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北京市西城区2012年7月高一数学期末试卷

时间:


北京市西城区(北区)2011 — 2012 学年度第二学期学业测试

高一数学
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2012.7

三 题号 分数 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 一 二 17 18 19 20 21

22 本卷总分

, ,则下列哪个数是这个数列中的项 ( 1.已知等差数列 5,7,9,11
A. 3 B. 6 C. 10

) D. 15

2. 在某一项篮球赛事中, 甲、 乙两名运动员都参加了 5 场比赛, 他们各场比赛得分的情况如茎叶图所示,则甲得分的中位数 和 ... 乙得分的平均数 分别为( ... A. 18,14 ) C. 16,14 )

甲 8 8 6 6 4

乙 0 1 2 6 0 1 1 2

B. 18,12

D. 16,12

3.已知 0 ? ? ? ? ? ? ,则 ? ? ? 的取值范围是 ( A. (??, ?) B. (??, ?) C. (?

? , 0) 2
)

D. (0, ?)

4.若非零实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,则一定成立的不等式是( A. ac ? bc B. ab ? ac C. a ? c ? b ? c

D.

1 1 1 ? ? a b c

5.由直线 x ? y ? 1 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 和 y ? 1 ? 0 所围成的三角形区域(包括边界)用不 等式组可表示为( )

? x ? y ? 1 ? 0, ? A. ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? ?1. ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? B. ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? ?1. ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? C. ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? ?1. ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? D. ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? ?1. ?


6.已知变量 a , b 已被赋值,要交换 a , b 的值,应采用下面哪种算法( A. a ? b , b ? a C. B. a ? c , b ? a , c ? b D.

a ? c, b ? a , c ? a

c ? a, a ? b , b ? c
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2012,7 北京西城区高一数学试卷

7.在 ?ABC 中 a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 b ? 2c cos A ,则 ?ABC 一定是 ( ) B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 )

A. 等边三角形 A. B. C. D.

8.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是( 至少有一个黑球与都是黑球 至少有一个黑球与至少有一个红球 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 至少有一个黑球与都是红球 ) D. 16
*

9.若等比数列 {an } 满足 an an?1 ? 16n ,则 {an } 的公比为( A. 4 B. 6 C. 8

10. 已知函数 f ( x) ? x2 ,定义数列 {an } 如下: an?1 ? f (an ) , n ? N . 若给定 a1 的值,使得到的无穷数列 {an } 满足:对任意正整数 n ,均有 an?1 ? an ,则

a1 的取值范围是(
A. (??, ?1) C. (1, ??)

) B. (??,0) D. (?1, 0)

(1, ??)

(1, ??)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 11. 某单位有职工 800 人,其中青年职工 400 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本. 若样本中青年职工的人数为 8,则样本容量为_______. 12. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a5 ? a6 ? 2 , 则 S10 ? _______. 13. 执行右图所示的程序框图, 若 M ? 1 ,则输出的 S ? ______; 若输出的 S ? 14 ,则整数 M = _______. 14. 函数 y ? x ?
开始

n ? 0, S ? 0

n?M?




此时 x ? _________.

4 ( x ? 1) 的最小值是________; x ?1

n ? n ?1
S ? S ? 2n

输出 S 结束

15. 已知正方形 ABCD .

(1)在 A,B,C ,D 四点中任取两点连线,则余下的两点在此直线异侧的概率是______; (2)向正方形 ABCD 内任投一点 P ,则 ?PAB 的面积大于正方形 ABCD 面积四分之 一的概率是_______.

