ? AP ? ( ? ?1 )a ? b , PQ ? AQ ? AP ? ?2 b ? ?1 a ,因 3 3 3 ? 1 ? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? 1 为 PG 与 PQ 共线,所以 PQ ? ? PG ,即 [? ( ? ?1 ) ? ?1 ]a ? ( ? ? ?2 )b ? 0 ,又 a 与 b 不 3 3 1 1 共线,所以 ? ( ? ?1 ) ? ??1 及 ? ? ?2 ,消去 ? ,得 ?1 ? ?2 ? 3?1?2 . 3 3 pq 1 1 1 1 ? 1; (ⅰ) ? ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 3 ? 2 ? 1 ,故 p?q p q ?1 ?2 ?1 S | AP | ? | AQ | ? sin ?BAC 1 (?1 ? ) ,那么 1 ? (ⅱ) ?2 ? 3?1 ? 1 3 S2 | AB | ? | AC | ? sin ?BAC

? ?1?2 ?

?12 1 ,当 P 与 B 重合时, ?1 ? 1,当 P 位于 AB 中点时, ? 3?1 ? 1 ?( 1 ? 3 )2 ? 9 ?1 2 4
1 2 1 2 4 1 4 1 S1 S ? [ , ]. 但因为 P 与 B 不能重合,故 1 ? [ , ). 9 2 9 2 S2 S2

?1 ? ,故 ?1 ? [ ,1] ,故

(2)设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①( a ?b )c -( c ?a )b = 0 ②| a |-| b |<| a - b | ③( b ?c )a -( c ? a )

b 不与 c 垂直
④(3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9| a |2-4| b |2 中,是真命题的有( A.①② B.②③ C.③④ ) D.②④

解析: (1) 答案: D; 因为 (a ? b) ? c ?| a | ? | b | cos? ? c , 而 a ? (b ? c) ?| b | ? | c | c os 而 c 方向与 a 方向不一定同向

? ? a;

(2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知 | a |、| b |、| a - b |恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边” ,故②真; ③因为[ ( b ? c ) a -( c ? a ) b ] ? c =( b ? c ) a ? c -( c ? a ) b ? c =0,所以 垂直.故③假;④(3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9? a ? a -4 b ? b =9| a |2-4| b |2 成立。故④ 真。 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。 题型 2:向量的夹角 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? 例 3. (1)过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 AD ?xAB , AE ? y AC ,

xy ? 0 ,则
(A)4

1 1 ? 的值为( x y
(B)3

) (D)1

(C)2

解析:取△ABC 为正三角形易得

1 1 ? =3.选 B. x y

评析:本题考查向量的有关知识,如果按常规方法就比较难处理,但是用特殊值的思想就比 较容易处理,考查学生灵活处理问题的能力. (2)已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),且 a ? ? b ,那么 a ? b 与 a ? b 的夹 角的大小是 。

? ? ? ? ? ? ?? ? ? 0 (3) 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 , 若c ? 2 试求 c 与 d 的夹角。 a ?b d , ?b 3 ? a ,

(4)| a |=1,| b |=2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° 解析: (2) ( ) B.60° C.120° D.150°

? ; 2 ? ? ? ? 0 (3)由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 ,
所以, a ? b ? a b cos120 ? ?
0

? ?

? ?

?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c ? c ? c ? (2a ? b ) ? (2a ? b ) ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 ,

1 , 2

? ?c ? 7,
同理可得? d ? 13 。 而 c ? d ? (2a ? b ) ? (3b ? a ) ? 7 a ? b ? 3b ? 2a ? ? 设 ? 为 c 与 d 的夹角, 则 cos? ?

?

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?2

?2

17 , 2

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17 2 7 13
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17 91 。 182
? ? ? ?
2 ?

(4)C;设所求两向量的夹角为 ?

? c ? a ? b    c?a
? 2 ? ?

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? c . a ? ( a? b ) . a?
即: cos ? ?

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a ? .a ? b0

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?| a | ? ? | a || b | cos ?
所以 ? ? 120 .
o

? | a |2 | a || b |
? ?

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| a| | b|
?

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??

1 2

点评: 解决向量的夹角问题时要借助于公式 cos ? ?

a ?b | a |?|b|
? ?

, 要掌握向量坐标形式的运算。
? ?