2012,7 北京西城区高一数学试卷

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?x ? y ? 1 ? 16. 已知当实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? ?1 时, ax ? by ? 1 恒成立. 给出以下命题: ?x ? 2 y ? 1 ?
①点 P( x, y) 所形成的平面区域的面积等于 3 ; ② x 2 ? y 2 的最大值等于 2 ; ③以 a , b 为坐标的点 Q (a, b) 所形成的平面区域的面积等于 4.5 ; ④ a ? b 的最大值等于 2 ,最小值等于 ?1 . 其中,所有正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,已知 C 为锐角,且 a ? 2c sin A . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 1 ,且 ?ABC 的面积为

3 ,求 a , b 的值. 4

18.(本小题满分 13 分) 在参加某次社会实践的学生中随机选取 40 名学生的成绩作为样本, 这 40 名学生的成绩 全部在 40 分至 100 分之间,现将成绩按如下方式分成 6 组:第一组,成绩大于等于 40 分且 小于 50 分;第二组,成绩大于等于 50 分且小于 60 分;??第六组,成绩大于等于 90 分且 小于等于 100 分,据此绘制了如图所示的频率分布直方图. 在选取的 40 名学生中, (Ⅰ) 求 a 的值及成绩在区间 [80,90) 内的学 生人数; (Ⅱ) 从成绩小于 60 分的学生中随机选 2 名 学生,求最多有 1 名学生成绩在区间 [50, 60) 内 的概率.
0.015 0.010 0.005

频率/组距 a
0.030

分数 40 50 60 70 80 90 100

0

19.(本小题满分 14 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a8 ? 4 , a13 ? 14 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 Sn 的最小值及相应的 n 的值;
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(Ⅲ)在公比为 q 的等比数列 {bn } 中, b2 ? a8 , b1 ? b2 ? b3 ? a13 , 求 q ? q 4 ? q7 ?

? q3 n ? 4 .

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? kx2 ? (k ? 1) x . (Ⅰ)当 k ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)当 k ? 0 时,二次函数 f ( x ) 的对称轴在直线 x ? 1 的左侧,求 k 的取值范围; (Ⅲ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 .

21.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, AB ? 4 , AC ? 3 , A ? 60 . (Ⅰ)求 ?ABC 的面积; ( Ⅱ ) 设 点 D, E 分 别 是 AB 、 AC 边 上 的 点 , 记 D B E C A

AD ? x , DE ? y . 若 ? ADE 的面积总保持是 ?ABC 面积
的一半,求 y 关于 x 的函数解析式及 y 的最小值.

22.(本小题满分 13 分) 已 知 数 列 {an } 是 各 项 均 为 正 数 有 穷 数 列 , 数 列 {bn } 满 足 kbk ? a1 ? a2 ? ( k ? 1, 2,

? ak

, n ).

(Ⅰ)若数列 {bn } 的通项公式 bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) (ⅰ)若数列 {an } 为递增数列,试判断数列 {bn } 是否为递增数列?如果是,请加 以证明;如果不是,说明理由. (ⅱ)若数列 {bn } 为递增数列,试判断数列 {an } 是否为递增数列?如果是,请加 以证明;如果不是,说明理由. (Ⅲ)设数列 {Cn } 、 {Dn } 满足:

Cn ? (a1 ? b1 )2 ? (a2 ? b2 )2 ?
Dn ? (a1 ? bn )2 ? (a2 ? bn )2 ?
求证: Cn ? Dn .

? (an ? bn )2 ,
? (an ? bn )2 ,

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北京市西城区(北区)2011 — 2012 学年度第二学期学业测试

高一数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1. D 2. A 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. C 9. A

2012.7

10. A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. 14.

16
5 ,3

12. 10 15.

13. 2 , 3 16. ②③④

1 1 , 3 2

注:一题两空的试题,第一空 2 分,第二空 3 分; 16 题选出错误选项即得 0 分. 漏选正确选项得 2 分,全部选出正确选项得 5 分. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17. 解: (Ⅰ)由 a ? 2c sin A 及正弦定理得, sin A ? 2sin C sin A ,??????3 分 因为 sin A ? 0 ,所以 sin C ?
o

1 , 2
???????5 分

因为 C 为锐角,所以 C ? 30 . (Ⅱ)因为 c ? 1, C ? 30 .
o

由面积公式得

1 3 , ab sin 30o ? 2 4

???????7 分 ???????8 分

即 ab ? 3 ,????① 由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos30 ? 1 ,
2 2 o

???????9 分 ???????10 分 ???????11 分

所以 a ? b ? 3ab ? 1 , 即 a ? b ? 4 ,????②
2 2 2 2

联立①、 ②得 ?

2 2 ? ? a ? b ? 4,

? ? ab ? 3,

 

解得 a ? 1, b ? 3, 或 a ? 3, b ? 1 .

???????13 分

18. 解: (Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [60,70) 的频率为

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.010 ? 0.015 ? 0.030) ?10 ? 0.35 ,
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???????3 分
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所以 a ? 0.035 . 由已知,成绩在区间 [80,90) 的频率为 0.15 ,

???????4 分

所以, 40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40 ? 0.15 ? 6 (人). ???????6 分 (Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩小于 60 分的学生中随机选两名学生,最多有一名学生成 绩在区间 [50,60) 内” , 由已知,成绩在区间 [50,60) 内的学生有 4 人, 记这四个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [40,50] 内的学生有 2 人, 记这两个人分别为 e, f , 则选取学生的所有可能结果为: ???????8 分

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ), (c, d ),(c, e),(c, f ) , (d , e),(d , f ),(e, f ) .基本事件数为 15.
事件“最多一人成绩在区间 [50,60) 之间”的可能结果为: ???????10 分

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d , e),(d , f ),(e, f ) .
基本事件数为 9, ???????12 分 ???????13 分

9 ? 0.6 . 所以 P( A) ? 15
19. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d , 由已知可得 a1 ? 7d ? 4 , a1 ? 12d ? 14 , 解得 d ? 2 , a1 ? ?10 . 所以 an ? ?10 ? 2(n ?1) ? 2n ?12 . (Ⅱ)令 an ? 0 ,即 2n ?12 ? 0 ,解得 n ? 6 , 所以,当 n ? 1, 2,3, 4,5 时, an ? 0 ; a6 ? 0 ; n ? 7,8, 所以,当 n ? 5 或 n ? 6 时, Sn 最小,

???????2 分 ???????4 分 ???????5 分 ???????7 分 时 an ? 0 . ???????8 分 ???????9 分

S5 ? S 6 ?

5 5 (a1 ? a5 ) ? ? (?10 ? 2) ? ?30 . 2 2

(Ⅲ)依题意, b1q ? 4 , b1 ? b1q ? b1q2 ? 14 , 即 b1q ? 4 , b1 ? 4q ? 10 ,消去 b1 ,得 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,
2

解得 q ? 2 或 q ?

1 , 2
4 7

???????11 分

当 q ? 1 时,q ? q ? q ? 当 q ? 2 时, q ? q ? q ?
4 7

?q

3n ? 4

q(1 ? q3n?6 ) . ? 1 ? q3
2 3 n ?6 (2 ? 1) ; 7

???????12 分

? q 3 n ?4 ?

???????13 分

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当q ?

1 4 7 时, q ? q ? q ? 2

? q 3n ? 4 ?

4 1 (1 ? 3n ? 6 ) . 7 2

???????14 分 ???????2 分

2 20. 解: (Ⅰ)当 k ? 1 时,不等式为 x ? 2 x ? 0 ,

即 x( x ? 2) ? 0 , 解得 ?2 ? x ? 0 ,所以不等式的解集为 {x ?2 ? x ? 0}. (Ⅱ)依题意, ? ???????4 分 ???????6 分 ???????7 分

k ?1 ? 1, 2k 整理的 2k (3k ? 1) ? 0 , 1 解得 k ? ? 或 k ? 0 . 3
所以 k 的取值范围是 ( ??, ? )

1 3

(0, ??) .

???????8 分 ???????9 分 ???????10 分

(Ⅲ)当 k ? 0 时,不等式的解集为 {x x ? 0} ;

k ?1 k ?1 ) ? 0 ,解得 ? ? x ? 0; k k k ?1 )?0, 当 k ? 0 时, x( x ? k k ?1 ? 0 ,即 k ? ?1 时, x ? 0 ; 若 k k ?1 k ?1 ? 0 ,即 ?1 ? k ? 0 时, x ? 0 或 x ? ? 若? ; k k k ?1 k ?1 ? 0 ,即 k ? ?1 时, x ? ? 若? 或x ? 0. k k
当 k ? 0 时, x( x ? 综上, 当 k ? 0 时,不等式的解集为 {x ? 当 k ? 0 时,不等式的解集为 {x x ? 0} ; 当 ?1 ? k ? 0 时,不等式的解集为 {x x ? 0, 或x ? ? 当 k ? ?1 时,不等式的解集为 {x x ? 0}; 当 k ? ?1 时,不等式的解集为 {x x ? ?