向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于 a . b ?| a || b | cos ? 这个公式的变形应 用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握 例 4. (1)设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 ? a 2 ? a3 ? 0 。如果向量 b1 、 b2 、 b3 , 满足 | bi |? 2 | a i | ,且 a i 顺时针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则(
o



A.- b1 + b2 + b3 = 0 C. b1 + b2 - b3 = 0

B. b1 - b2 + b3 = 0 D. b1 + b2 + b3 = 0

(2) ( 2009 广 东 卷 理 ) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中

? ? ? (0, ) .
2
(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2



(1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) , , cos? ? ? 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2



则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 , 10
2? ,∠BAC=θ, 记 3

2、 ( 山 东 临 沂 2009 年 模 拟 ) 如 图 , 已 知 △ABC 中 , |AC|=1,∠ABC=

??? ? ??? ? f (? ) ? AB?BC 。
(1) 求 f (? ) 关于 θ 的表达式; (2) 求 f (? ) 的值域。

| BC | 1 | AB | ? ? sin ? sin 2? sin( 2? ? ? ) 3 3 2? s i n ( ?? ) sin ? 2 3 2 3? ?| BC ? | ? s i?n AB ,| ? | 3 ? s? in ?( 2? 2? 3 3 3 sin sin 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 4 ? 1 ? f (? ) ? AB?BC ?| AB |? | BC | cos ? sin ? ? sin( ? ? )? 3 3 3 2
解: (1)由正弦定理,得

)

2 3 1 3 1 1 ? ( cos ? ? sin ? )sin ? ? sin 2? ? cos 2? ? 3 2 2 6 6 6

1 ? 1 ? ? sin(2? ? ) ? .(0 ? ? ? ) 3 6 6 3 ? ? ? 5? , (2)由 0 ? ? ? ,得 ? 2? ? ? 3 6 6 6 1 ? ? ?s i n? (2 ? ? ) 1, 2 6
∴0 ?

1 ? 1 1 1 sin(2? ? ) ? ? ,即 f (? ) 的值域为 (0 , ] 3 6 6 6 6 .

3. 已知 | AC |? 5 , | AB |? 8 , AD ? 5 DB , CD ? AB ? 0 。
11

(1)求 | AB ? AC | ;

? 4 , ?? ? x ? ? ,求 sinx 4 5 16 解: (1)由已知 AB ? DB ? DA ? DB ? AD ? DB 11 5 5 11 ∴ DB ? 11 AB , AD ? 5 DB ? 5 AB , | AD | ? | AB |? , | DB |? , 16 11 16 16 2 2 2 2 2 ∵ CD ? AB ? 0 ∴CD⊥AB,在 Rt△BCD 中 BC =BD +CD , 2 2 2 2 2 2 2 又 CD =AC -AD , 所以 BC =BD +AC -AD =49, ??4 分 所以 | AB ? AC ?| BC |? 7 ??6 分
(2)设∠BAC=θ ,且已知 cos(θ +x)=

1 ? ∴? ? ??8 分 2 3 ? 4 ? 3 cos (? ? x) ? cos( ? x) ? sin ( ? x) ?? 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? ? 而?? ? x ? ? , ? 如果 0 ? ? x ? , ? ?x? 3 12 4 3 3 12 ? ? ? 1 3 ? 3 则 sin( ? x) ? sin ∴ sin( ? x) ? ? ??10 分 ? sin ? ? 3 12 6 2 5 3 5 ? ? 3? 4 3 sin x ? sin[( ? x) ? ] ? ? 3 3 10
(2)在△ABC 中, cos ?BAC ? 点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问题 题型 3:向量的模 例 5. (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于(
o

?

?

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?



A.5

B.4

C.3

D.1
0

(2) (2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |等于 ( A. 3 B.2 3 C.4 D.12 )

解析 由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12

∴ a ? 2b ? 2 3

解析: (1)B; (2)B 点评:掌握向量数量积的逆运算 | a |?

a ?b | b | cosQ

2 ,以及 a ?| a | 。

2

例 6.已知 a =(3,4) , b =(4,3) ,求 x,y 的值使(x a +y b )⊥ a ,且|x a +y b |=1。 解析:由 a =(3,4) , b =(4,3) ,有 x a +y b =(3x+4y,4x+3y); 又(x a +y b )⊥ a ? (x a +y b )? a =0 ? 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0; 即 25x+24y=0 ①;

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又|x a +y b |=1 ? |x a +y b | =1;


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? (3x+4y)2+(4x+3y)2=1;
整理得 25x +48xy+25y =1即 x(25x+24y)+24xy+25y =1 2 由①②有 24xy+25y =1 ③; 将①变形代入③可得:y=±
2 2 2

②;