???????11 分 ???????13 分 ???????14 分

k ?1 ? x ? 0} ; k

k ?1 }; k

k ?1 , 或x ? 0} . k

21.解:(Ⅰ)因为 S ?ABC ? 所以 S ?ABC ?

1 bc sin A , 2
???????3 分 A x ??6 分 B D E 第 7 页 共 9C 页 y m

1 ? 4 ? 3 ? sin 60 ? 3 3 . 2 1 (Ⅱ)设 AE ? m ,则 S?ADE ? xm sin 60 , 2 1 3 3 所以 xm sin 60 ? , xm ? 6 ,??① 2 2

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在 ?ABC 中, y 2 ? x2 ? m2 ? 2 xm cos60 , 即 y 2 ? x2 ? m2 ? xm ,??② 由①②消去 m ,得 y ? x ?
2 2

???????9 分

36 ?6, x2
???????10 分 ???????11 分

36 ?6 , x2 依题意 x ?[2, 4] ,
所以 y ?

x2 ?

36 ?6 ? 6 , x2 36 2 当且仅当 x ? 2 ,即 x ? 6 时“ ? ”成立. x 所以 y 的最小值为 6 . y ? x2 ?

???????12 分 ???????13 分

22. (Ⅰ)解:设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,由已知 nbn ? Sn ,即 Sn ? n2 , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;
2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ? 1 ) =2n ? 1. 综上,an ? 2n ? 1.

???????1 分 ???????3 分

(Ⅱ)解: (ⅰ)由已知, bk ?1 ? bk ?

a1 ? a2 ? ? ak ?1 a1 ? a2 ? ? k ?1 k

? ak

? ?

k (a1 ? a2 ?

? ak ?1 ) ? (k ? 1)(a1 ? a2 ? k (k ? 1) ? ak )
.

? ak )

kak ?1 ? (a1 ? a2 ? k (k ? 1)

???????5 分

因为数列 {an } 为单调递增数列,所以 ak ?1 ? ak ? 所以 kak ?1 ? (a1 ? a2 ?

? a2 ? a1 ,

? ak ) ? 0 ,
, n ? 1.
???????6 分

所以 bk ?1 ? bk ? 0 ,即 bk ?1 ? bk , k ? 1, 2,3, 即数列 {bn } 是单调递增数列.

(ⅱ)当 {bn } 为 1,5, 6 时, {an } 中的三项为 1,9,8 . 所以,若数列 {bn } 为单调递增数列,数列 {an } 不一定为单调递增数列. ???????8 分 (Ⅲ)证明: Dn ? Cn ? (a1 ? bn )2 ? 由 kbk ? a1 ? a2 ?

? (an ? bn )2 ?(a1 ? b1 )2 ?

? (an ? bn )2

? (a1 ? bn )2 ? ? (an?1 ? bn )2 ?(a1 ? b1 )2 ? ? (an?1 ? bn?1 )2 . ? ak ,可知 ak ?1 ? (k ? 1)bk ?1 ? kbk , a1 ? b1 , ?????10 分

利用上式,将 Dn ? Cn 表达式展开,将 ai 用 {bn } 中的项替换,得

Dn ? Cn
2 2 2 2 ? b12 ? 3b2 ? 5b3 ? ? (2n ? 3)bn ?1 ? (n ? 1)bn ? 2b 1b2 ? 4b2b3 ? 2 2 2 ? (b1 ? b2 ) ? 2(b2 ? b3 ) ? ? (n ? 1)(bn?1 ? bn ) ? 0 .

? 2(n ? 1)bn?1bn

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所以 Cn ? Dn .

???????13 分

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北京市西城区2012—2013年 高一第二学期数学期末测试

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