5 ; 7

24 ? 24 ? x? x?? ? ? ? 35 ? 35 和? 再代回①得: ? 。 ?y ? ? 5 ?y ? 5 ? ? 7 ? 7 ?
点评:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想。 题型 4:向量垂直、平行的判定 例 7.已知向量 a ? (2,3) , b ? ( x,6) ,且 a // b ,则 x ? 解析:∵ a // b ,∴ x1 y 2 ? x2 y1 ,∴ 2 ? 6 ? 3 x ,∴ x ? 4 。 例 8.已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的 值。 (1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n 。 解析: m ? a ? ?b ? ? 4 ? ? ,3 ? 2? ? , n ? 2a ? b ? ? 7,8? 。

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52 ; 9 ? ? 1 (2) m // n ? ?4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ? ; 2 ? ? 2 2 (3) m ? n ? ?4 ? ? ? ? ?3 ? 2? ? ? 7 2 ? 8 2 ? 5?2 ? 4? ? 88 ? 0
(1) m ? n ? ?4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ?

?

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?? ?

2 ? 2 11 。 5

点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算 题型 5:平面向量在代数中的应用 例 9.已知 a 2 ? b 2 ? 1,c 2 ? d 2 ? 1,求证:| ac ? bd | ? 1 。 分析: a 2 ? b 2 ? 1,c 2 ? d 2 ? 1,可以看作向量 x ? (a,b), y ? (c,d ) 的模的平方, 而 ac ? bd 则是 x 、 y 的数量积,从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明:设 x ? (a,b), y ? (c,d ) 则 x ? y ? ac ? bd, | x |?

a 2 ? b 2, | y |? c 2 ? d 2 。

?| x ? y |?| x | ? | y | , ?| ac ? bd |? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? 1
点评:在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如

| a ? b| ?| a|?|b| ,| a ? b| ?| a|?|b| ;a ? b ?| a ? b| ?| a|| ? b| 等。
例 10.已知 a ? cos?, sin ? , b ? cos ?, sin ? ,其中 0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)求证: a + b 与 a - b 互相垂直; (2)若 k a ? b 与 k a ? b ( k ? 0 )的长度相等,求 ? ? ? 。 解析: (1)因为 ( a + b ) ?( a - b ) ? a ? a ? b + b ? a - b
? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2
? ? ? ?

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? a ? b ?| a |2 ?| b |2 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1?1 ? 0
所以 a + b 与 a - b 互相垂直。 (2) k a + b ? k cos? ? cos ?,k sin ? ? sin ? ,
? ?
? ? ? ?

?2

?2

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?

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?

k a ? b ? ?k cos? ? cos ?,k sin ? ? sin ? ? ,
所以 | k a ? b| ?
? ? ? ?

?

?

k 2 ? 2k cos?? ? ? ? ? 1 ,

| k a ? b| ? k 2 ? 2k cos?? ? ? ? ? 1 ,
因为 | k a ? b | ?| k a ? b | ,
? ? ? ?

所以 k 2 ? 2k cos?? ? ? ? ? 1 ? k 2 ? 2k cos?? ? ? ? ? 1 , 有 2k cos?? ? ? ? ? ?2k cos?? ? ? ? , 因为 k ? 0 ,故 cos?? ? ? ? ? 0 , 又因为 0 ? ? ? ? ? ?,0 ? ? ? ? ? ? , 所以 ? ? ? ?

?
2



点评:平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函 数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式 的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化,从而提高解题的速度。 题型 6:平面向量在几何图形中的应用 例 12.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角。 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,点 P 是⊙O 上任一点(不与 A、B 重合) ,求证:∠APB =90°。

证明:联结 OP,设向量 OA ? a,OP ? b ,则 OB ? ? a 且 PA ? OA ? OP ? a ? b ,

?

?

?

?

?

?

? ? ? PB ? OB ? OP ? a ? b

? ? ? PA? PB ? b 2 ? a 2 ?| b | 2 ? | a | 2 ? 0

? ? ? PA ? PB,即∠APB=90°。
点评: 平面向量是一个解决数学问题的很好工具, 它具有良好的运算和清晰的几何意义。 在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。 题型 7:平面向量在物理中的应用 例 13.如图所示,正六边形 PABCDE 的边长为 b,有五个力 PA、PB、PC、PD 、 P E 作用于同一点 P,求五个力的合力

?

?

?

?

?

解析:所求五个力的合力为 PA ? PB ? PC ? PD ? PE ,如图 3 所示,以 PA、PE 为边 作平行四边形 PAOE,则 PO ? PA ? PE ,由正六边形的性质可知 | PO |?| PA |? b ,且 O 点 在 PC 上,以 PB、PD 为边作平行四边形 PBFD,则 PF ? PB? PD,由正六边形的性质可知

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? | PF |? 3b ,且 F 点在 PC 的延长线上。
由正六边形的性质还可求得 | PC |? 2b 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为 b ? 2b ? 3b ? 6b ,方向与 PC 的方向 相同。
课后训练:

?

?

2009 北京卷理)已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么 ( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 答案 D B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

)

解析 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取 a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 2、江苏省阜中 2008 届高三第三次调研考试试题
??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? ???? ? 已知 O 为坐标原点, OM ? ? ?1, 1? , NM ? ? ?5, 5? , 集合 A ? OR RN ? 2 , OP, OQ ? A ,且

?

?

???? ???? ? ???? ???? ? MP ? ? MQ ? ? ? R, 且? ? 0?,则 MP ? MQ ?

.46

3、(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 答案 B 解析 :因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答. 4、 (2009 宁夏海南卷理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且

??? ? ??? ? ?

??? ?



??? ? ??? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ? ??? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ? ??? ?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

??? ?

OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且 PA ?PB ?PB ? PC ? PC PA ?
N,P 依次是 ?ABC 的 A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 答案 C (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解析 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心 (

,则点 O, )

由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; 由NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心

? PA ? PB ? PB ? PC, ? PA ? PC ? PB ? 0, ? CA ? PB ? 0,? CA ? PB, 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.

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5. 江苏省省阜中 2008 届高三第三次调研考试数学(文科)试题 若向量 a= ? x, 2x ? ,b= ? ?3x, 2? ,且 a,b 的夹角为钝角, 则 x 的取值范围是 .

? ? 1 , 0 ? 4 , ? ?? ???, ? 1 3? ? 3 ? ? 3

6. (2009 浙江卷文)已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b ,

c ? (a ? b) ,则 c ?
A. ( , ) 答案 D





7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

解析 不妨设 C ? (m, n) ,则 a ? c ? ?1 ? m, 2 ? n ? , a ? b ? (3, ?1) ,对于 c ? a // b ,

??

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则有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ?

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7 9

7 3

【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的 考查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.

7. 对于 n 个向量, a1 ,a2 ,? ,an , 若存在 n 个不全为零的实数 k1 , k2 ,?kn , 使得

k1a1 ? k2a2 ? ? ? knan ? 0 成立,则称向量 a1 ,a2 ,? ,an , 是线性相关的.按此规定,能使向
量 a1 ? (1,0), a2 ? (1, ?1), a3 ? (2, 2) 是线性相关的实数 k1 , k2 , k3 的值依次为 .

( 只 需 写 出 一 组 值 即 可 ) 根 据 线 性 相 关 的 定 义 得 k1 (1,0) ? k2 (1, ?1) ? k3 (2, 2) ? 0 ,

?k1 ? k2 ? 2k3 ? 0 ?? 令 k3 ? 1则 k2 ? 2 , k1 ? ?4 ,∴ k1 , k2 , k3 的一组值为-4,2,1 ? ? k 2 ? 2 k3 ? 0
8. 已知向量 i=(1,0),j=(0,1),A (

??? ? ??? ? ? ??? ? ? 3 1 1 3 则△ , ) ,B ( , ) ,若 OC ? OA ? i, OD ? OB ? j , 2 2 2 2
3? 2 3 4
C。

OCD 的面积为:A。 3 ? 2 3

B。

3? 2 3 2

D。1+2 3

9. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) , 则 cos ? ? .

?

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. 解 : 设 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 ? , 且 a ? (3,3),2b ? a ? (?1,1) ∴ b ? (1,2) , 则

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? ? a ?b 9 3 10 c o? s? ? ? ? = . 10 a ?b 3 2? 5 ??? ? ??? ? 10. 已知向量 AB ? (4,0), AC ? (2, 2), 则 AC与BC 的夹角的大小为 ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AC ?BC 解析: .? BC ? (?2, 2), cos ? AC , BC ?? ???? ??? ? ? 0,?? AC , BC ?? 90? AC BC

.

11. 已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及所在平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 △BCP 与△ABP 的面积分别为 s1,s2,则 s1:s2=_________ 12. 设定义域为[x1,x2]的函数 y=f(x)的图象为 C,图象的两个端点分别为 A、B,点 O →=(x ,y ) 为坐标原点,点 M 是 C 上任意一点,向量→ OA=(x ,y ) ,OB ,→ OM=(x,y) ,满
1 1 2 2

→+(1-λ )OB →,现定义“函数 y 足 x=λ x1+(1-λ )x2(0<λ <1) ,又有向量→ ON=λ OA →|≤k 恒成立,其中 k>0,k 为常数。 =f(x)在[x1,x2]上可在标准 k 下线性近似”是指|MN

根据上面的表述,给出下列结论:①A、B、N 三点共线;②直线 MN 的方向向量可以为→ a= 5 2 2 (0,1) ;③“函数 y=5x 在[0,1]上可在标准 下线性近似”.④“函数 y=5x 在[0,1] 4 1 、○ 2 、○ 3 上可在标准 1 下线性近似”; 其中所有正确结论的序号为_______________.○ 13. P 为Δ ABC 所在平面上的点,且满足 AP = AB + _______.1∶2 14. 设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A、B、C 是抛物线上不同三点,若 FA ? FB ? FC =0,则
2

? ??? ? ??? ? 1 ??? AC ,则Δ ABP 与Δ ABC 的面积之比是 2

| FA | ? | FB | ? | FC | =

.

设 A、B、C 的横坐标分别为 x1,x2,x3 则 x1+x2+x3=3,又 | FA| ? | FB | ? | FC | =1+x1+1+x2+1+x3=6

? ? ? ? ? ? ? a ?b ? ? ? ? 15. 若向量 a与b不共线, a ? b ? 0, 且c ? ( ? ? )a ? b, 则向量a ? c 的夹角为 a?a
16. 如图,在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°, AH⊥BC,垂足为 H,M 为 AH 的中点, 若 AM ? ? AB ? ? BC, 则? ? ? 的值等于 。

? 2



OB ? ?5 , 17. 在 ?ABC 中, OA ? ? 2cos ? , 2sin ? ? , OB ? ? 5cos ? ,5sin ? ? ,若 OA?
则 S?ABC ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

5 3 2

18. 若正方形 ABCD 边长为 1 ,点 P 在线段 AC 上运动,则 AP ? ( PB ? PD) 的取值范围 是 .[-2,

1 ] 4

19. 已知 a , b 是两个互相垂直的单位向量, 且 c ? a ? 1 , c ? b ? 1 , | c |? 2 ,则对任意的正实数

t , | c ? ta ? b | 的最小值是

1 t

2 2

.

20. 在 ?OAB 中 , M 为 OB 的 中 点 , N 为 AB 的 中 点 , ON , AM 交 于 点 P

,若

??? ? ??? ? ??? ? AP ? mOA ? nOB ( m, n ? R ) ,则 n ? m ?

1

五. 【思维总结】
1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定;

(2)两个向量的数量积称为内积,写成 a ·b ;今后要学到两个向量的外积 a ? b ,而

a ? b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“? ”在向量运算中不是乘号,既不
能省略,也不能用“?”代替; (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a ?0,且 a ? b =0,不 能推出 b = 0 。因为其中 cos?有可能为 0; (4) 已知实数 a、 b、 c(b?0), 则 ab=bc ? a=c。 但是 a ? b = b ? c

a ? c;

如右图: a ? b = | a | b |cos? = | b ||OA|, b ?c = | b |c|cos? = | b ||OA|? a ? b = b ? c , 但a ?c ; (5)在实数中,有( a ? b ) c = a ( b ? c ),但是( a ? b ) c ? a ( b ? c ),显然,这是因为左 端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线。 2.平面向量数量积的运算律 特别注意: (1)结合律不成立: a ? b ? c ? a ? b ? c ; (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? ; (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 。 3.向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数 形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综 合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用:①求模长;②求 夹角;③判垂直; 4.注重数学思想方法的教学 ①.数形结合的思想方法。 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在向量知识的整个学习过程中, 都体现了数形结合的思想方法,在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯, 以加深理解知识要点,增强应用意识。 ②.化归转化的思想方法。 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题;三
2 角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题;向量的数量积公式 a ? a ,沟通了向

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量与实数间的转化关系;一些实际问题也可以运用向量知识去解决。 ③.分类讨论的思想方法。 如向量可分为共线向量与不共线向量;平行向量(共线向量)可分为同向向量和反向向

量;向量 a 在 b 方向上的投影随着它们之间的夹角的不同,有正数、负数和零三种情形;定 比分点公式中的 ? 随分点 P 的位置不同,可以大于零,也可以小于零。 5.突出向量与其它数学知识的交汇 “新课程增加了新的现代数学内容, 其意义不仅在于数学内容的更新, 更重要的是引入新的 思维方法,可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题” 。因此,新课程卷中有些问 题属于新教材与旧教材的结合部,凡涉及此类问题,高考命题都采用了新旧结合,以新带旧 或以新方法解决的方法进行处理,从中启示我们在高考学习中,应突出向量的工具性,注重 向量与其它知识的交汇与融合,但不宜“深挖洞” 。我们可以预测近两年向量高考题的难度 不会也不应该上升到压轴题的水平

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